Matris (matematik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 december 2021; kontroller kräver 16 redigeringar .

En matris är ett matematiskt objekt skrivet som en rektangulär tabell över element i en ring eller ett fält (till exempel heltal , reella eller komplexa tal), som är en samling rader och kolumner i skärningspunkten mellan vilka dess element är belägna. Antalet rader och kolumner anger storleken på matrisen. Även om till exempel triangulära matriser [1] historiskt har övervägts, talar de för närvarande uteslutande om rektangulära matriser, eftersom de är de mest bekväma och allmänna.

Matriser används ofta i matematik för kompakt representation av system av linjära algebraiska eller differentialekvationer . I det här fallet motsvarar antalet matrisrader antalet ekvationer och antalet kolumner motsvarar antalet okända. Som ett resultat reduceras lösningen av linjära ekvationssystem till operationer på matriser.

Följande algebraiska operationer definieras för en matris :

tillägg av matriser med samma storlek ;
multiplikation av matriser av lämplig storlek (en matris med kolumner kan multipliceras till höger med en matris med rader) ; $n$ $n$
inklusive multiplikationen av en matris med en kolumnvektor och multiplikationen av en radvektor med en matris (enligt den vanliga regeln för matrismultiplikation; en vektor är i denna mening ett specialfall av en matris) ;
multiplikation av en matris med ett element i den underliggande ringen eller fältet (det vill säga en skalär ) .

Med avseende på addition bildar matriser en abelsk grupp ; om vi även betraktar multiplikation med en skalär, så bildar matriserna en modul över motsvarande ring (ett vektorrum över ett fält). Uppsättningen av kvadratmatriser är stängd under matrismultiplikation, så kvadratmatriser av samma storlek bildar en associativ ring med enhet under matrisaddition och matrismultiplikation.

Det är bevisat att varje linjär operator som verkar i ett dimensionellt linjärt rymd kan associeras med en unik kvadratisk ordningsmatris ; och vice versa - varje kvadratisk matris kan associeras med en unik linjär operator som verkar i detta utrymme. [2] Egenskaperna för en matris motsvarar egenskaperna hos en linjär operator. I synnerhet är egenvärdena för en matris operatörens egenvärden som motsvarar motsvarande egenvektorer . $n$ $n$ $n$

Detsamma kan sägas om representationen av bilinjära (kvadratiska) former av matriser .

I matematik övervägs många olika typer och typer av matriser . Sådana är till exempel enhet , symmetriska , skev-symmetriska , övre triangulära (nedre triangulära), etc. matriser.

Av särskild betydelse i matristeorin är alla typer av normala former , det vill säga den kanoniska formen, till vilken en matris kan reduceras genom att ändra koordinater. Den viktigaste (i teoretisk mening) och utarbetade är teorin om Jordaniens normala former . I praktiken används dock normala former som har ytterligare egenskaper, såsom stabilitet.

Historik

För första gången nämndes matriser i det forntida Kina, då kallade den " magiska kvadraten ". Den huvudsakliga tillämpningen av matriser var lösningen av linjära ekvationer [3] . Även magiska rutor var kända lite senare bland arabiska matematiker, runt den tiden dök principen om matristillägg upp. Efter att ha utvecklat teorin om determinanter i slutet av 1600-talet började Gabriel Cramer utveckla sin teori på 1700-talet och publicerade Cramers regel 1751. Ungefär under samma tidsperiod dök " Gaussmetoden " upp. Matristeorin började sin existens i mitten av 1800-talet i verk av William Hamilton och Arthur Cayley . Grundläggande resultat i matristeori beror på Weierstrass , Jordan , Frobenius . Termen "matris" introducerades av James Sylvester 1850 [4]

Introduktion

Matriser uppstår naturligt när man löser system av linjära ekvationer , såväl som när man överväger linjära transformationer .

System av linjära ekvationer

Betrakta ett system av linjära ekvationer av formen:

\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{ fall}

Detta system består av linjära ekvationer i okända. Det kan skrivas som följande matrisekvation: $m$ $n$

yxa = b

var

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ; \quad x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ; \quad b = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}

En matris är en matris av koefficienter för ett system av linjära ekvationer, en kolumnvektor är en vektor av okända, och en kolumnvektor är någon given vektor. $A$ $x$ $b$

För att systemet ska ha en lösning (minst en) är det nödvändigt och tillräckligt att vektorn är en linjär kombination av kolumner , och då är vektorn en vektor som innehåller vektorns expansionskoefficienter över kolumnerna i matrisen . $b$ $A$ $x$ $b$ $A$

På matrisspråket formuleras villkoret för lösbarheten av ett system av linjära ekvationer som Kronecker-Capelli-satsen :

rangordningen för en matris är lika med rangordningen för den utökade matrisen ,

A

[A|b]

sammansatt av kolumner och en kolumn . $A$ $b$

Ett viktigt specialfall . Om antalet ekvationer sammanfaller med antalet okända ( , det vill säga matrisen är kvadratisk), är villkoret för unik lösbarhet ekvivalent med villkoret för att matrisen ska vara inverterbar . $m=n$ $A$ $A$

(Notera. Systemets lösbarhet innebär ännu inte att matrisen inte är degenererad. Exempel: .) $0x=0$

I synnerhet, om matrisen är inverterbar, kan lösningen till systemet skrivas (och om den beräknas , sedan hittas) i formuläret $A$ $A^{{-1}}$

x = A^{-1}b

Detta leder till en algoritm för att beräkna värdena för de okända med Cramers regel .

Linjära transformationer

Betrakta en linjär transformation från -dimensionell vektorrymd till -dimensionell vektorrymd som har följande form: $\mathcal{A}\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $\mathbb {R} ^{m}$

\left\{\begin{array}{rcl}y_1&=&a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n\\ y_2&=&a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n\\ & \cdots & \\ y_m&=&a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n\\ \end{array}\right.

I matrisform är detta en transformation av en ekvation av formen:

y=ax

Matris är en matris av linjära transformationskoefficienter. $A$

Om vi betraktar verkan av en linjär transformation på vektorer av formen $\mathcal{A}$

e_j=(0,\dots,0,1_j,0,\dots,0)^T,\quad j=\överlinje{1,n}

utgör grunden för utrymmet , då - detta är den -: e kolumnen i matrisen . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathcal{A}\mathbf{e}_j$ $j$ $A$

Alltså, matrisen beskriver helt den linjära transformationen och kallas därför den linjära transformationsmatrisen . $A$ $\mathcal{A}$

Definitioner

Rektangulär matris

Låt det finnas två ändliga mängder:

radnummer: ; $M=\{1,2,\dots,m\}$

kolumnnummer: , där och är naturliga tal . $N=\{1,2,\dots,n\}$ $m$ $n$

Låt oss kalla en matris av storlek (läs vidare ) ( - rader , - kolumner ) med element från någon ring eller fält för en mappning av formen . Matrisen skrivs som $A$ $m\ gånger n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $\mathcal{K}$ $A\kolon M\ gånger N\to\mathcal{K}$

{\textstyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &a_{ij}&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},}

där matriselementet är i skärningspunkten mellan den -th raden och -th kolumnen . $a_{ij}=a(i,j)$ $i$ $j$

$i$ -th raden i matrisen ${\textstyle A(i,)={\begin{pmatrix}a_{{i1}}&a_{{i2}}&\cdots &a_{{i}}\end{pmatrix}};}$
$j$ -th kolumn i matrisen ${\textstil A(,j)={\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix)).}$

I det här fallet är antalet matriselement lika med . $m\cdot n$

Enligt det här

varje rad i matrisen kan tolkas som en vektor i dimensionellt koordinatutrymme ; $n$ $\mathcal{K}^{n}$
varje kolumn i matrisen är som en vektor i dimensionellt koordinatutrymme . $m$ $\mathcal{K}^{m}$

Själva matrisen tolkas naturligt som en vektor i ett dimensionsutrymme . Detta gör att man kan införa komponent-för-komponent-addition av matriser och multiplikation av en matris med ett tal (se nedan); När det gäller matrismultiplikation förlitar den sig mycket på matrisens rektangulära struktur. $\mathcal{K}^{mn}$ $mn$

Square Matrix

Om matrisen har samma antal rader som antalet kolumner kallas en sådan matris kvadrat , och numret kallas storleken på kvadratmatrisen eller dess ordning . $m$ $n$ $m=n$

Radvektor och kolumnvektor

Matriser av storlek och är element i utrymmen respektive : $m\ gånger 1$ $1\ gånger n$ $\mathcal{K}^{m}$ $\mathcal{K}^{n}$

en storleksmatris kallas en kolumnvektor och har en speciell notation: $m\ gånger 1$

\mathrm{kolon}\,(a_1,\dots,a_i,\dots,a_m) =\left( \begin{array}{c}a_1 \\ \vdots \\ a_i \\ \vdots \\ a_m \end{ array} \right) =(a_1,\dots,a_i,\dots,a_m)^{T};

storleksmatrisen kallas en radvektor och har en speciell notation: $1\ gånger n$

\mathrm{rad}\,(a_1,\dots,a_i,\dots,a_n)=(a_1,\dots,a_i,\dots,a_n);

Elementära matristransformationer

Följande transformationer kallas elementära transformationer av matrisrader:

Multiplicera en sträng med ett tal som inte är noll,
Lägga till en rad till en annan rad
Ordna om två rader.

Elementära transformationer av matriskolonner definieras på liknande sätt.

Matrisrankning

Matrisens rader och kolumner är element i motsvarande vektorrum:

matrisens kolumner utgör elementen i dimensionsutrymmet ; $A$ $m$
matrisens rader utgör elementen i dimensionsrummet . $A$ $n$

Rangen på en matris är antalet linjärt oberoende kolumner i en matris ( kolumnrankning av en matris) eller antalet linjärt oberoende rader i en matris ( radrankning av en matris). Likvärdig med denna definition är definitionen av rangordningen för en matris som ordningen för den maximala mollstorleken som inte är noll i matrisen.

Under elementära transformationer ändras inte matrisens rangordning .

Notation

En matris betecknas vanligtvis med en stor bokstav i det latinska alfabetet: låt

A\colon M\times N\to {\mathcal {K)),

då är en matris, som tolkas som en rektangulär matris av fältelement av formen , där $A$ $\mathcal{K}$ $a_{ij}=A(i,j)$

det första indexet betyder radindexet: ; $i=\överlinje{1,m}$
andra index betyder kolumnindex: ; $j=\överlinje{1,n}$

sålunda är elementet i matrisen beläget vid skärningspunkten mellan den -th raden och -th kolumnen. Följaktligen antas följande kompakta notation för en storleksmatris : $a_{{ij}}$ $A$ $i$ $j$ $m\ gånger n$

A=(a_{ij})_{i=1,j=1}^{m,n},

eller bara

A=(a_{ij}),

om du bara behöver ange beteckningen för elementen i matrisen.

Ibland, istället för , skriver de , för att skilja indexen från varandra och undvika förväxling med produkten av två tal. $a_{{ij}}$ $a_{i,j}$

Om det är nödvändigt att ge en detaljerad representation av matrisen i form av en tabell, använd sedan posten för formuläret

\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn } \end{pmatrix},\quad\left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right],\quad\left\|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j } & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \ vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right\|

Du kan hitta både beteckningar med parentes "(...)" och beteckningar med hakparenteser "[...]". Mindre vanliga är symboler med dubbla raka linjer “||…||”).

Eftersom en matris består av rader och kolumner används följande notation för dem:

a_{i\cdot}=A_i=[ \begin{array}{ccccc} a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \end{array}]

är den te raden i matrisen ,

i

A

a_{\cdot j}=A^j=\left[ \begin{array}{c} a_{1j}\\\vdots \\a_{ij} \\\vdots \\a_{mj} \\ \end {array}\right]

är den : e kolumnen i matrisen .

j

A

Således har matrisen en dubbel representation - efter rader:

A=[ \begin{array}{ccccc} A^{1} & \cdots & A^{j} & \cdots & A^{n} \\ \end{array}]

och efter kolumner:

A=\left[ \begin{array}{c} A_{1}\\\vdots \\A_{i} \\\vdots \\A_{m} \\ \end{array}\right]

Denna representation gör att man kan formulera egenskaperna hos matriser i termer av rader eller i termer av kolumner.

Transponerad matris

För varje storleksmatris $A=(a_{i,j})_{\begin{smallmatrix}i={\overline {1,m}}\\j={\overline {1,n}}\end{smallmatrix}} ={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\ slut{pmatrix}}$ $m\ gånger n$

man kan konstruera en matris av storlek , $B=(b_{j,i})_{\begin{smallmatrix}j={\overline {1,n}}\\i={\overline {1,m}}\end{smallmatrix}} ={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\ slut{pmatrix}}$ $n\ gånger m$

som har för alla och . ${\displaystyle b_{j,i}=a_{i,j))$ $i=\överlinje{1,m}$ $j=\överlinje{1,n}$

En sådan matris kallas den transponerade matrisen för och betecknas med , $A$ $A^{T}$

ibland (om det inte finns någon möjlighet till förväxling med differentiering ) betecknas , $A'$

ibland (om det inte finns någon möjlighet till förväxling med den hermitiska konjugationen ) betecknas med . $A^{*}$

När de transponeras blir raderna (kolumnerna) av matriser kolumner (respektive rader) i en matris . $A$ $A^{T}$

Uppenbarligen . $(A^{T})^{T}=A$

För matriser över en ring är transpositionen en isomorfism av modulerna för matriserna, eftersom $\mathcal{K}$ $\mathcal{K}$

(A+B)^T=A^T+B^T

(\lambda \cdot A)^{T}=\lambda \cdot (A^{T})

, för någon .

\lambda \in {\mathcal {K}}

Diagonal matris

Diagonal matris - en kvadratisk matris, vars alla element utom de diagonala är noll , ibland skrivna som: $(i \neq j: a_{ij} = 0)$

\mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n).

Andra matrisdiagonaler

Förutom huvuddiagonalen övervägs ibland matriselement som är direkt ovanför de diagonala elementen. Dessa element bildar överdiagonalen av matrisen. Elementen omedelbart under diagonalen bildar en subdiagonal matris (se bidiagonal matris ).

Element placerade på sina ställen bildar en sidodiagonal (se t.ex. sidodiagonal eller matristyper ). ${\displaystyle a_{1,n},a_{2,n-1},\dots ,a_{n,1))$

Identitetsmatris

Identitetsmatrisen är en matris, multiplicerad med vilken någon matris (eller vektor) förblir oförändrad, är en diagonal matris med identitet (alla) diagonala element:

\mathrm{diag}(1, 1, \dots, 1).

För dess beteckning används oftast beteckningen I eller E , såväl som helt enkelt 1 (eller 1 i ett speciellt teckensnitt).

För att beteckna dess element används Kronecker-symbolen också , definierad som: $\delta _{{ij}}$

\delta_{ii} = 1

\delta_{ij} = 0

på

i \neq j.

Nollmatris

För att beteckna en nollmatris - en matris, vars alla element är noll (när den läggs till en matris förblir den oförändrad, och när den multipliceras med valfri matris erhålls en nollmatris) - vanligtvis är 0 eller 0 används i ett speciellt teckensnitt, eller en bokstav som liknar noll, till exempel . $\Theta$

Matrisoperationer

Matristillägg

Du kan bara lägga till matriser av samma storlek.

Matrisaddition är operationen att hitta en matris , vars alla element är lika med den parvisa summan av alla motsvarande element i matriserna och , det vill säga varje element i matrisen är lika med $A+B$ $C$ $A$ $B$ $C$

\ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Matrisadditionsegenskaper:

kommutativitet : ; $A+B=B+A$
associativitet : ; $(A+B)+C=A+(B+C)$
addition med nollmatris: ; $A+\theta =\theta +A=A$
förekomsten av den motsatta matrisen: ; $A+(-A)=\theta$

Alla egenskaper för linjära operationer upprepar axiomen för ett linjärt utrymme , och därför är följande sats giltig:

Uppsättningen av alla matriser av samma storlek med element från fältet (fältet för alla reella eller komplexa tal ) bildar ett linjärt utrymme över fältet (varje sådan matris är en vektor av detta utrymme). Men i första hand för att undvika terminologisk förvirring undviks matriser i vanliga sammanhang utan behov (vilket inte finns i de vanligaste standardapplikationerna) och tydlig specifikation av användningen av termen för att anropa vektorer. $m\ gånger n$ $P$ $P$

Multiplicera en matris med ett tal

Att multiplicera en matris med ett tal är att bygga en matris . $A$ $\lambda \in \mathcal{K}$ $\lambda A = ( \lambda a_{ij} )$

Egenskaper för multiplikation av matriser med ett tal:

multiplikation med ett: ; $1\cdot A=A\cdot 1=A$
associativitet : ; $(\lambda \beta )A=\lambda (\beta A)$
distributivitet: ; $(\lambda +\beta )A=\lambda A+\beta A$
distributivitet: ; $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

Matrismultiplikation

Matrismultiplikation (notation:, sällan med multiplikationstecknet) är operationen för att beräkna en matris, vars varje element är lika med summan av produkterna av elementen i motsvarande rad av den första faktorn och kolumnen i den andra. $AB$ $A\ gånger B$ $C$

{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj))

Antalet kolumner i matrisen måste matcha antalet rader i matrisen , med andra ord måste matrisen överensstämma med matrisen . Om matrisen har dimension , - , så är dimensionen för deras produkt . $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $m\ gånger n$ $B$ $n \ gånger k$ $AB=C$ $m \tid k$

Matrismultiplikationsegenskaper:

associativitet : ; $(AB)C=A(BC)$
icke- kommutativitet (i allmänhet): ; $AB\neq BA$
produkten är kommutativ vid multiplikation med en identitetsmatris: ; $AI=IA=A$
distributionsförmåga : , $(A+B)C=AC+BC$

$A(B+C)=AB+AC$ ;

associativitet och kommutativitet med avseende på multiplikation med ett tal: . $(\lambda A)B=A(\lambda B)=\lambda (AB)$

Multiplikation av en vektor med en matris

Enligt de vanliga reglerna för matrismultiplikation multipliceras en kolumnvektor med en matris, som skrivs till vänster om den, och en radvektor multipliceras med en matris, som skrivs till höger om den. Eftersom elementen i en kolumnvektor eller radvektor kan skrivas (vilket vanligtvis görs) med ett index snarare än två, kan denna multiplikation skrivas som:

för en kolumnvektor (att få en ny kolumnvektor ): $v$ $Av$

(Av)_{i} = \sum^n_{k=1} a_{ik} v_{k},

för en radvektor (att få en ny radvektor ): $s$ $sA$

(sA)_{i} = \sum^n_{k=1} s_k a_{ki}.

En radvektor, matris och kolumnvektor kan multipliceras med varandra, vilket ger ett tal (skalär):

sAv = \sum\limits_{k,i} s_k a_{ki} v_i.

(Ordningen är viktig: radvektorn är till vänster, kolumnvektorn är till höger om matrisen).

Dessa operationer är grunden för matrisrepresentationen av linjära operatorer och linjära koordinattransformationer (förändring av baser), såsom rotationer, skalningar, spegelreflektioner och även (sista) matrisrepresentationen av bilinjära (kvadratiska) former.

När du representerar en vektor av ett verkligt vektorrum på en ortonormal basis (vilket motsvarar att använda rektangulära kartesiska koordinater), kommer kolumnvektorn och radvektorn som motsvarar den, som är en uppsättning vektorkomponenter, att sammanfalla (element för element), skiljer sig endast formellt i sin bild för riktigheten av matrisoperationer (då erhålls den ena från den andra helt enkelt genom en transponeringsoperation). När man använder icke-ortonormala baser (till exempel sneda koordinater eller åtminstone olika skalor längs axlarna), motsvarar kolumnvektorn komponenterna i vektorn i huvudbasen, och radvektorn motsvarar basen dual till huvudbasen [5] (Ibland talas också om utrymmet för radvektorer som ett speciellt, dubbelrum av kolumnvektorer, utrymmet för kovektorer ).

Observera att den vanliga motivationen för att introducera matriser och definiera driften av matrismultiplikation (se även i artikeln om matrismultiplikation ) är just introduktionen av dem, som börjar med multiplikationen av en vektor med en matris (som introduceras baserat på bastransformationer) eller, i allmänhet, linjära operationer på vektorer), och först då jämförs sammansättningen av transformationer med produkten av matriser. I själva verket, om den nya vektorn Av , erhållen från den ursprungliga vektorn v genom en transformation som kan representeras genom multiplikation med matris A , nu transformeras igen genom en transformation som kan representeras genom multiplikation med matris B , vilket erhåller B(Av) , då, baserat på regeln för att multiplicera en vektor med en matris, som ges i början av detta avsnitt (med användning av associativiteten för multiplikation av tal och omvänd ordning för summering), är det lätt att se den resulterande formeln som ger elementen i en matris (BA) som representerar sammansättningen av de första och andra transformationerna och sammanfaller med den vanliga definitionen av matrismultiplikation.

Komplex konjugation

Om elementen i matrisen är komplexa tal, så är den komplexa konjugatet (inte att förväxla med det hermitiska konjugatet ! Se nedan) matrisen lika med . Här är det komplexa konjugatet av . $A=(a_{ij})$ $\bar A = (\bar a_{i,j} )$ ${\bar {a}}$ $a$

Transposition och hermitisk konjugation

Införlivande har redan diskuterats ovan: om , då . För komplexa matriser är hermitisk konjugation vanligare : . Ur operatörssynpunkten av matriser är den transponerade och hermitiska konjugatmatrisen matriserna för operatorkonjugatet med avseende på den skalära respektive den hermitiska produkten. $A=(a_{ij})$ $A^T = (a_{ji})$ $A^* = \bar A^T$

Minderåriga

Nästa

För en kvadratisk matris kallas summan av de diagonala elementen (dvs första ordningens huvudminors) spåret : $A$

\mathrm{Tr} A = \sum\limits_{i}a_{ii} = a_{11}+ \ldots +a_{nn}

(andra beteckningar , , ). $\mathrm{spåra}$ $\mathrm{Sp}$ $\mathrm{Spur}$

Egenskaper:

Om och är definierade , då . $AB$ $BA$ $\mathrm{Tr} (AB) = \mathrm{Tr} (BA)$
Spåret är en invariant av matrislikhetsomvandlingar , dvs. om är icke-degenererat, då . $S$ $\mathrm{Tr} A = \mathrm{Tr} (S^{-1}AS)$
Spåret är lika med summan (av alla, med hänsyn tagen till multipliciteten) av matrisens egenvärden: . Dessutom, för alla heltals (positiva) tal , . $\mathrm{Tr} A = \sum\limits_{i}\lambda_{i} = \lambda_{1}+ \ldots +\lambda_{n}$ $k$ $\mathrm{Tr} (A^{k}) = \sum\limits_{i}\lambda_{i}^{k} = \lambda_{1}^{k}+ \ldots +\lambda_{n}^{ k}$

Determinant (determinant)

Låt matrisen vara kvadratisk, då beteckningen för determinanten: . Om matrisen är då $A$ $\Delta =\det A$ $2\times 2$ ${\displaystyle \Delta =\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21))$

Permanent

Relaterade begrepp

Linjära kombinationer

I ett vektorrum är en linjär kombination av vektorer en vektor $\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n$

\mathbf{x}=a_1\mathbf{x}_1+\dots+a_n\mathbf{x}_n,

var är expansionskoefficienterna: $a_1,\dots,a_n$

om alla koefficienter är lika med noll, kallas en sådan kombination trivial ,
om minst en koefficient skiljer sig från noll, kallas en sådan kombination nontrivial .

Detta gör det möjligt att beskriva produkten av matriser och termer av linjära kombinationer: $C=AB$ $A$ $B$

matriskolonner är linjära kombinationer av matriskolonner med koefficienter hämtade från matrisen ; $C$ $A$ $B$
matrisrader är linjära kombinationer av matrisrader med koefficienter hämtade från matrisen . $C$ $B$ $A$

Linjärt beroende

Om någon vektor kan representeras som en linjär kombination, så talar man om ett linjärt beroende av denna vektor på kombinationens element.

Mer exakt säger de detta: en viss uppsättning element i ett vektorrum kallas linjärt beroende om det finns en linjär kombination av element i denna uppsättning lika med noll eller

\mathbf{0}=a_1\mathbf{x_1}+\dots+a_n\mathbf{x_n},

där inte alla tal är lika med noll; om en sådan icke-trivial kombination inte existerar, kallas den givna samlingen av vektorer linjärt oberoende . $a_1,\dots,a_n$

Det linjära beroendet av vektorer innebär att någon vektor i en given mängd uttrycks linjärt genom resten av vektorerna.

Varje matris är en samling vektorer (av samma utrymme). Två sådana matriser är två uppsättningar. Om varje vektor i en uppsättning uttrycks linjärt i termer av vektorerna för en annan uppsättning, så beskrivs detta faktum på matristeorin med produkten av matriser:

om raderna i matrisen är linjärt beroende av matrisens rader , då för någon matris ; $C$ $B$ $C=AB$ $A$
om kolumnerna i en matris är linjärt beroende av kolumnerna i en annan matris , då för någon matris . $C$ $A$ $C=AB$ $B$

Egenskaper

Matrisoperationer

Addition och subtraktion är endast tillåtna för matriser av samma storlek.

Det finns en nollmatris så att dess tillägg till en annan matris A inte ändrar A, dvs. $\Theta$

A + \Theta = A

Alla element i nollmatrisen är lika med noll.

Endast kvadratiska matriser kan höjas till en potens .

Associativitet av addition: $A + (B + C) = (A + B) + C.$
Kommutativitet för addition: $A + B = B + A.$
Associativitet av multiplikation: $A(BC) = (AB)C.$
Generellt sett är matrismultiplikation icke- kommutativ : . Genom att använda denna egenskap introduceras en matriskommutator . $AB \ne BA$
Multiplikationsfördelning med avseende på addition: $A(B + C) = AB + AC;$ $(B + C)A = BA + CA.$
Med de egenskaper som nämnts ovan bildar matriser en ring med avseende på additions- och multiplikationsoperationer.
Egenskaper för matristransponeringsoperationen: $(A^T)^T=A$ $(AB)^T=B^TA^T$ $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ om den inversa matrisen finns. $A^{{-1}}$ $(A+B)^T=A^T+B^T$ $\text{det}\; A=\text{det}\; A^T$

Exempel

Den kvadratiska matrisen och relaterade definitioner

Om antalet rader i en matris är lika med antalet kolumner, kallas en sådan matris kvadrat .

För kvadratiska matriser finns det en identitetsmatris (analog med enhet för att multiplicera tal ) så att multiplicera en matris med den inte påverkar resultatet, nämligen $E$

EA=AE=A

Identitetsmatrisen har enheter endast längs huvuddiagonalen, resten av elementen är lika med noll

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end {pmatrix}

För vissa kvadratiska matriser kan man hitta den så kallade inversa matrisen . Den inversa matrisen är sådan att om matrisen multipliceras med sin inversa matris, kommer identitetsmatrisen att erhållas: $A^{{-1}}$

AA^{- 1} = E

Den omvända matrisen finns inte alltid. Matriser för vilka det finns en invers matris kallas icke- degenererad (eller regelbunden), och för vilka det inte finns någon - degenererad (eller singularis ). En matris är icke degenererad om alla dess rader (kolumner) är linjärt oberoende som vektorer . Det maximala antalet linjärt oberoende rader (kolumner) kallas matrisens rangordning. Determinanten (determinanten) för en matris är värdet av den normaliserade skev-symmetriska (antisymmetriska) multilinjära valensformen på matrisens kolumner. En kvadratisk matris över ett talfält är degenererad om och endast om dess determinant är noll. $(p;\;0)$

Matrisring

Av ovanstående egenskaper för addition och multiplikation av matriser (associativitet och kommutativitet av addition, fördelningsförmåga av multiplikation, existensen av en matris som är noll och motsats därtill), följer att n gånger n kvadratmatriser med element från valfri ring R bildar en ring isomorf till endomorfismringen av den fria modulen Rn . Denna ring betecknas med eller . Om R är en kommutativ ring , är också en associativ algebra över R. Determinanten för en matris med element från en kommutativ ring kan beräknas med den vanliga formeln, och matrisen kommer att vara inverterbar om och endast om dess determinant är inverterbar i R . Detta generaliserar situationen med matriser med element från fältet , eftersom alla element utom noll är inverterbara i fältet. $M(n,R)$ $M_{n}(R)$ $M(n,R)$

Matriser i gruppteori

Matriser spelar en viktig roll i gruppteorin . De används vid konstruktion av allmänna linjära grupper , speciella linjära grupper , diagonalgrupper , triangulära grupper , entriangulära grupper .

En ändlig grupp (särskilt en symmetrisk) kan (isomorft) modelleras av permutationsmatriser (som endast innehåller "0" och "1"),

till exempel för : , , , , , . $S_{3}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

Fältet för komplexa tal kan (isomorfiskt) modelleras över fältet för reella tal: $\mathbb{C}$ $\mathbb{R}$

för matrisanaloger , där ; $z = x + iy , \quad c = a + ib \in \mathbb{C}$ $Z = \begin{pmatrix} x & y\\-y & x \end{pmatrix}$ $C = \begin{pmatrix} a & b\\-b & a \end{pmatrix}$ $x , y , a , b \in \mathbb{R}$

$z + c = (x + a) + i(y + b)$ tändstickor ; $Z + C = \begin{pmatrix} x + a & y + b\\- y - b & x + a\end{pmatrix}$

$zc = (xa - yb) + i(xb + ya)$ tändstickor ; $ZC = \begin{pmatrix} xa - yb & xb + ya\\- ya - xb & - yb + xa\end{pmatrix}$

$\bar{z} = x - iy$ tändstickor ; $Z^T = \begin{pmatrix} x & -y\\y & x \end{pmatrix}$

$|z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=\det(Z)\in \mathbb {R}$ ;

$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2}$ at motsvarar at ; $z \ne 0$ $Z^{-1}={\frac {Z^{T}}{\det(Z)))$ $\det(Z)\neq 0$

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos(y)+i\,\sin(y))$ korrespondens . $e^{x}{\begin{pmatrix}\cos(y)&\sin(y)\\-\sin(y)&\cos(y)\end{pmatrix))$

I synnerhet för $E = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{pmatrix}$ $I = \begin{pmatrix} 0 & 1\\-1 & 0 \end{pmatrix}$

$z = x + iy \in \mathbb{C}$ motsvarar , $Z = x E + y I$

var . $I^2=-E$

Kommentar. Modellen har en automorfism , det vill säga $(jag till -jag)$ $Z \ till Z^T$

Kvaternioners kropp kan (isomorfiskt) modelleras över fältet av reella tal: $\mathbb{H}$ $\mathbb{R}$

för matrisanalogen , där . $q=t+ix+jy+kz\in \mathbb {H}$ $Q = \begin{pmatrix} t & x & y & -z\\ -x & t & -z & -y\\ -y & z & t & x\\ z & y & -x & t \end{ pmatrix}$ $t , x , y , z \in \mathbb{R}$

För att kvaternionen ska motsvara matrisen , $q = t + ix + jy + kz$ $Q = t E + x I + y J + z K$

var , , , , $I^2=J^2=K^2=-E$ $IJ=-JI=K$ $JK=-KJ=I$ $KI=-IK=J$

du kan ange grundläggande element

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ , , , . $I = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\-a & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & b\\0 & 0 & -b & 0\end{pmatrix}$ $J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & c & 0\\0 & 0 & 0 & d\\-c & 0 & 0 & 0\\0 & -d & 0 & 0\end{pmatrix}$ $K = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & ad\\0 & 0 & -ac & 0\\0 & -bd & 0 & 0\\bc & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Parametrarna måste uppfylla villkoren: och . $a , b , c , d \in \left \{ -1, +1 \right \}$ $abcd=-1$

Det finns 8 lösningar (8 visningar).

Se även

Matrisnorm
Matrisdeterminant
Egenvektorer, värden och utrymmen
En array är en datatyp i programmering som motsvarar en matris (flerdimensionalitet uppnås av kapslade arrayer).
En gles matris är en av datorformerna för att representera glesa matriser .
Linjära matrisojämlikheter är en apparat för att lösa problem med syntes av kontrolllagar.
lambda matris
Jordan normal form
Lista över matriser

Anteckningar

↑ Triangulära matriser förstås nu som matriser vars element som inte är noll fyller ett triangulärt område i matristabellen, medan de återstående elementen är nollor.
↑ Denna isomorfism är fullständigt specificerad genom valet av en bas i ett linjärt utrymme: för en fast bas är isomorfismen fixerad och därmed realiseras en-till-en-överensstämmelsen mellan matriser och operatorer. Detta betyder inte att en sådan isomorfism i princip är unik: i en annan bas kommer samma linjära operatorer att motsvara andra matriser (även en-till-en när denna nya bas är fixerad).
↑ Berezkina E. I. [libgen.pw/view.php?id=1211718 Mathematics of Ancient China] / Ed. ed. B.A. Rosenfeld. - M . : Nauka, 1980. - S. 173-206. - 312 sid.
↑ Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Vägar och labyrinter. Uppsatser om matematikens historia: Per. från franska - M . : Mir, 1986. - S. 397.
↑ Formellt är allt i denna definition symmetriskt, och det skulle vara möjligt att byta plats för den "huvudsakliga" och den dubbla basen (de båda är helt enkelt ömsesidigt dubbla), men det är just den beskrivna överenskommelsen som accepteras.

Litteratur

Bellman R. Introduktion till matristeori . — M .: Mir, 1969 (djvu).
Birkhoff G. (Garrett Birkhoff), Barty T. (Thomas C. Bartee) Modern tillämpad algebra. — M .: Mir, 1976. — 400 sid.
Van der Waerden B. L. (BL van der Waerden) Algebra. (2:a upplagan) - M . : Nauka, 1979. - 624 sid.
Gantmakher F. R. Matrix Theory. - 5:e uppl. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 sid. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (2:a upplagan). — M. : Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Matrisberäkningar. — M .: Mir, 1999. — 548 sid. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. Kurs i högre algebra. - 9:e uppl. - M . : Nauka, 1968. - 432 sid.
Kurosh A. G. Föreläsningar om allmän algebra. - 2:a uppl. - M. : Nauka, 1973. - 400 sid.
Lancaster P. (P. Lankaster) Teori om matriser / Per. från engelska. - 2:a uppl. — M .: Nauka, 1982. — 272 s.; 1:a uppl. - M . : Nauka, 1973 (djvu) .
Leng S. (Serge Lang) Algebra. — M .: Mir, 1968. — 564 sid.
Naimark M. A. Representationsteori för grupper. — M .: Nauka, 1976. — 560 sid.
Sokolov NP Rumsliga matriser och deras tillämpningar . — M .: GIFML, 1960 (djvu).
Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson) Matrisanalys. — M .: Mir, 1989. — 655 sid. — ISBN 5-03-001042-4
Halmos P. Finitadimensionella vektorrum = Finitadimensionella vektorrum. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 sid.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig