Elevens fördelning

Elevens fördelning
Sannolikhetstäthet
distributionsfunktion
Beteckning	${\mathrm {t))(n)$
alternativ	$n>0$ är antalet frihetsgrader
Bärare	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Sannolikhetstäthet	${\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) \,(1+{\frac {x^{2}}{n}})^{\frac {n+1}{2}}}}$
distributionsfunktion	${\frac {1}{2}}+{x\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}\times$ ${\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2)),{\frac {n+1}{2));{\frac {3} {2));-{\frac {x^{2}}{n}}\right)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma ({\frac {n}{2}}) }}$ var är den hypergeometriska funktionen ${\displaystyle _{2}F_{1))$
Förväntat värde	$0$ , om $n>1$
Median	$0$
Mode	$0$
Dispersion	${\frac {n}{n-2))$ , om $n>2$
Asymmetrikoefficient	$0$ , om $n>3$
Kurtos koefficient	${\frac {6}{n-4))$ , om $n>4$
Differentialentropi	${\begin{matrix}{\frac {n+1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+n}{2}})-\psi ({\frac {n}{2} })\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {n}}B({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}})\ höger]}\end{matris}}$ $\psi =\Gamma '/\Gamma$ , $B$ : betafunktion
Genererande funktion av moment	inte bestämd

Elevens fördelning ( -fördelning ) i sannolikhetsteori är en enparameterfamilj av absolut kontinuerliga fördelningar . William Seeley Gosset var den första att publicera tidningar om denna distribution under pseudonymen "Student". $t$

Elevfördelning spelar en viktig roll i statistisk analys och används till exempel i Students t - test för att bedöma den statistiska signifikansen av skillnaden mellan två urvalsmedelvärden, för att konstruera ett konfidensintervall för den matematiska förväntan hos en normalpopulation med en okänd varians, och även i linjär regressionsanalys . Elevens t-fördelning visas också i Bayesiansk analys av normalfördelade data .

Täthetsgrafen för elevens fördelning, liksom normalfördelningen, är symmetrisk och ser ut som en klocka, men med mer "tunga" svansar, det vill säga realiseringar av en slumpvariabel med en elevs fördelning tenderar att skilja sig mycket från den matematiska förväntan . Detta gör det viktigt för att förstå det statistiska beteendet hos vissa typer av kvoter av stokastiska variabler där avvikelsen i nämnaren är stor och kan ge extremvärden när kvotens nämnare är nära noll.

Elevens fördelning är ett specialfall av den generaliserade hyperboliska fördelningen .

Historia och etymologi

I statistiken erhölls t - fördelningen först som en bakre fördelning 1876 av Friedrich Helmert [1] [2] [3] och Jakob Luroth [4] [5] [6] .

I engelskspråkig litteratur har distributionen sitt namn från en artikel av William Gosset i Pearsons tidskrift Biometrics, publicerad under pseudonymen "Student" [7] [8] .

Gosset arbetade på Guinness- bryggeriet i Dublin , Irland , och använde sina kunskaper om statistik både i bryggningsprocessen och på fälten för att utveckla den högst skördande kornsorten. Studierna skräddarsyddes efter bryggeriföretagets behov och genomfördes på ett mindre antal observationer, vilket fungerade som en drivkraft för utvecklingen av metoder som fungerar på små prover.

Gosset var tvungen att dölja sin identitet vid publicering på grund av att en annan forskare som arbetade för Guinness tidigare publicerade information i sitt material som var en affärshemlighet för företaget, varefter Guinness förbjöd sina anställda att publicera material, oavsett vilken information som fanns i dem.

Gossets artikel beskriver fördelningen som " Frequency distribution of the standard deviations of samples drawn from the population ". Den blev berömd tack vare Ronald Fishers arbete , som kallade distributionen "Students distribution", och värdet - bokstaven t [9] .

Definition

Låta vara oberoende standard normala slumpvariabler sådan att . Sedan fördelningen av den slumpmässiga variabeln , där $Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ $Y_{i}\sim {\mathcal {N))(0,1),\;i=0,\ldots ,n$ $t$

t={\frac {Y_{0}}{{\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}Y_{i}^{2} }}}},

kallas Elevens fördelning med frihetsgrader . $n$ $t\sim {\mathrm {t}}(n)$

Denna fördelning är absolut kontinuerlig med densitet :

f_{t}(y)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\,\left(1+{\frac {y^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n +1}{2}}}

var är Eulers gammafunktion . På det här sättet: $\Gamma$

{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) }}={\frac {(n-1)(n-3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {n}}(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2\ ,}},

För även

n

och motsvarande

{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) }}={\frac {(n-1)(n-3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {n}}(n-2)(n-4)\cdots 5\cdot 3 \,}},

för udda .

n

Elevens densitetsfördelning kan också uttryckas med Eulers betafunktion : $\mathrm {B}$

f_{t}(y)={\frac {1}({\sqrt {n))\,\mathrm {B} ({\frac {1}{2)),{\frac {n} {2))))\left(1+{\frac {y^{2}}{n}}\right)^{\!-{\frac {n+1}{2}}}

Plottet för densitetsfunktionen för t -fördelningen är symmetrisk och dess form liknar formen på en klocka, som standardnormalfördelningen, men den är lägre och bredare.

Följande grafer återspeglar tätheten av t -fördelningen när antalet frihetsgrader ökar. Det kan observeras att som , densitetsfunktionskurvan mer och mer liknar standardnormalfördelningen. $n$ $n$

T-fördelningens täthet (röd linje) för 1, 2, 3, 5, 10 och 30 frihetsgrader
jämfört med standardnormalfördelningen (blå linje). De tidigare diagrammen visas i grönt.

Distributionsfunktion

Distributionsfunktionen kan uttryckas i termer av en regulariserad ofullständig betafunktion . för , $jag$ $t>0$

F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=1-{\tfrac {1}{2}}I_{x(t)}\left( {\tfrac {n}{2)),{\tfrac {1}{2}}\right),

där [10]

x(t)={\frac {n}{t^{2}+n)).

För värdet kan erhållas på grund av fördelningens symmetri. $t<0$

En annan formel är korrekt för [10] : $t^{2}<n$

\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du={\tfrac {1}{2}}+t{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1} {2}}(n+1)\höger)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma \left({\tfrac {n}{2}}\höger))){}_{2 }F_{1}\left({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1}{2}}(n+1);{\tfrac {3}{2));-{\tfrac {t^{2}}{n}}\right)

där 2 F 1 är ett specialfall av den hypergeometriska funktionen .

Specialfall

Studentens fördelning med en frihetsgrad ( ) är standardfördelningen för Cauchy . $n=1$

Distributionsfunktion:

F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan(t)

Sannolikhetstäthet:

f(t)={\frac {1}{\pi (1+t^{2})))

Elevens fördelning med två frihetsgrader ( ): $n=2$

Distributionsfunktion:

F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\frac {t}{2{\sqrt {2+t^{2}}}}}

Sannolikhetstäthet: ;

f(t)={\frac {1}{\left(2+t^{2}\right)^{\frac {3}{2))))

Elevens fördelning med tre frihetsgrader ( ): $n=3$

Sannolikhetstäthet:

{\displaystyle f(t)={\frac {6{\sqrt {3))}{\pi \left(3+t^{2}\right)^{2))))

Elevens fördelning med ett oändligt antal frihetsgrader ( ): $n=\infty$

Sannolikhetstäthet

f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}

sammanfaller med sannolikhetstätheten för standardnormalfördelningen.

Egenskaper för studentdistributionen

Elevens fördelning är symmetrisk. I synnerhet om , då . $t\sim {\mathrm {t}}(n)$ $-t\sim \mathrm {t} (n)$
Det finns bara ögonblick av ordning , och det finns inga ögonblick av ordning . I detta fall är alla befintliga moment av udda ordning lika med noll. $k<n$ $k\geq n$

{\mathbb {E}}\left[t^{k}\right]=0

, om udda ;

k

\mathbb {E} \left[t^{k}\right]={\frac {1}({\sqrt {\pi }}\Gamma \left({\frac {n}{2)) \right)}}\left[\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {nk}{2}}\right)n^{\ frac {k}{2}}\right]

om det är jämnt. Särskilt,

k

Matematisk förväntan om . ${\mathbb {E}}[t]=0$ $n>1$
varians om . ${\mathrm {D}}[t]={n \över n-2}$ $n>2$

Egenskaper

Elevens fördelning med frihetsgrader kan definieras som fördelningen av en stokastisk variabel [10] [11] $k$ $T$

{\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {V/k))}=Z{\sqrt {\frac {k}{V))))

var

Z är en slumpvariabel med en standardnormalfördelning ; ${\mathcal {N}}(0,1)$
V är en slumpvariabel med en chi-kvadratfördelning med frihetsgrader; $k$
Z och V är oberoende stokastiska variabler .

Låt, , vara oberoende slumpvariabler med normalfördelning , $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$

${\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})$ är provets medelvärde,

S_{n}^{\;2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline { X}}_{n}\right)^{2}

är den opartiska uppskattningen av variansen.

Sedan den slumpmässiga variabeln

V=(n-1){\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}

har en chi-kvadratfördelning med frihetsgrader [12] . $k=n-1$

Den slumpmässiga variabeln har en standardnormalfördelning, eftersom urvalsmedelvärdet har en normalfördelning . Dessutom kan det visas att dessa två slumpvariabler (normal och chi-kvadrat ) är oberoende. $Z=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ ${\overline {X}}_{n}$ ${\mathcal {N}}(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}})$ $Z$ $V$

Ersätt de resulterande värdena med värdet

T\equiv {\frac {Z}{\sqrt {V/k}}}=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt { n}}{S_{n}}}

som har en Students fördelning och skiljer sig från att standardavvikelsen ersätts med en stokastisk variabel , . Observera att den okända variansen inte visas i , eftersom den fanns i både täljaren och nämnaren. Gosset erhöll intuitivt den sannolikhetstäthet som fastställts ovan, där motsvarar ; Fischer bevisade detta 1925 [9] . $Z$ $\sigma$ $S_{n}$ $\sigma ^{2}$ $T$ $k$ $n-1$

Fördelningen av kriteriestatistiken beror på men beror inte på μ eller σ 2 , vilket gör fördelningen viktig både i teorin och i praktiken. $T$ $k$

Hur t -fördelningen uppstår

Exempelvarians

Elevens fördelning uppstår i samband med fördelningen av urvalsvarians . Låt oberoende slumpvariabler så att . Låt oss beteckna urvalets medelvärde för detta urval och dess urvalsvarians . Sedan $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,\ldots ,n$ ${\bar {X}}$ $S^{2}$

{\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim {\mathrm {t}}(n-1)

Relaterat till detta faktum är användningen av Elevens t-fördelning i statistik för poänguppskattning , konstruering av konfidensintervall och testning av hypoteser om ett okänt urvalsmedelvärde från en normalfördelning .

Bayesiansk statistik

I Bayesiansk statistik förekommer en icke-central t - fördelning som en marginalfördelning av normalfördelningskoefficienten . $m$ ${\mathcal {N}}(m,\sigma ^{2})$

Beroendet av den okända variansen uttrycks i termer av:

{\begin{aligned}p(\mu \mid D,I)=&\int p(\mu ,\sigma ^{2}\mid D,I)\;d\sigma ^{2}= \int p(\mu \mid D,\sigma ^{2},I)\;p(\sigma ^{2}\mid D,I)\;d\sigma ^{2}\end{aligned}}

var är data { x i } och är all annan information som kan användas för att skapa modellen. $D$ $jag$

När data är oinformativ , antyder Bayes sats

{\begin{aligned}p(\mu \mid D,\sigma ^{2},I)\sim &N({\bar {x)),{\frac {\sigma ^{2)){ n)))\end{aligned}}

{\begin{aligned}p(\sigma ^{2}\mid D,I)\sim &\operatörsnamn {Scale-inv-\chi ^{2}} (n,s^{2})\ end{aligned}}

normalfördelning och skalad invers chi-kvadratfördelning, där

s^{2}=\summa {\frac {(x_{i}-{\bar {x)))^{2}}{n-1}}

Den marginaliserade integralen har i detta fall formen

{\begin{aligned}p(\mu |D,I)&\propto \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2))} }\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}n(\mu -{\bar {x}})^{2}\right)\;\cdot \;\ sigma ^{-n-2}\exp(-ns^{2}/2\sigma ^{2})\;d\sigma ^{2}\\&\propto \int _{0}^{\infty }\sigma ^{-n-3}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(n(\mu -{\bar {x}})^{ 2}+ns^{2}\right)\right)\;d\sigma ^{2}\end{aligned}}

efter byte , där , $z=A/2\sigma ^{2}$ $A=n(\mu -{\bar {x)))^{2}+ns^{2}$

vi får $dz=-{\frac {A}{2\sigma ^{4}}}d\sigma ^{2}$

och utvärdering $p(\mu |D,I)\propto \;A^{-{\frac {n+1}{2}}}\int _{0}^{\infty }z^{(n- 1)/2}\exp(-z)\,dz$

$\int _{0}^{\infty }z^{(n-1)/2}\exp(-z)\,dz$ nu standard Gamma-integralen, som utvärderas till en konstant

${\begin{aligned}p(\mu \mid D,I)\propto &\;A^{-{\frac {n+1}{2))}\propto &\left(1+{ \frac {n(\mu -{\bar {x}})^{2}}{ns^{2}}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}\end {Justerat}}$

detta är en icke-standardiserad t-fördelning.

Genom att använda ersättningen får vi en standardiserad t-fördelning. $t={\frac {\mu -{\bar {x}}}{s/{\sqrt {n}}}}$

Härledningen ovan presenterades för fallet med en oinformativ föregång för och ; men det är uppenbart att varje tidigare sannolikhet leder till en blandning av normalfördelningen och den skalade inversa chi-kvadratfördelningen, att en icke-central t - fördelning med skalning och en bias av , skalningsparametern kommer att påverkas av den tidigare information och data, och inte bara data, som i exemplet ovan. ${\displaystyle \scriptstyle {\mu ))$ $\scriptstyle {\sigma ^{2))$ ${\displaystyle \scriptstyle {P(\mu |D,I)))$ $\scriptstyle {\frac {S^{2}}{n}}$

Generaliseringar av studenternas distribution

Elevens ostandardiserade t-fördelning

Student t-fördelningen kan generaliseras till en familj av funktioner med tre parametrar, inklusive en skiftfaktor och en skalfaktor , genom relationen $\mu$ $\sigma$

X=\mu +\sigma T

eller

T={\frac {X-\mu }{\sigma }}

var är den klassiska Studentfördelningen med frihetsgrader. ${\frac {x-\mu }{\sigma }}$ $n$

Tätheten för den ostandardiserade studentfördelningen är en omparametriserad Pearson-fördelning av typ VII och bestäms av följande uttryck [13]

{\displaystyle p(x\mid n,\mu,\sigma )={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{\Gamma ({\frac {n}{2 }}){\sqrt {\pi n}}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{n}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right )^{2}\höger)^{-{\frac {n+1}{2))))

Här är inte standardavvikelsen, som i normalfördelningen, det är generellt sett en annan skalparameter. Men vid , tenderar Pearson-fördelningstätheten av typ VII till en normalfördelningstäthet med en standardavvikelse . $\sigma$ $n\till\infty$ $\sigma$

I Bayesiansk slutledning är marginalfördelningen av det okända medelvärdet högre än , och motsvarar , där $\mu$ $\sigma$ ${\displaystyle \scriptstyle {s/{\sqrt {n))))$

s^{2}=\summa {\frac {(x_{i}-{\bar {x)))^{2}}{n-1}}.

$\operatörsnamn {E} (X)=\mu$ för , $n>1$

${\text{var}}(X)=\sigma ^{2}{\frac {n}{n-2}}$ för $n>2$

${\text{läge}}(X)=\mu .$

Denna fördelning är resultatet av en kombination av en Gaussfördelning (normalfördelning) med ett medelvärde och en okänd varians, med en invers gammafördelning, med en varians med parametrar och . Med andra ord antas den slumpmässiga variabeln X ha en normalfördelning med en okänd varians fördelad som ett inverst gamma, och sedan elimineras variansen. Den här egenskapen är användbar eftersom den inversa gammafördelningen är konjugatet före variansen av Gaussfördelningen, vilket är anledningen till att den ostandardiserade Students t-fördelning förekommer naturligt i många Bayesianska problem. $\mu$ $a=n/2$ $b=n\sigma ^{2}/2$

På motsvarande sätt är denna fördelning resultatet av en kombination av en Gaussfördelning med en skalad invers chi-kvadratfördelning med parametrar och . Den skalade inversa chi-kvadratfördelningen är exakt samma fördelning som den inversa gammafördelningen, men med en annan parametrisering, nämligen . $n$ $\sigma ^{2}$ $n=2a,\sigma ^{2}=b/a$

En alternativ parametrisering baserad på den inversa skalningsparametern λ [14] (liknande hur noggrannhetsmåttet är inversen av variansen) definierad av relationen , ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{\sigma ^{2))))$

då definieras densiteten som

p(x|n,\mu ,\lambda )={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{\Gamma ({\frac {n}{2} })}}\left({\frac {\lambda }{\pi n}}\right)^{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{n}}\höger)^{-{\frac {n+1}{2}}}.

Egenskaper:

$\operatörsnamn {E} (X)=\mu$ för , $n>1$

${\text{var}}(X)={\frac {1}{\lambda }}{\frac {n}{n-2}}$ för $n>2$

${\text{läge}}(X)=\mu .$

Denna fördelning är resultatet av en kombination av en Gaussfördelning med ett medelvärde och ett okänt mått på precision (invers varians), med en gammafördelning med parametrar och . Slumpvariabeln X antas med andra ord ha en normalfördelning med ett okänt gammafördelat mått på noggrannhet. $\mu$ $a=n/2$ $b=n/(2\lambda )$

Elevens icke-centrala distribution

Den icke-centrala t-t är ett sätt att generalisera standard-t-t genom att inkludera en ytterligare skiftfaktor (icke-centralitetsparameter) . $\mu$

$(Z+\mu){\sqrt {\frac {n}{V}}}.$

I den icke-centrala Studentfördelningen sammanfaller inte medianen med läget, d.v.s. den är inte symmetrisk (till skillnad från icke-standardiserad).

Denna fördelning är viktig för att studera den statistiska kraften i Students t-test.

Diskret Students distribution

Den diskreta Student t-fördelningen har följande fördelningsfunktion med r proportionell: [15]

\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{(r+j+a)^{2}+b^{2}}}\quad \quad r=\ldots , -1,0,1,\ldots .

Där a , b och k är parametrar. En sådan distribution uppstår när man hanterar system från diskreta distributioner som Pearson-distributionen . [16]

Relation med andra distributioner

Students t-fördelning är en typ VII Pearson t-fördelning [17] .
Elevens fördelning med en frihetsgrad ( ) är standardfördelningen för Cauchy : . $n=1$ ${\mathrm {t}}(1)\equiv {\mathrm {C}}(0,1)$
Elevens fördelning konvergerar till standardnormalen vid . Låt en sekvens av slumpvariabler ges , där . Sedan: genom utdelning kl . $n\till\infty$ $\{t_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $t_{n}\sim {\mathrm {t}}(n),\;n\in {\mathbb {N}}$ $t_{n}\to {\mathcal {N}}(0,1)$ $n\till\infty$
Kvadraten av en slumpvariabel som har en Students fördelning har också en Fishers fördelning . Låt . Sedan: . $t\sim {\mathrm {t}}(n)$ $t^{2}\sim {\mathrm {F}}(1,n)$

Generalisering av den Gaussiska fördelningen

Vi kan få ett urval med en t-fördelning genom att ta förhållandet mellan värden från normalfördelningen och kvadratroten av chi-kvadratfördelningen.

där är oberoende standard normala slumpvariabler sådana att ${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n))$ $X_{i}\sim {\mathcal {N))(0,1),\;i=0,\ldots ,n$

$t={\frac {X_{0}}{\sqrt ({\frac {1}{n}}\summa \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2} }}}.$

Om vi istället för en normalfördelning, ta till exempel Irwin-Hall , får vi en symmetrisk fördelning med 4 parametrar, som inkluderar normal, enhetlig, triangulär, samt Students och Cauchys fördelningar; sålunda är denna generalisering mer flexibel än många andra symmetriska generaliseringar av den Gaussiska fördelningen.

Tillämpning av Students distribution

Hypotestestning

Viss statistik kan ha en Students t-fördelning på små urvalsstorlekar, så Students t-fördelning utgör grunden för signifikanstesterna. Till exempel är Spearmans rangkorrelationstest ρ , i nollfallet (nollkorrelation) väl approximerat av en students t-fördelning med en urvalsstorlek större än 20.

Bygga ett konfidensintervall

Elevens t-t kan användas för att uppskatta hur sannolikt det sanna medelvärdet är i ett givet intervall.

Antag att talet A väljs så att

$\Pr(-A<T<A)=0,9$ .

Då har T en t-fördelning med n – 1 frihetsgrader. I kraft av fördelningens symmetri motsvarar detta att säga att A uppfyller

$\Pr(T<A)=0,95,$ eller då ${\displaystyle A=t_{(0.05,n-1)))$

$\Pr \left(-A<{\frac ({\överlinje {X}}_{n}-\mu }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}<A \right)=0,9,$

vilket motsvarar

$\Pr \left({\overline {X}}_{n}-A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}<\mu <{\overline {X}}_ {n}+A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\right)=0.9.$

således är ett intervall med en konfidensgräns i poäng ett 90 % konfidensintervall för μ. Därför, om vi hittar medelvärdet av en uppsättning observationer (normalfördelade), kan vi använda Students t-fördelning för att avgöra om konfidensgränserna för detta medelvärde inkluderar något teoretiskt förutsagt värde, såsom värdet som förutspåtts från nollhypotesen. ${\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}$

Ett sådant tillvägagångssätt används i Students t-test : om skillnaden mellan medelvärdena av stickprov från två normalfördelningar i sig kan normalfördelas, kan Students t-t användas för att undersöka om denna skillnad kan anses vara noll med hög grad av sannolikhet.

För normalfördelade prov är den ensidiga (1− a ) övre konfidensgränsen (UCL) för medelvärdet

$\mathrm {UCL} _{1-a}={\overline {X}}_{n}+t_{a,n-1}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n} }}$ .

Den resulterande övre konfidensgränsen kommer att vara det största medelvärdet för det givna konfidensintervallet och urvalsstorleken. Med andra ord, om medelvärdet av en uppsättning observationer är sannolikheten att fördelningens medelvärde ger lika med en signifikansnivå på 1– a. ${\overline {X}}_{n}$ $\mathrm {UCL} _{1-n}$

Bygga ett prediktorintervall

Elevens t-fördelning kan användas för att erhålla ett prediktorintervall för ett oobserverat urval från en normalfördelning med okänt medelvärde och varians.

I Bayesiansk statistik

Students t-fördelning, särskilt den icke-centrala, förekommer ofta i Bayesiansk statistik som ett resultat av association med normalfördelningen.

Faktum är att om vi inte känner till variansen för en normalfördelad slumpvariabel, men vi känner till den konjugerade tidigare fördelningen, kommer det att vara möjligt att välja en gammafördelning så att de resulterande värdena kommer att ha en Students fördelning.

Ekvivalenta konstruktioner med samma resultat inkluderar den konjugatskalade inversa chi-kvadratfördelningen. Om den felaktiga tidigare fördelningen, proportionell mot , är placerad ovanför variansen, inträffar också en Students fördelning. Detta sker oavsett om medelvärdet av en normalfördelad kvantitet fördelad med en konjugat tidigare fördelning är känt eller inte. $\sigma ^{2}$

Parametrisk modellering resistent mot överträdelser av initiala antaganden

Students t-fördelning används ofta som ett alternativ till normalfördelningen för en datamodell. [18] Detta beror på att verkliga data ganska ofta har tyngre svansar än normalfördelningen skulle tillåta. Det klassiska tillvägagångssättet är att identifiera extremvärden och eliminera dem (eller minska deras vikt). Det är dock inte alltid lätt att definiera en extremvärde (särskilt i högdimensionella problem ), och studentens t-fördelning är ett naturligt val för att tillhandahålla en parametrisk inställning till robust statistik .

Lange och andra har utforskat användningen av Students distribution för robust datamodellering. Bayesiansk beräkning finns i Gelman et al.

Antalet frihetsgrader styr fördelningens kurtos och är korrelerad med skalningsparametern.

Några andra egenskaper i studentdistributionen

Låt, vara integralen av studentens sannolikhetstäthetsfunktion, vara sannolikheten att värdet på t är mindre än värdet beräknat från observationsdata. $A(t|n)$ $Med)$

Funktionen kan användas för att testa om skillnaden mellan medelvärdet för två uppsättningar data hämtade från samma population är statistiskt signifikant, detta uppnås genom att beräkna motsvarande värde på t och sannolikheten för att det inträffar. $A(t|n)$

Detta används till exempel i Students T-test . För en t -fördelning med frihetsgrader, är sannolikheten att t kommer att vara mindre än det observerade värdet om de två medelvärdena var desamma. Det kan enkelt beräknas från den kumulativa fördelningsfunktionen för elevens fördelning: $n$ $A(t|n)$ $F_{n}(t)$

A(t|n)=F_{n}(t)-F_{n}(-t)=1-I_{\frac {n}{n+t^{2}}}\left({ \frac {n}{2)),{\frac {1}{2}}\right),

där I x - regulariserad ofullständig betafunktion (a, b).

Vid statistisk hypotestestning används denna funktion för att konstruera ett p-värde .

Monte Carlo provtagning

Det finns olika tillvägagångssätt för att erhålla slumpvariabler från Students fördelning. Allt beror på om oberoende stickprov krävs, eller så kan de konstrueras genom att tillämpa den inversa fördelningsfunktionen på ett urval med en enhetlig fördelning.

När det gäller ett oberoende prov är det lätt att tillämpa en utvidgning av Box-Muller-metoden i dess polära (trigonometriska) form [19] . Fördelen med denna metod är att den gäller lika för alla positiva frihetsgrader , medan många andra metoder inte fungerar om de är nära noll. [19] $n$ $n$

Tätheten av elevens fördelning genom lösningen av en differentialekvation

Studentdensitetsfördelningen kan erhållas genom att lösa följande differentialekvation :

$\left\{{\begin{array}{l}\left(n+x^{2}\right)f'(x)+(n+1)xf(x)=0,\\f (1)={\frac {n^{n/2}(n+1)^{-{\frac {n}{2}}-{\frac {1}{2}}}}{B\vänster ({\frac {n}{2)),{\frac {1}{2}}\right)}}\end{array}}\right\}$

Percentiler

Värdetabeller

Många läroböcker om statistik innehåller elevfördelningstabeller.

Idag är det bästa sättet att få ett helt korrekt kritiskt t-värde, eller kumulativ sannolikhet, att använda en statistisk funktion inbyggd i kalkylblad (Office Excel, OpenOffice Calc, etc.) eller en interaktiv webbräknare. De kalkylbladsfunktioner som krävs är TDIST och TINV.

Tabellen nedan inkluderar värdena för vissa värden för Students fördelningar med v frihetsgrader för ett antal ensidiga eller tvåsidiga kritiska regioner.

Som ett exempel på hur man läser den här tabellen, låt oss ta den fjärde raden, som börjar på 4; detta betyder att v, antalet frihetsgrader, är 4 (och om vi arbetar, som visas ovan, med n fasta summastorheter, så är n = 5). Låt oss ta det femte värdet i kolumnen 95 % för ensidig (90 % för dubbelsidig ). Värdet är "2.132". Sannolikheten för att T är mindre än 2,132 är därför 95 % eller Pr(−∞ < T < 2,132) = 0,95; detta betyder också att Pr(−2,132 < T < 2,132) = 0,9.

Detta kan beräknas från fördelningens symmetri,

Pr( T < −2,132) = 1 − Pr( T > −2,132) = 1 − 0,95 = 0,05,

vi får

Pr(−2,132 < T < 2,132) = 1 - 2(0,05) = 0,9.

Observera att den sista raden också ger kritiska punkter: en Students t-fördelning med ett oändligt antal grader är en normalfördelning.

Den första kolumnen visar antalet frihetsgrader.

ensidig	75 %	80 %	85 %	90 %	95 %	97,5 %	99 %	99,5 %	99,75 %	99,9 %	99,95 %
bilateral	femtio%	60 %	70 %	80 %	90 %	95 %	98 %	99 %	99,5 %	99,8 %	99,9 %
ett	1 000	1,376	1,963	3,078	6,314	12,71	31,82	63,66	127,3	318,3	636,6
2	0,816	1,080	1,386	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	14.09	22.33	31,60
3	0,765	0,978	1,250	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	7,453	10.21	12,92
fyra	0,741	0,941	1,190	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	5,598	7,173	8,610
5	0,727	0,920	1,156	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032	4,773	5,893	6,869
6	0,718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	4,317	5,208	5,959
7	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	4,029	4,785	5,408
åtta	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	3,833	4,501	5,041
9	0,703	0,883	1.100	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	3,690	4,297	4,781
tio	0,700	0,879	1,093	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	3,581	4,144	4,587
elva	0,697	0,876	1,088	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	3,497	4,025	4,437
12	0,695	0,873	1,083	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	3,428	3,930	4,318
13	0,694	0,870	1,079	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	3,372	3,852	4,221
fjorton	0,692	0,868	1,076	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977	3,326	3,787	4,140
femton	0,691	0,866	1,074	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	3,286	3,733	4,073
16	0,690	0,865	1,071	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921	3,252	3,686	4,015
17	0,689	0,863	1,069	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,222	3,646	3,965
arton	0,688	0,862	1,067	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,197	3,610	3,922
19	0,688	0,861	1,066	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,174	3,579	3,883
tjugo	0,687	0,860	1,064	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,153	3,552	3,850
21	0,686	0,859	1,063	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,135	3,527	3,819
22	0,686	0,858	1,061	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,119	3,505	3,792
23	0,685	0,858	1,060	1,319	1,714	2,069	2 500	2,807	3,104	3,485	3,767
24	0,685	0,857	1,059	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,091	3,467	3,745
25	0,684	0,856	1,058	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,078	3,450	3,725
26	0,684	0,856	1,058	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,067	3,435	3,707
27	0,684	0,855	1,057	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,057	3,421	3,690
28	0,683	0,855	1,056	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,047	3,408	3,674
29	0,683	0,854	1,055	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,038	3,396	3,659
trettio	0,683	0,854	1,055	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750	3,030	3,385	3,646
40	0,681	0,851	1.050	1,303	1,684	2,021	2,423	2,704	2,971	3,307	3,551
femtio	0,679	0,849	1,047	1,299	1,676	2,009	2,403	2,678	2,937	3,261	3,496
60	0,679	0,848	1,045	1,296	1,671	2 000	2,390	2,660	2,915	3,232	3,460
80	0,678	0,846	1,043	1,292	1,664	1,990	2,374	2,639	2,887	3,195	3,416
100	0,677	0,845	1,042	1,290	1,660	1,984	2,364	2,626	2,871	3,174	3,390
120	0,677	0,845	1,041	1,289	1,658	1,980	2,358	2,617	2,860	3,160	3,373
∞	0,674	0,842	1,036	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	2,807	3,090	3,291

Till exempel, om vi får ett urval med en provvarians på 2 och ett urvalsmedelvärde på 10 från en provuppsättning av 11 (10 frihetsgrader), med hjälp av formeln

${\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}.$

Vi kan bestämma med 90 % säkerhet att det verkliga medelvärdet är:

$10+1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=10.58510,$

(dvs i genomsnitt 90 % av gångerna är den övre gränsen större än det verkliga medelvärdet)

och fortfarande med 90 % säkerhet finner vi ett sant medelvärde som är större än

$10-1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=9.41490.$

(I genomsnitt är den nedre gränsen 90 % av gångerna mindre än det verkliga medelvärdet)

Så med 80% säkerhet (1-2*(1-90%) = 80%) hittar vi det sanna värdet i intervallet

$\left(10-1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}},10+1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}\ höger)=\left(9.41490,10.58510\right).$

Med andra ord, 80% av tiden är det sanna medelvärdet under den övre gränsen och över den nedre gränsen.

Detta motsvarar inte att säga att det finns en 80% chans att det verkliga medelvärdet ligger mellan ett visst par av övre och nedre gränser.

Generalisering

En generalisering av studentens fördelning är den generaliserade hyperboliska fördelningen .

Anteckningar

↑ Helmert, F. R. (1875). "Über die Bestimmung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler". Z Math. Phys. , 20, 300–3.
↑ Helmert, F. R. (1876a). "Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und uber einige damit in Zusammenhang stehende Fragen". Z Math. Phys. , 21, 192-218.
↑ Helmert, F. R. (1876b). "Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers regissör Beobachtungen gleicher Genauigkeit", Astron. Nachr. , 88, 113-32.
↑ Lüroth, J. Vergleichung von zwei Werten des wahrscheinlichen Fehlers (tyska) // Astron. Nachr. : affär. - 1876. - Bd. 87 , nr. 14 . - S. 209-220 . - doi : 10.1002/asna.18760871402 . - .
↑ Pfanzagl, J.; Sheynin, O. A preerunner of the t -distribution (Studier in the history of probability and statistics XLIV) (engelska) // Biometrika : journal. - 1996. - Vol. 83 , nr. 4 . - s. 891-898 . - doi : 10.1093/biomet/83.4.891 .
↑ Sheynin, O. Helmerts arbete i teorin om fel // Arch . Hist. Exakt Sci. : journal. - 1995. - Vol. 49 . - S. 73-104 . - doi : 10.1007/BF00374700 .
↑ "Student" [ William Sealy Gosset ]. The probable error of a mean (engelska) // Biometrika : journal. - 1908. - Mars ( bd 6 , nr 1 ). - S. 1-25 . - doi : 10.1093/biomet/6.1.1 .
↑ "Student" (William Sealy Gosset), original Biometrika papper som skanning Arkiverad 5 mars 2016 på Wayback Machine
↑ 1 2 Ronald Fisher. Tillämpningar av ”Students” distribution // metron . - 1925. - Vol. 5 . - S. 90-104 . Arkiverad från originalet den 5 mars 2016.
↑ 1 2 3 Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan, N. kapitel 28 // Continuous Univariate Distributions, Volume 2, 2nd Edition .. - 1995. - ISBN 0-471-58494-0 .
↑ Hogg & Craig (1978, avsnitt 4.4 och 4.8.)
↑ W. G. Cochran. Fördelningen av kvadratiska former i ett normalt system, med tillämpningar för analys av kovarians // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1934-04-01. - T. 30 , nej. 02 . - S. 178-191 . — ISSN 1469-8064 . - doi : 10.1017/S0305004100016595 .
↑ Simon Jackman. Bayesiansk analys för samhällsvetenskap . — Wiley. - 2009. - S. 507 .
↑ Bishop CM Mönsterigenkänning och maskininlärning. — Springer . – 2006.
↑ Ord, JK (1972) Familjer av frekvensfördelningar , Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (tabell 5.1)
↑ Ord, JK (1972) Familjer av frekvensfördelningar , Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (kapitel 5)
↑ Korolyuk, 1985 , sid. 134.
↑ Kenneth L. Lange, Roderick J. A. Little, Jeremy M. G. Taylor. Robust statistisk modellering med t-distribution // Journal of the American Statistical Association . - 1989-12-01. - T. 84 , nej. 408 . - S. 881-896 . — ISSN 0162-1459 . - doi : 10.1080/01621459.1989.10478852 .
↑ 1 2 Ralph W. Bailey. Polär generering av slumpmässiga variationer med t-distribution // Mathematics of Computation. — 1994-01-01. - T. 62 , nej. 206 . - S. 779-781 . - doi : 10.2307/2153537 . Arkiverad från originalet den 3 april 2016.

Litteratur

Korolyuk V. S. , Portenko N. I. , Skorokhod A. V. , Turbin A. F. Handbok för sannolikhetsteori och matematisk statistik. - M. : Nauka, 1985. - 640 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online)

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula