Särskild relativitetsteori

Special relativitetsteori ( SRT ; även privat relativitetsteori ) är en teori som beskriver rörelse , mekanikens lagar och rum- tidsrelationer vid godtyckliga rörelsehastigheter som är mindre än ljusets hastighet i vakuum, inklusive de som är nära ljusets hastighet ( inom ramen för den speciella relativitetsteorin, klassisk mekanik Newton är låghastighetsapproximationen). Faktum är att SRT beskriver geometrin för ett fyrdimensionellt rum-tid och är baserat på ett platt (det vill säga icke- krökt ) Minkowski-rum . Generaliseringen av SRT för starka gravitationsfält kallas allmän relativitet .

Huvudskillnaden mellan SRT och klassisk mekanik är beroendet av (observerbara) rumsliga och tidsmässiga egenskaper på hastighet. Avvikelserna i fysikaliska processers förlopp från den klassiska mekanikens förutsägelser som beskrivs av den speciella relativitetsteorin kallas relativistiska effekter , och de hastigheter med vilka sådana effekter blir signifikanta kallas relativistiska hastigheter .

Den centrala platsen i den speciella relativitetsteorin upptas av Lorentz-transformationer , som gör det möjligt att transformera rum-tidskoordinater för händelser under övergången från en tröghetsreferensram till en annan, när en av dem rör sig i förhållande till den andra med en viss hastighet .

Den speciella relativitetsteorin skapades av Albert Einstein i hans verk från 1905 On the Electrodynamics of Moving Bodies. Den matematiska apparaten för att transformera koordinater och tid mellan olika referensramar (för att bevara ekvationerna för det elektromagnetiska fältet ) har tidigare formulerats av den franske matematikern A. Poincaré (som föreslog att kalla dem "Lorentz-transformationer": Lorentz själv hade tidigare härledde endast ungefärliga formler [K. 1] ). A. Poincaré var också den första som visade att dessa transformationer kan representeras geometriskt som rotationer i fyrdimensionell rumtid (före G. Minkowski ), och visade att Lorentz-transformationer bildar en grupp (se mer om rollen av A. Poincaré i att skapa relativitetsteorin ).

Direkt termen "relativitetsteorin" föreslogs av M. Planck . Senare, efter utvecklingen av gravitationsteorin av A. Einstein - den allmänna relativitetsteorin - började termen "speciell" eller "privat" relativitetsteorin (från den. Spezielle Relativitätstheorie ) tillämpas på den ursprungliga teorin.

Etablering av en bensinstation

En förutsättning för skapandet av relativitetsteorin var utvecklingen av elektrodynamiken på 1800-talet [1] . Resultatet av generalisering och teoretisk förståelse av experimentella fakta och regelbundenheter inom områdena elektricitet och magnetism var Maxwells ekvationer som beskrev egenskaperna hos det elektromagnetiska fältet och dess interaktion med laddningar och strömmar . I Maxwells elektrodynamik beror utbredningshastigheten för elektromagnetiska vågor i vakuum inte på rörelsehastigheterna för både källan till dessa vågor och observatören, och är lika med ljusets hastighet . Således visade sig Maxwells ekvationer vara icke-invarianta under galileiska transformationer , vilket stred mot klassisk mekanik.

Den speciella relativitetsteorin utvecklades i början av 1900-talet genom ansträngningar av G. A. Lorentz , A. Poincaré , A. Einstein och andra vetenskapsmän [2] (se Relativitetsteorin historia ). Michelsons experiment fungerade som en experimentell grund för skapandet av SRT . Resultaten var oväntade för den tidens klassiska fysik: ljusets hastighet är oberoende av riktning ( isotropi ) och jordens omloppsrörelse runt solen. Ett försök att tolka de erhållna uppgifterna resulterade i en revidering av klassiska begrepp och ledde till skapandet av den speciella relativitetsteorin.

När man rör sig i hastigheter som alltmer närmar sig ljusets hastighet, blir avvikelsen från den klassiska dynamikens lagar mer och mer betydande. Newtons andra lag , som relaterar kraft och acceleration , måste modifieras i enlighet med principerna för SRT. Dessutom beror kroppens momentum och kinetiska energi mer på hastigheten än i det icke-relativistiska fallet.

Den speciella relativitetsteorin har fått många experimentella bekräftelser och är en sann teori inom sitt tillämplighetsområde [3] (se Experimental Foundations of Special Relativity ). Enligt L. Pages träffande anmärkning, "i vår tid av elektricitet förkunnar det roterande ankaret hos varje generator och varje elektrisk motor outtröttligt giltigheten av relativitetsteorin - du behöver bara kunna lyssna" [4] .

Grundläggande begrepp och postulat för SRT

Den speciella relativitetsteorin, som vilken annan fysikalisk teori som helst , kan formuleras utifrån de grundläggande begreppen och postulaten (axiom) och reglerna för överensstämmelse med dess fysiska objekt.

Grundläggande begrepp

Referenssystemet är en viss materialkropp vald som början på detta system, en metod för att bestämma objekts position i förhållande till referenssystemets ursprung och en metod för att mäta tid. Vanligtvis görs skillnad på referenssystem och koordinatsystem . Att lägga till en procedur för att mäta tid till ett koordinatsystem "förvandlar" det till ett referenssystem.

En tröghetsreferensram (ISR) är ett sådant system, i förhållande till vilket ett objekt, som inte är föremål för yttre påverkan, rör sig enhetligt och rätlinjigt. Det antas att IFR existerar, och varje referensram som rör sig enhetligt och rätlinjigt relativt en given tröghetsram är också en IFR.

En händelse är vilken fysisk process som helst som kan lokaliseras i rymden och har en mycket kort varaktighet. Händelsen karakteriseras med andra ord helt av koordinater (x, y, z) och tid t. Exempel på händelser är: en ljusblixt , positionen för en materialpunkt vid en given tidpunkt, etc.

Två tröghetsramar S och S' övervägs vanligtvis. Tiden och koordinaterna för någon händelse, mätt i S-ramen, betecknas som (t, x, y, z), och koordinaterna och tiden för samma händelse, mätt i S'-ramen, som (t', x ', y', z'). Det är lämpligt att anta att systemens koordinataxlar är parallella med varandra, och att systemet S' rör sig längs systemets S x-axel med hastigheten v. En av uppgifterna för SRT är att söka efter relationer som förbinder (t', x', y', z') och (t, x, y, z), som kallas Lorentz-transformationer .

Tidssynkronisering

SRT postulerar möjligheten att bestämma en enstaka tid inom en given tröghetsreferensram genom proceduren för synkronisering av två klockor belägna vid godtyckliga punkter i ISO [5] .

Låt en signal (inte nödvändigtvis ljus) skickas från den första klockan till den andra klockan med konstant hastighet . Omedelbart efter att den andra klockan når, skickas signalen tillbaka med samma konstanta takt och når den första klockan vid tidpunkten . Klockan anses synkroniserad om förhållandet är uppfyllt , var är indikationen för den andra klockan i det ögonblick som signalen från den första klockan kommer fram till den. $t_{1}$ $u$ $u$ $t_{2}$ $T=(t_{1}+t_{2})/2$ $T$

Det antas att en sådan procedur i en given tröghetsreferensram kan utföras för vilka två klockor som helst, så transitivitetsegenskapen är sann : om klockorna A är synkroniserade med klockorna B och klockorna B är synkroniserade med klockorna C , så är klockorna A och C kommer också att synkroniseras.

Till skillnad från klassisk mekanik kan en enda tid bara introduceras inom en given referensram. SRT förutsätter inte att tiden är gemensam för olika system. Detta är huvudskillnaden mellan SRT axiomatik och klassisk mekanik, som postulerar existensen av en enda (absolut) tid för alla referensramar.

Koordinering av måttenheter

För att mätningar gjorda i olika ISO ska kunna jämföras med varandra är det nödvändigt att koordinera måttenheterna mellan referenssystem. Således kan längdenheter komma överens om genom att jämföra längdstandarder i en riktning som är vinkelrät mot den relativa rörelsen av tröghetsreferensramar [6] . Det kan till exempel vara det kortaste avståndet mellan banorna för två partiklar som rör sig parallellt med x- och x'-axlarna och har olika men konstanta koordinater (y, z) och (y',z'). För att koordinera tidsenheterna kan du använda identiskt arrangerade klockor, till exempel atomic .

SRT postulerar

Först och främst, i SRT, som i klassisk mekanik, antas det att rum och tid är homogena , och rymden är också isotrop [7] . För att vara mer exakt (modernt tillvägagångssätt), är tröghetsreferensramar faktiskt definierade som sådana referensramar där rummet är homogent och isotropiskt, och tiden är homogen. I själva verket postuleras förekomsten av sådana referenssystem.

Postulat 1 ( Einsteins relativitetsprincip ). Naturlagarna är desamma i alla koordinatsystem som rör sig rätlinjigt och likformigt i förhållande till varandra [8] . Detta innebär att formen för fysiska lagars beroende av rum-tidskoordinater måste vara densamma i alla IRF, det vill säga lagarna är invarianta med avseende på övergångar mellan IFR. Relativitetsprincipen fastställer likheten för alla ISO:er.

Med tanke på Newtons andra lag (eller Euler-Lagrange-ekvationerna i Lagrange-mekaniken ) kan man hävda att om hastigheten för någon kropp i en given IFR är konstant (accelerationen är noll), så måste den vara konstant i alla andra IFR. Ibland tas detta som definitionen av tröghetsreferensramar.

Formellt utvidgar Einsteins relativitetsprincip den klassiska relativitetsprincipen (Galileo) från mekaniska till alla fysiska fenomen. Men om vi tar med i beräkningen att fysiken på Galileos tid bestod av egentlig mekanik, så skulle den klassiska principen också kunna anses sträcka sig till alla fysiska fenomen. I synnerhet bör det också gälla elektromagnetiska fenomen som beskrivs av Maxwells ekvationer, vilka härrör från empiriskt identifierade regelbundenheter. Men enligt den senare är ljusets utbredningshastighet en viss kvantitet som inte beror på källans hastighet (åtminstone i en referensram). Det följer av relativitetsprincipen att den inte bör bero på källans hastighet i alla IFR på grund av deras likhet. Det betyder att den måste vara konstant i alla ISO. Detta är kärnan i det andra postulatet:

Postulat 2 ( principen om konstant ljushastighet ). Ljushastigheten i vakuum är densamma i alla koordinatsystem som rör sig rätlinjigt och likformigt i förhållande till varandra [8] .

Principen om ljusets hastighets konstanthet motsäger klassisk mekanik, och specifikt lagen om tillägg av hastigheter . När man härleder det senare används endast principen om Galileos relativitet och det implicita antagandet om samma tid i alla IFR:er. Det följer alltså av det andra postulatets giltighet att tiden måste vara relativ – inte densamma i olika ISO. Det följer med nödvändighet att "avstånd" också måste vara relativa. Faktum är att om ljus färdas ett avstånd mellan två punkter under en viss tid, och i ett annat system - i en annan tid och dessutom med samma hastighet, så följer det att avståndet i detta system också måste vara annorlunda.

Det bör noteras att ljussignaler generellt sett inte krävs för att styrka SRT. Även om icke-invariansen av Maxwells ekvationer med avseende på galileiska transformationer ledde till konstruktionen av SRT, är den senare av mer allmän karaktär och är tillämplig på alla typer av interaktioner och fysiska processer. Den grundläggande konstanten som uppstår i Lorentz-transformationerna har betydelsen av den begränsande hastigheten för rörelsen av materiella kroppar. Numeriskt sammanfaller det med ljusets hastighet, men detta faktum, enligt modern kvantfältteori (vars ekvationer från början är konstruerade som relativistiskt invarianta), är associerat med masslösheten hos det elektromagnetiska fältet (fotonen). Även om fotonen hade en massa som inte var noll, skulle Lorentz-transformationerna inte förändras från detta. Därför är det vettigt att skilja mellan grundkonstanten - hastigheten och ljusets hastighet [9] . Den första konstanten återspeglar de allmänna egenskaperna hos rum och tid, medan den andra är relaterad till egenskaperna hos en viss interaktion . $c$ $c$ $c_{{em}}$

Postulatet om kausalitet används också: vilken händelse som helst kan bara påverka händelser som inträffar efter den, och kan inte påverka händelser som inträffade före den [10] [11] [12] . Det följer av postulatet om kausalitet och oberoende av ljusets hastighet från valet av referensram att hastigheten för någon signal inte kan överstiga ljusets hastighet [13] [14] [12] .

Alternativ axiomatik

Efter att Einstein byggde SRT på basis av ovanstående postulat försökte många forskare att överge det andra postulatet helt och hållet. 5 år efter den berömda artikeln av Einstein 1905, tack vare verk av Ignatovsky [15] , F. Frank och G. Rote [16] (se historisk uppsats ), blev en metod känd för att få en allmän form (upp till en obestämd konstant) av Lorentz-transformationerna utan att använda andra postulatet. Med det " rätta " tecknet för den obestämda parametern sammanfaller dessa transformationer med Lorentz-transformationerna. Detta innebär närvaron av en maximal hastighet som är densamma i alla ISO. Tecknet för denna konstant följer dock inte av de föreslagna axiomen. Det föreslås att man uppskattar parameterns värde experimentellt. För att mäta denna parameter, och därmed grundhastigheten , finns det inget behov av att utföra elektrodynamiska experiment. Det är till exempel möjligt att på basis av mätningar av hastigheten för samma objekt i olika ISO:er använda lagen om addition av hastigheter med en obestämd parameter [17] . Det bör dock noteras att den experimentella "beräkningen" av tecknet för en obestämd konstant faktiskt är ekvivalent med antagandet om närvaron av en maximal hastighet, det vill säga i huvudsak det andra postulatet. $c$

Ändå gjordes försök till axiomatisering, inklusive de utan det andra postulatet, senare av andra forskare. Det finns också axiom som inte använder sig av relativitetsprincipen – utan bara principen om ljushastighetens konstans. Mer detaljer om dem finns i artikeln av A. K. Guts [18] .

Lorentz-transformationer

Låt koordinataxlarna för två tröghetsreferensramar och vara parallella med varandra, vara tiden och koordinaterna för någon händelse som observeras i referensramen , och vara tiden och koordinaterna för samma händelse i ramen . $S$ $S'$ $(t,x,y,z)$ $S$ $(t',x',y',z')$ $S'$

Allmän bild av Lorentz-transformationerna i vektorform [19] när referenssystemens hastighet har en godtycklig riktning:

t'=\gamma \cdot \left(t-{\frac ({\mathbf {r}}{\mathbf {v}}}{c^{2}}}\right),~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~{\mathbf {r}}'={\mathbf {r}}-\gamma {\mathbf {v}}t+(\gamma -1)\,{\frac {({\mathbf {r}}{\mathbf {v}}){\mathbf {v}}}{v^{2}}}.

var är Lorentz-faktorn, och är radievektorerna för händelsen i systemet och . $\gamma =1/{\sqrt {1-{\mathbf {v}}^{2}/c^{2}}}$ $\mathbf {r}$ ${\mathbf {r))'$ $S$ $S'$

Om vi orienterar koordinataxlarna i riktningen för tröghetssystemens relativa rörelse (det vill säga substitut i de allmänna formlerna ) och väljer denna riktning som en axel (det vill säga så att systemet rör sig likformigt och rätlinjigt med en hastighet i förhållande till axeln ), kommer Lorentz-transformationerna att ta följande form: ${\mathbf {r}}{\mathbf {v}}=||{\mathbf {r}}||||{\mathbf {v}}||=rv$ $x$ $S'$ $v$ $S$ $x$

t'={\frac {t-{\frac {\displaystyle v}{\displaystyle c^{2}}}\,x}{{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}} {\displaystyle c^{2}}}}}}}},~~~~~~~~~~~x'={\frac {x-vt}({\sqrt {1-{\frac {\ displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}}},~~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~z ' =z,

var är ljusets hastighet. Vid hastigheter som är mycket lägre än ljusets hastighet ( ), förvandlas Lorentz-transformationerna till galileiska transformationer : $c$ $v\ll c$

t'=t,~~~~~~~~~~x'=x-vt,~~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~ z '=z.

En sådan passage till gränsen är en återspegling av korrespondensprincipen , enligt vilken en mer allmän teori (SRT) har som begränsande fall en mindre allmän teori (i detta fall klassisk mekanik ).

Härledning av Lorentz-transformationerna

Det finns många sätt att härleda Lorentz-transformationer. Låt oss överväga ett av alternativen.

Låt ursprunget till systemets koordinater (på grund av utrymmets homogenitet kan det vara vilken punkt som helst i vila i detta system) rör sig i förhållande till systemet med en hastighet . Följaktligen rör sig systemets ursprung (vilopunkt) in med en hastighet av . För att förenkla presentationen kommer vi att anta sammanträffandet av ursprunget för båda ISO:erna ( , när ) och samma orientering av koordinataxlarna. Låt systemets hastighet ( ) riktas längs axeln (mot axeln ). $S'$ $S$ $v$ $S$ $S'$ $-v$ $x'=x=0$ $t'=t=0$ $S'$ $S$ $x$ $x'$

Med relativ rörelse av system längs x-axeln kan vi anta att . Vi kommer att undersöka transformationer för endimensionell rymd och överväga vektorer för tvådimensionell rum-tid . $y'=y,z'=z$ $z=(x,t)$

Linjäritet hos transformationer

På grund av rummets och tidens homogenitet, rymdens isotropi och relativitetsprincipen måste transformationer från en IFR till en annan vara linjär [20] [21] . Linjäriteten för transformationer kan också härledas genom att anta att om två objekt har samma hastighet i förhållande till en IFR , så kommer deras hastigheter att vara lika i alla andra IFR [22] , (i detta fall svaga antaganden om differentiabilitet och en-till -enhet hos transformationsfunktionerna måste också användas). Om vi bara använder "definitionen" av IFR : om en viss kropp har en konstant hastighet i förhållande till en tröghetsreferensram, kommer dess hastighet att vara konstant i förhållande till vilken annan IFR som helst , då kan vi bara visa att transformationerna mellan två IFR:er måste vara linjär-fraktionella funktioner av koordinater och tid med samma nämnare [16] [23] .

Således, om är en rymd-tidsvektor i systemet , då kommer vi att anta att , var är matrisen för den önskade linjära transformationen, som bara beror på den relativa hastigheten för de aktuella IFR:erna, det vill säga . Då har den linjära transformationen och lagen för addition av hastigheter följande allmänna form (struktur): ${\mathbf {x'))$ $S'$ ${\mathbf {x}}=A{\mathbf {x'}}$ $A$ $A=A(v)$

A(v)=\gamma (v){\begin{pmatrix}1&v\\\beta (v)&1\\\end{pmatrix)),

u'+v=u(u'\beta (v)+1).

Bevis

Betrakta rörelsen av en punkt från utgångspunkten för koordinater i förhållande till systemet med konstant hastighet . Då gäller följande likheter för kolumnkomponenterna och den linjära transformationsmatrisen : $S'$ $u'$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(ut,t)^{T},\mathbf {x'} =(u't',t')^{T))$ $A(v)={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{pmatrix}}$

(a_{11}u'+a_{12})t'=ut,\qquad (a_{21}u'+a_{22})t'=t.

Genom att ersätta från den andra likheten till den första får vi lagen för addition av hastigheter i följande form: $t$

a_{11}u'+a_{12}=u(u'a_{21}+a_{22}).

Per definition flyttar referensramens ursprung i förhållande till ramen med en hastighet , vilket betyder att referensramens origo rör sig i förhållande till hastigheten ; om , då , och om , då . Med tanke på detta får vi $S'$ $S$ $v$ $S$ $S'$ $-v$ $u'=0$ $u=v$ $u=0$ $u'=-v$

a_{12}=va_{22},~~a_{12}=va_{11}

Betecknar , vi får $\gamma =a_{{11}}=a_{{22}}$

a_{{12}}=v\gamma

Vi introducerar också notationen . Härifrån får vi transformationens form $\beta =a_{{21}}/\gamma$

A(v)={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &v \gamma \\\gamma \beta &\gamma \\\end{pmatrix}}=\gamma (v){\begin{pmatrix}1&v\\\beta (v)&1\\\end{pmatrix}}

, och lagen om addition av hastigheter

a_{11}u'+a_{12}=u(u'a_{21}+a_{22}),

\gamma u'+v\gamma =u(u'\beta \gamma +\gamma ),

u'+v=u(u'\beta +1).

Observera att om vi dessutom antar , då kan vi omedelbart få den klassiska lagen om addition av hastigheter och den galileiska transformationen. Detta antagande motsäger emellertid det andra postulatet. $t=t'$

Det bör noteras att det redan i detta skede är möjligt att få den slutliga formen av funktionen med hjälp av det andra postulatet. $\beta (v)$

Ett annat sätt är att överväga egenskaperna hos transformationsmatrisen, som följer av relativitetsprincipen och rymdens isotropi. Dessa egenskaper gör det möjligt att erhålla den slutliga formen av båda funktionerna och [22] [24] . Denna metod ges nedan. $\gamma (v)$ $\beta (v)$

Egenskaper för transformationsmatrisen

Uppenbarligen, om , då . Eftersom transformationerna måste vara desamma för alla IFR (relativitetsprincipen), då , eftersom om systemet rör sig relativt med en hastighet , betyder det att systemet rör sig relativt med en hastighet . På det här sättet ${\mathbf {x}}=A{\mathbf {x'}}$ ${\mathbf {x'}}=A^{{-1}}{\mathbf {x}}$ $A^{{-1}}(v)=A(-v)$ $S'$ $S$ $v$ $S$ $S'$ $-v$

A(v)A(-v)=I.

Genom att ersätta den allmänna formen av den önskade matrisen i detta förhållande får vi $A$

\gamma (v)\gamma (-v)={\frac {1}{1-v\beta (v))),

var är en udda funktion. $\beta (v)$

Bevis

Verkligen:

A(v)A(-v)=\gamma (v)\gamma (-v){\begin{pmatrix}1&v\\\beta (v)&1\\\end{pmatrix)){\begin {pmatrix}1&-v\\\beta (-v)&1\\\end{pmatrix}}=\gamma (v)\gamma (-v){\begin{pmatrix}1+v\beta (-v) &-v+v\\\beta (v)+\beta (-v)&1-v\beta (v)\\\end{pmatrix}}.

Eftersom den vänstra sidan är identitetsmatrisen, följer det att (udda) och . Följaktligen $\beta (-v)=-\beta (v)$ $\gamma (v)\gamma (-v)(1-v\beta (v))=1$

\gamma (v)\gamma (-v)={\frac {1}{1-v\beta (v))).

På grund av rymdens isotropi bör ändringen av koordinataxlar i motsatt riktning inte påverka typen av beroende mellan koordinater i olika system.

Att välja en godtycklig vektor , i ett annat referenssystem får vi . Genom att ändra koordinataxeln till motsatt i båda systemen får vi . På grund av rymdens isotropi ändrar en riktningsändring inte förhållandet mellan koordinaterna. Därför är det en jämn funktion. Därför, . Sedan när transformationen måste vara identisk , då . På grund av paritet är den verkliga funktionen icke-negativ i närheten av punkten (gränserna för grannskapet bestäms av jämlikheten ). Därför, när du tar kvadratroten, är det nödvändigt att endast använda det positiva tecknet: . $(x',0)$ $x=\gamma (v)x'$ $x$ $-x=\gamma (-v)(-x')$ $\gamma (v)=\gamma (-v)$ $\gamma ^{2}(v)=1/(1-v\beta (v))$ $v=0$ $x=\gamma (v)x'$ $(x'=Ix)$ $\gamma(0)=1$ $\gamma (v)$ $v=0$ $(1-v\beta (v))=0$ $\gamma (v)=1/{\sqrt {1-v\beta (v)))$

Det återstår alltså bara att förfina funktionen . Detta kan göras omedelbart genom att använda det andra postulatet. Det följer dock av relativitetsprincipen att denna funktion måste ha formen , där är en parameter oberoende av . $\beta (v)$ $\beta (v)=\alpha v$ $\alfa$ $v$

Bevis

Det följer faktiskt av relativitetsprincipen att omvandlingen av koordinater från system till system och sedan till är ekvivalent med omvandlingen från direkt till och omvandlingslagarna är desamma och beror endast på dessa systems relativa hastigheter. Det är $S_{1}$ $S_{2}$ $S_{3}$ $S_{1}$ $S_{3}$

A(v_{3})=A(v_{1})A(v_{2}).

Låt oss ersätta den erhållna formen av matrisen A med detta uttryck:

A(v_{3})=\gamma (v_{3}){\begin{pmatrix}1&v_{3}\\\beta (v_{3})&1\\\end{pmatrix}}=\ gamma (v_{1})\gamma (v_{2}){\begin{pmatrix}1&v_{1}\\\beta (v_{1})&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 1&v_{2}\\\beta (v_{2})&1\\\end{pmatrix}}=\gamma (v_{1})\gamma (v_{2}){\begin{pmatrix}1+v_{ 1}\beta (v_{2})&v_{1}+v_{2}\\\beta (v_{1})+\beta (v_{2})&1+v_{2}\beta (v_{1} })\\\end{pmatrix}}.

Med tanke på att de diagonala elementen i den första matrisen är lika, måste de vara samma i den sista matrisen, vilket betyder att . Följaktligen, $1+v_{1}\beta (v_{2})=1+v_{2}\beta (v_{1})$

\beta (v_{1})/v_{1}=\beta (v_{2})/v_{2}

för godtyckliga hastigheter och . Det betyder att det är ett konstant värde som inte beror på hastigheten . $v_{1}$ $v_{2}$ $\beta (v)/v=\alpha =konst$ $v$

Därför har transformationsmatrisen och lagen för addition av hastigheter följande form (upp till en obestämd parameter ): $\alfa$

A(v)=\gamma (v){\begin{pmatrix}1&v\\\alpha v&1\\\end{pmatrix)),

\gamma (v)={\frac {1}{{\sqrt {1-\alpha v^{2))))}

och lagen om addition av hastigheter

u={\frac {u'+v}{1+\alpha u'v)).

Det numeriska värdet för parametern och dess tecken kan inte härledas från ovanstående antaganden [25] . Detta kräver antingen ett ytterligare antagande (från vilket tecknet kommer att följa ) eller ett experiment (det senare är nödvändigt i alla fall för att fastställa ett specifikt värde på ). Om , då får vi de klassiska omvandlingarna av Galileo; om , då får vi de önskade Lorentz-transformationerna (inför notationen ). Av det som följer kommer det att framgå att i detta fall har konstanten betydelsen av den maximala rörelsehastigheten för något föremål. $\alfa$ $\alfa$ $\alfa$ $\alfa=0$ $\alfa >0$ $\alpha =1/c^{2}$ $c$

Användning av det andra postulatet

Det följer av det andra postulatet och lagen om addition av hastigheter att och om , då . $\alpha =1/c^{2}$ $u'=c$ $u=c$

Bevis

Enligt det andra postulatet, om , då . Av lagen om addition av hastigheter följer därför att därför: $u'=\pm c$ $u=c$ $c={\frac {c+v}{1+\alpha cv))$

c+\alpha c^{2}v=c+v

Varifrån . $\alpha =1/c^{2}$

Genom att ersätta värdena får vi $u'=c,u=-c$

\alpha ={\frac {v-2c}{c^{2}v}}

det vill säga det beror på hastigheten , vilket motsäger oberoendet av parametern på hastighet som bevisades i föregående stycke. $\alfa$ $v$

Därför, om ljus utbreder sig i axelns riktning i förhållande till referensramen och rör sig i förhållande till systemet längs axeln , så fortplantar sig ljuset i samma riktning i förhållande till referensramen längs axeln . $x'$ $K'$ $K$ $x$ $K$ $x$

Sålunda får vi slutligen transformationsmatrisen för koordinat-tidsvektorn och hastighetstransformationsformeln (lagen för addition av hastigheter) i övergången från referensramen till ramen : ${\displaystyle (x',t')^{T))$ $u'$ $S'$ $S$

A(v)={\frac {1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}{\begin{pmatrix}1&v\\v/c^{2}&1 \\\end{pmatrix}}

u={\frac {u'+v}{1+u'v/c^{2}}}.

För att få inversa transformationer (från till ) räcker det att ersätta och byta och istället för hastighet . $S$ $S'$ $v$ $-v$ $u'$ $u$

Intervall

Intervallet mellan godtyckliga händelser är kvadratroten av följande värde:

\Delta s^{2}=c^{2}\Delta t_{{}}^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2},

var är skillnaderna i tider och koordinater för två händelser. $\Delta t=t_{2}-t_{1},~\Delta x=x_{2}-x_{1},~\Delta y=y_{2}-y_{1},~\Delta z=z_ {2}-z_{1}$

Genom direkt substitution av Lorentz-transformationerna kan man verifiera att intervallet är detsamma i alla IFR. Detta faktum kan emellertid visas utan att använda de erhållna Lorentz-transformationerna, utan att endast använda postulaten av SRT [26] (inklusive homogeniteten och isotropin i rummet och tidens homogenitet).

Bevis

Om intervallet mellan händelser är lika med noll i en IFR, betyder detta att tidsperioden är tiden (i denna IFR) för ljussignalen som passerar vägen mellan de rumsliga koordinaterna för dessa punkter. I en annan ISO färdas han vägen mellan dessa punkter (längden på denna väg är ) under någon annan tidsperiod , så hastigheten multiplicerad med måste också vara lika med . Men enligt det andra postulatet är ljussignalens hastighet densamma i alla IFR, därför kommer intervallet i den andra IFR att vara lika med noll. Påståendet följer alltså direkt av det andra postulatet: $\Delta t$ $l$ $jag$ $\Delta t'$ $\Delta t',$ $jag$

om då i någon annan ISO

{\Delta s}^{2}=c^{2}{\Delta t}^{2}-{\Delta x}^{2}-{\Delta y}^{2}-{\ Delta z}^{2}=0,

\Delta s'^{2}=c^{2}{\Delta t'}^{2}-{\Delta x'}^{2}-{\Delta y'}^{2}- {\Delta z'}^{2}=0.

För oändligt nära händelser, vi har och Låt i synnerhet, om då och På grund av homogeniteten av rum och tid, kan det inte bero på rum-tid-koordinaterna, utan kan bara bero på den relativa hastigheten hos referenssystem. Det bör inte heller bero på den relativa rörelseriktningen på grund av rymdens isotropi. I kraft av relativitetsprincipen måste funktionen av beroende av relativ hastighet vara universell, det vill säga densamma för alla IFR. Betrakta tre referensramar , där hastighetsvektorerna och i systemet är lika och Betrakta något intervall i dessa tre referensramar: $ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dl^{2}$ $ds'^{2}=c^{2}dt'^{2}-dl'^{2}.$ $ds'^{2}=annonser^{2}.$ $ds=0,$ $ds'=0.$ $a$ $S,S_{1},S_{2},$ $S_{1}$ $S_{2}$ $S$ ${\mathbf {v_{1))}$ $\mathbf {v_{2}} .$

ds^{2}=a(v_{1})ds_{1}^{2},ds^{2}=a(v_{2})ds_{2}^{2},ds_{1 }^{2}=a(v_{12})ds_{2}^{2}.

Därför beror dock inte bara på och utan också på riktningen av dessa vektorer, så denna relation är endast möjlig om funktionen inte alls beror på, det vill säga den är en viss konstant . Av samma samband följer att a = 1 . Det betyder att relationen alltid håller $a(v_{12})=a(v_{2})/a(v_{1}).$ $v_{{12}}$ $v_{1}$ $v_{2},$ $a(v)$ $v$

ds'^{2}=ds^{2}.

Det följer att - värdet på intervallet i alla IFR är detsamma, det vill säga intervallet är en invariant i övergången från en IFR till en annan. $s'=s$

Om , då sägs händelserna vara åtskilda av ett tidsliknande intervall; om , då ett mellanrumsliknande intervall. Slutligen, om då sådana intervall kallas ljusliknande . $\Delta s^{2}>0,$ $\Delta s^{2}<0$ $\Delta s^{2}=0,$

Intervallets invarians betyder att det har samma värde i alla tröghetsreferensramar: $\Delta s^{2}=\Delta s'^{2}.$

Om händelser, vars intervall är tidsliknande eller ljusliknande , kan man alltid säga att en händelse hände före en annan (det vill säga dessa händelser kan ordnas i tid, och deras sekvens kommer att vara densamma i alla ISO). Dessa händelser kan kopplas samman med orsakssamband.

I händelser, vars intervall är mellanrumsliknande , finns det ingen bestämd sekvens: om i en referensram två händelser inträffade ibland, kan du hitta en annan tröghetsreferensram (som rör sig i förhållande till den första med en viss hastighet ), i vilka händelser som inträffade ibland i en annan ordning: Sådana händelser kan inte kopplas samman med orsakssamband. $t_{1}<t_{2},$ $v$ $t_{1}'>t_{2}'.$

Det ljusliknande intervallet motsvarar händelser som kan associeras med en signal som fortplantar sig med ljusets hastighet . Ekvationen för det ljusliknande intervallet skrivet i formen definierar en kon, kallad ljuskonen för en given händelse; på ljuskäglan finns alla punkter i det förflutna och framtiden som kan associeras med en ljussignal med en given händelse. $\Delta s^{2}=0,$ $\Delta s^{2}=c^{2}\Delta t_{{}}^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2},$

De listade egenskaperna kan härledas från Lorentz-transformationerna om de är skrivna i formen:

(t_{2}'-t'_{1})={\frac {(t_{2}-t_{1})-{\frac {v}{c^{2))}(x_ {2}-x_{1})}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

Tecknet för intervallet, generellt sett, kan väljas godtyckligt. I den ursprungliga versionen skrevs intervallet med motsatt tecken (d.v.s. rumsliga koordinater med ett "+"-tecken och tidskoordinater med ett "-"). I modern litteratur används ovanstående formel oftare.

Själva Lorentz-transformationerna kan erhållas från deras linjäritet och kravet på intervallinvarians.

Bevis

Tänk för enkelhetens skull även fallet med ett endimensionellt utrymme. Intervallinvariansen betyder att Låt oss ersätta linjära transformationer i detta uttryck: $x^{2}-(ct)^{2}=x'^{2}-(ct')^{2}.$

x=a_{11}x'+a_{12}ct',

ct=a_{21}x'+a_{22}ct'.

Skaffa sig

x^{2}-(ct)^{2}=(a_{11}x'+a_{12}ct')^{2}-(a_{21}x'+a_{22}ct ')^{2}=(a_{11}^{2}-a_{21}^{2})x'^{2}-(a_{22}^{2}-a_{12}^{2 })(ct')^{2}+2(a_{11}a_{12}-a_{21}a_{22})x'ct'=x'^{2}-(ct')^{2 }.

Eftersom och är godtyckliga, måste koefficienterna för vänster och höger sida vara identiskt lika. Följaktligen, $x'$ $ct'$

a_{11}^{2}-a_{21}^{2}=1,a_{22}^{2}-a_{12}^{2}=1,a_{11}a_{12 }-a_{21}a_{22}=0.

Av den sista likheten följer att Låt oss beteckna den angivna relationen Dessutom betecknar vi Då kan de två första relationerna skrivas som $a_{22}/a_{11}=a_{12}/a_{21}.$ $\alfa.$ $a_{11}=\gamma ,\,a_{21}=b.$ $a_{22}=\alpha \gamma ,\,a_{12}=\alpha b,$

\gamma ^{2}-b^{2}=1,\alpha ^{2}\gamma ^{2}-\alpha ^{2}b^{2}=1.

Av detta följer att för det första, för det andra, varifrån det kan skrivas. Slutligen, genom att introducera notationen för enkelhets skull, får vi: $\alpha ^{2}=1,$ $\gamma ^{2}-b^{2}=1,$ $\gamma ^{2}=1/(1-b^{2}/\gamma ^{2}).$ $\beta =b/\gamma ,$

A={\begin{pmatrix}\gamma &\pm \gamma \beta \\\gamma \beta &\pm \gamma \\\end{pmatrix))=\gamma {\begin{pmatrix}1&\ pm \beta \\\beta &\pm 1\\\end{pmatrix)),\,\gamma =\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2)))),

och tecknen i matrisen är antingen positiva eller negativa samtidigt. Tecknet i formeln för måste väljas att vara positivt, eftersom vid noll relativ hastighet för systemen måste matrisen A vara enhet (systemen i detta fall är identiska och transformationerna är identiska). Men om koefficienten i γ var negativ skulle detta vara omöjligt (det övre diagonala elementet skulle vara −1, men det borde vara +1). Därför kan det otvetydigt konstateras att det är en positiv siffra. $\gamma$ $\gamma$

När det gäller tecknen inuti matrisen och det faktiska värdet kan de ställas in genom att ta systemets ursprung - en vektor - och konvertera det till systemet och använda hastighetskonventionen : $\beta ,$ $S'$ $(0,ct')$ $S$ $v$

{\begin{pmatrix}vt\\ct\\\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{pmatrix}1&\pm \beta \\\beta &\pm 1\\\end{pmatrix} }{\begin{pmatrix}0\\ct'\\\end{pmatrix}}=\pm \gamma {\begin{pmatrix}\beta ct'\\ct'\\\end{pmatrix}}.

Om vi dividerar den första ekvationen i detta system med den andra får vi. När det gäller tecknet, eftersom tiden är positiv, följer det av den andra ekvationen att tecknet måste vara positivt. Så har vi äntligen: $\beta =v/c.$

A=\gamma {\begin{pmatrix}1&v/c\\v/c&1\\\end{pmatrix)),\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2} /c^{2}}}}.

Geometriskt tillvägagångssätt

Fyrdimensionell rum-tid

I sin form liknar intervallet (särskilt i originalinspelningen) ett avstånd i det euklidiska rummet, men det har ett annat tecken för händelsens rumsliga och tidsmässiga komponenter. Efter Minkowski och tidigare arbete av Poincaré, kan man postulera existensen av en enda metrisk fyrdimensionell rum-tid med 4-koordinater . I det enklaste fallet med ett platt utrymme , kan metriken som definierar avståndet mellan två oändligt nära punkter vara euklidisk eller pseudo-euklidisk . Det senare fallet motsvarar den speciella relativitetsteorin. Ett intervall sägs definiera ett avstånd i en pseudo-euklidisk fyrdimensionell rumtid. Det kallas också för Minkowskis rumtid . $(ct, x, y, z)$

Det mest "enkla" sättet att förstå och härleda Lorentz-transformationer med detta tillvägagångssätt kan erhållas genom att skriva intervallet (med motsatt tecken) med hjälp av den "imaginära" tidskoordinaten : $ict$

\Delta s^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\Delta t^{2}=\Delta x^{ 2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}+\Delta (ict)^{2},

Då ser intervallet ut som det vanliga euklidiska avståndet mellan punkter i det fyrdimensionella rummet. Som visades måste intervallet bevaras under övergången mellan ISO, därför kan dessa antingen vara parallella översättningar och inversioner (vilket inte är intressant), eller rotationer i detta utrymme. Lorentz-transformationer spelar rollen som rotationer i ett sådant utrymme. Rotationer av basen i fyrdimensionell rum-tid, blandning av tids- och rumskoordinater för 4-vektorer , ser ut som en övergång till en rörlig referensram och liknar rotationer i vanligt tredimensionellt rum. I det här fallet förändras naturligtvis projektionerna av fyrdimensionella intervall mellan vissa händelser på referenssystemets tids- och rymdaxlar, vilket ger upphov till relativistiska effekter av ändrade tids- och rumsintervall. Det är den oföränderliga strukturen av detta utrymme, som ges av postulaten av SRT, som inte förändras när man flyttar från en tröghetsreferensram till en annan. Med endast två rumsliga koordinater (x, y) kan det fyrdimensionella rummet representeras i koordinater (t, x, y). Händelserna som är förknippade med ursprungshändelsen (t=0, x=y=0) av en ljussignal (ljusliknande intervall) ligger på den så kallade ljuskäglan (se bilden till höger).

I den ursprungliga versionen av Minkowski (med imaginär tid) härleds Lorentz-transformationsformlerna helt enkelt - de följer från de välkända formlerna för rotationer i det euklidiska rummet.

Slutsats

För att göra detta räcker det att förstå att tangenten för vinkeln mellan strålen som utgår från ursprunget (som visar enhetlig och rätlinjig rörelse) och axeln är lika med: $ict$

\mathbf {tg} \phi =v/ic=-iv/c.

Redan från detta är det möjligt att härleda lagen för addition av hastigheter med hjälp av formeln för tangenten av vinklarna (tangensen av vinkeln mellan två strålar som uttrycker rörelser med vissa hastigheter i ett givet system, och uttrycker deras relativa hastighet av rörelse). Om vinkeln mellan systemen är , och vinkeln mellan strålen från den rörliga kroppen och strålen från systemet är , då har vi för kroppens hastighet u i förhållande till systemet S: $\psi$ $S'$ $\phi'$

u/ic=\mathbf {tg} \phi =\mathbf {tg} (\phi '+\psi )={\frac {\mathbf {tg} \phi '+\mathbf {tg} \psi } {1-\mathbf {tg} \phi '\mathbf {tg} \psi }}={\frac {u'/ic+v/ic}{1+u'v/c^{2}}}.

Genom att reducera får vi lagen för addition av hastigheter (observera att utan i - skulle nämnaren vara "-"). $ic$

Det är också lätt att härleda uttryck för cosinus och sinus för en vinkel:

\cos \phi =1/{\sqrt {1+tg^{2}\phi}}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}=\gamma (v),

\sin \phi =tg\phi \cos \phi =-iv/c\gamma .

Givet den allmänna formeln för rotationer i ett plan i det euklidiska rymden får vi: $(x,ict)$

x=x'\cos \phi +ict'\sin \phi =\gamma (x'+vt'),

ict=ict'\cos \phi -x'\sin \phi =\gamma (ict'+ivx'/c).

Om vi dividerar det senare med , får vi $ic$

t=\gamma (t'+vx'/c^{2}).

Det moderna tillvägagångssättet är dock att introducera en fyrdimensionell rumtid (med en realtidsaxel ) med en pseudometrisk . I ett sådant utrymme har rotationsformlerna en liknande form, men hyperboliska funktioner måste användas istället för trigonometriska funktioner . $ct$

Slutsats

I ett sådant utrymme . Lagen för addition av hastigheter: $th\phi=v/c$

u/c=th\phi =th(\phi '+\psi )={\frac {th\phi '+th\psi }{1+th\phi 'th\psi }}={\frac {u'/c+v/c}{1+vu'/c^{2}}}.

Genom att minska ljusets hastighet får vi den önskade lagen för addition av hastigheter.

Rotationer i detta utrymme i planet beskrivs enligt följande $(x,ct)$

x=x'ch\phi +ct'sh\phi ,

ct=ct'ch\phi +x'sh\phi .

Med tanke på det och får vi de önskade Lorentz-transformationerna. $ch\phi ={\frac {1}{{\sqrt {1-th^{2}\phi }}}}={\frac {1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^ {2}}}}}=\gamma (v)$ $sh\phi =th\phi ch\phi =\gamma (v)v/c$

Minkowskis och Poincarés geometriska tillvägagångssätt utvecklades 1914 av A. Robb, som gjorde konceptet med händelseförloppet till grunden för den axiomatiska konstruktionen av SRT. Detta tillvägagångssätt utvecklades ytterligare av A.D. Aleksandrov under 1950-1970-talets verk. Den grundläggande axiomatiken antar [18] att rum-tid för det första är ett fyrdimensionellt sammankopplat enkelt sammankopplat lokalt kompakt Hausdorff - topologiskt rum med en grupp av parallella översättningar definierade på det (formellt en transitiv kommutativ grupp av homeomorfismer av rymden på sig själv) . Detta betyder att det är ett affint utrymme med denna översättningsgrupp. För det andra - och detta är den mest grundläggande punkten - är varje punkt i rum-tid associerad med delmängder (som innehåller, förutom denna punkt, även andra) de så kallade "influensfälten" (eller följande, efterföljande händelser) punkter - så att för varje annan punkt av påverkansområde dess påverkansområde inkluderas i en given punkts påverkansområde. Detta antagande introducerar ett förhållande av partiell ordning i rum-tid - förhållandet mellan konsekvens eller kausalitet. Denna relation tillåter oss att introducera begreppet en avgränsad mängd (i betydelsen av denna ordningsrelation). Den formellt-matematiska analogen av det andra postulatet av SRT (begränsning av effektöverföringshastigheten) i detta fall kommer att vara antagandet att skärningspunkten mellan den "följande" uppsättningen av en given punkt och den "föregående" uppsättningen av alla "efterföljande" poängen är begränsad. Dessa antaganden är grundläggande. Dessa antaganden är dock inte tillräckliga för att erhålla Lorentz-transformationerna. Vi måste göra ytterligare antaganden om förekomsten av en grupp en-till-en-mappningar som har vissa egenskaper i förhållande till "inflytandedomänerna". Tillsammans med dessa ytterligare axiom är den angivna gruppen av mappningar i själva verket en Lorentz-grupp, och därmed kan kartesiska koordinater, en pseudometrisk och den korrekta explicita formen av Lorentz-transformationerna introduceras.

Den geometriska tolkningen av rum-tid gör att man kan formulera SRT i en kovariant form (se nedan) baserat på tensoranalys . Det är den geometriska tolkningen som ligger till grund för generaliseringen av relativitetsteorin ( den allmänna relativitetsteorin ).

Hastighetsutrymme

Ett annat tillvägagångssätt är möjligt, där den geometriska strukturen av hastighetsutrymmet postuleras. Varje punkt i ett sådant utrymme motsvarar någon tröghetsreferensram , och avståndet mellan två punkter motsvarar modulen för den relativa hastigheten mellan ISO. I kraft av relativitetsprincipen måste alla punkter i ett sådant utrymme vara lika i rättigheter, och därför är hastighetsutrymmet homogent och isotropiskt . Om dess egenskaper ges av Riemannsk geometri , så finns det tre och bara tre möjligheter: platt utrymme, utrymme med konstant positiv och negativ krökning. Det första fallet motsvarar den klassiska regeln för att addera hastigheter. Utrymmet med konstant negativ krökning ( Lobachevsky-utrymmet ) motsvarar den relativistiska regeln för addition av hastigheter och speciell relativitet.

Gruppmetoden

Transformationer från en referensram till en annan kan byggas på en axiomatisk basis, utan att specificera strukturen av rum-tid [18] . För detta introduceras konceptet med en uppsättning "händelser" . Tröghetsreferenssystem är några avbildningar (en-till-en) av "händelser" i ett fyrdimensionellt aritmetiskt utrymme . De tre första talen är rumsliga komponenter, det sista är tid. Bland delmängderna urskiljs tröghetsrörelser , vilka definieras som delmängder som mappas (när de visas ) till vektorer, vars rumsliga komponenter är relaterade till tiden enligt följande , där koefficienterna är konstanter. I synnerhet, om allt , då har vi en vilande "tröghetsrörelse" (en kropp i vila). Egentligen, själva transformationerna från systemet för att representera kompositionen . $M$ $S$ $R^4$ $M$ $jag$ $S$ $x_{i}=a_{i}+v_{i}t$ $v_{i}=0$ $S'$ $S$ $P=SS'^{{-1}}$

Därefter är det nödvändigt att formalisera konceptet med rörelsen av en IFR i förhållande till en annan. Det sägs vara i vila med avseende på S om "kroppen i vila" i också är i vila i . Annars sägs det röra sig i förhållande till . Först och främst antas det att det finns IFR som rör sig i förhållande till varandra (axiom 1). $S'$ $S'$ $S$ $S'$ $S$

Därefter definierar vi en linjär transformation till , vars rumsliga del av matrisen är en ortogonal transformation, och från det temporala (fjärde raden och fjärde kolumnen) är diagonalelementet 1, resten är noll. Låt oss kalla denna transformation för en "spatial vändning" (vilket det i huvudsak är). Det antas (axiom 2a) att det för varje referensram finns en ram , till vilken transformationen är en viss rumslig rotation , i synnerhet (axiom 2b), om den är i vila med avseende på någon ram , då är motsvarande transformation en viss rumslig rotation. Dessutom antas det (axiom 3) att det för varje tröghetsrörelse finns en annan tröghetsrörelse , som visas i den givna referensramen på samma sätt upp till en viss rumsrotation. $\phi$ $R^4$ $S'$ $S$ $P$ $\phi$ $S'$ $S$ $P$ $jag$ $jag'$ $S$

Slutligen, ytterligare ett antagande (axiom 4) är att för varje transformation mellan vissa tröghetsramar och för en godtycklig ram finns en sådan referensram att transformationen från till är identisk med transformationen . $P$ $S$ $S'$ $S'$ $S$ $P$

Det visar sig att ett sådant system av axiom leder till det faktum att transformationsgruppen kan vara antingen galileisk eller har en verklig parameter , som sammanfaller med den inhomogena Lorentz-gruppen. $G$ $P$ $c>0$

Konsekvenser av Lorentz-transformationerna

Tillägg av hastigheter

En direkt följd av Lorentz-transformationerna är den relativistiska regeln för att addera hastigheter. Om något objekt har hastighetskomponenter med avseende på systemet och med avseende på , är de relaterade av likheter: $(u_{x},u_{y},u_{z})$ $S$ $(u'_{x},u'_{y},u'_{z})$ $S'$

u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-u_{x}v/c^{2}}},~~~~~~~~~~u' _{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2)))){1-u_{x}v/c^{2}}}, ~~~~~~~~~~u'_{z}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2)))){1-u_{ x}v/c^{2}}}.

Slutsats

Rotationer i rum-tid med planets reella axel ct beskrivs enligt följande $(x,ct)$

x=x'ch\phi +ct'sh\phi ,

ct=ct'ch\phi +x'sh\phi .

Med tanke på det och $th\phi=v/c$ $ch\phi ={\frac {1}{{\sqrt {1-th^{2}\phi }}}}={\frac {1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^ {2}}}}}=\gamma (v)$ $sh\phi =th\phi ch\phi =\gamma (v)v/c$

vi får

u/c=th\phi =th(\phi '+\psi )={\frac {th\phi '+th\psi }{1+th\phi 'th\psi }}={\frac {u'/c+v/c}{1+vu'/c^{2}}}

Multiplicera med ljusets hastighet får vi lagen om addition av hastigheter.

I dessa förhållanden är den relativa hastigheten för referensramen riktad längs axeln . $v$ $S'$ $x$

Om ett föremål rör sig med ljusets hastighet längs x-axeln i förhållande till systemet , kommer det att ha samma hastighet i förhållande till : . Detta innebär att hastigheten är invariant (samma) i alla IFR. $u_{x}=c\$ $S$ $S'$ $u'_{x}=c\$ $c$

Den relativistiska additionen av hastigheter, liksom Lorentz-transformationerna, vid låga hastigheter ( ) förvandlas till den klassiska lagen för addition av hastigheter. $v\ll c$

Tidsnedgång

Om klockan står stilla i systemet så har vi för två på varandra följande händelser som registrerats någon gång i systemet . Det följer av Lorentz-transformationen att sådana klockor rör sig i förhållande till systemet enligt lagen . Därför, från omvandlingen för tidsintervall mätt av observatörer i systemen och , följer relationen $\textstyle S'$ $\textstyle S'$ $\textstil \Delta x'=0$ $x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}$ $\textstyle S$ $\textstil \Delta x=v\Delta t$ $t'={\frac {t-{\frac {\displaystyle v}{\displaystyle c^{2}}}\,x}{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2 }}{\displaystyle c^{2}}}}}}$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$

\Delta t'=\Delta t\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2))))}.

I den här formeln mäts tidsintervallet (rätt tidsintervall) av klockor som vilar i ramen , som rör sig i förhållande till ramen . Det jämförs med intervallet för flera olika, synkront löpande klockor som finns i systemet . Eftersom vid betyder detta att klockan i referensramen , som rör sig relativt systemet med en hastighet , är långsammare än klockan i . Relaterad till denna effekt är den så kallade tvillingparadoxen . $\textstil \Delta t'$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstil \Delta t$ $\textstyle S$ $\Delta t>\Delta t'$ $v\neq 0$ $S$ $S'$ $-v$ $S'$

Om klockan rör sig med en variabel hastighet i förhållande till tröghetsreferensramen, kan tiden som mäts av den i den kommande referensramen där klockan är i vila ( rätt tid ) beräknas med formeln: ${\mathbf {u}}(t)$

t'=\int \limits _{0}^{t}{\sqrt {1-{\mathbf {u}}^{2}(t)/c^{2}}}\cdot dt,

där tidsintervallen i lokalt tröghetsreferensramar sammanfattas.

Relativitet av simultanitet

Om två händelser som är åtskilda i rymden (till exempel ljusblixtar) inträffar samtidigt i en referensram som rör sig med hastighet , kommer de inte att vara samtidigt med avseende på den "fasta" ramen . Vid , från Lorentz-omvandlingarna följer det $v>0$ $S'$ $S\$ $\Delta t'=0$

\Delta t={\frac {v}{c^{2}}}\Delta x.

Om , då och . Detta innebär att ur en stationär observatörs synvinkel i systemet inträffar den vänstra händelsen vid punkten före den högra vid punkten . Relativiteten av simultanitet leder till omöjligheten att synkronisera klockor i olika tröghetsreferensramar i hela rymden. $\Delta x=x_{2}-x_{1}>0$ $\Delta t=t_{2}-t_{1}>0$ $S\$ $x_{1}$ $x_{2}$ $(t_{1}<t_{2})$

Låt klockor som är synkroniserade med varandra placeras i vart och ett av referenssystemen och längs och axlarna , och låt de "centrala" klockorna i det ögonblick då de står mitt emot varandra ha koordinater och visa samma tid (vänster och höger figurer). För närvarande, från observatörens synvinkel i systemet (vänster figur), är klockorna i den rörliga referensramen inte synkroniserade: de visar olika tider. Klockorna vid , placerade från "centralen" i systemets riktning ( ), är bakom dem ( ), och klockorna placerade från "centralen" mot rörelseriktningen ( ), är före den "centrala" klockan . Och ju längre klockan är från "centralen" i färdriktningen, desto mer släpar de efter "centralen" (de ligger före "centralen" om de är emot dem). $S$ $S'$ $x$ $x'$ $x=x'=0$ $t=t'=0$ $S$ $S'$ $S'$ $S'$ $x'>0$ ${\displaystyle t'=-vx'/c^{2))$ $x'<0$ $S'$

Situationen är liknande för observatörer i systemet (höger figur). $S'$

Minskning av linjära dimensioner

Om dimensionerna för ett föremål som rör sig tillsammans med systemet bestäms i en fast referensram genom att samtidigt fixera koordinaterna för dess gränser, så följer det av Lorentz-transformationen att kroppens längd mätt i referensramen reduceras längs riktningen för dess rörelse jämfört med längden mätt i samma riktning i referensramen som hör till kroppen (kroppens egen längd ): $S'$ $S$ $x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}$ $l=\Delta x$ $S$ $l_{0}=\Delta x'$ $S'$

l=l_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.

I en fast referensram reduceras alla dimensioner längs rörelseriktningen för kroppar som rör sig tillsammans med referensramen - både själva kropparna och hålrummen mellan dem. Tvärmåtten ändras inte. $S$ $S'$

Longitudinell minskning av storleken kallas Lorentz-kontraktion . Ett slående exempel är paradoxen med en stång och en lada , där en lång stång under flygning placeras i en kortare lada på grund av förkortningen av längden.

När man visuellt observerar rörliga kroppar, förutom Lorentz-kontraktionen, är det nödvändigt att ta hänsyn till utbredningstiden för ljussignalen från kroppens yta. Som ett resultat verkar en snabbrörlig kropp lutad snarare än hoptryckt i rörelseriktningen.

Dopplereffekt

Låt en källa som rör sig med en hastighet utstråla en elektromagnetisk signal med en frekvens som mäts av en observatör i referensramen som är associerad med källan (naturlig frekvens). Om samma signal registreras av en "stationär" observatör i systemet , kommer dess frekvens att skilja sig från den naturliga frekvensen: $v$ $\nu_{0}$ $S'$ $S$ $\nu$

\nu =\nu _{0}\cdot {\dfrac {{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\dfrac {v }{c}}\cdot \cos\theta }}

var är vinkeln mellan riktningen till källan och dess hastighet. $\theta$

Skilj mellan longitudinell och tvärgående dopplereffekt . I det första fallet är källan och mottagaren på samma räta linje. Om källan rör sig bort från mottagaren minskar dess frekvens (rödförskjutning), och om den närmar sig ökar dess frekvens (blåförskjutning): $\theta=0$ $\nu <\nu_{0}$ $\nu>\nu_{0}$

Den tvärgående effekten uppstår när , det vill säga mottagaren är riktad vinkelrätt mot källans hastighet (till exempel källan "flyger över" mottagaren). I detta fall , där intervallen och är lika med svängningsperioden i den egna referensramen och referensramen som rör sig i förhållande till den . Effekten av att sakta ner klockan manifesteras i en minskning av frekvensen i referensramen jämfört med naturlig frekvens : $\theta =\pi /2$ $\Delta t'=\Delta t\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ ${\displaystyle \Delta t'=T_{0}={\frac {1}{\nu _{0))))$ $\Delta t=T={\frac {1}{\nu }}$ $S'$ $S$ $\nu$ $S$ $\nu_{0}$

\nu =\nu _{0}\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2))))}.

Det finns ingen analog till den tvärgående effekten i klassisk fysik, och detta är en rent relativistisk effekt. Däremot beror den longitudinella Dopplereffekten på både den klassiska komponenten och den relativistiska tidsdilatationseffekten.

Aberration

Ljusets aberration är den skenbara förskjutningen av ett föremål under den relativa rörelsen mellan betraktaren och detta föremål. Låt ljuskällan vara stationär i referensramen och stå i vinkel mot axeln . Sedan i systemet i förhållande till vilket systemet rör sig längs axeln med hastigheten kommer riktningen till denna ljuskälla att göra en vinkel . Enligt den relativistiska hastighetsadditionsregeln är dessa två vinklar relaterade enligt följande: $S'$ $\theta '$ $x'$ $S$ $S'$ $x$ $v$ $\theta$

\cos \theta ={\frac {\cos \theta '-\beta }{1-\beta \cos \theta ')),~~~~~~~~~~~\sin \theta ={\ frac {{\sqrt {1-\beta ^{2))}\cdot \sin \theta '}{1-\beta \cos \theta ')),

var . $\beta=v/c$

Relativistisk dynamik

Relativistisk Lagrangian

I klassisk mekanik kan rörelselagarna härledas från formen av Lagrangian av ett mekaniskt system baserat på principen om minsta verkan . Åtgärden måste vara invariant under ISO-transformationer. Ett intervall har denna egenskap. Därför den allmänna formen av handling inom relativistisk mekanik

S=-\alpha \int ds=-\alpha c\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}} }dt.

Följaktligen måste Lagrangian vara lika med:

L=-\alpha c{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}.

Parametern måste bestämmas utifrån överväganden om sammanfall (upp till en konstant) med Lagrangian för en fri partikel i klassisk mekanik vid låga hastigheter (vilket helt enkelt är lika med den kinetiska energin). Baserat på detta kan det visas att Lagrangian av en fri relativistisk partikel har formen: $\alfa$

L=-mc^{2}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2))}.

På basis av denna Lagrangian kan man härleda dynamiken hos en relativistisk partikel, baserat på de klassiska definitionerna av begrepp i termer av Lagrange- och Euler-Lagrange-ekvationerna .

Energi och momentum

Om en partikel med en massa (i vila) rör sig med en hastighet , har dess energi och rörelsemängd följande beroende av hastigheten: $m$ $\mathbf {u}$

E=\mathbf {p} \mathbf {u} -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle \mathbf {u} ^{2}} {\displaystyle c^{2}}}}},~~~~~~\mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {u} }}={\frac {m \mathbf {u} }{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle \mathbf {u} ^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}}.

Dessa relationer generaliserar de klassiska uttrycken för energi och momentum, som erhålls genom att expandera till en serie i : ${\mathbf {u}}^{2}/c^{2}$

$E\approx mc^{2}+{\frac {m{\mathbf {u}}^{2}}{2}}+...,~~~~~~~~~~~{\ mathbf {p}}\approx m{\mathbf {u}}+...$

Vid nollhastighet kallas partikelns energi för viloenergi: . $E_{0}=mc^{2}\$

I modern fysikalisk litteratur är det accepterat att m, massan av en partikel , inte är beroende av hastighet, eftersom det är en invariant under Lorentz-transformationer, och är en icke- additiv kvantitet (det vill säga massan av en kropp som består av flera delar , till skillnad från klassisk mekanik, är inte lika med summan av dessa delars massor ). Begreppet "relativistisk massa" beroende på hastigheten används inte [27] , även om det förekommer i tidiga arbeten om relativitetsteorin. Det historiska skälet till införandet av detta begrepp var förknippat med försök att bevara den klassiska formen för den relativistiska impulsen: . $m({\mathbf {u}})$ ${\mathbf {p}}=m({\mathbf {u}})\,{\mathbf {u}}$

När man närmar sig en kropps hastighet till ljusets hastighet, tenderar dess energi och momentum till oändlighet. Detta är en av anledningarna till att "vanliga" föremål inte kan röra sig snabbare än ljusets hastighet. För en partikel med massa som inte är noll, skulle till och med uppnå ljusets hastighet kräva en utgift av oändlig energi. Märkbara avvikelser från de klassiska uttrycken för energi och momentum uppstår vid hastigheter nära ljusets hastighet. Om hastigheterna är relativt små är avvikelserna från den klassiska dynamiken obetydliga. Till exempel, vid hastighet är den relativa skillnaden mellan det relativistiska och klassiska momentumet endast 3 %. $u=c/4$

Det finns följande samband mellan relativistisk energi och momentum:

E^{2}-{\mathbf {p}}^{2}c^{2}=m^{2}c^{4},~~~~~~~~~~~~~~~ { \mathbf {p}}={\frac {E}{c^{2}}}\,{\mathbf {u}}.

Dessa formler förblir giltiga för objekt som rör sig med ljusets hastighet. I detta fall måste deras vilomassa vara lika med noll . $m=0$

Energi- och momentumtransformationer

I likhet med Lorentz-transformationerna för tid och koordinater, är den relativistiska energin och rörelsemängden mätt med avseende på olika tröghetsreferensramar relaterade till liknande relationer:

E'={\frac {E-vp_{x}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}},~~~~~~~~p'_{x }={\frac {p_{x}-vE/c^{2}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}},~~~~~~~~ ~~p'_{y}=p_{y},~~~~~~~~~~p'_{z}=p_{z},

där momentumvektorns komponenter är . Den relativa hastigheten och orienteringen av tröghetsreferensramarna S, S' definieras på samma sätt som i Lorentz-transformationerna. ${\mathbf {p}}\$ $(p_{x},p_{y},p_{z})$

Rörelseekvationer

Kraften som verkar på kroppen ändrar dess rörelsemängd . Därför Newtons andra lag i form $\mathbf {F}$

{\frac {d{\mathbf {p}}}{dt}}={\mathbf {F}}

förblir giltig även i relativitetsteorin. Tidsderivatan är dock hämtad från det relativistiska momentumet, inte från det klassiska. Detta leder till det faktum att förhållandet mellan kraft och acceleration skiljer sig avsevärt från det klassiska:

{\mathbf {F}}={\frac {m{\mathbf {a}}}{{\sqrt {1-{\mathbf {u}}^{2}/c^{2}}}}}+ {\frac {m{\mathbf {u}}\cdot ({\mathbf {u}}{\mathbf {a}})/c^{2}}{(1-{\mathbf {u}}^{ 2}/c^{2})^{{3/2}}}}.

Den första termen innehåller den "relativistiska massan" lika med förhållandet mellan kraften och accelerationen om kraften verkar vinkelrätt mot hastigheten. I tidigt arbete med relativitetsteorin kallades den "tvärmassa". Det är hennes "tillväxt" som observeras i experiment på elektroners avböjning av ett magnetfält. Den andra termen innehåller den "längsgående massan", lika med förhållandet mellan kraft och acceleration, om kraften verkar parallellt med hastigheten:

m_{{||}}={\frac {m}{(1-{\mathbf {u}}^{2}/c^{2})^{{3/2}}}}.

Som noterats ovan är dessa begrepp föråldrade och förknippas med ett försök att bevara Newtons klassiska rörelseekvation . ${\mathbf {F}}=m{\mathbf {a}}$

Energiförändringshastigheten är lika med skalärprodukten av kraften och kroppens hastighet:

{\frac {dE}{dt}}={\mathbf {u}}{\mathbf {F}}.

Detta leder till det faktum att, som i klassisk mekanik, komponenten av kraften vinkelrät mot partikelns hastighet inte ändrar sin energi (till exempel den magnetiska komponenten i Lorentz-kraften ).

Kovariant formulering

Metrisk tensor

Avståndet mellan två oändligt nära händelser kan skrivas med den metriska tensorn i tensorform: $g_{{\alpha \beta }}$

ds^{2}=g_{{\alpha \beta }}dx^{\alpha }\,dx^{\beta },

där , och över upprepade index, antyds summering från 0 till 3. I tröghetsreferenssystem med kartesiska koordinater har den metriska tensorn följande form: $(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)$

g_{{\alpha \beta }}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right).

Kortfattat betecknas denna diagonala matris enligt följande: . $g_{{\alpha \beta }}={\mathrm {diag}}\left\{1,-1,-1,-1\right\}$

Valet av ett icke-kartesiskt koordinatsystem (till exempel övergången till sfäriska koordinater) eller övervägandet av icke-tröghetsreferenssystem leder till en förändring av värdena för de metriska tensorkomponenterna, men dess signatur förblir oförändrad. Inom speciell relativitetsteori finns det alltid en global transformation av koordinater och tid som gör den metriska tensoren diagonal med komponenter . Denna fysiska situation motsvarar övergången till en tröghetsreferensram med kartesiska koordinater. Med andra ord är den speciella relativitetens fyrdimensionella rum-tid platt (pseudo-euklidisk). Däremot betraktar generell relativitetsteori (GR) krökta utrymmen, där den metriska tensorn inte kan reduceras till en pseudo-euklidisk form i hela rummet genom någon transformation av koordinater, men tensorns signatur förblir densamma. $\left(1,-1,-1,-1\höger)$ $g_{{\alpha \beta }}={\mathrm {diag}}\left\{1,-1,-1,-1\right\}$

4-vektor

SRT-relationer kan skrivas i tensorform genom att introducera en vektor med fyra komponenter (talet eller indexet överst på komponenten är dess nummer, inte graden!), som, när de flyttas från en tröghetsram till en annan, transformeras på liknande sätt till Lorentz-förvandlingar. Nollkomponenten i 4-vektorn kallas temporal, och komponenterna med index 1,2,3 kallas rumslig. De motsvarar komponenterna i en vanlig tredimensionell vektor, så 4-vektorn betecknas också enligt följande: . $A^{\alpha }=(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})$ $A^{\alpha }=(A^{0},{\mathbf {A)))$

Komponenterna i 4-vektorn, mätt med avseende på två tröghetsreferensramar som rör sig med en relativ hastighet , är relaterade till varandra enligt följande: $v$

A'^{0}={\frac {A^{0}-{\frac {\displaystyle v}{\displaystyle c))\,A^{1)){{\sqrt {1-{\frac { \displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}}},~~~~~~~~~~~A'^{1}={\frac {A^{1} -{\frac {\displaystyle v}{\displaystyle c}}A^{0}}{{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}} }}}},~~~~~~~~~~A'^{2}=A^{2},~~~~~~~~~~~A'^{3}=A^{ 3 }.

Exempel på 4-vektorer är:

4-koordinater - en punkt i pseudo-euklidisk rumtid: $x^{\alpha }=(ct,x,y,z)=(ct,~{\mathbf {r))),$

4-växlad : $u^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}=\gamma (u)(c,u_{x},u_{y},u_{z})=\ gamma (u)(c,{\mathbf {u}})$

4-momentum (energimomentum): . $p^{\alpha }=mu^{\alpha }=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})=(E/c,~{\mathbf {p))).$

På liknande sätt kan man definiera 4-acceleration : och 4-kraft : . $w^{\alpha }={\frac {du^{\alpha }}{d\tau }}$ $F^{\alpha }={\frac {dp^{\alpha }}{d\tau }}$

Med hjälp av den metriska tensorn kan du introducera den så kallade. kovektorer , som betecknas med samma bokstav, men med en sänkning:

A_{\alpha }=g_{{\alpha \beta }}A^({\beta }}=g_({\alpha 0}}A^{{0}}+g_{{\alpha 1}}A^ {{1}}+g_{{\alpha 2}}A^{{2}}+g_{{\alpha 3}}A^{{3}}.

För en diagonal metrisk tensor med signatur skiljer sig kovektorn från 4-vektorn genom tecknet framför de rumsliga komponenterna. Så, om , då . $g_{{\alpha \beta }}={\mathrm {diag}}(1,-1,-1,-1)$ $A^{\alpha }=(A^{0},{\mathbf {A)))$ $A_{\alpha }=(A^{0},-{\mathbf {A)))$

Konvolutionen av en vektor och en kovektor är en invariant - den har samma värde i alla tröghetsreferensramar:

g_{{\alpha \beta }}A^{{\alpha }}A^{{\beta }}=A_{\alpha }A^{\alpha }=(A^{0})^{2}- {\mathbf {A}}^{2}={\mathrm {inv}}.

För 4-koordinater är invarianten intervallet, för 4-hastighet är det kvadraten på ljusets hastighet, för 4-momentum (energimomentum) är det en kvantitet proportionell mot kvadraten av massa (vila):

p^{2}=p_{\alpha }p^{\alpha }={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-\mathbf {p} ^{2}= m^{2}c^{2}.

Experimentell grunder för SRT

Relativitetsteorin är en logiskt konsekvent teori . Detta betyder att det är omöjligt att logiskt härleda något påstående från dess initiala positioner samtidigt med dess negation. Därför är många så kallade paradoxer (som tvillingparadoxen ) uppenbara. De uppstår som ett resultat av felaktig tillämpning av teorin på vissa problem, och inte på grund av den logiska inkonsekvensen av SRT.

Giltigheten av relativitetsteorin, liksom alla andra fysikaliska teorier, testas i slutändan empiriskt [28] [29] . Den experimentella verifieringen av relativitetsteorin underlättas avsevärt av den logiska ekvivalensen av de två postulaten av SRT med kravet på Lorentz-invariansen av fysiska lagar i en referensram [28] .

Den speciella relativitetsteorin ligger till grund för all modern fysik. Därför finns det inget separat experiment som "bevisar" SRT. Hela mängden experimentella data inom högenergifysik , kärnfysik , spektroskopi , astrofysik , elektrodynamik och andra fysikområden överensstämmer med relativitetsteorin inom experimentets noggrannhet. Till exempel, i kvantelektrodynamik (som kombinerar SRT, kvantteori och Maxwells ekvationer ), sammanfaller värdet av det anomala magnetiska momentet hos en elektron med den teoretiska förutsägelsen med relativ noggrannhet [30] . Faktum är att SRT är en ingenjörsvetenskap. Dess formler används vid beräkning av elementarpartikelacceleratorer. Bearbetningen av enorma datamängder om kollisionen av partiklar som rör sig med relativistiska hastigheter i elektromagnetiska fält är baserad på lagarna för relativistisk dynamik, avvikelser från vilka inte har hittats. Korrigeringarna som följer av SRT och GRT används i satellitnavigeringssystem ( GPS , GLONASS ). SRT är kärnkraftens hjärta , etc. $10^{{-9}}$

Allt detta betyder inte att SRT inte har några gränser för tillämplighet. Tvärtom, som i alla andra teorier, existerar de, och deras upptäckt är en viktig uppgift för experimentell fysik. Till exempel, i Einsteins gravitationsteori (GR), övervägs en generalisering av det pseudo-euklidiska rummet av speciell relativitet för fallet med rum-tid med krökning, vilket gör det möjligt att förklara de flesta av de astrofysiska och kosmologiska observerbara data. Det finns försök att upptäcka rymdens anisotropi och andra effekter som kan förändra relationerna mellan SRT [31] . Det måste dock förstås att om de upptäcks kommer de att leda till mer allmänna teorier, vars begränsande fall återigen kommer att vara SRT. På samma sätt, vid låga hastigheter, förblir klassisk mekanik, som är ett specialfall av relativitetsteorin, sann. I allmänhet, i kraft av korrespondensprincipen , kan en teori som har fått många experimentella bekräftelser inte visa sig vara felaktig, även om omfattningen av dess tillämplighet kan vara begränsad.

Nedan är bara några experiment som illustrerar giltigheten av SRT och dess individuella bestämmelser.

Relativistisk tidsutvidgning

Det faktum att tiden för rörliga objekt flyter långsammare bekräftas ständigt i experiment som utförs inom högenergifysik . Till exempel ökar myonens livslängd i ringacceleratorn vid CERN [32] med noggrannhet enligt den relativistiska formeln. I detta experiment var myonernas hastighet lika med 0,9994 av ljusets hastighet , vilket resulterade i att deras livstid ökade med 29 gånger. Detta experiment är också viktigt eftersom vid en 7-meters radie av ringen nådde myonaccelerationen värden från fritt fallacceleration . Detta indikerar i sin tur att effekten av tidsdilatation endast beror på objektets hastighet och inte beror på dess acceleration. För närvarande (2017) har den experimentella verifieringen av den relativistiska tidsdilatationsformeln utförts med en noggrannhet på flera miljarddelar [33] . $2\cdot 10^{{-3}}$ $10^{18}$

Mätningen av tidsdilatation utfördes också med makroskopiska föremål. Till exempel, i Hafele-Keating- experimentet, jämfördes avläsningarna av stationära atomur och atomur som flyger på ett flygplan. Effekten av relativistisk tidsdilatation tas med i beräkningen i de inbyggda klockorna i satellitnavigeringssystem ( GPS -Navstar, GLONASS , Beidou , Galileo , etc.), så den korrekta driften av sådana system är dess experimentella bekräftelse.

Oberoende av ljusets hastighet från källans rörelse

I början av relativitetsteorin fick Walter Ritz idéer en viss popularitet att det negativa resultatet av Michelsons experiment kunde förklaras med hjälp av ballistisk teori [21] . I denna teori antogs det att ljus sänds ut med en hastighet i förhållande till källan, och ljusets hastighet och källans hastighet adderades i enlighet med den klassiska regeln för att addera hastigheter . Naturligtvis motsäger denna teori SRT. $c$

Astrofysiska observationer är ett övertygande vederläggande av en sådan idé. Till exempel, när man observerar dubbelstjärnor som roterar kring ett gemensamt masscentrum, i enlighet med Ritz teori, skulle effekter uppstå som faktiskt inte observeras ( de Sitters argument ). I själva verket skulle ljusets hastighet ("bilder") från en stjärna som närmar sig jorden vara högre än ljusets hastighet från en stjärna som drar sig tillbaka under rotation. På ett stort avstånd från det binära systemet skulle den snabbare "bilden" avsevärt gå om den långsammare. Som ett resultat skulle den uppenbara rörelsen av binära stjärnor se ganska konstigt ut, vilket inte observeras.

Ibland finns det en invändning att Ritz-hypotesen är "faktiskt" korrekt, men ljus, när det rör sig genom det interstellära rymden, återutsänds av väteatomer , som har ett genomsnitt på nollhastighet i förhållande till jorden, och snabbt förvärvar hastighet . $c$

Men om så vore fallet, skulle det finnas en signifikant skillnad i bilden av dubbelstjärnor i olika intervall av spektrumet , eftersom effekten av att "medbringa" ljus av mediet beror avsevärt på dess frekvens [34] .

I experimenten av Tomaszek (1923) jämfördes interferensmönster från terrestra och utomjordiska källor ( Solen , Månen , Jupiter , stjärnorna Sirius och Arcturus ) med hjälp av en interferometer . Alla dessa objekt hade olika hastigheter i förhållande till jorden , men förändringen av interferenskanterna som förväntades i Ritz-modellen hittades inte. Dessa experiment upprepades därefter flera gånger. Till exempel, i experimentet av A. M. Bonch-Bruevich och V. A. Molchanov (1956), mättes ljusets hastighet från olika kanter av den roterande solen. Resultaten av dessa experiment motsäger också Ritz-hypotesen [35] .

Ljushastighetens oberoende av källans hastighet registreras också i markbaserade experiment. Till exempel mättes hastigheten för ett par fotoner, som härrör från förintelsen av en elektron och en positron , vars masscentrum rörde sig med en hastighet lika med halva ljusets hastighet . Med en experimentell noggrannhet på 10 % hittades inte tillägget av ljusets hastighet och källans hastighet [36] [37] [38] .

Historisk översikt

Samband med andra teorier

Gravity

Newtons universella gravitationslag är förenlig med klassisk mekanik , men oförenlig med speciell relativitet. Eftersom Coulombs lag (liknande Newtons gravitationslag) är oförenlig med SRT, men Maxwells elektromagnetismekvationer är kompatibla , uppstod idén att söka efter liknande ekvationer för gravitationsfältet ( gravitomagnetism ), som bara skilde sig i tecken och konstanta faktorer.

Kanske en av de första som föreslog en analogi mellan gravitationen och Maxwells ekvationer var Oliver Heaviside 1893 [39] [40] [41] .

Baserat på relativitetsprincipen , Henri Poincaré (1905, 1906) [42] [43] , Richard Hans (1905) [44] , Hermann Minkowski (1908) [45] [46] , Arnold Sommerfeld (1910) [47] och Hendrik Lorentz (1910) [48] publicerade flera versioner av en modifierad Newtonsk gravitationsteori som är kompatibel med speciell relativitet. För invarians med avseende på Lorentz-transformationer togs tyngdkraftens utbredningshastighet lika med ljusets hastighet. Alla dessa teorier visade sig vara misslyckade - i synnerhet fanns det ingen ekvation för gravitationsfältet och en otillräcklig förskjutning av Merkurius perihelion förutspåddes (cirka 6 gånger mindre än vad som observerats) [49] [50] .

År 1922 härledde Felix Kottler [51] en serie relationer för den Lorentz-invarianta teorin om gravitation genom vektor- och tensoralgebra, och erhöll ett fullständigt uttryck för gravitationskraften och gravitationskraftens 4-potential.

En teori om gravitation som matematiskt upprepar Maxwells teori om elektromagnetism är inte den enda möjliga teorin om gravitation som är kompatibel med SRT; det finns andra Lorentz-invarianta teorier [52] . Dessa inkluderar i synnerhet två teorier om Nordström , skapade 1912 och 1913, som dock förutspådde inte bara det felaktiga värdet av den anomala förskjutningen av Merkurius perihelium, utan även fel tecken på förskjutningen [53] .

För att beskriva gravitationen utvecklade Einstein en förlängning av SRT ( allmän relativitetsteori ) där gravitationens källa är rumtidens krökning . Ändå kan dynamiken även inom SRT innefatta gravitationsinteraktion, så länge gravitationsfältets potential är mycket mindre än . $c^{2}$

Det bör också noteras att den speciella relativitetsteorin upphör att fungera på hela universums skala och kräver att den ersätts med allmän relativitet .

Klassisk mekanik

Relativitetsteorin kommer i betydande konflikt med vissa aspekter av klassisk mekanik . Till exempel visar Ehrenfests paradox att SRT är oförenligt med konceptet med en absolut stel kropp . Det bör noteras att även inom klassisk fysik antas det att den mekaniska verkan på en solid kropp fortplantar sig med ljudets hastighet , och inte på något sätt med en oändlig sådan (som det borde vara i ett imaginärt absolut fast medium).

Kvantmekanik

Special relativitetsteori är (i motsats till allmän) fullt kompatibel med kvantmekanik . Deras syntes är relativistisk kvantfältteori . Båda teorierna är dock ganska oberoende av varandra. Det är möjligt att bygga både kvantmekanik baserad på Galileos icke-relativistiska relativitetsprincip (se Schrödinger-ekvationen ), och teorier baserade på SRT, helt bortse från kvanteffekter. Till exempel kan kvantfältteori formuleras som en icke-relativistisk teori [54] . Samtidigt kan ett sådant kvantmekaniskt fenomen som spin inte konsekvent beskrivas utan att åberopa relativitetsteorin (se Diracs ekvation ).

Utvecklingen av kvantteorin pågår fortfarande, och många fysiker tror att den framtida teorin om allt kommer att svara på alla frågor som har en fysisk betydelse, och kommer att ge både SRT i kombination med kvantfältteori och allmän relativitet inom gränserna. Troligtvis kommer SRT att möta samma öde som Newtons mekanik - gränserna för dess tillämplighet kommer att beskrivas exakt. Samtidigt är en sådan maximalt allmän teori fortfarande en avlägsen utsikt.

Paradoxer för speciell relativitet

Bells paradox: Kommer strängen som förbinder relativistiska objekt att gå sönder?
GZK-paradox : Observerade kosmiska strålar med hög energi tycks bryta mot Greisen-Zatsepin-Kuzmin-gränsen , vilket är en konsekvens av SRT.
Trapp (eller stolpe och skjul) paradox : Kan en stege passa in i ett mindre garage på grund av relativistisk längdsammandragning?
Tvillingparadox : När den resande tvillingen kom tillbaka, var han yngre eller äldre än hans bror som stannade på jorden?
Submarine Paradox : Arkimedeskraften på ett relativistiskt objekt (som en kula) förändras när den flyttas från en ram där kulan är i vila till en ram där vätskan är i vila.
Ehrenfests paradox om kinematiken hos en absolut stel roterande skiva.

Se även

Anteckningar

Kommentarer

↑ För första gången erhölls sådana transformationer av rum-tidskoordinater av Vogt 1887 när han studerade Dopplereffekten (för ljus) som transformationer som bevarar svängningsekvationen för ett elastiskt medium - den lysande etern . Detta arbete har gått obemärkt förbi. Inte ens Vogt själv använde dessa fynd i sin efterföljande tidning samma år. Lorenz 1892 och 1895 _ introducerar formellt begreppet "lokal tid", vilket ungefär håller Maxwells ekvationer oförändrade i en rörlig referensram. År 1900 publicerade Larmor transformationer som bevarar Maxwells ekvationer i hans verk "Aether and Matter". Samma förvandlingar återupptäcktes redan av Lorentz 1904 . "Lorentz-förvandlingar" namngavs först av A. Poincaré, och detta namn höll fast vid dem.

Källor

↑ Ginzburg V. L. Hur och vem skapade relativitetsteorin? i Einstein-samlingen, 1974. - M . : Nauka, 1976. - S. 351-385. — 400 s. - 9200 exemplar.
↑ Ginzburg V. L. Hur och vem skapade relativitetsteorin? i Einstein-samlingen, 1966. - M . : Nauka, 1966. - S. 366-378. — 375 sid. - 16 000 exemplar.
↑ Satsunkevich I. S. Experimentella rötter till den speciella relativitetsteorin . - 2:a uppl. - M. : URSS, 2003. - 176 sid. — ISBN 5-354-00497-7 .
↑ Misner C. , Thorn C. , Wheeler J. Gravity . - M .: Mir, 1977. - T. 1. - S. 109. - 474 sid.
↑ Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Korper - Ann Phys - 1905 - Bd 17 - S. 891.
översättning: Einstein A. Om en rörlig kropps elektrodynamik // Samling av vetenskapliga artiklar. - S. 7-35.
↑ Kittel Ch., Nait U., Ruderman M. Berkeley Physics Course. - 3:e upplagan, reviderad. - M . : Nauka, 1986. - T. I. Mechanics. - S. 373,374. — 481 sid.
↑ Beginnings of theoretical physics, 2007 , sid. 157.
↑ 1 2 Evolution of Physics, 1948 , sid. 167.
↑ "The Principle of Parametric Incompleteness" Arkiverad 7 augusti 2010 på Wayback Machine i The Relativistic World Arkiverad 23 augusti 2021 på Wayback Machine
↑ Beginnings of theoretical physics, 2007 , sid. 169.
↑ Nevanlinna, 1966 , sid. 122.
↑ 1 2 Chudinov E. M. Relativitetsteori och filosofi - M .: Politizdat, 1974. - S. 222-227.
↑ Beginnings of theoretical physics, 2007 , sid. 170.
↑ Nevanlinna, 1966 , sid. 184.
↑ von W. v. Ignatowsky "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip" Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 ( rysk översättning arkiverad 2 juli 2017 på Wayback Machine )
↑ 1 2 av Philipp Frank och Hermann Rothe "Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme" Ann. der Physic, Ser. 4, vol. 34, nr. 5, 1911, sid. 825-855 ( rysk översättning Arkiverad 29 augusti 2014 på Wayback Machine )
↑ Mermin N. D. Relativitetsteori utan postulatet om ljusets hastighets konstantitet // Fysik utomlands. Series B. (1986)
Translation of
Mermin ND Relativity without light // Am. J. Phys., vol. 52, nr. 2 (1984) sid. 119-124.
↑ 1 2 3 A. K. Guts, "Axiomatic theory of relativity", Uspekhi Mat. Nauk, 37:2(224) (1982), sid. 39-79.
↑ Pauli W. Relativitetsteori. - M . : Science, upplaga 3, korrigerad. - S. 26. - 328 sid. - 17 700 exemplar. - ISBN 5-02-014346-4 .
↑ Matveev A. N. Mekanik och relativitetsteorin. — 2:a upplagan, reviderad. - M . : Högre. skola., 1986. - S. 78-80. — 320 s. — 28 000 exemplar.
↑ 1 2 Pauli W. Relativitetsteorin. - M . : Science, upplaga 3, korrigerad. — 328 sid. - 17 700 exemplar. - ISBN 5-02-014346-4 .
↑ 1 2 "Lorentz Transformations" Arkiverad 25 augusti 2021 på Wayback Machine i The Relativistic World Arkiverad 23 augusti 2021 på Wayback Machine .
↑ Fok V. A. Teori om rymdtid och gravitation. — Upplaga 2, kompletterad. - M . : State ed. Phys.-Matte. lit., 1961. - S. 510-518. — 568 sid. — 10 000 exemplar.
↑ Terletsky Ya. P. Paradoxer i relativitetsteorin. - M . : Nauka, 1966. - S. 23-31. — 120 s. — 16 500 exemplar.
↑ Pauli W. Relativitetsteori. - M . : Science, upplaga 3, korrigerad. - S. 27. - 328 sid. - 17 700 exemplar. - ISBN 5-02-014346-4 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Okun L. B. "The concept of mass", UFN, 1989, Issue 7. s. 511-530. ( artikel Arkiverad 7 september 2011 på Wayback Machine )
↑ 1 2 Anisovich K. V. Om de experimentella grunderna för den speciella relativitetsteorin // Einstein-samlingen 1973. - M., Nauka, 1974. - s. 360-395
↑ Vavilov S. I. Experimentella grunder för relativitetsteorin // Samlade verk, vol 4. - M., USSR Academy of Sciences, 1956
↑ Brodsky S., Drell S. Modern status för kvantelektrodynamiken. - UFN , 1972. - T. 107, V.1. - S. 57-98.
↑ Aether är tillbaka? . Tillträdesdatum: 18 december 2008. Arkiverad från originalet den 7 januari 2008. (obestämd)
↑ Bailey J. et al. Mätningar av relativistisk tidsdilatation för positiva och negativa myoner i en cirkulär bana // Nature . - 1977. - Vol. 268 – Iss. 5618 . - S. 301-305. - doi : 10.1038/268301a0 .
↑ Botermann B. et al. Test av tidsutvidgning med hjälp av lagrade Li + joner som klockor med relativistisk hastighet // Fysiska granskningsbokstäver . - 2014. - Vol. 113.- Iss. 12 . - P. 120405. - doi : 10.1103/PhysRevLett.113.120405 . - arXiv : 1409.7951 .
↑ Satsunkevich I. S. Experimentella rötter till den speciella relativitetsteorin . - 2:a uppl. - M. : URSS, 2003. - S. 128-130. — 176 sid. — ISBN 5-354-00497-7 .
↑ Satsunkevich I. S. Experimentella rötter till den speciella relativitetsteorin . - 2:a uppl. - M. : URSS, 2003. - S. 122-123. — 176 sid. — ISBN 5-354-00497-7 .
↑ Sadeh D. Experimentella bevis för konstanten av hastigheten hos gammastrålar, med användning av förintelse under flygning. — Fysisk. Varv. Lett. 10, 1963. - s. 271-273.
↑ Sivukhin D. V. § 103. Ljushastighetens oberoende från källans rörelse // Fysikens allmänna kurs. - M . : Nauka , 1980. - T. IV. Optik. — 768 sid.
↑ Frankfurt U. I. , Frank A. M. kapitel: Oberoende av ljusets hastighet från källans hastighet // Optik hos rörliga kroppar. — M .: Nauka , 1972.
↑ Oliver Heaviside. En gravitations- och elektromagnetisk analogi, arkiverad 2 juni 2021 på Wayback Machine , del I, The Electrician, 31 , 281-282 (1893).
↑ Oliver Heaviside. A Gravitational and Electromagnetic Analogy, Del II, The Electrician, 31 , 359 (1893).
↑ O. Heaviside, Electromagnetic Theory, The Electrician Printing and Publishing Co., London, 1894, Vol. I, bilaga B.
↑ Poincaré H. "Sur la dynamique de l'electron", Rendicenti del Circolo Matematico di Palermo, 1906, v.XXI, sid. 129, Mottaget för publicering 23 juli 1905).
↑ Lorentz-Poincarés relativitetsteori och en skalär teori om gravitation. . Hämtad 2 juni 2021. Arkiverad från originalet 12 juli 2015. (obestämd)
↑ Gans, Richard. 1905. Gravitation und Elektromagnetismus. Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung 14: 578-581.
↑ Minkowski, Hermann. 1908. "Die Grundgleichungen fur die electromagnetischen Vorgange in bewegten Korpern". Nachrichten von der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, 53-111. (Engelsk översättning av bilagan "Mechanics and the Relativity Postulate" i denna volym.).
↑ Minkowski, Hermann. 1909. Raum und Zeit. Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung 18: 75-88.
↑ Sommerfeld, Arnold. 1910. "Zur Relativitatstheorie, II: Vierdimensionale Vektoranalysis". Annalen der Physik 33: 649-689.
↑ Lorentz HA "Alte und neue Fragen der Physik", Physikalische Zeitschrift, 1910, 11 , 1234-1257.
↑ Vizgin V.P., 1981 , sid. 60-63, 69-93.
↑ Walter, S. (2007). Renn, J., red. "Att bryta in 4-vektorerna: den fyrdimensionella rörelsen i gravitationen, 1905–1910" (PDF) . Generell relativitets uppkomst . Berlin. 3 : 193-252. Bibcode : 2007ggr..conf..193W . Arkiverad (PDF) från originalet 2021-06-02 . Hämtad 2021-06-02 . Utfasad parameter används |deadlink=( hjälp )
↑ Kottler, Felix. 1922. Gravitation und Relativitatstheorie. I Karl Schwarzschild, Samuel Oppenheim och Walther von Dyck (red.), Astronomie, 2 vols, 2: 159-237. Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen 6. Leipzig: Teubner.
↑ Edward G. Harris. Klass av Lorentz-invarianta teorier om gravitation. American Journal of Physics 49, 1051 (1981); https://doi.org/10.1119/1.12581
↑ Vizgin V.P., 1981 , sid. 166-189.
↑ Shvarts A. S. Matematiska grunder för kvantfältteorin. Moskva: Atomizdat, 1975.

Litteratur

Allmän

Vizgin V.P. Relativistisk gravitationsteori. Ursprung och bildning. 1900-1915. — M .: Nauka , 1981. — 352 sid.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Pauli W. Relativitetsteorin. Ed. 2:a, rev. och ytterligare Transl. med honom. — M.: Nauka, 1983. — 336 sid.
Spassky B.I. Fysikens historia. Volym 2, del 2. Moskva: Högre skola, 1977.
Whittaker E. Historien om teorin om eter och elektricitet. Moderna teorier 1900-1926. Per från engelska. Moskva, Izhevsk: IKI, 2004. 464 sid. ISBN 5-93972-304-7 (kapitel 2)

Grundarnas verk

Relativitetsprincipen. lö. arbetar med den speciella relativitetsteorin. Moskva: Atomizdat, 1973.
G.A. Lorentz . Michelsons interferensexperiment . Från boken "Versuchiner Theoriederelektrischenundoptischen Erscheinungeninbewegten Korpern. Leiden, 1895 , paragraf 89...92.
GA Lorents Elektromagnetiska fenomen i ett system som rör sig med vilken hastighet som helst som är lägre än ljusets hastighet. Proc Acad., Amsterdam, 1904 , v 6, sid. 809.
A. Poincare . Tidsmätning. Revue Metaphysiqueetde Morale, 1898 , t. 6, sid. 1…13.
A. Poincare . Optiska fenomen i rörliga kroppar. ElectriciteetOptique, G. CarreetC. Naud, Paris, 1901 , sid. 535…536.
A. Poincare . Om relativitetsprincipen för rymd och rörelse. Kapitel 5 ... 7 från boken "Science and Hypothesis" (H. Poinrare. Science and Hypothesis. Paris, 1902. )
A. Poincare . Nutid och framtid för matematisk fysik. Artikel publicerad i Bulletindes Sciences Mathematiques, 1904 , v. 28, ser. 2, sid. 302.
A. Poincare . Om elektronens dynamik. Rendicontidel Circolo Matematicodi Palermo, 1906.
A. Einstein . Om elektrodynamiken hos rörliga kroppar. Ann. d. Phys., 1905 (manuskriptet mottaget 30 juni 1905 ), f. 17, s. 89.
Einstein A. Samling av vetenskapliga artiklar i fyra volymer. Volym 1. Verk om relativitetsteorin 1905-1920. Moskva: Nauka, 1965.
Einstein A. Kärnan i relativitetsteorin. — M.: Ed. i. lit., 1955. - 157 sid.
A. Einstein , L. Infeld . Fysikens utveckling. - M. : OGIZ, 1948. - 267 sid.

ytterligare litteratur

Ugarov V. A. Special relativitetsteori. 2:a uppl. Moskva: Nauka, 1977.
Tonnela M. A. Grunderna för elektromagnetism och relativitetsteorin. M.: IL, 1962.
Tolman R. Relativitet, termodynamik och kosmologi. Moskva: Nauka, 1974.
Physical Encyclopedia, v.2 - M .: Great Russian Encyclopedia. Fysisk uppslagsverk.
Medvedev BV Början av teoretisk fysik. - M. : Fizmatlit, 2007. - 600 sid.
Nevanlinna R. Rum, tid och relativitet. - M . : Mir, 1966. - 229 sid.

Länkar

Relativistisk värld - föreläsningar om relativitetsteori, gravitation och kosmologi
Allmän och speciell relativitetsteori på sajten "World of matematiska ekvationer" EqWorld
Verk som beskriver strukturen för SRT och relativiteten för klocksynkronisering i den: arxiv: gr-qc/0510024 ; arxiv: gr-qc/0510017 ; arxiv: gr-qc/0205039
Artikel om A. Poincarés bidrag till skapandet av SRT: T. Damour: Poincare, Relativity, Billiard and Symmetry

Ordböcker och uppslagsverk	stor kines Stor ryss runt världen Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger	BNF : 119327466 GND : 4182215-8 J9U : 987007565727105171 LCCN : sh85126383 NKC : ph1086057

Avsnitt av mekanik
klassisk mekanik Särskild relativitetsteori Teoretisk mekanik Allmän relativitetsteori Relativistisk mekanik Kvantmekanik
Kontinuummekanik	Hydrostatik Hydrodynamik Aeromekanik Aerostatik gasdynamik Teori om elasticitet Teori om plasticitet Brottmekanik för fasta ämnen Reologi
teorier	Oscillationsteori Teori om hållbarhet
tillämpad mekanik	Materialets styrka Teori om mekanismer och maskiner Maskindelar Strukturell mekanik Hydraulik Mekatronik Himmelsk mekanik Optomekatronik