Stympad kvadratisk mosaik

Stympad kvadratisk mosaik
Sorts	Halvvanlig plattsättning
Vertex-konfiguration	4.8.8]]
Schläfli symbol	t{4,4} tr{4,4} eller
Wythoff symbol	2 | 4 4 4 4 2 |
Symmetrier	p4m, [4,4], (*442)
Rotationssymmetrier _	p4, [4,4] + , (442)
Coxeter-Dynkin diagram	eller
Coxeter grupp	H4 , [ 5,3,3,3 ]
Dubbla honungskakor	Delad kvadratisk mosaik
Egenskaper	isogonal bikaka

En trunkerad kvadratisk plattsättning är en semi-regelbunden plattsättning av regelbundna polygoner i det euklidiska planet med en kvadrat och två oktagoner vid varje vertex . Detta är den enda vanliga konvexa polygonen som innehåller oktagoner som berör varandra. Schläfli-symbolen för plattsättningen är t{4,4} .

Conway kallade dessa mosaiker " stympad quadrille " (stympad quadrille), eftersom den är byggd på grundval av en trunkeringsoperation på en fyrkantig parkett (quadrille).

Andra namn på detta mönster är medelhavskakel och åttkantigt kakel , som ofta använder mindre kvadrater, och åttakanterna har omväxlande långa och korta sidor.

Det finns 3 vanliga och 8 semi-regelbundna plattor på planet .

Enhetliga färger

Det finns två olika enhetliga färger av den trunkerade kvadratiska plattsättningen. (Namn på färger efter färgindex runt en vertex (4.8.8): 122, 123.)

2 färger: 122

3 färger: 123

Packningscirklar

En plattsättning av trunkerade fyrkanter kan användas för att packa cirklar genom att placera cirklar med samma diameter centrerade vid plattornas hörn. Varje cirkel berör 3 andra cirklar i förpackningen ( kontaktnummer ) [1] . Eftersom alla polygoner har ett jämnt antal sidor kan cirklarna färgas på ett alternativt sätt, som visas i den andra bilden.

Alternativ

En variant av plattsättningen, ofta kallad medelhavskakel , består av mindre fyrkantiga plattor som är anordnade diagonalt i förhållande till gränserna. Andra varianter innehåller sträckta kvadrater eller oktagoner.

Den pythagoreiska plattsättningen varvas med stora och små rutor och är topologiskt likvärdig med den trunkerade kvadratiska plattsättningen. I den roteras kvadraterna 45 grader, och åttakanterna omvandlas till kvadrater med hörn i mitten av sidorna.

En vävd plattsättning har också samma topologi som en trunkerad kvadratisk plattsättning med åttakanter tillplattade till rektanglar .

Holländskt murverk har samma topologiska struktur med oktagoner tillplattade till rektanglar:

Relaterade polyedrar och plattsättningar

Den trunkerade kvadratiska plattsättningen (topologiskt) är en del av en sekvens av enhetliga polyedrar och plattsättningar med 4.2n.2n vertexfigurer :

En 3D bitrunkerad kubisk honeycomb projicerad i ett plan producerar två kopior av den trunkerade plattsättningen. På planet kan honungskakan representeras som en sammansatt plattsättning, och kombinationen kan ses som en avfasad kvadratisk plattsättning .

+

Wythoffs konstruktion från en kvadratisk plattsättning

Om vi ​​målar de ursprungliga ytorna på den fyrkantiga mosaiken med rött, med gult för brickorna där hörnen är och med blått för brickorna där de ursprungliga sidorna är, kommer alla 8 former att vara olika. Men om ansiktena behandlas lika (som färgade i samma färg), finns det bara tre unika topologiska former: fyrkantig kakel , trunkerad fyrkantig kakel, snub fyrkantig kakel .

Enhetliga plattsättningar baserade på symmetrin av en kvadratisk plattsättning
Symmetri : [4,4], (*442)							[4,4] + , (442)	[4,4 + ], (4*2)
{4,4}	t{4,4}	r{4,4}	t{4,4}	{4,4}	rr{4,4}	tr{4,4}	sr{4,4}	s{4,4}
enhetliga dualer
V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Relaterade plattsättningar i andra symmetrier

Delad kvadratisk plattsättning

Den delade fyrkantiga plattsättningen är den euklidiska plattsättningen, dubbel till den trunkerade kvadratiska plattsättningen. Den kan konstrueras från en kvadratisk plattsättning genom att dela upp varje kvadrat i fyra likbenta rätvinkliga trianglar , som bildar en oändlig konfiguration av linjer . Samma plattsättning kan erhållas från en kvadratisk plattsättning genom att dela upp varje kvadrat i två trianglar diagonalt, alternerande riktningen på diagonalerna. Du kan få en mosaik genom att lägga två kvadratiska rutnät över varandra, varav det ena roteras 45 grader i förhållande till det andra och ökas med en faktor √ 2 .

Conway kallade denna sida vid sida " kisquadrille " = " kis + quadrille " [2] , där kis är en operation som lägger till en mittpunkt och trianglar och därigenom ersätter ytorna på en kvadratisk plattsättning ("quadrille"). Mosaiken kallas också ibland för Union Jack- grillen på grund av dess likhet med Storbritanniens flagga [3] .

Se även

• Mosaiker av konvexa regelbundna polygoner på det euklidiska planet
• Lista över enhetliga plattsättningar
• Tröskelvärde

Anteckningar

1. ↑ Critchlow, 1987 , sid. 74-75.
2. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008 , sid. 288 bord.
3. ↑ Stephenson, 1970 , sid. 4405–4409.

Litteratur

• Keith Critchlow. cirkelmönster H // Order in Space: A design source book. - New York: Thames & Hudson Inc., 1987. - ISBN 0-500-34033-1 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Sakernas symmetrier . - Wellesley, MA: A.K. Peters, Ltd., 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• John Stephenson. Ising-modell med antiferromagnetisk koppling till närmaste granne: Spinkorrelationer och störningspunkter // Fysisk. Varv. F. - 1970. - T. 1 , nummer. 11 . - doi : 10.1103/PhysRevB.1.4405 .
• Branko Grünbaum , GC Shephard. Kapitel 2.1: Regelbundna och enhetliga plattsättningar // Plattläggningar och mönster . - New York: W.H. Freeman, 1987. - S.  58-65 . - ISBN 0-7167-1193-1 .
• Robert Williams. Den geometriska grunden för naturlig struktur . - New York: Dover Publications, 1979. - ISBN 048623729X .
• Dale Seymour, Jill Britton. Introduktion till Tessellations . - Palo Alto: Dale Seymour Publications, 1989. - S.  50 -56. — ISBN 978-0866514613 .

Länkar

• http://www.decrete.com/stencils/octagontile
• Weisstein, Eric W. Semiregular tessellation  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
• Klitzing, Richard. 2D euklidiska plattsättningar o4x4x - tosquat - O6