Vanlig sjutton

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 31 augusti 2018; kontroller kräver 5 redigeringar .
Sjutton

Vanlig sjutton
Sorts vanlig polygon
revben 17
Schläfli symbol {17}
Coxeter-Dynkin diagram CDel nod 1.pngCDel 17.pngCDel node.png
Typ av symmetri Dihedral grupp (D 18 ) ordning 2×18
Inre hörn ≈158,82°
Egenskaper
konvex , inskriven , liksidig , likkantig , isotoxal

En regelbunden sjutton -gon är en geometrisk figur som tillhör gruppen regelbundna polygoner . Den har sjutton sidor och sjutton vinklar , alla dess vinklar och sidor är lika med varandra, alla hörn ligger på en cirkel . Bland andra vanliga polygoner med ett stort (mer än fem ) primtal av sidor är det intressant att det kan byggas med en kompass och en linjal (till exempel kan sju- , elva- och trettongoner inte byggas med en kompass och linjal).

Egenskaper

Den centrala vinkeln α är .

Förhållandet mellan sidlängden och radien för den omskrivna cirkeln är

En vanlig sjuttonagon kan konstrueras med hjälp av en kompass och en rätlinje , vilket bevisades av Gauss i monografin " Aritmetiska studier " (1796). Han hittade också värdet på cosinus för den centrala vinkeln för sjutton-gon:

I samma arbete bevisade Gauss att om de udda primtalsdivisorerna för n är olika Fermat-primtal (Fermat - tal ), det vill säga primtal av formen, så kan en vanlig n-gon konstrueras med hjälp av en kompass och en rätlinje (se Gauss -Wanzels sats ).

Fakta

Byggnad

Exakt konstruktion

  1. Vi ritar en stor cirkel k ₁ (den framtida omskrivna cirkeln för sjuttonagonen) med centrum O .
  2. Rita dess diameter AB .
  3. Vi bygger en vinkelrät m till den , som skär k₁ i punkterna C och D .
  4. Vi markerar punkt E - mitten av DO .
  5. I mitten av EO markerar vi punkt F och ritar ett segment FA .
  6. Vi konstruerar bisektrisen w₁ för vinkeln ∠OFA.
  7. Vi bygger w₂ — bisektrisen för vinkeln mellan m och w₁, som skär AB i punkten G .
  8. Återställ s - vinkelrätt mot w₂ från punkt F .
  9. Vi bygger w₃ - bisektrisen av vinkeln mellan s och w₂. Den skär AB i punkt H.
  10. Vi konstruerar Thales-cirkeln ( k ₂) på diametern HA med centrum i punkten M . Den skär med CD vid punkterna J och K .
  11. Vi ritar en cirkel k₃ med centrum G genom punkterna J och K . Den skär med AB i punkterna L och N . Det är viktigt att inte blanda ihop N med M här , de ligger väldigt nära.
  12. Vi konstruerar en tangent till k₃ genom N .

Skärningspunkterna för denna tangent med den ursprungliga cirkeln k^ är punkterna P3 och P14 för den önskade sjutton-gonen. Om vi ​​tar mitten av den resulterande bågen som P₀ och skjuter upp bågen P₀P₁₄ runt cirkeln tre gånger, kommer alla hörn av sjutton-gonen att byggas.

Ungefärlig konstruktion

Följande konstruktion, även om den är ungefärlig, är mycket bekvämare.

  1. Vi sätter en punkt på planet M , bygger en cirkel runt den k och ritar dess diameter AB ;
  2. Vi halverar radien AM tre gånger i tur och ordning mot mitten (punkterna C , D och E ).
  3. Vi delar segmentet EB på mitten (punkt F ).
  4. vi bygger en vinkelrät mot AB i punkt F.

Skärningspunkterna för den sista vinkelrät med cirkeln är en bra approximation för punkterna P3 och P₁4.

Med denna konstruktion erhålls ett relativt fel på 0,83 %. Hörnen och sidorna är alltså lite större än nödvändigt. Med en radie på 332,4 mm är sidan 1 mm längre.

Animerad konstruktion av Erchinger

Stjärnformer

En vanlig sjuttonhörning har 7 vanliga stjärnformer.

Se även

Länkar

 Schläfli symbol
Polygoner
stjärnpolygoner
Plana parketter _
Vanliga polyedrar
och sfäriska parketter
Kepler-Poinsot polyedrar
honungskakor{4,3,4}
Fyrdimensionella polyedrar