Trekantig parkett

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 april 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .
trekantig mosaik
Sorts Korrekt mosaik
Vertex figur 3.3.3.3.3.3 (3 6 )
Schläfli symbol {3,6}
Wythoff symbol 6 | 3 2
3 | 3 3
| 3 3 3
Coxeter diagram CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nod 1.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel nod h.pngCDel 3.pngCDel nod h.png
CDel nod 1.pngCDelsplit1.pngCDel-branch.png=CDel nod h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel nod h.pngCDelsplit1.pngCDel gren hh.png
Symmetrigrupp p6m , [6,3], (*632)
Rotationssymmetri p6 , [6,3] + , (632)
p3 , [3 [3] ] + , (333)
Dubbel
plattsättning		 Hexagonal mosaik
Egenskaper Vertex-transitive ,
edge-transitive ,
face-transitive

Triangulär parkett ( triangulär parkett [1] ) eller triangulär mosaik är en plattsättning av ett plan med lika regelbundna trianglar placerade sida vid sida.

En triangulär plattsättning är den dubbla av en hexagonal plattsättning - om du kopplar samman mittpunkterna för intilliggande trianglar, då kommer segmenten som ritas att ge en sexkantig plattsättning [1] [2] . Schläfli-symbolen för en triangulär parkett är {3,6}, vilket betyder att 6 trianglar konvergerar vid varje vertex av parketten.

Den inre vinkeln i en vanlig triangel är 60 grader, så sex trianglar vid en vertex summerar till 360 grader. Detta är en av de tre vanliga plana plattorna . De andra två mosaikerna är sexkantig parkett och fyrkantig parkett .

Den engelske matematikern Conway kallade tiling deltille (delta tiling) eftersom den har formen av den grekiska bokstaven delta (Δ). En triangulär plattsättning kan också kallas en kis-hexagonal plattsättning genom att tillämpa kis operation , som lägger till en central vertex och trianglar, vilket bryter upp ytorna på den sexkantiga plattsättningen .

Enhetliga färger

Det finns 9 olika enhetliga färger av den triangulära plattsättningen (enligt färgerna på 6 trianglar runt vertexen - 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 42111, 3, 1). Tre av dem kan erhållas från sina andra genom att byta färg - 111212 och 111112 från 121213 genom att kombinera 1 och 3, medan 111213 erhålls från 121314 [3] .

Det finns en klass av arkimedisk färgning , 111112, (markerad med *), där färgen inte är 1-homogen och innehåller alternerande rader av trianglar, där var tredje är färgad. Den givna färgningen är 2-homogen, och det finns oändligt många sådana färger, eftersom sådana färger bestäms av godtyckliga radskiftningar.

111111 121212 111222 112122 111112 (*)
p6m (*632) p3m1 (*333) cmm (2*22) p2 (2222) p2 (2222)
121213 111212 111112 121314 111213
p31m (3*3) p3 (333)

Gitter A2 och packning av cirklar

Placeringen av hörnen av den triangulära plattsättningen kallas gitter A 2 [4] . Det är en 2-dimensionell version av den symplectic honeycomb .

Rutnät A*
2(som också kallas A3
2) kan konstrueras som föreningen av tre gitter A 2 och är ekvivalent med gittret A 2 .

CDel nod 1.pngCDelsplit1.pngCDel-branch.png+CDel node.pngCDelsplit1.pngCDel gren 10lu.png+CDel node.pngCDelsplit1.pngCDel gren 01ld.png= dubbla avCDel nod 1.pngCDelsplit1.pngCDel branch 11.png=CDel nod 1.pngCDelsplit1.pngCDel-branch.png

Topparna av den triangulära mosaiken är centrum för den tätaste packningen av cirklar [5] . Vilken cirkel som helst berör 6 andra cirklar ( kontaktnummer ). Packningsdensiteten är , vilket är cirka 90,69 %. Eftersom föreningen av de tre gitter A 2 återigen är gitter A 2 , kan cirklarna färgas med tre färger.

Cellen i Voronoi-diagrammet av en triangulär plattsättning är en hexagon , så Voronoi-plattan , en hexagonal plattsättning, är direkt relaterad till packningen av cirklar.

Rutnät A 2 paket cirklar Rutnät A*
2cirkel packning

Geometriska varianter

Triangulära plattsättningar kan vara identiska med den {3,6} vanliga plattsättningstopologin (6 trianglar vid varje vertex). Det finns 5 vertextransitiva varianter med samma ytor ( face-transitive ). Ur symmetrisynpunkt har alla ansikten samma färg, medan färgningen i figurerna representerar positionen i rutnätet [6] .

Relaterade polyedrar och plattsättningar

Plana plattsättningar är relaterade till polyedrar . Genom att placera färre trianglar vid varje vertex får vi ett tomt utrymme, vilket gör att vi kan böja oss till en pyramidform . Regelbundna polyedrar kan erhållas från detta : fem, fyra och tre trianglar vid en vertex ger en icosahedron , en oktaeder och en tetraeder , respektive.

Denna plattsättning är topologiskt relaterad (som en del av en sekvens) till vanliga polytoper med Schläfli-symboler {3,n}.

* n 32 vanliga plattsättningssymmetrier: 3 n eller {3, n }
sfärisk euklidisk Kompakt hyperbel. Para
-kompakt 		Icke-kompakt hyperbolisk
3.3 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3∞ _ 3 12i 39i _ 36i _ 3 3i

Denna plattsättning är topologiskt relaterad (som en del av en sekvens) till halvregelbundna polytoper med ansiktskonfiguration Vn.6.6.


V3.6.6
V4.6.6
V5.6.6
V6.6.6
V7.6.6

Wythoffs konstruktion av hexagonala och triangulära plattor

Liksom enhetliga polyedrar finns det åtta enhetliga plattsättningar baserade på vanliga hexagonala plattsättningar (eller dubbla triangulära plattsättningar).

Om du ritar de ursprungliga ytterplattorna i rött, de ursprungliga hörnen (de resulterande polygonerna) i gult och de ursprungliga kanterna (de resulterande polygonerna) i blått, finns det 8 former, varav 7 är topologiskt distinkta. ( Den stympade triangulära plattsättningen är topologiskt identisk med den hexagonala plattsättningen.)

Relaterade regelbundna komplexa oändligheter

Det finns 4 regelbundna komplexa apeirogoner som har samma sexkantiga kakelhörn. Kanterna på vanliga komplexa apeirogoner kan innehålla 2 eller fler hörn. Regelbundna apeirogoner p { q } r har begränsningen: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Kanterna har p -hörn och vertexfigurerna är r -goner [7] .

Den första apeirogonen består av 2-kanter, de nästa två har triangulära kanter, den sista har överlappande sexkantiga kanter.

2{6}6 ellerCDel nod 1.pngCDel 6.pngCDel6node.png 3{4}6 ellerCDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel6node.png 3{6}3 ellerCDel 3node 1.pngCDel 6.pngCDel3node.png 6{3}6 ellerCDel 6node 1.pngCDel 3.pngCDel6node.png

Andra triangulära plattsättningar

Det finns också tre Laves-plattor som består av trianglar av samma typ:


Delad rombisk
30°-60°-90° rätvinkliga trianglar
Delad kvadrat
45°-45°-90° räta trianglar
triangulär triangulär plattsättning
30°-30°-120° likbenta trianglar

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 Golomb, 1975 , sid. 147.
  2. ↑ Weisstein, Eric W. Dual Tessellation  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
  3. ↑ Grünbaum och Shephard 1987 , sid. 102-107.
  4. ↑ Gallret A2 . Hämtad 26 mars 2017. Arkiverad från originalet 25 februari 2021.
  5. ↑ Critchlow, 1987 , sid. 74–75, mönster 1.
  6. ↑ Grünbaum och Shephard 1987 , sid. 473-481.
  7. ↑ Coxeter, 1991 , sid. 111-112, 136.

Litteratur

Länkar

 Grundläggande konvexa regelbundna och enhetliga bikakor i utrymmen med dimensionerna 2–10
Familj / /
Homogen mosaik {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hexagonal
Homogena konvexa bikakor {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4
enhetlig femdimensionell bikaka {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Bikaka med 24 celler
enhetlig sexdimensionell bikaka {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6
enhetlig sjudimensionell bikaka {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _
enhetlig åttadimensionell bikaka {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31
enhetlig niodimensionell bikaka {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21
Enhetliga n - dimensionella bikakor {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21
 geometriska mosaiker
Periodisk
Aperiodisk
Övrig
Genom vertexkonfiguration
_
Sfärisk
korrekt
halvkorrekt
_
Hyperbolisk
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3.8) 2
  • 3.14 2
  • 3,16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4.8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4,14 2
  • 4,16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5,8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6.8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6,16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7,6 2
  • 7,8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8,6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2