Trigonometriska konstanter

Den här artikeln ger exakta algebraiska uttryck för vissa trigonometriska tal . Sådana uttryck kan till exempel krävas för att få resultaten av uttryck med trigonometriska funktioner till en radikal form, vilket gör det möjligt för ytterligare förenklingar.

Alla trigonometriska tal är algebraiska . Vissa trigonometriska tal kan uttryckas i komplexa radikaler , men inte alltid i reella: i synnerhet, bland värdena för trigonometriska funktioner i vinklar uttryckta i heltalsgrader , kan endast värden i de av dem anges uttryckt i reella radikaler , varvid antalet grader är en multipel av tre. Men enligt Abels teorem finns det också de som är oavgjorda i radikaler.

Enligt Nivens sats är värdet av en sinus med ett rationellt argument i grader antingen irrationellt eller lika med ett av talen bland , , , , . $0$ ${\frac {1}{2))$ $ett$ $-\frac{1}{2}$ $-ett$

Genom Bakers sats , om sinus , cosinus eller tangent vid en given punkt ger ett algebraiskt tal , då är deras argument i grader antingen rationellt eller transcendentalt . Med andra ord, om argumentet i grader är algebraiskt och irrationellt , kommer värdena för alla trigonometriska funktioner från detta argument att vara transcendentala .

Inklusionskriterier

Värden för trigonometriska funktioner i ett argument som är proportionerliga med är uttryckbara i reella radikaler endast om nämnaren för det reducerade rationella bråket som erhålls genom att dividera det med är en potens av två multiplicerat med produkten av flera Fermat-primtal (se Gauss-Wanzels sats ). Den här sidan ägnas huvudsakligen åt vinklar uttryckta i verkliga radikaler. $\pi$ $\pi$

Med hjälp av halvvinkelformeln kan man erhålla algebraiska uttryck för värdena för trigonometriska funktioner i vilken vinkel som helst för vilken de redan har hittats, uppdelade i hälften. Speciellt för vinklar som ligger på intervallet från till , är formlerna sanna $0$ ${\frac {\pi }{2))$

\sin {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 2))

, och .

\cos {\alpha \over 2}={\sqrt {1+\cos \alpha \over 2))

\operatorname {tg} {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}

Uttrycken nedan gör det också möjligt att erhålla uttryck i komplexa radikaler för värdena för trigonometriska funktioner i de vinklar där de inte uttrycks i verkliga. Till exempel, givet formeln för vinkeln, formeln för $\theta$ $\theta$ 3kan erhållas genom att lösa följande ekvation av tredje graden :

4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=\cos \theta ,

I dess allmänna lösning kan dock komplexa icke-reella tal uppstå (det här fallet kallas casus irreducibilis ).

Tabell över några vanliga vinklar

Det finns olika enheter för att mäta vinklar , till exempel grader , radianer , varv , grader (gons) .

1\,{\text{full turn))=360^{\circ }=2\pi (\mathrm {rad} )=400(\mathrm {gon} ).

Den här tabellen visar omvandlingarna från ett mått till ett annat och värdena för trigonometriska funktioner från de vanligaste vinklarna:

Omsättningar	grader	radianer	Grader (gons)	Sinus	Cosinus	Tangent
0	0°	0	0	0	ett	0
ett12	30°	$\pi$ 6	33ett	ett2	√ 32	√ 33
ettåtta	45°	$\pi$ fyra	femtio	√2 _2	√2 _2	ett
ett6	60°	$\pi$ 3	662	√ 32	ett2	√ 3
ettfyra	90°	$\pi$ 2	100	ett	0
ett3	120°	2 $\pi$ 3	133ett	√ 32	−ett2	− √ 3
3åtta	135°	3 $\pi$ fyra	150	√2 _2	−√2 _2	−1
512	150°	5 $\pi$ 6	1662	ett2	−√ 32	−√ 33
ett2	180°	$\pi$	200	0	−1	0
712	210°	7 $\pi$ 6	233ett	−ett2	−√ 32	√ 33
5åtta	225°	5 $\pi$ fyra	250	−√2 _2	−√2 _2	ett
23	240°	fyra $\pi$ 3	2662	−√ 32	−ett2	√ 3
3fyra	270°	3 $\pi$ 2	300	−1	0
56	300°	5 $\pi$ 3	333ett	−√ 32	ett2	− √ 3
7åtta	315°	7 $\pi$ fyra	350	−√2 _2	√2 _2	−1
elva12	330°	elva $\pi$ 6	3662	−ett2	√ 32	−√ 33
ett	360°	2 $\pi$	400	0	ett	0

Ytterligare vinklar

Värdena för trigonometriska funktioner i vinklar som inte ligger i intervallet från till härleds helt enkelt från värdena i vinklarna för detta intervall med hjälp av reduktionsformlerna . Alla vinklar skrivs i grader och radianer , där den reciproka faktorn framför uttrycket för en given vinkel är det enda talet i Schläfli-symbolen för en regelbunden (eventuellt stellerad) polygon med en yttre vinkel lika med den givna. $0^{\cirkel }$ $45^{\cirkel }$ $\pi$

0° = 0 (rad)

\sin 0=0\,

\cos 0=1\,

\operatörsnamn {tg} 0=0\,

\operatorname {ctg} 0=\infty \,

1,5°=(1/120)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\sin \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2 +{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right )-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2))))\höger)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5))))+{\sqrt {5)) +1\right)}{16}}

\cos \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\cos \left(1,5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2 +{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({ \sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}} }}\right)}{16}}

1,875°=(1/96)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\sin \left(1,875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\cos \left(1,875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))))))))))

2,25°=(1/80)π (rad)

{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\sin \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5))}{2)))))))))))))

{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\cos \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2))))))))))))

2,8125°=(1/64)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\sin \left(2,8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\cos \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))))))))))

3°=(1/60)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\sin \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1-{\ sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\ sqrt {3}}+1\höger)}{16}}\,

\cos \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cos \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1+{\ sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\ sqrt {3}}-1\right)}{16}}\,

\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatörsnamn {tg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left [\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\ sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,

\operatörsnamn {ctg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatörsnamn {ctg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left [\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\ sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,

3,75°=(1/48)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\sin \left(3,75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\cos \left(3,75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3))))))))))

4,5°=(1/40)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\sin \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}

\cos \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\cos \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}

5,625°=(1/32)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\sin \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\cos \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))))))

6°=(1/30)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {30-{\sqrt {180))))-{\sqrt { 5}}-1}{8}}\,

\cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {10-{\sqrt {20))))+{\sqrt { 3))+{\sqrt {15}}}{8}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatörsnamn {tg} 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}} }+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatörsnamn {ctg} 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {27}}+{\sqrt {15} }+{\sqrt {50+{\sqrt {2420}}}}}{2}}\,

7,5°=(1/24)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\sin \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {6}}-2{\ sqrt {2}}}}

\cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cos \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {6}}+2{\ sqrt {2}}}}

\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatörsnamn {tg} \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6} }-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}-2\ =\left({\sqrt {2}}-1\right)\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)

\operatörsnamn {ctg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatörsnamn {ctg} \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6} }+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2\ =\left({\sqrt {2}}+1\höger)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)

9°=(1/20)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5 +{\sqrt {5}}}{2}}}}}

\cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5 +{\sqrt {5}}}{2}}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatörsnamn {tg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{ \sqrt {5}}}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatörsnamn {ctg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{ \sqrt {5}}}}\,

11,25°=(1/16)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{16}}=\sin 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}

\cos {\frac {\pi }{16}}=\cos 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{16}}=\operatörsnamn {tg} 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2)))))-{ \sqrt {2}}-1

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{16}}=\operatörsnamn {ctg} 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2)))))+{ \sqrt {2}}+1

12°=(1/15)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{ \sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,

\cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{ \sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatörsnamn {tg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt { 3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)))\,\right]\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatörsnamn {ctg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15 ))+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)))\,\right]\,

15°=(1/12)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}

\cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{12}}=\operatörsnamn {tg} 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{12}}=\operatörsnamn {ctg} 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,

18°=(1/10)π (rad) [1]

\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right )\,

\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\right)}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{10}}=\operatörsnamn {tg} 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left( 5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,

\operatörsnamn {ctg} {\frac {\pi }{10}}=\operatörsnamn {ctg} 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5))))\,

21°=(7/60)π (rad)

\sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3} }+1\höger){\sqrt {5-{\sqrt {5))))-\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\ sqrt {5}}\right)\right)\,

\cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3} }-1\höger){\sqrt {5-{\sqrt {5))))+\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\ sqrt {5}}\right)\right)\,

\operatorname {tg} {\frac {7\pi }{60}}=\operatörsnamn {tg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left (2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\right)}}\right)\,

\operatorname {ctg} {\frac {7\pi }{60}}=\operatörsnamn {ctg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left (2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\right)}}\right)\,

22,5°=(1/8)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}} },

\cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}} }\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{8}}=\operatörsnamn {tg} 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{8}}=\operatörsnamn {ctg} 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1=\delta _{S}\,

, silversektion

24°=(2/15)π (rad)

\sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\ sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)))\right]\,

\cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5- {\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,

\operatorname {tg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatörsnamn {tg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt { 50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,

\operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatörsnamn {ctg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt { 15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)))\right]\,

27°=(3/20)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,

\cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,

\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{20}}=\operatörsnamn {tg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2 {\sqrt {5}}}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{20}}=\operatörsnamn {ctg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2 {\sqrt {5}}}}\,

30°=(1/6)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}\,

\cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{6}}=\operatörsnamn {tg} 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{6}}=\operatörsnamn {ctg} 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,

33°=(11/60)π (rad)

\sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3} }-1\höger){\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,

\cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3} }+1\höger){\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,

\operatorname {tg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatörsnamn {tg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left (2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt { 5}}\right)}}\,\right]\,

\operatorname {ctg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatörsnamn {ctg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left (2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt { 5}}\right)}}\,\right]\,

36°=(1/5)π (rad)

[ett]

\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}} }}

\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\ varphi }{2}},

var är det gyllene snittet ;

\varphi

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{5}}=\operatörsnamn {tg} 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5))))\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{5}}=\operatörsnamn {ctg} 36^{\circ }={\frac {1}{5}}{\sqrt {25+10{ \sqrt {5}}}}}

39°=(13/60)π (rad)

\sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt { 3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\höger)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,

\cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt { 3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,

\operatorname {tg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatörsnamn {tg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2 -{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\right)}}\,\right]\,

\operatorname {ctg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatörsnamn {ctg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2 +{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\right)}}\,\right]\,

42°=(7/30)π (rad)

\sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {30+6{\sqrt {5))))-{\ sqrt {5}}+1}{8}}\,

\cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}{8}}\,

\operatorname {tg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatörsnamn {tg} 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {15}}+{\sqrt {3 }}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatörsnamn {ctg} 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {50-22{\sqrt {5} ))}+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,

45°=(1/4)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,

\cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,

\operatörsnamn {tg} {\frac {\pi }{4}}=\operatörsnamn {tg} 45^{\circ }=1\,

\operatörsnamn {ctg} {\frac {\pi }{4}}=\operatörsnamn {ctg} 45^{\circ }=1\,

54°=(3/10)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4}}\,\!

\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5)))){4}}

\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatörsnamn {tg} 54^{\circ }={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}} }}{5}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatörsnamn {ctg} 54^{\circ }={\sqrt {5-{\sqrt {20))))\,

60°=(1/3)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,

\cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}\,

\operatörsnamn {tg} {\frac {\pi }{3}}=\operatörsnamn {tg} 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{3}}=\operatörsnamn {ctg} 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,

67,5°=(3/8)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{8}}=\sin 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}} }}\,

\cos {\frac {3\pi }{8}}=\cos 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}} }}\,

\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{8}}=\operatörsnamn {tg} 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,

\operatörsnamn {ctg} {\frac {3\pi }{8}}=\operatörsnamn {ctg} 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,

72°=(2/5)π (rad)

\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,

\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\ höger)={\frac {\varphi }{2)),

var är det gyllene snittet ;

\varphi

\operatorname {tg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatörsnamn {tg} 72^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5))))\ ,

\operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatörsnamn {ctg} 72^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left (5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,

75°=(5/12)π (rad)

\sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\ sqrt {2}}\right)\,

\cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\ sqrt {2}}\right)\,

\operatorname {tg} {\frac {5\pi }{12}}=\operatörsnamn {tg} 75^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,

\operatörsnamn {ctg} {\frac {5\pi }{12}}=\operatörsnamn {ctg} 75^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,

90°=(1/2)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }=1\,

\cos {\frac {\pi }{2}}=\cos 90^{\circ }=0\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}=\operatörsnamn {tg} 90^{\circ }=\infty \,

\operatörsnamn {ctg} {\frac {\pi }{2}}=\operatörsnamn {ctg} 90^{\circ }=0\,

Lista över värden för trigonometriska funktioner med ett argument lika med 2π/n

Endast formler anges som inte använder rötter med en grad som är större än . Eftersom (enligt Moivres sats ) i mängden av komplexa tal, extrahering av roten av ett heltalsgrad n leder till n olika värden, så för rötterna till den 3:e och 5:e graden av icke-reella tal som visas i detta avsnitt nedan, en bör ta huvudvärdet lika med roten med största reella delen: det är alltid positivt. Därför är summan av rötterna till den 3:e eller 5:e graden av komplexa konjugerade tal som visas i tabellen också positiva. Tangenten ges i fall där den kan skrivas mycket lättare än förhållandet mellan sinus- och cosinusposterna. $5$

I vissa fall nedan används två nummer som har egenskapen att . $\omega _{3}={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\omega _{5}={\tfrac {1}{4}}(- 1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$ $\omega _{3}^{3}=\omega _{5}^{5}=1$ ${\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi}{n))\right)&\cos \left({\frac {2 \pi }{n}}\right)&\operatörsnamn {tg} \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\ \hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({ \sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}} &{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hline 7&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{ \frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{ \frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right )&\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hline 9&{\ frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3))))-{\sqrt[{3}]{\omega _{3}}} \right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{\overline { \omega _{3}}}}\right)&\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right) &{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11&&&\\ \hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\ \\hline 13&{\frac {1}{12}}{\sqrt {6\left(13-{\sqrt {13}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt { 13}}-3i{\sqrt {39}})))}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})))) }\ höger)))&{\frac {1}{12}}\left(-1+{\sqrt {13}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13 }} -3i{\sqrt {39))))}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})))\ höger)& \\\hline 14&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}} }{2 ))}-{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)))&{\frac {1}{6} }\left (1-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\overline {\omega _{3 }}} {\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 15&{\frac {1}{8}} \left( {\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\ vänster(1 +{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\ hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)&{\sqrt {2}}-1\\\hline 17&&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt { 17))+{\sqrt {34-2{\sqrt {17))))+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17} ))}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17))))))\right)&\\\hline 18&{\frac {i}{2))\left({\sqrt[{ 3}]{-\omega _{3))}-{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3))))}\right)&{\frac {1}{2 }}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right )&\\\hline 19&&&\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\left ({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}} \right)\\\hline 21&&&\\\hline 22&&&\\\hline 23&&&\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2} }\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\\\hline 25& {\frac {i}{2}}({\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}}-{\sqrt[{5}]{\omega _{5}} })&{\frac {1}{2}}({\sqrt[{5}]{\omega _{5}}}+{\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5} }}})&\end{array}}$

Bevis

En av de vanliga och visuella metoderna för att härleda formler för ( n och o är heltal) är att lösa ekvationen x n = 1, det vill säga hitta de komplexa rötterna till 1 . I detta fall är själva cosinus och sinus lika och resp . Denna metod motiveras av De Moivres teorem : $x=\cos {\tfrac {2\pi o}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi o}{n}}$ ${\tfrac {x+1/x}{2}}$ ${\tfrac {x-1/x}{2i))$

om är en modul och är ett argument för ett komplext tal, så uttrycks alla rötter av en heltalsgrad från med tal där mängden heltal går igenom $r>0$ $\alpha \in {\mathbb {R}}$ $n\neq 0$ $r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ ${\sqrt[{n}]{r}}[\cos({\tfrac {\alpha }{n}}+{\tfrac {2\pi o}{n}})+i\sin( {\tfrac {\alpha }{n))+{\tfrac {2\pi o}{n)))),$ $o$ $\mathbb{Z}.$

I sin tur bevisas detta teorem av påståendet att när komplexa tal multipliceras, multipliceras deras moduler och argumenten läggs till (det senare är ekvivalent med trigonometriska identiteter för summan ):

$[r(\cos \alpha +i\sin \alpha )]\cdot [s(\cos \beta +i\sin \beta )]=(rs)\cdot [\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )].$

Bland rötterna av naturlig grad n av 1 finns de som inte är rötter av någon annan naturlig grad m < n av 1 - de kallas antiderivata , eller primitiva , rötter av n :te graden av 1 . Och ett polynom som bara innehåller primitiva radikaler från 1 som sina rötter, och med enhetsmångfald, kallas cirkulär . För n:te rötter av 1 är graden av det cirkulära polynomet lika med φ ( n ), där φ är Eulerfunktionen , och är nödvändigtvis jämnt för n ≥ 3, eftersom för n ≥ 3 alla primitiva rötter (bland vilka det inte finns några längre ±1) är icke-realistiska och bildar komplexa konjugerade par.

För n ≥ 2 är det cirkulära polynomet symmetriskt , det vill säga alla dess koefficienter reflekteras med avseende på potensen φ ( n )/2. Om n ≥ 3, då för att lösa en ekvation med ett cirkulärt polynom s φ(n) ( x ) = 0 av jämn grad φ(n) , måste det symmetriska polynomet s φ(n) ( x ) delas med x φ( n) /2 , och gruppera sedan med potenser av talet x + 1/ x (detta är möjligt på grund av symmetri), vilket, som en slump, visar sig vara den önskade cosinus multiplicerad med 2.

Exempel 1: n = 3

Metod 1 - lösning av 2:a gradens ekvation enligt den allmänna metoden

Polynomet delas upp i cirkulära faktorer och den första har en rot lika med 1, och den andra är ett polynom av 2:a graden. Och i det allmänna fallet, för att lösa en andragradsekvation, måste du dividera polynomet med den ledande koefficienten (här är den lika med 1), och välj sedan den exakta kvadraten för att bli av med monomtermen för graden som är mindre än graden av polynomet med 1, det vill säga bringa polynomekvationen till den kanoniska formen : $x^{3}-1$ $x-1$ $x^{2}+x+1,$

$x^{2}+x=-1,$

$(x+{\tfrac {1}{2)))^{2}=-{\tfrac {3}{4)),$

$(x+{\tfrac {1}{2}})^{2}+{\tfrac {3}{4}}=0$ ( kanonisk syn ).

Som ett resultat, tillsammans med ekvationen , visar det sig att $x-1=0$

$x=1$ eller $x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.$

Metod 2 - reduktion av ekvationen till ekvationen för 1:a graden

Istället för att lösa ekvationen som en kvadratisk, kan det symmetriska polynomet delas med x , grupperat runt x + 1/ x , givet att x + 1/ x är den nödvändiga cosinus multiplicerad med 2: $x^{2}+x+1=0$ $x^{2}+x+1$

$(x+{\tfrac {1}{x)))+1=0,$

$x+{\tfrac {1}{x}}=-1,$

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.$

Exempel 2: n = 5

Ett cirkulärt polynom är lika med och för att hitta dess rötter måste det divideras med x 2 , grupperas med potenserna x + 1/ x (reducerat till ett kvadratiskt polynom) och likställas med 0: $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,$

$x^{2}+x+1+x^{-1}+x^{-2}=0,$

$(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}+(x+{\tfrac {1}{x)))-1=0,$

$x+{\tfrac {1}{x}}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$ (önskad cosinus multiplicerat med 2),

$x={\frac {-1\pm _{1}{\sqrt {5}}}{4}}\pm _{2}{\frac {i}{4}}{\sqrt {10 \pm_{1}2{\sqrt {5}}}}.$

Exempel 3: n = 7

Symboler . Beteckna som $\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}$ $\omega _{n}.$

Steg 1 - föra ekvationen till den kanoniska formen

Efter att ha utfört transformationer med ett cirkulärt polynom som liknar de som presenteras för n \u003d 5, får vi en ekvation av 3:e graden . Vidare, som i fallet med en andragradsekvation, måste denna ekvation bringas till kanonisk form, det vill säga, dividera båda delarna av ekvationen med den ledande koefficienten (ett) och välj sedan den exakta kuben, ta bort termen av graden som är mindre än graden av polynomet med 1: $x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ $(x+{\tfrac {1}{x)))^{3}+(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}-2(x+{\tfrac {1}{x }})-1=0.$

$(x+{\tfrac {1}{x)))^{3}+(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}=2(x+{\tfrac {1}{x }})+1,$

$[(x+{\tfrac {1}{x)))+{\tfrac {1}{3}}]^{3}={\tfrac {7}{3}}[(x+{\tfrac {1}{x)))+{\tfrac {1}{3}}]+{\tfrac {7}{27}}),$

$(x+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{x}})^{3}-{\tfrac {7}{3}}(x+{\tfrac {1} {3}}+{\tfrac {1}{x}})-{\tfrac {7}{27}}=0$ ( kanonisk form ).

Steg 2 - del Ferro Method

Metoden för att lösa kanoniska kubikekvationer gick till historien under namnet Gerolamo Cardano , men upptäcktes först av Scipio del Ferro . Den består av följande: ersätt den nödvändiga variabeln ( ) med summan : $x+{\tfrac {1}{3}}+x^{-1}$ $v+w$

$(v^{3}+3v^{2}w+3vw^{2}+w^{3})-{\tfrac {7}{3}}(v+w)-{\tfrac { 7}{27}}=0,$

och sätt sedan förhållandet mellan v och w så att ekvationen kan reduceras till mindre än 3:e potensen. Då visar det sig att i talet måste faktorn likställas med noll. I det här fallet, och (cosinus själv), och själva kubikekvationen reduceras till en kvadratisk: $3v^{2}w+3vw^{2}-{\tfrac {7}{3}}(v+w)=(3vw-{\tfrac {7}{3}})(v+w )$ $3vw-{\tfrac {7}{3))$ $w={\tfrac {7}{9v}}$ ${\tfrac {1}{2}}(x+x^{-1})={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+w )={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+{\tfrac {7}{9v}})$

$v^{3}-{\tfrac {7}{3^{3}}}+{\tfrac {7^{3}}{3^{6}}}v^{-3}=0 ,$

$v^{3}={\tfrac {7}{2\cdot 3^{3}}}\pm i{\sqrt {{\tfrac {7^{3}}{3^{6}} }-{\tfrac {7^{2}}{2^{2}3^{6}}}}}={\tfrac {7\pm 7i{\sqrt {2^{2}7-1}} }{2\cdot 3^{3}}}={\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3}}}{2\cdot 3^{3}}},$

och med hänsyn till huvudvärdena för kubrötter visar det sig:

$v={\tfrac {\omega _{3}^{m)){3)){\sqrt[{3}]{\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3))}{2 }}),{\tfrac {7}{9v}}={\tfrac {\omega _{3}^{-m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\mp 21i{\sqrt {3}}}{2}}},$ var $m\in \mathbb {Z} ,$

$\cos {\frac {2\pi o}{7}}={\frac {1}{6}}\left(-1+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[ {3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i {\sqrt {3}}}{2}}}\right),$

där o = 1 ( o = 6) motsvarar m = 0, o = 2 ( o = 5 ) motsvarar m = 1, och o = 3 ( o = 4 ) motsvarar m = 2.

Steg 3 - sinus [2]

Det är bäst att söka efter sinus inte genom den grundläggande trigonometriska identiteten, utan genom halvvinkelformeln, annars kommer kvadrater med tal att dyka upp och förenklingen blir ouppmärksam. Som ett resultat är alla primitiva 7:e rötter av 1 lika $\sin {\tfrac {2\pi o}{7}}=\pm {\sqrt ({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\cos {\ tfrac {4\pi o}{7}}}},$ ${\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}(7\pm 21i{\sqrt {3}})))),$

${\frac {1}{6}}\left[-1+w+{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3} }}w-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],$

var $2w^{3}=7+21i{\sqrt {3)).$

Exempel 4: n = 3 2 = 9

Symbol . Beteckna som $\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}$ $\omega _{n}.$

Talet 9 faktoriseras till primtalsfaktorer som 3 2 , så polynomet kan faktoriseras till cirkulära faktorer som Rötterna till den sista av dessa är talens 3:e rötter (polynomets rötter ), som i sin tur är de primitiva rötterna av 3:e graden av 1, det vill säga de primitiva 9:e rötterna av 1 är $x^{9}-1$ $(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{6}+x^{3}+1).$ $x^{2}+x+1$

$x=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1))},$ var $m\in \{0,1,2\}.$

Sedan (med hänsyn tagen till kubrötternas huvudvärden) uttrycks de "primitiva" cosinus och sinus som

${\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(\omega _{3} ^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}}+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}\höger),$

${\frac {1}{2i}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {i}{2}}\left(\omega _{3 }^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\ omega _{3}^{\pm 1}}}\right),$

Exempel 5: n = 2 7 = 14

Symbol: $\omega _{n}:=\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}.$

Polynomet har cirkulära faktorer: $x^{14}-1=(x^{7}-1)(x^{7}+1)$

$x-1$ (cirkulärt polynom för 1:a graden);
$x+1$ (cirkulärt polynom för 2:a graden);
$x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ (för 7:e graden);
$x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$ (för 14:e graden).

Rötterna till ett polynom är exakt motsatsen till rötterna i ett polynom (detta kan bevisas genom att ändra en variabel till dess motsats eller genom att använda Vietas sats ), och ser därför ut så här: $x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$ $x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

${\frac {1}{6}}\left[1-w-{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3} }}y-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],$

var $2w^{3}=7+21i{\sqrt {3)).$

Exempel 6: n = 3 5 = 15

Det cirkulära polynomet är inte särskilt enkelt, och istället för att leta efter dess rötter är det bättre att expandera vinkeln ( o är ett heltal) som en summa där o 1 och o 2 är några heltal. $x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1$ ${\tfrac {2\pi o}{3\cdot 5}}$ ${\tfrac {2\pi }{3}}o_{1}+{\tfrac {2\pi }{5}}o_{2},$

Obs . Till skillnad från 15 innebär faktoriseringen av talet 9 samma faktor med dubbel multiplicitet - och till skillnad från vinkeln är det inte alltid möjligt att expandera i formen ( o , o 1 och o 2 är heltal). ${\tfrac {2\pi o}{3\cdot 5}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2\pi o}{3^{2))))$ ${\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{3}}$

Genom att expandera vinkeln till summan av vinklarna kan du beräkna cosinus och sinus:

$\cos({\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})+i\sin({\tfrac {2 \pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})=$

$=(\cos {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+i\sin {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}})(\cos {\tfrac {2\pi o_{2}}{5}}+i\sin {\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})=$

$=\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{o_{1}}\left[{\tfrac {1}{4}} (-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5))))\right]^{o_{2)).$

Till exempel, om o = 1, kan du välja −1 och 2 som o 1 respektive o 2 . Sedan

$\cos {\tfrac {2\pi }{15}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{15}}={\tfrac {1}{8}}(-1-i{ \sqrt {3)))(-1-{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}})=$

$={\tfrac {1}{8}}[1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i({\sqrt {3} }+{\sqrt {15}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5))))))))].$

Exempel 7: n = 17

Steg 1

Eftersom detta Fermat-tal är primtal måste vi , som i fallet med n = 3, n = 5 och n = 7, först och främst dividera det cirkulära polynomet med x 8 och ersätta det med någon variabel b = x + 1/ x — vi får $x^{16}+\cdots +x+1$ $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1.$

Symbol. Vi betecknar polynomets rötter som $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$ $b_{o/17}=2\cos {\tfrac {2\pi o}{17)).$

Steg 2 [3]

Rötterna till ett polynom hittas bäst inte genom dess koefficienter, utan genom att använda det faktum att dess rötter är dubbla cosinus. För att göra detta måste du på något sätt fördela alla dess rötter över två summor S 1 och S 2 , hitta S 1 + S 2 och S 1 S 2 och, med hjälp av Vieta-satsen, härleda en ekvation för S 1 och S 2 , lösa som vi får S 1 och S 2 . $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$

Mer exakt måste polynomets rötter fördelas i två potenser : $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$

$S_{1}=b_{2^{0}/17}+b_{2^{1}/17}+b_{2^{2}/17}+b_{2^{3}/17 }=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17};$
$S_{2}=b_{3\cdot 2^{0}/17}+b_{3\cdot 2^{1}/17}+b_{3\cdot 2^{2}/17}+ b_{3\cdot 2^{3}/17}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}.$

Summan S 1 + S 2 är lika med summan av alla rötter , vilket betyder att den enligt Vieta-satsen är lika med −1, och produkten hittas av produktens cosinusformel $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1,$ $(2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon$

$(b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17})(b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5 /17}+b_{7/17})=$

$=\underbrace {(b_{1/17}b_{3/17})+\cdots +(b_{8/17}b_{7/17})} _{\text{16 termer))= \underbrace {(b_{4/17}+b_{2/17})+\cdots +(b_{15/17}+b_{1/17})} _{\text{32 termer inklusive inom parentes} }$ (enligt formeln för produktens cosinus)

$=2\underbrace {(b_{1/17}+b_{2/17}+\cdots +b_{15/17}+b_{16/17})}_{\text{16 termer)) =4(S_{1}+S_{2})=-4.$

Då får vi en andragradsekvation med rötter, och de är fördelade enligt följande: $S^{2}+S-4=0$ ${\tfrac {-1\pm {\sqrt {17}}}{2}},$

$S_{1}=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17}={\tfrac {-1+{\sqrt {17)) }{2}};$
$S_{2}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}={\tfrac {-1-{\sqrt {17)) }{2}}.$

Steg 3

Termerna som ingår i S 1 och S 2 måste återigen fördelas på hälften av summorna, dessutom bildas med styrkorna av de fyra - och fyra talen:

$T_{1.1}=b_{2^{0}/17}+b_{2^{2}/17}=b_{1/17}+b_{4/17};$
$T_{1.2}=b_{2^{1}/17}+b_{2^{3}/17}=b_{2/17}+b_{8/17};$
$T_{2.1}=b_{3\cdot 2^{0}/17}+b_{3\cdot 2^{2}/17}=b_{3/17}+b_{5/17};$
$T_{2.2}=b_{3\cdot 2^{1}/17}+b_{3\cdot 2^{3}/17}=b_{6/17}+b_{7/17}.$

Summan (där m löper genom mängden {1, 2}) är lika och produkten (enligt samma formel ) är lika med −1 (för m = 1 och för m = 2), vilket betyder att här, av Vieta-satsen får vi en andragradsekvation för T : $T_{m.1}+T_{m.2}$ $S_{m}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {17}}}{2}},$ $T_{m.1}T_{m.2}$ $\cos \alpha \cos \beta ={\tfrac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\pm \alpha \mp \beta )]$ $T_{m}^{2}-S_{m}T_{m}-1=0$

$T_{1.1}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}});$
$T_{1.2}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}});$
$T_{2.1}={\tfrac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}});$
$T_{2.2}={\tfrac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}-{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}).$

Steg 4

I det andra och tredje steget "delar vi" beloppen på hälften varje gång. Här kommer vi att göra samma sak och därmed når vi redan själva rötterna (nummer b o /17 ). Beloppen är:

$b_{1/17}+b_{4/17}=T_{1.1};$
$b_{2/17}+b_{8/17}=T_{1.2};$
$b_{3/17}+b_{5/17}=T_{2.1};$
$b_{6/17}+b_{7/17}=T_{2.2},$

och motsvarande verk:

$b_{1/17}b_{4/17}=b_{5/17}+b_{3/17}=T_{2.1};$
$b_{2/17}b_{8/17}=b_{10/17}+b_{6/17}=T_{2.2};$
$b_{3/17}b_{5/17}=b_{8/17}+b_{2/17}=T_{1.2};$
$b_{6/17}b_{7/17}=b_{13/17}+b_{1/17}=T_{1.1}.$

Efter att ha sammanställt alla nödvändiga kvadratiska ekvationer får vi de önskade cosinuserna :

$b_{1/17}/2$ eller - $b_{4/17}/2$ ${\tfrac {1}{16}}(16-N+{\sqrt {2N}}\pm 2{\sqrt {2M-N-{\sqrt {2N}}-2{\sqrt {2M} }}});$
$b_{17/2/2$ eller - $b_{17/8/2$ ${\tfrac {1}{16}}(16-N-{\sqrt {2N}}\pm 2{\sqrt {2M-N+{\sqrt {2N}}+2{\sqrt {2M} }}});$
$b_{3/17}/2,b_{5/17}/2$ — ${\tfrac {1}{16}}(16-M+{\sqrt {2M}}\pm 2{\sqrt {2N-M-{\sqrt {2M}}+2{\sqrt {2N} }}});$
$b_{6/17}/2,b_{7/17}/2$ — ${\tfrac {1}{16}}(16-M-{\sqrt {2M}}\pm 2{\sqrt {2N-M+{\sqrt {2M}}-2{\sqrt {2N} }}});$

var $M=17+{\sqrt {17)),N=17-{\sqrt {17}}$ .

Exempel 8: n = 13

Vi måste dividera det cirkulära polynomet med x 6 och ersätta x + 1/ x med någon variabel b - vi får ett polynom primtal, och för det andra, graderna av polynom (vilket motsvarar n = 13) och ( n = 17) är sammansatta tal - därför finns det en sådan misstanke att polynomets rötter måste hittas enligt samma princip som i det 7:e exemplet: och här måste du först härleda och lösa andragradsekvationen, och först därefter - den kubiska ekvationen . $x^{12}+\cdots +x+1$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1.$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$ $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$

Symbol . Vi betecknar polynomets rötter som $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$ $b_{o/13}=2\cos {\tfrac {2\pi o}{13)).$

Steg 1

Vi fördelar alla sex rötter av det indikerade polynomet över två summor S 1 , S 2 och över potenserna av trippeln:

$S_{1}=x_{3^{0}/13}+x_{3^{1}/13}+x_{3^{2}/13}=x_{1/13}+x_{ 3/13}+x_{4/13};$
$S_{2}=x_{2\cdot 3^{0}/13}+x_{2\cdot 3^{1}/13}+x_{2\cdot 3^{2}/13}= x_{2/13}+x_{6/13}+x_{5/13}$

och beräkna följande kvantiteter med hjälp av identiteten $(2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon$

$S_{1}+S_{2}=-1;$
${\begin{aligned}S_{1}S_{2}&=(b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13})(b_{2/13}+b_ {6/13}+b_{5/13})\\&=b_{1/13}b_{2/13}+b_{1/13}b_{6/13}+b_{1/13}b_ {5/13}\\&+b_{3/13}b_{2/13}+b_{3/13}b_{6/13}+b_{3/13}b_{5/13}\\& +b_{4/13}b_{2/13}+b_{4/13}b_{6/13}+b_{4/13}b_{5/13}\\&=(b_{3/13} +b_{1/13})+(b_{7/13}+b_{5/13})+(b_{6/13}+b_{4/13})\\&+(b_{5/13} }+b_{1/13})+(b_{9/13}+b_{3/13})+(b_{8/13}+b_{2/13})\\&+(b_{6/ 13}+b_{2/13})+(b_{10/13}+b_{2/13})+(b_{9/13}+b_{1/13})\\&=3(b_{ 1/13}+b_{2/13}+b_{3/13}+b_{4/13}+b_{5/13}+b_{6/13})=3(S_{1}+S_{ 2})=-3,\\\end{aligned}}$

efter att ha mottagit ekvationen , löser vi vilken vi får: $S^{2}+S-3=0$ $S_{1}=b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}={\tfrac {-1+{\sqrt {13}}}{2}},$ $S_{2}=b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13}={\tfrac {-1-{\sqrt {13}}}{2}}.$

Steg 2

S 1 och S 2 är kända - nu måste du med hjälp av dem härleda kubikekvationer för b . För att demonstrera väljer vi till exempel de rötter som ingår i summan S 1 . Då måste du hitta följande kvantiteter:

$b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=S_{1}={\tfrac {-1+{\sqrt {13))}{2));$
$b_{1/13}b_{3/13}+b_{3/13}b_{4/13}+b_{4/13}b_{1/13}=b_{4/13}+b_ {2/13}+b_{7/13}+b_{1/13}+b_{5/13}+b_{3/13}=S_{1}+S_{2}=-1;$
$b_{1/13}b_{3/13}b_{4/13}=(b_{4/13}+b_{2/13})b_{4/13}=b_{4/13} ^{2}+b_{2/13}b_{4/13}=(2+b_{8/13})+(b_{6/13}+b_{2/13})=2+S_{2 }={\tfrac {3-{\sqrt {13}}}{2}},$

för att få ekvationen genom Vietas sats. Om vi tillsammans med de rötter som ingår i S 1 inkluderar de rötter som ingår i S 2 blir resultatet en ekvation . $b^{3}-{\tfrac {-1\pm {\sqrt {13}}}{2}}b^{2}-b+{\tfrac {-3\pm {\sqrt {13} }}{2}}=0$

Steg 3 - kanonisering

$(b-{\tfrac {-1\pm {\sqrt {13))}{6)))^{3}+{\tfrac {-13\pm {\sqrt {13))}{6 }}(b-{\tfrac {1\pm {\sqrt {13}}}{6}})+{\tfrac {-26\pm 5{\sqrt {13}}}{27}}=0$ ( kanonisk form ) $|\cdot 6^{3},$

$[6b-(-1\pm {\sqrt {13)))]^{3}+6(-13\pm {\sqrt {13)))[6b-(-1\pm {\sqrt {13}})]+8(-26\pm 5{\sqrt {13}})=0$ (så att i svaret togs nämnaren genast ut under roten).

Steg 4 är lösningen på den kanoniska ekvationen

${\begin{aligned}6b-(-1\pm {\sqrt {13)))&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{-{\tfrac { 8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}-{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}^ {2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13)))}{3}}^{3}}}}}\\&+\omega _{3}^{-m} {\sqrt[{3}]{-{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13)))}{2))+{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5 {\sqrt {13)))}{2}}^{2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13}})}{3}}^{3}}}}}\ \&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39))))}}+\ omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})))),\\\end {aligned }}$

där m går genom {0, 1, 2} och $\omega _{n}=\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}.$

Övrigt

Används för att beräkna andra konstanter

Till exempel kan volymen av en vanlig dodekaeder med en kantlängd ges av formeln: $a$

V={\frac {5a^{3}\cos 36^{\circ }}{\tan ^{2}{36^{\circ }}}}.

Om vi använder uttryck

\cos 36^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4)),\,

\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5))))),\,

formeln kan förenklas till

V={\frac {a^{3}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)}{4}}.\,

Härledning genom trianglar

Härledningen av värdena för sinus , cosinus och tangent i en radikal form är baserad på möjligheten att konstruera regelbundna polygoner med hjälp av en kompass och en linjal .

Här används räta trianglar gjorda av sektioner längs symmetriaxlarna för regelbundna polygoner för att beräkna de grundläggande trigonometriska förhållandena. I var och en av de räta trianglarna är hörnen:

Polygon mitt
Polygon vertex
Mittpunkten på sidan som innehåller denna vertex

En vanlig n -gon kan delas in i 2n trianglar med hörn180n.90 180n, 90 grader för n större än eller lika med 3. Möjligheten att med en kompass och linjal konstruera en triangel, kvadrat, fem- och femton-gon - i basen, vinkelhalveringslinjer tillåter även polygoner med ett antal sidor lika med en potens av två, multiplicerat med antalet sidor i en given polygon.

Kan byggas med kompass och rätlina
- Vanliga 3 × 2 n -goner, där n = 0, 1, 2, 3, …
  - 30°-60°-90°: Rätt triangel
  - 60°-30°-90°: Vanlig sexkant
  - 75°-15°-90°: Vanlig Dodecagon
  - 82,5°-7,5°-90°: Vanlig tjugofyra
  - 86,25°-3,75°-90°: Vanlig 48-gon
  - 88,125°-1,875°-90°: Vanlig 96-gon
  - 89,0625°-0,9375°-90°: Vanlig 192-gon
  - 89,53125°-0,46875°-90°: Vanlig 384-gon
  - …
- 4 × 2 n - gons
  - 45°-45°-90°: Fyrkantig
  - 67,5°-22,5°-90°: Vanlig oktagon
  - 78,75°-11,25°-90°: Vanlig sexkant
  - 84,375°-5,625°-90°: Vanlig 32-gon
  - 87,1875°-2,8125°-90°: Vanlig 64-gon
  - 88.09375°-1.40625°-90°: Vanlig 128-gon
  - 89,046875°-0,703125°-90°: Vanlig 256-gon
  - …
- 5 × 2 n - gons
  - 54°-36°-90°: Vanlig femkant
  - 72°-18°-90°: Vanlig dekagon
  - 81°-9°-90°: Vanlig sexkant
  - 85,5°-4,5°-90°: Vanlig oktagon
  - 87,75°-2,25°-90°: Vanlig oktagon
  - 88.875°-1.125°-90°: Vanlig 160-gon
  - 89,4375°-0,5625°-90°: Vanlig 320-gon
  - …
- 15 × 2 n - gons
  - 78°-12°-90°e: Vanlig femkant
  - 84°-6°-90°: Vanlig thiragon
  - 87°-3°-90°: Vanlig Hexagon
  - 88,5°-1,5°-90°: Vanlig 120
  - 89,25°-0,75°-90°: Vanlig 240-gon
- …

Det finns också vanliga polygoner som kan byggas med hjälp av en kompass och en linjal: 17 , 51, 85, 255, 257 , 353, 449, 641, 1409, 2547, ..., 65535, 65537 , 69481, 3. ., 4294967295. )

Kan inte byggas med en kompass och rätsida (med halvgrads- eller heltalsvinklar) - Det finns inga ändliga radikalformer för de resulterande förhållandena mellan trianglarnas sidor, inklusive reella tal, vilket betyder att polygoner med ett antal sidor lika med en potens av två gånger antalet sidor av en given polygon kan inte dras tillbaka.
- 9 × 2 n - gons
  - 70°-20°-90°: Vanlig nonagon
  - 80°-10°-90°: Vanlig oktagon
  - 85°-5°-90°: Vanlig 36-gon
  - 87,5°-2,5°-90°: Vanlig 72-gon
  - …
- 45 × 2 n - gons
  - 86°-4°-90°: Vanlig fyrtio-femhörning
  - 88°-2°-90°: Vanlig nonagon
  - 89°-1°-90°: Vanlig 180-gon
  - 89,5°-0,5°-90°: Vanlig 360
  - …

Beräknade värden för sinus och cosinus

Triviala kvantiteter

Sinus och cosinus för 0, 30, 45, 60 och 90 grader kan beräknas från motsvarande räta trianglar med hjälp av Pythagoras sats.

När du använder radianer kan sinus och cosinus / 2 n uttryckas i radikal form genom att rekursivt tillämpa följande formler: $\pi$

2\cos \theta ={\sqrt {2+2\cos 2\theta }}={\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta ))))))}

; etc.

2\sin \theta ={\sqrt {2-2\cos 2\theta }}={\sqrt {2-{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta ))))))}

; etc.

Till exempel:

\cos {\frac {\pi }{2^{1}}}={\frac {0}{2}}

\cos {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+0}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-0}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2)))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2)))){2))

\cos {\frac {\pi }{2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))){2} }

;

\sin {\frac {\pi }{2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))))){2} }

\cos {\frac {\pi }{2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))} }}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))} }}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}

etc.

Radikal form, sinus och cosinus $\pi$ (3× 2n )

\cos {\frac {2\pi }{3}}={\frac {-1}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{3\ gånger 2^{2))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)))){2))

\cos {\frac {\pi }{3\ gånger 2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))) ) {2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\ gånger 2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))) ) {2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3 }}}}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3 }}}}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\ gånger 2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}

etc.

Radikal form, sinus och cosinus $\pi$ (5× 2n )

\cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{0}}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}

(Därför )

2+2\cos {\frac {\pi }{5}}=2+{\sqrt {1.25}}+0.5

\cos {\frac {\pi }{5\ gånger 2^{1))}={\frac {\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25)))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{1))}={\frac {\sqrt {1.5-{\sqrt {1.25)))){2))

\cos {\frac {\pi }{5\ gånger 2^{2))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25)))))) ) {2}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\ gånger 2^{2))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25)))))) ) {2}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25 }}}}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25 }}}}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5 +{\sqrt {1.25}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\ gånger 2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5 +{\sqrt {1.25}}}}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25))))))))))))))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{5\ gånger 2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25))))))))))))))){2))

etc.

Radikal form, sinus och cosinus $\pi$ (5×3× 2n )

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{0))}={\frac ({\sqrt ({\sqrt {0.703125))+1.875))+{\sqrt {0.3125} }-0,25}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\ gånger 2^{1))}={\frac {\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0.703125))+1.875))+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\ gånger 2^{1))}={\frac {\sqrt {2.25-{\sqrt ({\sqrt {0.703125))+1.875))-{ \sqrt {0.3125}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0,703125))+1,875 ))+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\ gånger 2^{2))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0,703125))+1,875 ))+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt) {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt) {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{ \sqrt {{\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{ \sqrt {{\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}})))))))))){2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}})))))))))){2}}

etc.

Radikal form, sinus och cosinus $\pi$ (17× 2n )

Om och då $M=2(17+{\sqrt {17)))$ $N=2(17-{\sqrt {17)))$

\cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {\sqrt {M-4+2({\sqrt {N}}+{\sqrt {2(2M-N+{\sqrt) {17N}}-{\sqrt {N}}-8{\sqrt {M))))))))){8}}.

Sedan, med hjälp av induktion, får vi det

\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {30+2{\sqrt {17}}+{\sqrt {136-8{ \sqrt {17))))+{\sqrt {272+48{\sqrt {17}}+8{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\ gånger ({\sqrt {17} }-1)-64{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}}{8}};

\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Radikal form, sinus och cosinus $\pi$ (257× 2n ); $\pi$ (65537× 2n )

Induktionen som tillämpas ovan kan appliceras på samma sätt på alla Fermat-primtal (F 3 =2 2 3 +1=2 8 +1= 257 ; F 4 =2 2 4 +1=2 16 +1= 65537 ), multiplar vars sinus- och cosinusvärden finns i radikal form, men är för långa för att listas här. $\pi$

\cos {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{257\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{257\times 2 ^{n}}}}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Radikal form, sinus och cosinus $\pi$ (255× 2n ), $\pi$ (65535× 2n ); $\pi$ (4294967295× 2n )

D = 2 32 - 1 = 4294967295 är den största för närvarande kända udda heltalsnämnaren för vilken radikalformerna sin( /D) och cos ( /D) är kända. Genom att använda de radikala formerna av kvantiteterna från avsnitten ovan och tillämpa regeln genom induktion får vi - $\pi$ $\pi$ $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{15}}-{ \frac {\pi }{17))))}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{15}}-{ \frac {\pi }{17))))}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{255\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{255\times 2 ^{n}}}}}{2}};

Därför, genom att använda de radikala formerna av kvantiteterna från avsnitten ovan, och tillämpa regeln genom induktion, får vi - $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{255}}-{ \frac {\pi }{257}}))){2}}

;

\sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{255}}-{ \frac {\pi }{257))))}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Slutligen, genom att använda de radikala formerna av kvantiteterna från avsnitten ovan, och tillämpa regeln genom induktion, får vi - $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0))}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{65535))-{ \frac {\pi }{65537))))}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0))}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{65535))-{ \frac {\pi }{65537))))}{2));

\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Den radikala formen av beskrivningen som ges ovan är mycket stor, därför uttryckt på ett enklare sätt (som ovan).

n × π(5× 2m )

Geometrisk metod

Genom att tillämpa Ptolemaios olikhet på den inskrivna fyrhörningen ABCD definierad av fyra på varandra följande hörn av femhörningen, finner vi att:

\operatörsnamn {crd} 36^{\circ }=\operatörsnamn {crd} (\angle \mathrm {ADB} )={\frac {a}{b))={\frac {2}{1+ {\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}

vilket är det ömsesidiga avettφi förhållande till det gyllene snittet . crd är en funktion av ackordslängd,

\operatorname {crd} \ {\theta }=2\sin {\frac {\theta }{2)).\,

Som betyder

\sin 18^{\circ }={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}.

(Du kan också klara dig utan Ptolemaios olikhet. Låt X beteckna skärningspunkten mellan AC och BD, och notera att triangeln AXB är likbent , och därför AX = AB = a . Trianglarna AXD och CXB är lika , eftersom AD är parallell med BC . Därför är XC = a (ab). Men AX + XC = AC, alltså ett + en 2b = b . Att lösa resultatet, det har viab = ettφsom erhållits tidigare).

Liknande

\operatörsnamn {crd} \ 108^{\circ }=\operatörsnamn {crd} (\angle \mathrm {ABC} )={\frac {b}{a))={\frac {1+{\ sqrt{5}}}{2}},

som betyder

\sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}.

Algebraisk metod

Om θ är 18° eller −54°, minskar 2θ och 3θ till 5θ = 90° eller −270°, så . $\sin 2\theta =\cos 3\theta$

(2\sin \theta )\cos \theta =\sin 2\theta =\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =(4\cos ^{2 }\theta -3)\cos \theta =(1-4\sin ^{2}\theta )\cos \theta

Nästa , vad gör

4\sin ^{2}\theta +2\sin \theta -1=0

\sin \theta =\sin(18^{\circ },-54^{\circ })={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{4}}.

Följaktligen,

\sin(18^{\circ })=\cos(72^{\circ})={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}

och och

\sin(54^{\circ })=\cos(36^{\circ})={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}

\sin(36^{\circ })=\cos(54^{\circ})={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5)))){4))

och

\sin(72^{\circ })=\cos(18^{\circ})={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5)))){4)).

Även multipelvinkelformlerna för funktionerna 5 x , där x ∈ {18, 36, 54, 72, 90} och 5 x ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, kan lösas för funktionerna x , eftersom vi känner till funktionernas värden från 5 x . Följande är formlerna med flera vinklar:

\sin 5x=16\sin ^{5}x-20\sin ^{3}x+5\sin x,\,

\cos 5x=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x.\,

Om sin 5 x \u003d 0 eller cos 5 x \u003d 0, betecknar vi y \u003d sin x eller y \u003d cos x och löser ekvationen för y :

16y^{5}-20y^{3}+5y=0.\,

En av rötterna är 0, så den resulterande kvartsekvationen kan lösas som en andragradsekvation för y 2 .

Om sin 5 x \u003d 1 eller cos 5 x \u003d 1, återigen betecknar vi y \u003d sin x eller y \u003d cos x och löser ekvationen för y :

16y^{5}-20y^{3}+5y-1=0,\,

vad vi betraktar som:

(y-1)\left(4y^{2}+2y-1\right)^{2}=0.\,

n × $\pi$ tjugo

9° = 45 - 36 och 27° = 45 - 18; så du kan använda skillnadsformeln för sinus och cosinus.

n × $\pi$ trettio

6° = 36 − 30, 12° = 30 − 18, 24° = 54 − 3, och 42° = 60 − 18; så du kan använda skillnadsformeln för sinus och cosinus.

n × $\pi$ 60

3° = 18 − 15, 21° = 36 − 15, 33° = 18 + 15 och 39° = 54 − 15, så du kan använda differensen (eller summan) formeln för sinus och cosinus.

Sätt att förenkla uttryck

Rationalisering av nämnaren

Om nämnaren är en naturlig rot n > 1, måste täljaren och nämnaren multipliceras med denna radikal till potensen n − 1: . ${\tfrac {1}{\sqrt {3}}}={\tfrac {\sqrt {3}}{3}}$
I det allmänna fallet, om nämnaren är ett algebraiskt tal av andra graden (ett komplext tal av formen , där q och r är rationella), måste täljaren och nämnaren multipliceras med dess konjugerade tal: $q\pm {\sqrt {r))$ ${\tfrac {1}{1+{\sqrt {3))))={\tfrac {1-{\sqrt {3}}}{(1+{\sqrt {3}})(1 -{\sqrt {3))))}}={\tfrac {1-{\sqrt {3}}}{-2}}.$
I vissa fall måste nämnaren rationaliseras mer än en gång:
- $\csc {\tfrac {2\pi }{5}}={\tfrac {4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}={\tfrac {4{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})(10-2{\sqrt {5}})))}={\tfrac { \sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\sqrt {5}}}={\tfrac {\sqrt {10(5-{\sqrt {5}}))){5}}.$
Och om nämnaren är ett algebraiskt tal på mer än en andragrad, så skulle det vara bäst att inte multiplicera med konjugerade tal (även om detta också sker), utan för att hitta minimipolynomet för detta algebraiska tal, uttrycka ett polynom genom det , vars ena rötter är talet, den omvända detta tal, och hitta rötterna till det senare.
- Givet ett tal Den reciproka av det, multiplicerat med 2, är roten till polynomet (detta visades ovan ). Då är själva sekanten, dividerad med 2, roten till polynomet , och som ett resultat $\sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\frac {6}{-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {3}} i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}}}.$ $b^{3}+b^{2}-2b-1$ ${\displaystyle (b^{-3}+b^{-2}-2b^{-1}-1)b^{3))$ $\sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\tfrac {2}{3}}(-2+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7+21{\ sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}).$

Konvertera ett bråk till summan (skillnaden) av två (eller flera) bråk

Ibland hjälper det att dela upp ett bråk i summan av flera och ytterligare förenkla dem separat.

Kvadratera och ta kvadratroten

Denna plan kan hjälpa om uttrycket består av en enda sammansatt medlem och endast en typ av radikal är närvarande. Kvadra en term, lägg till liknande termer och ta kvadratroten. Denna metod kan lämna kapslade radikaler, men ofta är ett sådant uttryck enklare än det ursprungliga.

Förenkla uttryck med kapslade radikaler

I princip kapslade radikaler är inte förenklade. Men om

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c))))\,

där a , b och c är rationella tal får vi det

R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}\,

rationell, sedan båda uttrycken

d={\frac {a+R}{2}}{\text{ och }}e={\frac {aR}{2}}\,

rationell; Följaktligen

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c))))={\sqrt {d}}\pm {\sqrt {e}}.\,

Till exempel,

4\sin 18^{\circ }={\sqrt {6-2{\sqrt {5))))={\sqrt {5}}-1.\,

4\sin 15^{\circ }=2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}={\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\ höger).

Se även

En polygon som kan byggas med en kompass och rätsida , för vilken som helst av dem har sinus och cosinus för de centrala och inre vinklarna ett rationellt uttryck i kvadratrötter
Konstruktion av en sjuttonagon , vilket ger ett exakt uttryck för cos 2 $\pi$ 17
Trigonometriska identiteter
Nivens teorem för rationella värden på sinus för en rationell multipel $\pi$
Ptolemaisk ackordtabell
Trigonometriska funktioner
Trigonometriskt tal , värdet av en trigonometrisk funktion av en rationell multipel $\pi$

Anteckningar

↑ 1 2 Bradie, Brian. Exakta värden för sinus och cosinus för multipler på 18°: A geometric approach // The College Mathematics Journal :tidskrift. - 2002. - September ( vol. 33 , nr 4 ). - s. 318-319 . - doi : 10.2307/1559057 . — .
↑ trigonometri - Metod för att hitta $\sin (2\pi/7)$ . Matematik Stack Exchange . Hämtad 30 mars 2021. Arkiverad från originalet 28 september 2015. (obestämd)
↑ Hur bevisar man att [math]\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17} }+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16} [/math] - Quora . www.quora.com . Tillträdesdatum: 3 april 2021. (obestämd)

Weisstein, Eric W. Constructible polygon på Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Trigonometry angles (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
- $\pi$ /3 (60°) - /6 (30°) - /12 (15°) - /24 (7,5°) $\pi$ $\pi$ $\pi$
- $\pi$ /4 (45°) - /8 (22,5°) - /16 (11,25°) - /32 (5,625°) $\pi$ $\pi$ $\pi$
- $\pi$ /5 (36°) - /10 (18°) - /20 (9°) $\pi$ $\pi$
- $\pi$ /7 - /14 $\pi$
- $\pi$ /9 (20°) - /18 (10°) $\pi$
- $\pi$ /elva
- $\pi$ /13
- $\pi$ /15 (12°) - /30 (6°) $\pi$
- $\pi$ /17
- $\pi$ /19
- $\pi$ /23
Bracken, Paul; Cizek, Jiri. Utvärdering av kvantmekaniska störningssummor i termer av kvadratiska surds och deras användning i approximation av ζ (3 ) / 3 // Int. J. Quantum Chem. $\pi$ : journal. - 2002. - Vol. 90 , nej. 1 . - S. 42-53 . - doi : 10.1002/qua.1803 .
Conway, John H.; Radin, Charles; Sadun, Lorenzo. På vinklar vars kvadratiska trigonometriska funktioner är rationella // Disc . Och Comp. Geom. : journal. - 1999. - Vol. 22 , nr. 3 . - s. 321-332 . - doi : 10.1007/PL00009463 . — arXiv : math-ph/9812019 .
Gerstmair, Kurt. Några linjära relationer mellan värden på trigonometriska funktioner vid k / n // Acta Arithmetica $\pi$ : journal. - 1997. - Vol. 81 , nr. 4 . - s. 387-398 . - doi : 10.4064/aa-81-4-387-398 .
Gurak, S. Om det minimala polynomet av gaussperioder för primpotenser // Mathematics of Computation : journal. - 2006. - Vol. 75 , nr. 256 . - P. 2021-2035 . - doi : 10.1090/S0025-5718-06-01885-0 . - .
Servi, L.D. Kapslade kvadratrötter av 2 (engelska) // Amer. Matematik. Månadsvis . - 2003. - Vol. 110 , nr. 4 . - s. 326-330 . - doi : 10.2307/3647881 . — .

Länkar

Konstruerbara regelbundna polygoner
Sinus och cosinus som irrationella tal inkluderar alternativa uttryck i vissa fall, såväl som uttryck för vissa vinklar

Trigonometri
Allmän	Trigonometri översikt Berättelse Användande Funktioner Omvänd Sällan använd Generaliserad trigonometri
Katalog	Identiteter Exakta konstanter tabeller enhetscirkel
Lagar och satser	Sinussats Pythagoras sats Cosinussats Tangentsats Cotangenssats Lösa trianglar
Matematisk analys	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvända funktioner ) Derivat

Trigonometriska konstanter

Inklusionskriterier

Tabell över några vanliga vinklar

Ytterligare vinklar

0° = 0 (rad)

1,5°=(1/120)π (rad)

1,875°=(1/96)π (rad)

2,25°=(1/80)π (rad)

2,8125°=(1/64)π (rad)

3°=(1/60)π (rad)

3,75°=(1/48)π (rad)

4,5°=(1/40)π (rad)

5,625°=(1/32)π (rad)

6°=(1/30)π (rad)

7,5°=(1/24)π (rad)

9°=(1/20)π (rad)

11,25°=(1/16)π (rad)

12°=(1/15)π (rad)

15°=(1/12)π (rad)

18°=(1/10)π (rad) [1]

21°=(7/60)π (rad)

22,5°=(1/8)π (rad)

24°=(2/15)π (rad)

27°=(3/20)π (rad)

30°=(1/6)π (rad)

33°=(11/60)π (rad)

36°=(1/5)π (rad)

39°=(13/60)π (rad)

42°=(7/30)π (rad)

45°=(1/4)π (rad)

54°=(3/10)π (rad)

60°=(1/3)π (rad)

67,5°=(3/8)π (rad)

72°=(2/5)π (rad)

75°=(5/12)π (rad)

90°=(1/2)π (rad)

Lista över värden för trigonometriska funktioner med ett argument lika med 2π/n

Bevis

Exempel 1: n = 3

Exempel 2: n = 5

Exempel 3: n = 7

Exempel 4: n = 3 2 = 9

Exempel 5: n = 2 7 = 14

Exempel 6: n = 3 5 = 15

Exempel 7: n = 17

Exempel 8: n = 13

Övrigt

Används för att beräkna andra konstanter

Härledning genom trianglar

Beräknade värden för sinus och cosinus

Triviala kvantiteter

Radikal form, sinus och cosinus(3× 2n )

Radikal form, sinus och cosinus(5× 2n )

Radikal form, sinus och cosinus(5×3× 2n )

Radikal form, sinus och cosinus(17× 2n )

Radikal form, sinus och cosinus(257× 2n );(65537× 2n )

Radikal form, sinus och cosinus(255× 2n ),(65535× 2n );(4294967295× 2n )

n × π(5× 2m )

n × tjugo

n × trettio

n × 60

Sätt att förenkla uttryck

Rationalisering av nämnaren

Konvertera ett bråk till summan (skillnaden) av två (eller flera) bråk

Kvadratera och ta kvadratroten

Förenkla uttryck med kapslade radikaler

Se även

Anteckningar

Länkar

Radikal form, sinus och cosinus $\pi$ (3× 2n )

Radikal form, sinus och cosinus $\pi$ (5× 2n )

Radikal form, sinus och cosinus $\pi$ (5×3× 2n )

Radikal form, sinus och cosinus $\pi$ (17× 2n )

Radikal form, sinus och cosinus $\pi$ (257× 2n ); $\pi$ (65537× 2n )

Radikal form, sinus och cosinus $\pi$ (255× 2n ), $\pi$ (65535× 2n ); $\pi$ (4294967295× 2n )

n × $\pi$ tjugo

n × $\pi$ trettio

n × $\pi$ 60