Pythagoras sats

Pythagoras sats

Döpt efter	Pythagoras
Formel som beskriver en lag eller teorem	$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
Beteckning i formeln	$c$ , och $a$ $b$
Elementet eller påståendet beskriver	rät triangel
Beskrivs i länken	geogebra.org/m/ZF… ( engelska)
Mediafiler på Wikimedia Commons

Pythagoras sats är en av de grundläggande satserna i den euklidiska geometrin , som fastställer förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel : summan av kvadraterna på benens längder är lika med kvadraten på hypotenusans längd .

Förhållandet i en eller annan form var förmodligen känt för olika forntida civilisationer långt före vår tideräkning; det första geometriska beviset tillskrivs Pythagoras . Påståendet visas som påstående 47 i Euklids element [ ⇨ .

Det kan också uttryckas som ett geometriskt faktum att arean av kvadraten byggd på hypotenusan är lika med summan av arean av kvadraterna byggda på benen. Det omvända påståendet är också sant : en triangel där summan av kvadraterna av längderna på två sidor är lika med kvadraten på längden på den tredje sidan är en rätvinklig triangel.

Det finns ett antal generaliseringar av denna sats - för godtyckliga trianglar , för figurer i utrymmen med högre dimensioner. I icke-euklidiska geometrier håller inte .

Historik

Enligt matematikhistorikern Moritz Cantor , i det forntida Egypten under kung Amenemhet I :s tid (cirka 2200-talet f.Kr. ) var det känt om en rätvinklig triangel med sidorna 3, 4, 5 - den användes av harpedonatter - " repspännare" [1] . I en gammal babylonisk text som går tillbaka till tiden för Hammurabi ( XX-talet f.Kr. ) ges en ungefärlig beräkning av hypotenusan [2] . Enligt van der Waerden är det mycket troligt att förhållandet i allmänna termer var känt i Babylon redan runt 1700-talet f.Kr. e.

I den antika kinesiska boken " Zhou bi suan jing ", daterad till perioden 5-300 år f.Kr. t.ex. ges en triangel med sidorna 3, 4 och 5, dessutom kan bilden tolkas som en grafisk motivering för förhållandet mellan satsen [3] . I den kinesiska samlingen av problem " Matematik i nio böcker " (X-II århundraden f.Kr.) ägnas en separat bok åt tillämpningen av satsen.

Det är allmänt accepterat att beviset för korrelationen gavs av den antika grekiske filosofen Pythagoras (570-490 f.Kr.). Det finns bevis från Proclus (412-485 e.Kr.) att Pythagoras använde algebraiska metoder för att hitta pytagoreiska trippel [4] , men under fem århundraden efter Pythagoras död finns det inget direkt omnämnande av beviset på hans författarskap. Men när Plutarchus och Cicero skriver om Pythagoras sats följer det av innehållet att författarskapet till Pythagoras är välkänt och otvivelaktigt [5] [6] . Det finns en legend som rapporterats av Diogenes Laertes , enligt vilken Pythagoras påstås fira upptäckten av sin teorem med en jättefest och slaktade hundra tjurar av glädje [7] .

Ungefär 400 f.Kr. e., enligt Proclus, gav Platon en metod för att hitta pythagoras trippel, genom att kombinera algebra och geometri. Omkring 300 f.Kr. e. i Euklids "element" dök det äldsta axiomatiska beviset för Pythagoras sats [8] .

Formuleringar

Huvudformuleringen innehåller algebraiska operationer - i en rätvinklig triangel, vars längder på benen är lika med och , och längden på hypotenusan är , förhållandet $a$ $b$ $c$

a^{2}+b^{2}=c^{2}.

En likvärdig geometrisk formulering är också möjlig, med hjälp av begreppet figurarea : i en rätvinklig triangel är arean av en kvadrat byggd på hypotenusan lika med summan av arean av kvadraterna byggda på benen. I denna form är satsen formulerad i Euklids element.

Den omvända Pythagoras sats är ett påstående om rektanguläriteten hos en triangel vars sidolängder är relaterade till förhållandet . Som en konsekvens, för varje trippel av positiva siffror , och , Så att , Det finns en rätvinklig triangel med ben och och hypotenusa . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a$ $b$ $c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a$ $b$ $c$

Bevis

Minst 400 bevis för Pythagoras sats [9] har registrerats i den vetenskapliga litteraturen , vilket förklaras både av det grundläggande värdet för geometri och av resultatets elementära natur. De huvudsakliga riktningarna för bevis är: algebraisk användning av förhållandet mellan triangelelement (till exempel den populära likhetsmetoden ), , det finns också olika exotiska bevis (till exempel genom att använda differentialekvationer).

Genom liknande trianglar

Ett av de mest populära bevisen för den algebraiska formuleringen i utbildningslitteraturen är beviset med hjälp av triangellikhetstekniken , medan det nästan är direkt härlett från axiomen och inte involverar begreppet figurens yta . [10] I den, för en triangel med en rät vinkel vid spetsen med sidor motsatta spetsarna , ritas höjden , och (enligt likhetskriteriet för likheten mellan två vinklar) uppstår likhetsrelationer: och , varav relationerna direkt följer $\triangel ABC$ $C$ $a,b,c$ $A,B,C$ $CH$ $\triangle ABC\sim \triangle ACH$ $\triangle ABC\sim \triangle CBH$

{\frac {a}{c}}={\frac {|HB|}{a}},\quad {\frac {b}{c}}={\frac {|AH|}{b }}.

När man multiplicerar de extrema medlemmarna av proportionerna härleds likheterna

a^{2}=c\cdot |HB|,\quad b^{2}=c\cdot |AH|,

komponent-för-komponent tillägg av vilket ger det önskade resultatet:

a^{2}+b^{2}=c\cdot {\big (}|HB|+|AH|{\big )}=c^{2}\quad \Leftrightarrow \quad a^{ 2}+b^{2}=c^{2}.

Bevis med areametoden

En stor mängd bevis involverar begreppet område. Trots den uppenbara enkelheten hos många av dem använder sådana bevis egenskaperna hos figurområdena, vars bevis är mer komplicerade än bevisen för själva Pythagoras sats.

Ekvivalensbevis

Likkomplementeringsbeviset använder fyra kopior av en rätvinklig triangel med ben och hypotenusa , arrangerade för att bilda en kvadrat med sidor och en inre fyrhörning med längdsidor . Den inre fyrhörningen i denna konfiguration är en kvadrat , eftersom summan av två spetsiga vinklar mitt emot en rät är 90°, och den raka vinkeln är 180°. Arean av den yttre kvadraten är lika med , den består av en inre kvadrat med en area och fyra rätvinkliga trianglar, var och en med en area , som ett resultat följer satsens uttalande från relationen under den algebraiska transformationen . $a,b$ $c$ $a+b$ $c$ ${\displaystyle (a+b)^{2))$ $c^{2}$ ${\frac {ab}{2))$ $(a+b)^{2}=4\cdot {\frac {ab}{2}}+c^{2}$

Euklids bevis

Euklids klassiska bevis syftar till att fastställa likheten mellan områdena mellan rektanglarna som bildas genom att dissekera kvadraten ovanför hypotenusan med höjden från rät vinkel med kvadraterna ovanför benen. [elva]

Konstruktionen som används för beviset är följande: för en rätvinklig triangel med en rät vinkel , kvadrater över benen och och en kvadrat över hypotenusan , konstrueras en höjd och en stråle som fortsätter den , som delar kvadraten över hypotenusan i två rektanglar och . Beviset syftar till att fastställa likheten mellan rektangelns ytor och kvadraten ovanför benet ; likheten mellan områdena för den andra rektangeln, som är en kvadrat ovanför hypotenusan, och rektangeln ovanför det andra benet etableras på liknande sätt. $\triangel ABC$ $C$ $ACED$ $BCFG$ $ABIK$ $CH$ $s$ $AHJK$ $BHJI$ $AHJK$ $AC$

Likheten mellan rektangelns ytor och fastställs genom kongruensen av trianglar och , vars area är lika med halva arean av rektanglarna och, respektive, i samband med följande egenskap: arean av triangeln är lika med halva arean av rektangeln, om figurerna har en gemensam sida, och höjden på triangeln till den gemensamma sidan är den andra sidan av rektangeln. Trianglarnas kongruens följer av likheten mellan två sidor (rutors sidor) och vinkeln mellan dem (som består av en rät vinkel och en vinkel vid ). $AHJK$ $ACED$ $\triangle ACK$ $\triangle ABD$ $AHJK$ $ACED$ $A$

Således fastställer beviset att arean av kvadraten ovanför hypotenusan, sammansatt av rektanglar och , är lika med summan av rutornas ytor ovanför benen. $AHJK$ $BHJI$

Bevis på Leonardo da Vinci

Också relaterat till metoden för områden är ett bevis som tillskrivs Leonardo da Vinci . Enligt den tyske matematikern Franz Lemmermeyer uppfanns detta bevis faktiskt av Johann Tobias Mayer [12] . Låt en rätvinklig triangel med en rät vinkel och kvadrater , och ges (se figur). I detta bevis är en triangel konstruerad på sidan av den senare till utsidan, kongruent , dessutom reflekteras både i förhållande till hypotenusan och i förhållande till höjden till den (det vill säga och ). Den räta linjen delar kvadraten byggd på hypotenusan i två lika delar, eftersom trianglarna och är lika i konstruktion. Beviset fastställer kongruensen av fyrkanter och , vars area, å ena sidan, är lika med summan av hälften av kvadraterna på benen och arean av den ursprungliga triangeln, på andra sidan, till halva arean av kvadraten på hypotenusan plus arean av den ursprungliga triangeln. Totalt är halva summan av kvadraternas ytor över benen lika med halva kvadratens area över hypotenusan, vilket motsvarar den geometriska formuleringen av Pythagoras sats. $\triangel ABC$ $C$ $ACED$ $BCFG$ $ABHJ$ $HJ$ $\triangel ABC$ $JI=BC$ $HI=AC$ $CI$ $\triangel ABC$ $\triangle JHI$ $CAJI$ $DABG$

Genom områdena för liknande trianglar

Följande bevis är baserat på det faktum att ytorna av liknande trianglar är relaterade till kvadraterna på motsvarande sidor. [13]

Låt det finnas en rätvinklig triangel, vinkelrät sjunkit mot hypotenusan från spetsen av den räta vinkeln. Trianglar är lika eftersom de har en rät vinkel och en gemensam vinkel . Betyder att $ABC$ $AD$ $ABC$ $DBA$ $B$

{\frac {{\text{area}}~DBA}{{\text{area}}~ABC}}={\frac {AB^{2}}{BC^{2}}}.

På samma sätt får vi det

{\frac {{\text{area}}~DAC}({\text{area}}~ABC}}={\frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.

Eftersom trianglarna och tillsammans bildar är summan av areorna av och lika med arean av . Härifrån $DBA$ $DAC$ $\triangel ABC$ $\triangle DBA$ $\triangle DAC$ $\triangel ABC$

{\frac {AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}}=1

eller $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}.$

Bevis med den infinitesimala metoden

Det finns flera bevis som tar till tekniken med differentialekvationer . I synnerhet krediteras Hardy med ett bevis som använder oändliga steg av benen och hypotenusan . Till exempel, ökning av benet när benet är konstant resulterar i att hypotenusan ökar , så att $a$ $b$ $c$ $ja$ $b$ $dc$

{\frac {da}{dc}}={\frac {c}{a}}.

Genom metoden för separation av variabler härleds en differentialekvation från dem , vars integration ger relationen . Att tillämpa de initiala villkoren definierar konstanten som , vilket resulterar i hävdandet av satsen. $c\,dc=a\,da$ $c^{2}=a^{2}+\mathrm {const}$ $a=0,\ c=b$ $b^{2}$

Det kvadratiska beroendet i den slutliga formeln uppträder på grund av den linjära proportionaliteten mellan triangelns sidor och inkrementen, medan summan beror på de oberoende bidragen från ökningen av olika ben.

Variationer och generaliseringar

Liknande geometriska former på tre sidor

En viktig geometrisk generalisering av Pythagoras sats gavs av Euklid i Principia , som går från områdena med kvadrater på sidorna till områdena med godtyckliga liknande geometriska figurer [14] : summan av arean av sådana figurer byggda på benen kommer att vara lika med arean av en figur som liknar dem, byggd på hypotenusan.

Huvudidén med denna generalisering är att arean för en sådan geometrisk figur är proportionell mot kvadraten på någon av dess linjära dimensioner och i synnerhet mot kvadraten på längden på vilken sida som helst. Därför, för liknande figurer med area , och , byggda på ben med längder respektive hypotenusa , gäller följande relation: $A$ $B$ $C$ $a$ $b$ $c$

{\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,\ Högerpil \,A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C

Eftersom enligt Pythagoras sats , då . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $A+B=C$

Dessutom, om det är möjligt att bevisa utan att använda Pythagoras sats att för arean av tre liknande geometriska figurer på sidorna av en rätvinklig triangel är förhållandet uppfyllt , då använder vi det omvända av beviset för Euklids generalisering, vi kan härleda beviset för Pythagoras sats. Till exempel, om vi på hypotenusan konstruerar en rätvinklig triangel kongruent med den initiala triangeln med area , och på benen - två liknande rätvinkliga trianglar med area och , så visar det sig att trianglar på benen bildas som en resultatet av att dividera den initiala triangeln med dess höjd, det vill säga summan av två mindre ytor av trianglar är lika med arean tredje, på detta sätt och tillämpa förhållandet för liknande figurer, härleds Pythagoras sats. $A+B=C$ $C$ $A$ $B$ $A+B=C$

Cosinussatsen

Pythagoras sats är ett specialfall av den mer allmänna cosinussatsen, som relaterar längderna på sidorna i en godtycklig triangel [15] :

{\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2))

var är vinkeln mellan sidorna och . Om vinkeln är 90°, då , och formeln förenklas till den vanliga Pythagoras sats. $\theta$ $a$ $b$ $\cos \theta =0$

Godtycklig triangel

Det finns en generalisering av Pythagoras sats till en godtycklig triangel, som enbart arbetar på förhållandet mellan längderna på sidorna. Man tror att det först etablerades av den sabiske astronomen Thabit ibn Qurra [16] . I den, för en godtycklig triangel med sidor , är en likbent triangel inskriven i den med en bas på sidan , en vertex som sammanfaller med spetsen på den ursprungliga triangeln, mittemot sidan , och vinklar vid basen lika med vinkeln mittemot den sida . Som ett resultat bildas två trianglar, liknande den ursprungliga: den första med sidor , den laterala sidan av den inskrivna likbenta triangeln längst bort från den, och - delar av sidan ; den andra är symmetrisk till den från sidan med sidan - motsvarande del av sidan . Som ett resultat, förhållandet [17] [18] $a,b,c$ $c$ $c$ $\theta$ $c$ $a$ $r$ $c$ $b$ $s$ $c$

a^{2}+b^{2}=c(r+s),

urartar till Pythagoras sats vid . Förhållandet är en konsekvens av likheten mellan de bildade trianglarna: $\theta =\pi /2$

{\frac {c}{a}}={\frac {a}{r}},\quad {\frac {c}{b}}={\frac {b}{s}}\quad \Rightarrow \quad cr+cs=a^{2}+b^{2}.

Pappus areasats

Pappus areasats , som tillåter en godtycklig triangel och godtyckliga parallellogram på dess två sidor för att konstruera ett parallellogram på den tredje sidan på ett sådant sätt att dess area är lika med summan av arean av två givna parallellogram, kan också övervägas som en generalisering av Pythagoras sats [19] : i fallet, när den ursprungliga triangeln är rätvinklig, och kvadrater ges som parallellogram på benen, visar sig kvadraten byggd på hypotenusan uppfylla villkoren för Pappus-området sats.

Multidimensionella generaliseringar

En generalisering av Pythagoras sats för tredimensionell euklidisk rymd är de Gua-satsen : om tre räta vinklar konvergerar vid en vertex av en tetraeder , då är kvadraten på arean av ansiktet mittemot denna vertex lika med summan av kvadraterna på områdena på de andra tre ytorna. Denna slutsats kan också generaliseras som den " n -dimensionella Pythagoras sats" för euklidiska utrymmen med högre dimensioner [20] - för ytorna på en ortogonal -dimensionell simplex med ytor av ortogonala ytor och området mittemot dem är förhållandet uppfyllt. : $n$ $S_{1},\dots ,S_{n}$ $S_{0}$

{\displaystyle S_{0}^{2}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2))

En annan multidimensionell generalisering uppstår från problemet med att hitta kvadraten på längden på diagonalen i en rektangulär ruta : för att beräkna den måste du tillämpa Pythagoras sats två gånger, som ett resultat blir det summan av kvadraterna av längderna av tre intilliggande sidor av lådan. I allmänhet är längden på en diagonaldimensionell kuboid med intilliggande sidor med längder : $n$ $a_{1},\dots ,a_{n}$

{\displaystyle d^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2))

som i det tredimensionella fallet är resultatet en följd av den successiva tillämpningen av Pythagoras sats på räta trianglar i vinkelräta plan.

En generalisering av Pythagoras sats för ett oändligt dimensionellt utrymme är Parsevals likhet [21] .

Icke-euklidisk geometri

Pythagoras sats är härledd från den euklidiska geometrins axiom och är ogiltigt för icke-euklidisk geometri [22] - uppfyllelsen av Pythagoras sats motsvarar Euklids postulat om parallellism [23] [24] .

I icke-euklidisk geometri kommer förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel nödvändigtvis att ha en annan form än Pythagoras sats. Till exempel, i sfärisk geometri har alla tre sidorna av en rätvinklig triangel, som binder oktanten av enhetssfären, längd , vilket motsäger Pythagoras sats. $\pi/2$

Samtidigt är Pythagoras sats giltig i hyperbolisk och elliptisk geometri, om kravet på att triangeln är rektangulär ersätts av villkoret att summan av triangelns två vinklar ska vara lika med den tredje [25] .

Sfärisk geometri

För varje rätvinklig triangel på en sfär med en radie (till exempel om vinkeln i triangeln är en rätvinklig triangel) med sidor, har förhållandet mellan sidorna formen [26] $R$ $\gamma$ $a,b,c$

\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}.

Denna likhet kan härledas som ett specialfall av den sfäriska cosinussatsen , som är giltig för alla sfäriska trianglar:

\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a }{R}}\cdot \sin {\frac {b}{R}}\cdot \cos \gamma .

Genom att tillämpa Taylor-serien i cosinusfunktionen ( ) kan det visas att om radien tenderar mot oändligheten , och argumenten , och tenderar mot noll, så närmar sig det sfäriska förhållandet mellan sidorna i en rät triangel Pythagoras sats. $\cos x\approx 1-{\dfrac {x^{2}}{2}}$ $R$ ${\dfrac {a}{R))$ ${\dfrac {b}{R))$ ${\dfrac {c}{R))$

Lobachevskys geometri

I Lobachevskys geometri för en rätvinklig triangel med sidor med motsatt sida mot rät vinkel, kommer förhållandet mellan sidorna att vara följande [27] : $a,b,c$ $c$

\operatörsnamn {ch} c=\operatörsnamn {ch} a\cdot \operatörsnamn {ch} b

var är den hyperboliska cosinus [28] . Denna formel är ett specialfall av hyperbolisk cosinussats, som är giltig för alla trianglar [29] : $\operatörsnamn {ch}$

\operatörsnamn {ch} c=\operatörsnamn {ch} a\cdot \operatornamn {ch} b-\operatörsnamn {sh} a\cdot \operatörsnamn {sh} b\cdot \cos \gamma

var är vinkeln vars spets är motsatt sida . $\gamma$ $c$

Med hjälp av Taylor-serien för den hyperboliska cosinus ( ) kan det visas att om den hyperboliska triangeln minskar (det vill säga när , och tenderar till noll), så närmar sig de hyperboliska relationerna i en rätvinklig triangel relationen för den klassiska Pythagoras sats. $\operatorname {ch} x\approx 1+{\dfrac {x^{2}}{2}}$ $a$ $b$ $c$

Applikation

Avstånd i tvådimensionella rektangulära system

Den viktigaste tillämpningen av Pythagoras sats är bestämningen av avståndet mellan två punkter i ett rektangulärt koordinatsystem : avståndet mellan punkter med koordinater och är lika med $s$ $(a,b)$ $(c,d)$

s={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))}.

För komplexa tal ger Pythagoras sats en naturlig formel för att hitta modulen för ett komplext tal - för den är lika med längden av radievektorn på det komplexa planet till punkten : $z=x+yi$ $(x, y)$

|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Avståndet mellan komplexa tal och representeras också i form av Pythagoras sats [30] : $z_{1}=x_{1}+y_{1}i$ $z_{2}=x_{2}+y_{2}i$

|z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2} }}.

Avståndet mellan två punkter i Lobachevsky-planet

$ds^{2}=dx^{2}+\operatörsnamn {ch} ^{2}\left({\frac {y}{R))\right)dy^{2}$ .

Här är R krökningsradien för Lobachevsky-planet, ch är den hyperboliska cosinus .

Euklidisk metrisk

Euklidisk metrisk - avståndsfunktion i euklidiska utrymmen , bestäms av Pythagoras sats, dess direkta tillämpning i det tvådimensionella fallet och sekventiellt i det flerdimensionella; för punkter med dimensionellt utrymme och avståndet mellan dem bestäms enligt följande: $n$ $p=(p_{1},\dots ,p_{n})$ $q=(q_{1},\dots ,q_{n})$ $d(p,q)$

d(p,q)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(p_{i}-q_{i})^{2))))

Talteori

En pythagoras trippel är en uppsättning av tre naturliga tal som kan vara längden på sidorna i en rätvinklig triangel, det vill säga naturliga tal som uppfyller den diofantiska ekvationen . Pythagoras trippel spelar en viktig roll i talteorin , problemet med att hitta dem effektivt har gett upphov till ett brett utbud av verk, från antiken till nutid. Formuleringen av Fermats sista sats liknar problemet med att hitta Pythagoras trippel för grad större än 2. $(x,\;y,\;z)$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$

Den enda pythagoras trippel som består av tre på varandra följande tal är 3, 4 och 5: [31] . $3^{2}+4^{2}=5^{2}$

I populärkulturen

En av bilderna av beviset för satsen är förknippad med det populära uttrycket i rysk skolfolklore "Pythagoreiska byxor är lika på alla sidor", som fick särskild berömmelse tack vare 1915 års komiska operan Ivanov Pavel [32] [ 33] .

Anteckningar

↑ Kantor hänvisar till Papyrus 6619 från Berlin Museum
↑ Historieämne: Pythagoras teorem i babylonisk matematik . Hämtad 1 juni 2009. Arkiverad från originalet 6 juni 2011. (obestämd)
↑ Vetenskap, tekniskt och militärt tänkande, hälsovård och utbildning // Andlig kultur i Kina: en encyklopedi i 5 volymer / Titarenko M. L. - M . : Eastern Literature of the Russian Academy of Sciences, 2009. - V. 5. - P. 939-941. — 1055 sid. — ISBN 9785020184299 . Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine
↑ Euclid, 1956 , sid. 351.
↑ Heath, 1921 , vol I, sid. 144.
↑ Kurt Von Fritz . The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum (engelska) // The Annals of Mathematics, Second Series: journal. - Annals of Mathematics, 1945. - April ( vol. 46 , nr 2 ). - S. 242-264 . — . : "Hör denna formel personligen till Pythagoras penna ..., men vi kan med säkerhet anse att den tillhör den äldsta perioden av Pythagoras matematik."
↑ Georg Hegel. Föreläsningar om filosofiens historia . — Liter, 2016-09-08. - S. 282. - 1762 sid. — ISBN 9785457981690 .
↑ Asger Aaboe. Avsnitt från matematikens tidiga historia (engelska) . - Mathematical Association of America , 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131 . Arkiverad 9 augusti 2016 på Wayback Machine . - "...det är inte förrän Euklid vi hittar en logisk följd av allmänna satser med korrekta bevis."
↑ Elisha Scott Loomis. Pythagoras proposition
↑ Se till exempel Geometry enligt Kiselyov Arkiverad 1 mars 2021 på Wayback Machine , § 196.
↑ Se till exempel Geometry enligt Kiselyov Arkiverad 1 mars 2021 på Wayback Machine , § 259.
↑ Franz Lemmermeyer. Leonardo da Vincis bevis på Pythagoras sats (engelska) . The College Mathematics Journal 47(5):361 (november 2016). Hämtad 22 oktober 2021. Arkiverad från originalet 7 juni 2022.
↑ Se till exempel Geometry enligt Kiselyov Arkiverad 1 mars 2021 på Wayback Machine , § 263.
↑ Euklids element : bok VI, sats VI 31: "I rätvinkliga trianglar är figuren på sidan som understöder den räta vinkeln lika med de liknande och liknande beskrivna figurerna på sidorna som innehåller den räta vinkeln".
↑ Lawrence S. Leff. Citerat verk . - Barron's Educational Series, 2005. - S. 326. - ISBN 0764128922 .
↑ Howard Whitley Eves. § 4.8: ...generalisering av Pythagoras sats // Stora ögonblick i matematik (före 1650 ) . - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108 . Arkiverad 9 augusti 2016 på Wayback Machine
↑ Aydin Sayili . Thâbit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem (engelska) // Isis : journal. - 1960. - Mars ( vol. 51 , nr 1 ). - S. 35-37 . - doi : 10.1086/348837 . — .
↑ Judith D. Sally, Paul Sally. Övning 2.10(II) // Citerat arbete . - 2007. - S. 62. - ISBN 0821844032 . Arkiverad 9 augusti 2016 på Wayback Machine
↑ George Jennings. Figur 1.32: Den generaliserade Pythagoras sats // Modern geometri med tillämpningar: med 150 figurer . — 3:a. — Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X .
↑ Rajendra Bhatia. matrisanalys . — Springer , 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465 .
↑ Shilov G. E. Matematisk analys. Specialkurs. - M .: Fizmatlit, 1961. - C. 194
↑ Stephen W. Hawking. Citerat verk . - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229 . Arkiverad 17 augusti 2016 på Wayback Machine
↑ Eric W. Weisstein. CRC kortfattad encyklopedi av matematik . — 2:a. - 2003. - S. 2147. - ISBN 1584883472 . Arkiverad 17 augusti 2016 på Wayback Machine . — "Det parallella postulatet är ekvivalent med Equidistance-postulatet , Playfair-axiomet , Proclus-axiomet , Triangelpostulatet och Pythagoras sats ."
↑ Alexander R. Pruss. Principen om tillräckligt skäl : en omprövning . - Cambridge University Press , 2006. - P. 11. - ISBN 052185959X . Arkiverad 9 augusti 2016 på Wayback Machine . "Vi skulle kunna inkludera ... parallellpostulatet och härleda Pythagoras sats. Eller så kan vi istället göra Pythagoras sats bland de andra axiomen och härleda parallellpostulatet."
↑ Victor Pambuccian . Maria Teresa Calapsos Hyperboliska Pythagoras sats (engelska) // The Mathematical Intelligencer : journal. - 2010. - December ( vol. 32 ). — S. 2 . - doi : 10.1007/s00283-010-9169-0 .
↑ Barrett O'Neill. Övning 4 // Elementär differentialgeometri . — 2:a. - Academic Press , 2006. - P. 441. - ISBN 0120887355 .
↑ Saul Stahl. Sats 8.3 // Poincaré-halvplanet: en port till modern geometri (engelska) . – Jones & Bartlett Learning, 1993. - S. 122. - ISBN 086720298X .
↑ Mikisha A. M., Orlov V. B. Explanatory Mathematical Dictionary. Grundläggande villkor. - M. ryska språket, 1989
↑ Jane Gilman. Hyperboliska trianglar // Två-generator diskreta undergrupper av PSL (2, R ) . - American Mathematical Society Bookstore, 1995. - ISBN 0821803611 .
↑ Alfred Gray , Elsa Abbena, Simon Salamon. Modern differentialgeometri av kurvor och ytor med Mathematica . — 3:a. - CRC Press , 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487 .
↑ Siegel E. Denna ena ekvation, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², tar Pythagoras till en helt ny nivå . Forbes (6 mars 2020). Hämtad 28 april 2020. Arkiverad från originalet 4 april 2020.
↑ Legendarisk opera: text och musik . LiveJournal (4 augusti 2016). Hämtad 9 januari 2020. Arkiverad från originalet 9 juni 2020. (obestämd)
↑ Ordbok över moderna citat. liter, 20 mar. 2019. S. 9 .

Litteratur

Van der Waerden B. L. Awakening Science. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland. - M., 1959.
Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. - M., 1982.
Yelensky Sh. I Pythagoras fotspår. — M.: Detgiz , 1961. — 486 sid. : ill., kartor.
Claudy Alsina. Sekten av siffror. Pythagoras sats. - M. : De Agostini, 2014. - 152 sid. — (Matematikens värld: i 45 band, band 5). - ISBN 978-5-9774-0633-8 .
Litzman V. Pythagoras sats. - M., 1960.
- En sida om Pythagoras sats med ett stort antal bevis, materialet är hämtat från boken av V. Litzman, ett stort antal teckningar presenteras som separata grafiska filer.
Skopets Z. A. Geometriska miniatyrer. - M., 1990
Euklid. The Elements (3 vols.) / Översatt av Johan Ludvig Heiberg med inledning och kommentar av Thomas L. Heath. - Nytryck 1908. - Dover, 1956. - Vol. 1 (bok I och II). — ISBN 0-486-60088-2 .
Heath S. A History of Greek Mathematics (2 vols.). — Upplaga av Dover Publications, Inc. (1981). - Clarendon Press, Oxford, 1921. - ISBN 0-486-24073-8 .

Länkar

Pythagoras sats historia
Glazer G. , akademiker vid Russian Academy of Education, Moskva. Om Pythagoras sats och hur man bevisar det
Klipp från serien " Matematiska etuder ", tillägnad Pythagoras sats (för dator , iPhone , iPad )
Pythagoras sats och Pythagoras tredubblar. Arkiverad 3 mars 2016 på Wayback Machine Ett kapitel ur D. V. Anosovs bok "A look at mathematics and something from it"
Pythagoras sats vid WolframMathWorld
Cut-The-Knot, avsnitt om Pythagoras sats, cirka 70 bevis och omfattande ytterligare information (eng.)

Ordböcker och uppslagsverk

I bibliografiska kataloger
BNE : XX4809534 BNF : 11946942j GND : 4176546-1 J9U : 987007551078005171 LCCN : sh85109374 NDL : 00934581

Triangel
Typer av trianglar	Rektangulär Likbent Liksidig Likbent rektangulär
Underbara linjer i en triangel	Median Höjd Bisektris Mittvinkelrät mittlinje Omskrivna och inskrivna cirklar Simsons raka linje Euler linje Simediana Cheviana
Anmärkningsvärda punkter i triangeln	Ortocenter Centroid I mitten Brocard punkt Vecten punkt Peka Gergonne Lemoine punkt Miquel pekar Nagel poäng Napoleon pekar Torricellis punkter Niopunkts cirkelcentrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centers
Grundläggande satser	triangelojämlikhet Tecken på likhet av trianglar Lösa trianglar Triangelns yttre vinkelsats Triangelsummans sats Pythagoras sats Cosinussats Sinussats Projektionssatsen Herons formel
Ytterligare satser	Van Obels teorem Menelaos sats Reuschles (Terkema) sats Stewarts teorem Tangentsats Cotangenssats Cevas sats Mollweide formler
Generaliseringar	sfärisk triangel hyperbolisk triangel Simplex

Trigonometri
Allmän	Trigonometri översikt Berättelse Användande Funktioner Omvänd Sällan använd Generaliserad trigonometri
Katalog	Identiteter Exakta konstanter tabeller enhetscirkel
Lagar och satser	Sinussats Pythagoras sats Cosinussats Tangentsats Cotangenssats Lösa trianglar
Matematisk analys	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvända funktioner ) Derivat