Sexkantig parkett

Hexagonal mosaik
Sorts	Korrekt mosaik
Vertex figur	6.6.6 (6 3 )
Schläfli symbol	{6,3} t{3,6}
Wythoff symbol	3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
Coxeter diagram
Symmetrigrupp	p6m , [6,3], (*632)
Rotationssymmetri	p6 , [6,3] + , (632)
Dubbel plattsättning	trekantig mosaik
Egenskaper	Vertex-transitive , edge-transitive , face-transitive

Hexagonal parkett ( hexagonal parkett [1] ) eller hexagonal mosaik är en plattsättning av ett plan med lika regelbundna hexagoner placerade sida till sida.

Den hexagonala plattsättningen är den dubbla av den triangulära plattsättningen - om du kopplar samman mitten av intilliggande sexkanter, då kommer segmenten som ritas att bilda en triangulär plattsättning [1] [2] . Schläfli-symbolen för en hexagonal parkett är {6,3} (vilket betyder att tre hexagoner konvergerar vid varje vertex av parketten), eller t {3,6} om plattsättningen anses vara en stympad triangulär plattsättning.

Den engelske matematikern Conway kallade plattsättningen hextille (sex-parkett).

Den inre vinkeln för en hexagon är 120 grader, så tre hexagoner på samma vertex summerar till 360 grader. Detta är en av de tre vanliga plana plattorna . De andra två mosaikerna är trekantig parkett och fyrkantig parkett .

Applikationer

Plattläggningen av planet med vanliga hexagoner är grunden för hexagonalt schack och andra spel på ett rutigt fält , polyhexes , varianter av Life-modellen och andra tvådimensionella cellulära automater , ringflexagoner , etc.

Hexagonal plattsättning är det tätaste sättet att packa cirklar i 2D-rymden. Bikakeförmodan att en hexagonal plattsättning är det bästa sättet att dela upp en yta i områden med lika stor yta med den minsta totala omkretsen. Den optimala tredimensionella strukturen för bikakor (snarare såpbubblor) utforskades av Lord Kelvin , som trodde att Kelvin-strukturen (eller kroppscentrerat kubiskt gitter) var optimal. Den mindre regelbundna Waeaire–Phelan strukturen är dock något bättre.

Denna struktur finns i naturen i form av grafit , där varje lager av grafen liknar ett trådnät, där trådens roll spelas av starka kovalenta bindningar. Rörformade ark av grafen har syntetiserats och är kända som kolnanorör . De har många potentiella tillämpningar på grund av deras höga draghållfasthet och elektriska egenskaper. Silicen liknar grafen .

• Den tätaste packningen av cirklar har en struktur som liknar en hexagonal plattsättning

• Kycklingnät

• Grafen

• Kolnanorör kan ses som en hexagonal mosaik på en cylindrisk yta

Den sexkantiga mosaiken förekommer i många kristaller. I 3D-rymden finns ofta en ansiktscentrerad kubisk struktur och en hexagonal tätpackad struktur i kristaller. De är de tätaste sfärerna i 3D-rymden. Strukturellt består de av parallella lager av en hexagonal mosaik som liknar strukturen hos grafit. De skiljer sig i typen av nivåförskjutning i förhållande till varandra, medan den ansiktscentrerade kubiska strukturen är mer korrekt. Ren koppar , bland andra material, bildar ett ansiktscentrerat kubiskt gitter.

Enhetliga färger

Det finns tre olika enhetliga färger av den hexagonala plattsättningen, alla erhållna från spegelsymmetrin i Wythoffs konstruktioner . Posten ( h , k ) representerar en periodisk upprepning av en färgad bricka med hexagonala avstånd h och k .

k-homogena	1- homogen			2- homogen		3- homogen
Symmetri	p6m, (*632)		p3m1, (*333)	p6m, (*632)		p6, (632)
Bild
Färger	ett	2	3	2	fyra	2	7
(h,k)	(1,0)	(1.1)		(2.0)		(2.1)
Schläfli	{6,3}	t{3,6}	t{3 [3] }
Wiethoff	3 | 6 2	2 6 | 3	3 3 3 |
coxeter
Conway	H	tA		CH

En 3-färgad plattsättning bildas av en permutationspolyeder av ordning 3.

Fasad sexkantig kakel

Avfasning av en hexagonal plattsättning ersätter kanterna med nya sexkanter och konverterar till en annan sexkantig plattsättning. I gränsen försvinner de ursprungliga ansiktena och de nya hexagonerna omvandlas till romber, vilket gör plattan till en rombisk .

Hexagoner (H)	Fasade hexagoner (CH)			Rhombi (daH)

Relaterade mosaiker

Hexagoner kan delas in i 6 trianglar. Detta resulterar i två 2-enhetliga plattsättningar och en triangulär plattsättning :

Korrekt mosaik	splittring	2-homogena plattsättningar		Korrekt mosaik
Första		brutna 1/3 hexagoner	trasiga 2/3 hexagoner	full partition

En hexagonal kakel kan ses som en långsträckt rombisk plattsättning , där varje vertex av den rombiska plattsättningen "sträcks ut" för att bilda en ny kant. Detta liknar kopplingen av tessellationer av en rombisk dodekaeder och en rombisk sexkantig dodekaeder i tredimensionellt rum.

Rombisk mosaik

Hexagonal mosaik

Rutnät som visar en sådan anslutning

Man kan också dela upp prototilerna för vissa sexkantiga plattor i två, tre, fyra eller nio identiska femhörningar:

Typ 1 pentagonal plattsättning med överlappande regelbundna hexagoner (varje hexagon består av 2 pentagoner).

Typ 3 femkantiga plattor med överlappande regelbundna sexkanter (varje sexkant består av 3 femhörningar).

Typ 4 pentagonal plattsättning med överlappande halvregelbundna hexagoner (varje hexagon består av 4 pentagoner).

Typ 3 femkantiga plattor med överlappande regelbundna sexkanter i två storlekar (hexagoner består av 3 och 9 femhörningar).

Symmetrialternativ

Denna plattsättning är topologiskt relaterad till en sekvens av regelbundna plattsättningar med hexagonala ytor som börjar med en hexagonal plattsättning. Mosaiker av en oändlig sekvens har Schläfli-symbolen {6,n} och Coxeter-diagrammet .

Familj av homogena antiprismor n .3.3.3

* n 62 symmetrialternativ för vanliga plattsättningar: {6, n }
Sfärisk	euklidisk	Hyperboliska plattor
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

Den hexagonala plattsättningen är topologiskt relaterad (som en del av en sekvens) till vanliga polyedrar med vertexfigur n 3 .

* n 32 symmetrialternativ för vanliga plattsättningar: n 3 eller { n ,3}

Sfärisk				euklidisk	Kompakt hyperbolisk.		Paracompact .	Icke-kompakt hyperbolisk.
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

På liknande sätt är plattsättningen relaterad till enhetliga stympad polyedrar med vertexfigur n .6.6.

* n 32 trunkerade plattsättningssymmetrimutationer: n .6.6
Symmetri * n 32 [n,3]	sfärisk		euklidisk	Kompakt hyperbolisk				Paracompact.	Icke-kompakt hyperbolisk
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Stympade figurer
Konf.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis figurer
Konf.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Kakelsättningen är också en del av trunkerade rombiska polyedrar och plattsättningar med Coxeter- gruppsymmetri [n,3]. Kuben kan ses som en rombisk hexaeder där alla romber är kvadrater. Trunkerade former har regelbundna n-goner i stället för de trunkerade hörnen och oregelbundna hexagonala ytor.

Symmetrier för dubbla dubbla kvasiregelbundna plattsättningar: V(3.n) 2

	Sfärisk			euklidisk	Hyperbolisk
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Mosaik
Konf.	V(3.3) 2	V(3.4) 2	V(3,5) 2	V(3.6) 2	V(3,7) 2	V(3,8) 2	V(3.∞) 2

Wythoffs konstruktion av hexagonala och triangulära plattor

Liksom enhetliga polyedrar finns det åtta enhetliga plattsättningar baserade på regelbundna hexagonala plattsättningar (eller dubbla triangulära plattsättningar ).

Om vi ​​färgar brickorna på originalytorna röda, de ursprungliga hörnen (de resulterande polygonerna) gula och de ursprungliga kanterna (de resulterande polygonerna) blå, finns det 8 former, varav 7 är topologiskt distinkta. ( Den stympade triangulära plattsättningen är topologiskt identisk med den hexagonala plattsättningen.)

Homogena hexagonala/triangulära plattor
Grundläggande domäner	Symmetri : [6,3], (*632)							[6,3] + , (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}
Konfig.	6 3	3.12.12	(6.3) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Monoedriska konvexa hexagonala plattor

Det finns 3 typer av monohedriska [3] konvexa hexagonala plattor [4] . De är alla isoedriska . Var och en har parametriska varianter med fast symmetri. Typ 2 innehåller glidsymmetrier och håller kirala par distinkta.

3 typer av monoedriska konvexa hexagonala plattor

ett	2		3
s2, 2222	pgg, 22×	s2, 2222	sid 3,333
b=e B+C+D=360°	b=e, d=f B+C+E=360°		a=f, b=c, d=e B=D=F=120°
rutnät av två brickor	rutnät av fyra brickor		rutnät med tre brickor

Topologiskt ekvivalenta plattsättningar

Hexagonala plattsättningar kan vara identiska med den {6,3} vanliga plattsättningstopologin (3 hexagoner vid varje vertex). Det finns 13 varianter av den sexkantiga plattsättningen med isoedriska ytor. Ur symmetrisynpunkt har alla ansikten samma färg, medan färgningen i figurerna representerar positionen i rutnätet [5] . Enfärgade (1-kaklade) rutnät består av hexagonala parallellogoner .

13 hexagonala isoedriska plattor

sid (××)		p2 (2222)	p3 (333)	pmg (22*)
pgg (22x)			p31m (3*3)	p2 (2222)	cmm (2*22)	p6m (*632)

Andra topologiskt isoedriska hexagonala plattsättningar visas som fyrkantiga och femkantiga, inte sida till sida vidrörande, men vars polygoner kan tänkas ha kolinjära intilliggande sidor:

Isohedriskt kaklade fyrhörningar

pmg (22*)		pgg (22x)			cmm (2*22)	p2 (2222)
Parallellogram	Trapets	Parallellogram	Rektangel	Parallellogram	Rektangel	Rektangel

Isohedriskt kaklade femhörningar

p2 (2222)	pgg (22x)	p3 (333)

De 2-likformiga och 3-likformiga tessellerna har en rotationsgrad av frihet som förvränger 2/3 av hexagonerna, inklusive fallet med kolinjära sidor, vilket kan ses som plattsättningar av hexagoner och stora trianglar med sidor som inte matchar varandra (inte från sida till -sida) [6] .

Mosaiken kan vridas till kirala 4-färgade sammanflätade mönster i tre riktningar, med några av hexagonerna förvandlas till parallellogram . Sammanflätade mönster med 2 färgade ytor har 632 (p6) rotationssymmetri .

Korrekt	roterades	Korrekt	bunden
p6m, (*632)	p6, (632)	p6m (*632)	p6 (632)
p3m1, (*333)	p3, (333)	p6m (*632)	p2 (2222)

Packningscirklar

En hexagonal plattsättning kan användas för att packa cirklar genom att placera cirklar med samma radie centrerade i spetsarna på plattsättningen. Varje cirkel berör 3 andra cirklar i förpackningen ( kontaktnummer ) [7] . Cirklar kan målas i två färger. Utrymmet inom varje hexagon gör att en cirkel kan placeras, vilket skapar den mest tätt packade triangulära plattsättningen , där varje cirkel berör så många cirklar som möjligt (6).

Relaterade regelbundna komplexa oändligheter

Det finns 2 regelbundna komplexa apeirogoner som har samma sexkantiga platta hörn. Kanterna på vanliga komplexa apeirogoner kan innehålla 2 eller fler hörn. Regelbundna apeirogoner p { q } r har begränsningen: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Kanterna har p -hörn och vertexfigurerna är r - goner [8] .

Den första apeirogonen består av 2-kanter, tre runt varje vertex, den andra har hexagonala kanter, tre runt varje vertex. Den tredje komplexa apeirogonen, som har samma hörn, är kvasi-regelbunden och växlar mellan 2-kanter och 6-kanter.

2{12}3 eller	6{4}3 eller

Se även

• Hexagonalt galler
• Triangulär prismatisk bikaka
• Mosaiker av konvexa regelbundna polygoner på det euklidiska planet
• Lista över enhetliga plattsättningar
• Lista över vanliga flerdimensionella polyedrar och föreningar
• Sexkantiga mosaikbikakor

Anteckningar

1. ↑ 1 2 Golomb, 1975 , sid. 147.
2. ↑ Weisstein, Eric W. Dual Tessellation  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
3. ↑ En plattsättning kallas monohedral om den består av kongruenta plattor.
4. ↑ Grünbaum och Shephard 1987 , sid. Sec. 9.3 Andra monoedriska plattsättningar av konvexa polygoner.
5. ↑ Grünbaum och Shephard 1987 , sid. 473–481, förteckning över 107 isoedriska plattsättningar.
6. ↑ Grünbaum och Shephard 1987 , sid. enhetliga plattsättningar som inte är kant i kant.
7. ↑ Critchlow, 1987 , sid. 74–75, mönster 2.
8. ↑ Coxeter, 1991 , sid. 111-112, 136.

Litteratur

• S.V. Golomb. Polyomino \ u003d Polyominoes / Per. från engelska. V. Firsova. Förord och ed. I. Yagloma. - M . : Mir, 1975. - S. 147. - 207 sid.
• HSM Coxeter . Vanliga komplexa polytoper. — 2ed. - New York, Port Chester, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. - ISBN 0-521-39490-2 .
• HSM Coxeter . Tabell II: Vanliga bikakor //Vanliga polytoper . — 3:a. - Dover, 1973. - S.  296 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• B. Grünbaum , G.C. Shephard. Kakel och mönster . - New York: W. H. Freeman & Co., 1987. - S.  58-65 . - ISBN 0-7167-1193-1 .
• R. Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . - New York: Dover Publications , 1979. - S.  35 . — ISBN 0-486-23729-X .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Sakernas symmetrier . - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Arkiverad19 september 2010 påWayback Machine
• Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. - New York: Thames & Hudson, 1987. - ISBN 0-500-34033-1 .

Länkar

• Weisstein, Eric W. Hexagonal Grid  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
  • Weisstein , Eric W. Regelbunden tessellation  vid Wolfram MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. Uniform tessellation  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
• Klitzing, Richard. 2D euklidiska plattsättningar o3o6x-hexat-O3
• Amit Patel. Rutnätsmatematik: Fyrkant, Hexagon, Triangel . — Algoritmer för att representera hexagonala och triangulära rutnät i datorstrategispel. (obestämd)

Grundläggande konvexa regelbundna och enhetliga bikakor i utrymmen med dimensionerna 2–10

Familj / / Homogen mosaik {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hexagonal Homogena konvexa bikakor {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 enhetlig femdimensionell bikaka {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Bikaka med 24 celler enhetlig sexdimensionell bikaka {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 enhetlig sjudimensionell bikaka {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ enhetlig åttadimensionell bikaka {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 enhetlig niodimensionell bikaka {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Enhetliga n - dimensionella bikakor {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21

geometriska mosaiker
Periodisk	Pythagoras Rombisk Schwartz triangel Rektangulär Domino Femsidig Homogen mosaik Honeycombs Färgläggning Konvex Delad mosaik Platt kristallografisk grupp Wythoff konstruktion
Aperiodisk	Ammann-Binker Aperiodisk uppsättning mosaikplattor Lista En brickutmaning Sokolara — Taylor Gilbert Penrose pinwheel Kupolformad Delande och självklistrade set Sfinx Truche
Övrig	Non- isohedral och isohedral Arkitektonisk och reflekterande Circle Limit III Datorgrafik honungskakor Kant transitiv Paket Uppgifter Skåpbil heesh kvadrera Mosaikplattor Conways kriterium Girih Regelbunden uppdelning av planet Vanligt galler Byten Voronoi diagram Foderberg
Genom vertexkonfiguration _	Sfärisk 2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _ korrekt 2∞ _ 3 6 4 4 6 3 halvkorrekt _ 3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4,8 2 Hyperbolisk _ 3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3,16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4,14 2 4,16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5,8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6,16 2 7 3 74 _ 7 7 7,6 2 7,8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8,6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2