Algebraisk topologi

Algebraisk topologi (föråldrat namn: kombinatorisk topologi ) är en sektion av topologi som studerar topologiska rum genom att jämföra dem med algebraiska objekt ( grupper , ringar , etc.), såväl som dessa objekts beteende under inverkan av olika topologiska operationer.

Grundläggande metoder

Metoderna för algebraisk topologi är baserade på antagandet att allmänna algebraiska strukturer är enklare än topologiska.

Ett viktigt verktyg inom algebraisk topologi är de så kallade homologigrupperna (till exempel enkel eller singular). Varje topologiskt utrymme motsvarar i varje dimension sin egen abelska homologigrupp , och varje kontinuerlig kartläggning motsvarar en grupphomomorfism , och sammansättningen av avbildningarna motsvarar sammansättningen av homomorfismer , och den identiska kartläggningen motsvarar den identiska homomorfismen . I kategoriteorin betyder detta att den -th homologigruppen är en samvariant funktionator från kategorin topologiska utrymmen till kategorin abelianska grupper. $X$ $n$ $H_{n}(X)$ $f:X\till Y$ $f_{*}:H_{n}(X)\till H_{n}(Y)$ $fg$ $f_{*}g_{*}$ ${\mathrm {id}}$ ${\mathrm {id}}_{*}$ $n$

Förutom olika homologiteorier ( extraordinär homologi , såsom bordismteori eller -teori , har nu blivit mycket viktiga ), är homotopigrupper viktiga för algebraisk topologi . Av dessa är den främsta den så kallade fundamentala gruppen , som, till skillnad från grupper av alla andra dimensioner, kan vara icke-abelian. $K$ $\pi _{n}(X)$ $\pi _{1}(X)$

Ett exempel på en teknik

Ett klassiskt exempel på tillämpningen av algebraiska topologimetoder är beviset för Brouwers fixpunktssats . Påståendet om satsen är att varje kontinuerlig avbildning av en sluten dimensionell boll i sig själv har en fast punkt, det vill säga . $n$ $f\colon D_{n}\to D_{n}$ $\exists x\colon f(x)=x$

För beviset används följande lemma: det finns ingen tillbakadragning av en -dimensionell boll till dess gräns, en -dimensionell sfär (en sådan kontinuerlig kartläggning som för alla punkter på gränsen). Faktum är att om kartläggningen inte har några fasta punkter, så är det möjligt att konstruera en kartläggning av en boll på en sfär genom att för varje punkt på bollen rita en stråle som går ut ur och passerar igenom (i avsaknad av fixpunkter, dessa är olika punkter); låt vara skärningspunkten för strålen med sfären och . Kartläggningen är kontinuerlig, och om den tillhör sfären, då . Därmed erhålls en tillbakadragning av en boll på en sfär, vilket är omöjligt av lemma. Därför finns det minst en fast punkt. $n$ $D_{n}$ $(n-1)$ $S_{{n-1}}$ $g:D_{n}\to S_{n-1},$ $g(x)=x$ $f$ $g$ $x$ $f(x)$ $x$ $y$ $S_{{n-1}}$ $g(x)=y$ $g(x)=y$ $x$ $g(x)=x$

För att bevisa lemmat antas det att en sådan indragning föreligger . För att bädda in en sfär i en boll gäller följande egenskap: sammansättningen av mappningar är identisk mappning av sfären (först , sedan ). Vidare visas att , och . Då kommer mappningen att vara en mappning till 0, men å andra sidan, eftersom , vi har — är inte en nollhomomorfism, utan en identisk isomorfism. $g$ $i(x)=x$ $gi={\mathrm {id}}$ $i$ $g$ $H_{{n-1}}(S_{{n-1}})={\mathbf {Z}}$ $H_{{n-1}}(D_{n})=0$ $g_{*}:H_{{n-1}}(D_{n})\till H_{{n-1}}(S_{{n-1}})$ $gi={\mathrm {id}}$ $g_{*}i_{*}={\mathrm {id}}_{*}:{\mathbf {Z}}\to {\mathbf {Z}}$

Icke-algebraiska bevis för Brouwers teorem är också kända, men införandet av homologi gjorde det omedelbart lätt att bevisa många påståenden som tidigare verkade orelaterade till varandra.

Historik

Vissa satser av algebraisk topologi var redan kända för Euler , till exempel att för alla konvexa polyeder med antalet hörn , kanter och ytor , . $V$ $E$ $F$ $V-E+F=2$

Gauss och Riemann var intresserade av topologiska frågor .

Men huvudrollen i skapandet av algebraisk topologi som vetenskap spelades av Poincaré - det är han som äger begreppen enkel homologi och den grundläggande gruppen. Stora bidrag gjordes av Alexander , Veblen , Lefschetz , Whitehead , Borsuk , Gurevich , Steenrod , Eilenberg , Serre , Tom , Atiyah , Hirzebruch , Bott , Adams , Smale , Milnor , Quillen ; Bland de sovjetiska/ryska matematikerna bör det noteras P. S. Aleksandrov , Kolmogorov , Pontryagin , Lyusternik , Rokhlin , Novikov , Fomenko , Kontsevich , Voevodsky , Perelman .

Litteratur

Vasiliev V. A. Introduktion till topologi. — M.: Fazis, 1997
Wick J.W. Homologiteori. Introduktion till algebraisk topologi. — M.: MTsNMO, 2005
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Problemlärobok om topologi Arkiverad 19 februari 2012 på Wayback Machine
Dold A. Föreläsningar om algebraisk topologi. — M.: Mir, 1976
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometri: Metoder och tillämpningar. — M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometri: Metoder för homologiteori. — M.: Nauka, 1984
Seifert G., Trefall W. Topology. - Izhevsk: RHD, 2001
Kosniewski C. En inledande kurs i algebraisk topologi. — M.: Mir, 1983
Lefshetz S. Algebraisk topologi. — M.: IL, 1949
Novikov P. S. Topologi. - 2:a uppl., rättad. och ytterligare - Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2002
Prasolov VV Element av homologiteori. — M.: MTsNMO , 2006
Switzer R. M. Algebraisk topologi — homotopi och homologi. — M.: Nauka, 1985
Spanier E. Algebraisk topologi. — M.: Mir, 1971
Steenrod N., Eilenberg S. Grunderna för algebraisk topologi. — M.: Fizmatgiz, 1958
Fomenko A. T., Fuchs D. B. En kurs i homotopi topologi. — M.: Nauka, 1989

Hatcher A., Algebraic Topology - M.: MTsMNO, 2011. (Original: Hatcher A. Algebraic Topology Arkiverad 19 maj 2018 på Wayback Machine )

Matematikens grenar

Portal "Science"

Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementär algebra	Ekvationslösning
Linjär algebra	Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra
Allmän algebra	Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori

Analys
Klassisk analys	Differentialkalkyl Integralkalkyl
Funktionsteori	Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl
Differentialekvationer och integralekvationer	Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer
Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys

Geometri och topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Tillämpad matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori

Portalen "Matematik"
Kategori "Matematik"