Fokker-Plancks ekvation

Fokker-Planck-ekvationen är en av de partiella differentialekvationerna som beskriver tidsutvecklingen av sannolikhetstäthetsfunktionen för partiklarnas koordinater och rörelsemängd i processer där fenomenets stokastiska natur är viktig . Uppkallad efter de holländska och tyska fysikerna Adrian Fokker och Max Planck , även känd som Kolmogorovs direkta ekvation . Kan generaliseras till andra mätbara parametrar: storlek (i koalescensteorin ), massa, etc.

Definition

För första gången användes ekvationen för att statistiskt beskriva den Brownska rörelsen av partiklar i vatten. Även om Brownsk rörelse beskrivs av Langevin-ekvationerna , som kan lösas numeriskt med Monte Carlo eller molekylära dynamikmetoder , är problemet i denna formulering ofta svårt att lösa analytiskt. Och istället för komplexa numeriska scheman kan man introducera en sannolikhetstäthetsfunktion , som beskriver sannolikheten för att en partikel har en hastighet i intervallet , om den vid tiden 0 hade en initial hastighet , och skriva ner den för Fokker-Plancks ekvation . $W({\mathbf {v)),\;t)$ $({\mathbf {v)),\;{\mathbf {v}}+d{\mathbf {v}})$ ${\mathbf {v}}_{0}$ $W({\mathbf {v)),\;t)$

Den allmänna formen av Fokker-Planck-ekvationen för variabler: $N$

{\frac {\partial W}{\partial t}}=\left[-\summa _{{i=1}}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}D_ {i}^{1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{N})+\summa _{{i=1}}^{N}\summa _{{j=1}} ^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}D_{{ij}}^{2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{N})\right]W,

var är driftvektorn och är diffusionstensorn , och diffusion orsakas av inverkan av krafter av stokastisk natur. $D^{1}$ $D^{2}$

Koppling med stokastiska differentialekvationer

Fokker-Planck-ekvationen kan användas för att beräkna sannolikhetstätheten i stokastiska differentialekvationer . Betrakta följande stokastiska differentialekvation

d{\mathbf {X}}_{t}={\boldsymbol {\mu }}({\mathbf {X}}_{t},\;t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}( {\mathbf {X}}_{t},\;t)\,d{\mathbf {B}}_{t},

var är systemets tillståndsfunktion, och är den standarddimensionella Brownska rörelsen . Om den initiala fördelningen ges som , är sannolikhetstätheten för systemets tillstånd lösningen av Fokker-Plancks ekvation med följande uttryck för drift respektive diffusion : ${\mathbf {X}}_{t}\in \mathbb{R} ^{N}$ ${\mathbf {B}}_{t}\in \mathbb{R} ^{M}$ $N$ ${\mathbf {X}}_{0}\sim W({\mathbf {x}}),\;0)$ $W({\mathbf {x)),\;t)$ ${\mathbf {X}}_{t}$

D_{i}^{1}({\mathbf {x)),\;t)=\mu _{i}({\mathbf {x)),\;t),

D_{{ij}}^{2}({\mathbf {x}},\;t)={\frac {1}{2}}\summa _{k}\sigma _{{ik}}({ \mathbf {x}},\;t)\sigma _{{jk}}({\mathbf {x}}),\;t).

Exempel

Den standardskalära Brownska rörelseekvationen genereras av följande stokastiska differentialekvation:

{\mathrm {d}}X_{t}={\mathrm {d}}B_{t}.\

Här är drifthastigheten noll och diffusionskoefficienten är 1/2, därför ser motsvarande Fokker-Planck-ekvation ut så här:

{\frac {\partial W(x,\;t)}{\partial t))={\frac {1}{2)){\frac {\partial ^{2}W(x,\;t) }{\partial x^{2}}},

det är den enklaste formen av den endimensionella diffusionsekvationen ( värmeöverföring ).

Fokker-Plancks ekvation i det endimensionella fallet

I det endimensionella fallet tar FPP formen:

{\frac {\partial f}{\partial t))=-{\frac {\partial }{\partial x))(A(x,\;t)f(x,\;t)) +{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {B(x,\;t)}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x ,\;t)\right).

FFP är giltigt för den villkorade sannolikhetstätheten:

f(x,\;t)=p(x,\;t|x_{0},\;t_{0}),

(det vill säga, värdet av funktionen kommer sannolikt att falla in i planet som bildas av rymdaxeln och tidsaxeln , i intervallen respektive ) för vilket initialvärde som helst och och initialtillståndet , där är Dirac-funktionen.

f(x,\;t)

x\

t\

x-x_{0}\

t-t_{0}\

x_{0}\

t_{0}\

p(x,\;t_{0}|x_{0},\;t_{0})=\delta (x-x_{0})

\delta (x-x_{0})\

Detta tillstånd säger att funktionen samtidigt genomgår ett hopp. Om de rumsliga koordinaterna är lika, tenderar funktionen till oändlighet. På grund av funktionens avgränsning är det därför nödvändigt att använda definitionen av en engångssannolikhetstäthet. Sedan är FPP giltig för en sannolikhet med ett initialvillkor , som är mindre singular än . En stokastisk process som beskrivs av en villkorad sannolikhet som uppfyller FPP är likvärdig med Ito SDE $t_{0}\$ $p(x,\;t)=\int p(x,\;t;\;x_{0},\;t_{0})\,dx_{0}=\int p(x,\;t| x_{0},\;t_{0})p(x_{0},t_{0})\,dx_{0}.$ $p(x,\;t)$ $p(x,\;t)|_{{t=t_{0}}}=p(x,\;t_{0})$ $p(x,\;t_{0}|x_{0},\;t_{0})=\delta (x-x_{0})$

dx(t)=A(x(t),\;t)\,dt+{\sqrt {B(x(t),\;t)}}\,dW(t)

och att de två beskrivningarna måste ses som komplementära till varandra.

Slutsats

Den första konsekventa härledningen av Fokker-Planck-ekvationen på grundval av exakt mikroskopisk dynamik för klassiska system och kvantsystem utfördes [1] av N. N. Bogolyubov och N. M. Krylov [2] (omtryckt i [3] ).

Se även

Anteckningar

↑ Bogolyubov N. N. (Jr.) , Sankovich D. P. (1993). Nikolai Nikolaevich Bogolyubov. Översikt över vetenskaplig verksamhet Arkivexemplar av 4 mars 2016 på Wayback Machine // Fysik av elementära partiklar och atomkärnan 24 (5): 1224-1293.
↑ Bogolyubov N. N. , Krylov N. M. (1939). På Fokker-Plancks ekvationer, som härleds i störningsteori med en metod baserad på de spektrala egenskaperna hos den störda Hamiltonian // Anteckningar från Institutionen för matematisk fysik vid Institutet för icke-linjär mekanik vid Vetenskapsakademin i den ukrainska SSR. 4 : 5-80 (ukrainska) .
↑ Bogolyubov N. N. Samling av vetenskapliga verk i 12 volymer. - Volym 5: Non-equilibrium statistic mechanics, 1939-1980. — M.: Nauka, 2006. — ISBN 5-02-034142-8 .

Litteratur

Risken H. Fokker - Planck ekvation: metoder för lösningar och tillämpningar. — 2:a uppl. - Springer, 1984. - 452 sid. — ISBN 3-540-61530-X .
Lifshits E. M., Pitaevsky L. P. Fysisk kinetik. — M .: Nauka , 1979 . — 528 sid. — (“Teoretisk fysik”, volym X). — 50 000 exemplar.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor ryss

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen