Enhet kvadrat

En enhetskvadrat  är en kvadrat vars sida är ett enhetssegment . Enhetskvadret är en ytenhet . Ibland krävs det att i rektangulära koordinater det nedre vänstra hörnet av enhetskvadraten skulle vara vid utgångspunkten för koordinaterna och dess sidor skulle vara parallella med koordinataxlarna. I det här fallet har dess hörn koordinater , , och .

Definitioner

Ofta betyder en enhetsruta vilken ruta som helst med sidan 1.

Om ett rektangulärt koordinatsystem ges , används denna term ofta i en snävare mening: en enhetskvadrat är en uppsättning punkter, vars båda koordinater ( x och y ) ligger mellan 0 och 1 :

Med andra ord är enhetskvadraten den direkta produkten I × I , där I  är enhetssegmentet .

I det komplexa planet betyder en enhetskvadrat en kvadrat med hörn 0 , 1 , 1 + i och i [1] .

Områdesenhet

Enhetskvadraten är en måttenhet för arean av en figur. Att mäta arean av en figur betyder att hitta förhållandet mellan arean av figuren och arean av en enhetskvadrat, det vill säga hur många gånger en enhetskvadrat kan läggas i en given figur [2] . Det finns all anledning att tro att området bestämdes av det antika Babylons matematik [3] . I " principerna " hade Euklid ingen längdenhet, vilket betyder att det inte fanns något begrepp om en kvadratisk enhet. Euklid mätte inte områden med siffror, istället ansåg han förhållandet mellan områdena och varandra [4] .

Egenskaper

• Arean av en enhetskvadrat är 1, omkretsen  är 4 och diagonalen  är .
• Enhetskvadraten är en "cirkel" med diameter 1 i betydelsen av den enhetliga normen ( ), det vill säga den uppsättning punkter som är belägna på ett avstånd av 1/2 i betydelsen av den enhetliga normen från centrum med koordinater (1/2, 1/2) är en enhetskvadrat [5 ] .
• Cantor bevisade att det finns en en-till-en-överensstämmelse mellan enhetssegmentet och enhetsrutan. Detta faktum är så kontraintuitivt att Cantor skrev till Dedekind 1877 : "Jag ser det, men jag tror det inte" [6] [7] .
• Ett ännu mer överraskande faktum upptäcktes av Peano 1890: det visar sig att det finns en kontinuerlig kartläggning av ett segment på en kvadrat. Ett exempel på en sådan mappning är Peano-kurvan , det första exemplet på en rymdfyllande kurva. Peano-kurvan specificerar en kontinuerlig avbildning av ett enhetssegment på en kvadrat, så att det för varje punkt på kvadraten finns en motsvarande punkt i segmentet [8] .
• Det finns dock ingen en-till- en kontinuerlig mappning från ett segment till en kvadrat. Peano-kurvan innehåller flera punkter, det vill säga den passerar genom vissa punkter på kvadraten mer än en gång. Således definierar Peano-kurvan inte en en-till- en- överensstämmelse. Det är faktiskt lätt att bevisa att ett segment inte är homeomorft till en kvadrat, vilket innebär att det är omöjligt att undvika flera punkter [9] .

Öppet nummer

Det är inte känt (från och med 2011) om det finns en punkt i planet så att avståndet till någon vertex på enhetskvadraten är ett rationellt tal . Det är dock känt att en sådan punkt inte finns på kvadratens gräns [10] [11] .

Se även

• enhetssfär
• enhetscirkel
• enhetskub

Anteckningar

1. ↑ Weisstein, Eric W. Unit Square  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
2. ↑ Valery Gusev, Alexander Mordkovich. Matematik: en utbildnings- och referensguide . Liter, 2016-06-10. - S. 436. - 674 sid. — ISBN 9785457404793 .
3. ↑ Peter Ström Rudman. Hur matematik hände: de första 50 000 åren . — Prometheus-böcker, 2007-01-01. - S. 108. - 316 sid. — ISBN 9781615921768 .
4. ↑ Saul Stahl. Geometri från Euklid till Knots . — Courier Corporation, 2012-05-23. — S. 99-100. — 481 sid. — ISBN 9780486134987 .
5. ↑ Athanasios C. Antoulas. Approximation av storskaliga dynamiska system . — SIAM, 2009-06-25. - S. 29. - 489 sid. — ISBN 9780898716580 .
6. ↑ Sergey Demenok. Fractal: Between Myth and Craft . — Liter, 2016-06-08. - S. 156. - 298 sid. — ISBN 9785040137091 .
7. ↑ Michael J. Bradley. Matematikens grunder: 1800 till 1900 . - Infobase Publishing, 2006. - S. 104-105. — 177 sid. — ISBN 9780791097212 .
8. ↑ Sergei Sizy. Matteproblem. Studentolympiader vid fakulteten för matematik och mekanik vid Ural State University . — Liter, 2016-04-14. - S. 34. - 128 sid. — ISBN 9785040047086 . Arkiverad 7 april 2022 på Wayback Machine
9. ↑ Alexander Shen, Nikolai Vereshchagin. Föreläsningar om matematisk logik och teori om algoritmer. Del 1. Början av mängdlära . Liter, 2015-11-13. - S. 19. - 113 sid. — ISBN 9785457918795 . Arkiverad 7 april 2022 på Wayback Machine
10. ↑ Guy, Richard K. (1991), Unsolved Problems in Number Theory, Vol. 1 (andra upplagan), Springer-Verlag, sid. 181-185  .
11. ↑ Barbara, Roy (mars 2011), The rational distance problem , Mathematical Gazette vol 95(532): 59-61 , < http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9458155 > daterad december 24, 2015 på Wayback Machine . 

Länkar

• Weisstein, Eric W. Unit Square  (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .