Sturm-Liouville problem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 april 2020; verifiering kräver 1 redigering .

Sturm-Liouville-problemet , uppkallat efter Jacques Charles Francois Sturm och Joseph Liouville , är att hitta icke-triviala (dvs. skiljer sig från identiska noll) lösningar på intervallet för Sturm-Liouville-ekvationen $(a,\;b)$

L[y]=\lambda \rho (x)y(x),

som uppfyller homogena gränsvillkor (gränsvillkor).

{\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _ {1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2} +\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}

och värden för parametern som sådana lösningar finns för. $\lambda$

Operatören här är en linjär differentialoperator av andra ordningen som verkar på en funktion av formen $L[y]$ $y(x)$

L[y]\equiv {\frac {d}{dx}}\left[-p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)

( Sturm-Liouville- operatör eller Schrödinger-operatör), är ett riktigt argument. $x$

Funktionerna antas vara kontinuerliga på , dessutom är funktionerna positiva på . $p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho (x)$ $(a,\;b)$ $p(x),\;\rho (x)$ $(a,\;b)$

De önskade icke-triviala lösningarna kallas egenfunktioner av detta problem, och värdena för vilka en sådan lösning finns är dess egenvärden (varje egenvärde motsvarar sin egen funktion). $\lambda$

Förklaring av problemet

Typ av ekvation

Om funktionerna och är två gånger kontinuerligt differentierbara och positiva på intervallet och funktionen är kontinuerlig på , då Sturm–Liouvilles ekvation av formen $\rho$ $sid$ $[a,b]$ $q$ $[a,\;b]$

(p(x)y')'-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0

genom att använda Liouville-transformationen reduceras till formen [1] [2]

-y''+q_{1}(x)y=\lambda y.\qquad (1)

Därför betraktas Sturm-Liouville-ekvationen ofta i formen (1), funktionen kallas potentialen [3] [4] . Sturm-Liouville problem med potentialer från olika klasser av funktioner studeras: kontinuerlig , (summbar) och andra. $q_{1}(x)$ $L$ $L_{2}$

Typer av randvillkor

Dirichlet villkor $y(a) = y(b) = 0.$
Neumann-förhållanden $y'(a) = y'(b) = 0$
Robin termer $y'(a) - hy(a) = 0, \quad y'(b) + H y(b) = 0.$
Blandade förhållanden: förhållanden av olika typer i olika ändar av segmentet . $[a,\;b]$
Förfallande randvillkor av allmän form

\begin{array}{l} \alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ \alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0. \\ \end{array}

Periodiska förhållanden . $y(a) = y(b), \quad y'(a) = y'(b)$
Antiperiodiska tillstånd . $y(a) = -y(b), \quad y'(a) = -y'(b)$
Allmänna randvillkor

a_{i1}y(a)+a_{i2}y'(a)+a_{i3}y(b)+a_{i4}y'(b)=0,\quad i=1,\ ;2.

I det senare fallet ställs vanligtvis ytterligare regularitetsvillkor på koefficienterna . [3] [5] $a_{{ij}}$

För enkelhetens skull översätts ett godtyckligt segment ofta till ett segment eller med hjälp av en förändring av variabel. $[a,\;b]$ $[0,\;l]$ $[0,\;\pi ]$

Sturm-Liouville operatör

L y = -\frac{1}{\rho(x)} \Bigl( \frac{d}{dx}\left[ p(x) \frac{d}{dx}y \right] - q(x ) och \Bigr)

är ett specialfall av en linjär differentialoperator [6]

p_{0}(x)y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+\ldots +p_{n}(x)y.

Operatörens definitionsdomän består av funktioner som är två gånger kontinuerligt differentierbara på intervallet och som uppfyller gränsvillkoren för Sturm–Liouville-problemet. Således kan Sturm-Liouville-problemet betraktas som ett problem för operatörens egenvärden och egenfunktioner : . Om funktionerna och koefficienterna för randvillkoren är verkliga , så är operatören självadjoint i Hilbert-utrymmet . Därför är dess egenvärden reella och egenfunktionerna är ortogonala med vikt . $L$ $[a,\;b]$ $y$ $L$ $L y = \lambda y$ $p,\ q,\ \rho$ $L$ $L_{2}([a,\;b],\;\rho (x)\,dx)$ $\rho(x)$

Lösning på problemet

Exempel

Lösning på Sturm-Liouville-problemet med noll potential:

-y''=\lambda y,\qquad (2)

y(0)=y(l)=0

kan hittas explicit [7] . Låt . Den allmänna lösningen av ekvation (2) för varje fix har formen $\lambda = \rho^2$ $\lambda$

y(x)=A{\frac {\sin \rho x}{\rho }}+B\cos \rho x\qquad (3)

(i synnerhet när (3) ger ). Från följer . Genom att ersätta (3) i gränsvillkoret får vi . Eftersom vi letar efter icke-triviala lösningar, då , och vi kommer fram till en egenvärdesekvation $\rho=0$ $y(x) = Ax + B$ $y(0) = 0$ $B=0$ $y(l) = 0$ $A{\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0$ $En \ne 0$

{\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0.

Dess rötter är därför de önskade egenvärdena av formen $\rho_n = \frac{\pi n}{l}$

\lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;3,\;\ ldots

och deras motsvarande egenfunktioner är

y_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots

(upp till en konstant faktor).

Allmänt fall

I allmänhet, vilken lösning som helst av Sturm-Liouvilles ekvation

-y'' + q(x)y = \lambda y \qquad (4)

representeras som en linjär kombination

y(x)=AS(x,\;\lambda )+BC(x,\;\lambda )\qquad (5)

dess lösningar och som uppfyller de initiala villkoren $S(x,\;\lambda )$ $C(x,\;\lambda )$

S(0,\;\lambda )=C'(0,\;\lambda )=0,\quad S'(0,\;\lambda )=C(0,\;\lambda )=1

Lösningar och bildar ett grundläggande system av lösningar till ekvation (4) och är hela funktioner med avseende på varje fast . (För , , ). Genom att ersätta (5) i randvillkoren får vi att egenvärdena sammanfaller med nollorna för den karakteristiska funktionen $S(x,\;\lambda )$ $C(x,\;\lambda )$ $\lambda$ $x$ $q(x) \ekvivalent 0$ $S(x,\;\lambda )=\sin \rho x$ $C(x,\;\lambda )=\cos \rho x$ $\rho = \sqrt \lambda$ $y(0) = y(\pi) = 0$

\Delta (\lambda )=S(\pi ,\;\lambda ),

analytisk i hela -planet. [fyra] $\lambda$

I det allmänna fallet kan egenvärden och egenfunktioner inte hittas explicit, men asymptotiska formler har erhållits för dem:

\sqrt \lambda_n = n + \frac{c}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right), \quad c = \frac{1}{2\pi} \int_0 ^{\pi} q(\tau) \, d \tau,

y_{n}(x)=\sin nx+O\left({\frac {1}{n^{2))}\right),

(vid kontinuerlig på potentialen ). [8] För stor är egenvärdena och egenfunktionerna nära egenvärdena och egenfunktionerna för problemet från exemplet med nollpotential. $[0,\;\pi ]$ $q(x)$ $n$

Egenskaper för egenvärden och egenfunktioner

Det finns en oändlig räkningsbar uppsättning egenvärden: $\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}<\ldots$
Varje egenvärde motsvarar en unik egenfunktion upp till en konstant faktor . $\lambda_n$ $y_{n}$
Alla egenvärden är reella .
I fallet med randvillkor och när villkoret är uppfyllt är alla egenvärden positiva . $y(a)=y(b)=0$ $q(x)\geqslant 0$ $\lambda _{n}>0$
Egenfunktionerna bildar ett ortogonalt system med vikt : $y_{n}(x)$ $[a,\;b]$ $\rho (x)$ $\{y_{n}(x)\}$

\int \limits _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)\rho (x)\,dx=0,\quad n\neq m.

Steklovs teorem håller .

Numeriska metoder för lösning

skjutningsmetod . För att lösa Sturm-Liouville-problemet med Dirichlets randvillkor kan vi ta Cauchy-problemet med initiala villkor för den initiala ekvationen och justera parametern tills det rätta randvillkoret är uppfyllt. [9] $y(a) = y(b) = 0$ $u(a) = 0$ $u'(a) = 1$ $\lambda$
Finita skillnadsmetod [10] [11] . En approximation med ändlig skillnad konstrueras , vilket gör det möjligt att ersätta Sturm-Liouville-problemet med problemet att hitta matrisens egenvärden.
Förstärkt vektormetod. Skillnadens egenfunktion kompletteras av komponenten . I förhållande till den förstärkta vektorn erhålls ett icke-linjärt system som kan lösas med Newtons metod . [12] ${\displaystyle y=\{y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{N}\))$ $y_{N + 1} = \lambda$
Galerkins metod . [13]
Varierande metoder . [fjorton]

Tillämpning på lösningen av partiella differentialekvationer

Sturm-Liouville-problem uppstår när man löser partiella differentialekvationer med metoden för separation av variabler .

Som ett exempel, betrakta gränsvärdesproblemet för en ekvation av hyperbolisk typ :

\rho (x)u_{tt}=(k(x)u_{x})_{x}-q(x)u,\quad 0<x<l,\;t>0,\qquad (6)

(h_1 u_x - hu)_{|x = 0} = 0, \quad (H_1 u_x + H u)_{|x = l} = 0, \qquad (7)

u_{|t = 0} = \Phi(x), \quad u_{t|t = 0} = \Psi(x). \qquad (8)

Här och är oberoende variabler , är en okänd funktion, , , , , är kända funktioner och är reella tal . [15] Vi kommer att leta efter dellösningar av ekvation (6) som inte är identiskt noll och som uppfyller randvillkoren (7) i formen $x$ $t$ $u(x,\;t)$ $\rho$ $k$ $q$ $\Phi$ $\psi$ ${\displaystyle h,\ h_{1},\ H,\ H_{1))$

u(x,t)=Y(x)T(t).\qquad (9)

Substitution av formen (9) i ekvation (6) ger

\frac{(k(x)Y'(x))' - q(x)Y(x)}{\rho(x) Y(x)} = \frac{T''(t)}{T( t)}.

Eftersom och är oberoende variabler, är likhet endast möjlig om båda bråken är lika med en konstant. Låt oss beteckna denna konstant med . Vi får $x$ $t$ $-\lambda$

T''(t) + \lambda T(t) = 0, \qquad (10)

-(k(x)Y'(x))' + q(x) Y(x) = \lambda \rho(x) Y(x), \quad 0 < x < l. \qquad (11)

Substitution av formen (9) i gränsvillkoren (7) ger

h_1 Y'(0) - h Y(0) = 0, \quad H_1 Y'(l) + HY(l) = 0. \qquad (12)

Icke-triviala lösningar (6) - (7) av formen (9) finns endast för värden som är egenvärden för Sturm - Liouville-problemet (11) - (12) . Dessa lösningar har formen , där är egenfunktionerna till problem (11)–(12) och är lösningarna till Ekv . Lösningen av problem (6) - (8) är i form av en summa av särskilda lösningar ( Fourier-serier i termer av egenfunktioner av Sturm - Liouville-problemet ): $\lambda$ $\lambda_n$ $T_n(t) Y_n(x)$ $Y_n(x)$ $T_n(t)$ $\lambda = \lambda_n$ $Y_n(x)$

u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} T_n(t) Y_n(x).

Omvända Sturm-Liouville-problem

De omvända Sturm-Liouville-problemen består i att återställa potentialen för Sturm-Liouville-operatören och koefficienterna för randvillkoren från de spektrala egenskaperna. [8] [3] [4] Omvända Sturm-Liouville-problem och deras generaliseringar har tillämpningar inom mekanik , fysik , elektronik , geofysik , meteorologi och andra områden inom naturvetenskap och teknologi. Det finns en viktig metod för att integrera icke-linjära evolutionsekvationer (till exempel KdV-ekvationen ) förknippad med användningen av det omvända Sturm-Liouville-problemet på ( )-axeln. $q(x)$ $-y'' + q(x)y$ $-\infty < x < \infty$

Som regel räcker inte ett spektrum (en uppsättning egenvärden) för att unikt återställa en operator. Därför används vanligtvis följande spektrala egenskaper som initialdata för det omvända problemet:

Två spektra som motsvarar olika randvillkor (Borgs problem).
Spektraldata inklusive egenvärden och vikttal lika med kvadratiska normer för $L_{2}$ egenfunktioner i .
Weyl- funktionen är en meromorf funktion lika med förhållandet mellan två karakteristiska funktioner för olika gränsvärdeproblem.

Var och en av datamängderna 1-3 definierar potentialen unikt . Att specificera Weyl-funktionen är dessutom ekvivalent med att specificera två spektra eller spektraldata, så omvända problem på data 1-3 är ekvivalenta. Det finns konstruktiva metoder för att lösa inversa Sturm-Liouville-problem baserade på reduktionen av icke-linjära inversa problem till linjära ekvationer i vissa Banach-rum . [fyra] $q(x)$

Se även

Anteckningar

↑ Levitan, Sargsyan, 1988 , sid. tio.
↑ Yurko, 2010 , sid. 45.
↑ 1 2 3 Marchenko, 1977 .
↑ 1 2 3 4 Yurko, 2007 .
↑ Naimark, 1969 , sid. 72.
↑ Naimark, 1969 .
↑ Yurko, 2010 , sid. 25.
↑ 1 2 Levitan, Sargsyan, 1988 .
↑ Kalitkin, 1978 , sid. 281.
↑ Kalitkin, 1978 , sid. 284.
↑ Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobelkov G. M. Numeriska metoder. - Binom, 2008. - ISBN 978-5-94774-815-4 .
↑ Kalitkin, 1978 , sid. 286.
↑ Kalitkin, 1978 , sid. 287.
↑ Gelfand I. M., Fomin S. V. Variationsanalys. — 1961.
↑ Yurko, 2010 , sid. trettio.

Litteratur

Levitan B. M. , Sargsyan I. S. Sturm-Liouville och Dirac-operatörer. - M . : Vetenskap. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1988. - 432 sid. — ISBN 5-02-013751-0 .
Marchenko V. A. Sturm-Liouville-operatörer och deras applikationer. - Kiev: Naukova Dumka, 1977.
Akhtyamov A. M. , Sadovnichy V. A. , Sultanaev Ya. T. Omvända Sturm-Liouville-problem med icke-förfallande randvillkor. - M. : Moscow Universitys förlag, 2009. - 184 sid. - ISBN 978-5-211-05557-5 .
Yurko VA Ekvationer av matematisk fysik. — Saratov, 2010.
Yurko VA Introduktion till teorin om inversa spektralproblem. - M. : Fizmatlit, 2007. - 384 sid. — ISBN 978-5-9221-07 .
Naimark M. A. Linjära differentialoperatorer. - M . : Nauka, 1969.
Kalitkin N. N. Numeriska metoder. — M .: Nauka, 1978.

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen