Lista över matriser

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Här samlas de viktigaste klasserna av matriser som används inom matematik , naturvetenskap (i allmänhet) och tillämpad vetenskap (i synnerhet).

En matris är en rektangulär matris av tal som kallas element . Matriser har en lång historia av forskning och tillämpningar, vilket leder till en mängd olika sätt att klassificera dem. Den första gruppen av matriser uppfyller specifika villkor och restriktioner för deras element, inklusive konstanta matriser. Ett viktigt exempel på matriser av detta slag tillhandahålls av identitetsmatrisen :

I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.

Det betecknas också med bokstaven E. Andra sätt att klassificera matriser är associerade antingen med sina egna värden eller med villkor i form av matrisekvationer (relationer). Slutligen finns det inom många områden (inom fysik och kemi) matriser av en speciell typ som uteslutande används inom dessa områden.

Matriser definierade av villkor på element

Listan över matriser nedan bestäms av de villkor som ställs på elementen i matriserna. Många av dessa egenskaper visar sig vara tillämpliga endast på kvadratiska matriser. En kvadratisk matris har två diagonaler: huvuddiagonalen (som går från det övre vänstra hörnet till det nedre högra hörnet) och den sekundära diagonalen (går från det nedre vänstra hörnet till det övre högra hörnet).

Allmänna matriser

Matriserna som presenteras nedan kännetecknas av att förhållandena på matrisernas element beskrivs i termer av matrisens struktur. Detta inkluderar det ömsesidiga arrangemanget av icke-noll-element, såväl som egenskaperna för invarians med avseende på matristransformationer.

namn	Beskrivning	Anteckningar, förklaringar
binär matris	En matris som består av nollor och ettor.	Synonymer: boolesk matris, logisk matris.
Alternativ matris	En matris vars element representerar värdena för funktioner vid vissa punkter.	$a_{{i,j}}=f_{j}(\alpha _{i})$
Noll matris	En matris som helt består av nollor.	$a_{ij}=0$
Antidiagonal matris	En kvadratisk matris, vars alla element, som ligger utanför den sekundära diagonalen, är lika med noll.
Anti-hermitisk matris	En kvadratisk matris med komplexa element som förvandlas till sig själv med en förändring av tecken under den hermitiska konjugationsoperationen (det vill säga med den komplexa konjugationen av varje element och den efterföljande transponeringen av matrisen), $A=-A^{*}.$	En synonym för en skev-hermitisk matris.
Antisymmetrisk matris		Synonym för skev-symmetrisk matris.
Pilmatris	En kvadratisk matris vars alla element som inte är noll är element i den första kolumnen, första raden eller huvuddiagonalen.
Tape matris	En kvadratisk matris där alla element som inte är noll ligger intill huvuddiagonalen.
bidiagonal	En matris vars alla element som inte är noll är på huvuddiagonalen och på en av sub- eller överdiagonalerna.
Bisymmetrisk matris	En kvadratisk matris som är symmetrisk kring både huvuddiagonalen och sekundärdiagonalen.
Blockera diagonal matris	En blockmatris som har matriser endast på huvuddiagonalen.
blockmatris	En matris som är uppdelad i delmatriser som kallas block.
tridiagonal	En blockmatris vars block är organiserade på samma sätt som en tridiagonal matris .
boolesk matris		synonym för (0,1)-matris, binär matris och logisk matris.
Cauchy matris	En matris, vars varje element har formen where och är två injektionssekvenser $a_{{ij}}=1/(x_{i}+y_{j}),$ $x_{i}$ $y_{j}$
Centrosymmetrisk matris	En matris som är symmetrisk kring sitt centrum, det vill säga: $a_{{ij}}=a_{{n-i+1,n-j+1}}$
Konferensmatris	En kvadratisk matris med noll element på diagonalen och element av formen +1 och −1 utanför diagonalen, så att det är identitetsmatrisen. $C^{T}C$
Complex Hadamard Matrix	En matris, vars alla rader och kolumner är parvis vinkelräta mot varandra, och själva elementen är unimodulära.
Positiv semidefinitiv matris	En kvadratisk matris med reella element så att den kvadratiska formen är icke-negativ för varje icke-negativ . $x^{T}Yxa$ $x$	$f(x)=x^{T}Ax$
Diagonalt dominant matris	En matris vars element uppfyller villkoret som anges här:	$\|a_{ii}\|\geq \sum _{j\neq i}\|a_{ij}\|\quad {\text{för alla }}i,$
Diagonal matris	En matris där alla element utanför huvuddiagonalen är lika med noll.
Elementary Matrix	En matris som erhålls från en identitetsmatris med hjälp av elementära transformationer.
Ekvivalent matris	En matris som erhålls från en annan matris med hjälp av elementära transformationer på rader eller kolumner.
Frobenius matris	En matris som erhålls från en identitetsmatris genom att flytta och lägga till en ny kolumn.
Hermitisk matris , Hermitisk självadjoint matris	En kvadratisk matris med komplexa element som förvandlas till sig själv under driften av Hermitian konjugation (det vill säga med den komplexa konjugeringen av varje element och den efterföljande transponeringen av matrisen), $A=A^{*}.$
Icke-negativ matris	En matris vars alla element är icke-negativa.
Permutationsmatris	En kvadratisk matris där varje kolumn och varje rad innehåller exakt en 1 och resten är nollor. Är en matrisrepresentation av en permutation.
Generaliserad permutationsmatris	En kvadratisk matris med exakt ett element som inte är noll i varje rad och varje kolumn.
Persymmetrisk matris	En matris som är symmetrisk med avseende på den sekundära diagonalen: $a_{{ij}}=a_{{n-j+1,n-i+1}}.$
Polynommatris	En matris vars alla element är polynom.
positiv matris	En matris där alla element är positiva.
Kvaternionmatris	En matris vars element alla är kvaternioner .
Teckenmatris	En matris vars element alla är 1, 0 eller −1.
_	En matris vars alla element är antingen 1 eller −1.
Skev-hermitisk matris	En kvadratisk komplex matris som ändrar tecken under hermitisk konjugation .	Samma som anti -hermitisk matris .
Skev matris	En kvadratisk matris som ändrar tecken när den transponeras, $a_{{ij}}=-a_{{ji}}.$	Samma som antisymmetrisk matris .
Heavenly Matrix	Tejpmatris , omorganiserad för att minska utrymmet den tar upp.
gles matris	En matris som nästan helt består av nollor.	Algoritmer för glesa matriser tillåter bearbetning av större matriser än för täta.
Sylvester matris	En kvadratisk matris vars element är koefficienterna för två polynom.	Sylvester-matrisen är icke-degenererad om och endast om de två polynomen är coprime .
Symmetrisk matris	En kvadratisk matris som är samma som dess transponering: ( ). $A=A^{T}$ $a_{{i,j}}=a_{{j,i}}$
Toeplitz matris	En matris som har samma element på diagonalerna.
triangulär matris	En matris där alla element ovanför huvuddiagonalen är noll (nedre triangulär matris), eller en matris där alla element under huvuddiagonalen är noll (övre triangulär matris).
tridiagonal matris	En matris där alla element som inte är noll är placerade på tre diagonaler: den huvudsakliga, den första från toppen och den första från botten.
enhetlig matris	En kvadratisk komplex matris vars inversion ger en hermitisk konjugerad matris , $A^{{-1}}=A^{*}.$
Särskild enhetlig matris	Enhetsmatris vars determinant är en
Vandermonde matris	Matris vars rader (eller kolumner) är successiva potenser: 1, a , a 2 , a 3 , …, a n
matris	En kvadratisk matris av storlek lika med en potens av två, bestående av element +1 eller −1.
Z-matris	En matris där alla off-diagonala poster är mindre än noll.
Hankel matris	En kvadratisk matris med lika ingångar på varje sida diagonal.

Konstanta matriser

Matriserna som presenteras nedan kännetecknas av att deras element är desamma för alla möjliga matrisstorlekar.

namn	Beskrivning	Villkor på element	Anteckningar
Exchange Matrix	En binär matris som har 1:or på den sekundära diagonalen och alla andra element är 0:or.	$a_{{ij}}=\delta _{{n+1-i,j}}$	Se permutationsmatris .
Hilbert matris		$a_{{ij}}={(i+j-1)}^{{-1}}$	Se Hankel matris .
Identitetsmatris	En kvadratisk matris med 1:or på huvuddiagonalen och 0:or på de andra elementen.	$a_{{ij}}=\delta _{{ij}}$
Lehmer matris		a ij = min( i, j ) ÷ max( i, j )	Se positiv symmetrisk matris .
Enhetsmatris	En matris vars alla element är enheter.	$a_{{ij}}=1$
Pascal matris	En matris som består av elementen i Pascals triangel .
Pauli matris	En blockmatris som består av 2 × 2 block, som vart och ett är en komplex hermitisk och enhetlig matris.
Redheffer matris		a ij = 1 om i är delbart med j eller om j = 1; annars är a ij = 0.	Se (0, 1)-matris .
Skift matris	En matris som har 1:or på en av sina sidodiagonaler och 0:or på de andra elementen.	$a_{{ij}}=\delta _{{i+1,j}}$ eller $a_{{ij}}=\delta _{{i-1,j}}$	Genom att multiplicera med denna matris förskjuts elementen med en position.
Noll matris	En matris där alla element är noll.	$a_{ij}=0$

Transformerade matriser

Matriser som uppfyller villkor för produkter eller inversa matriser

namn	Beskrivning	Anteckningar
Idempotent matris	Matris A med egenskapen A ² = AA = A .
Inverterbar matris	En kvadrat som har en invers , det vill säga en matris B så att AB = BA = I .	Inverterbara matriser bildar en allmän linjär grupp .
Involutiva matris	Kvadratisk matris A , invers mot sig själv, dvs AA = I .
Nilpotent matris	En kvadratisk matris A så att A q = 0 för något positivt q .	På motsvarande sätt är alla egenvärden för A 0.
Normal matris	En kvadratisk matris som pendlar med sitt hermitiska konjugat : AA ∗ = A ∗ A	För sådana matriser är spektralsatsen giltig .
ortogonal matris	Matrisen invers till dess transponering : A −1 = A T.	Sådana matriser bildar en ortogonal grupp .
Ortonormal matris	En matris vars kolumner är ortonormala vektorer.
Singular matris	En kvadratisk matris som inte är inverterbar.
Unimodulär matris	En kvadratisk matris med heltalskoefficienter vars determinant är +1 eller −1.
Unipotent matris	Kvadratisk matris, alla egenvärden är 1.	På motsvarande sätt är A − I nilpotent. Se även unipotent grupp .
Helt unimodulär matris	En matris vars varje inverterbar submatris är unimodulär .	Används av linjär programmering när du kopplar av hela program.
Viktmatris	En kvadratisk matris vars element tillhör mängden {0, 1, −1 }, så att AA T = wI för något heltal w .

Matriser som används i grafteori

Adjacency matris
Bi-adjacency matris
Gradmatris
Edmonds matris
Incidensmatris
Kirchhoff- matris (Laplace-matris)
Seidel adjacency matris
Matrix Tatta

Matriser som används i fysik

Länkar

Brookes, M., "The Matrix Reference Manual", Imperial College, London, Storbritannien

Litteratur

Gantmakher F. R. Matrix Theory. - 5:e uppl. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 sid. — ISBN 5-9221-0524-8 .
Lancaster P. Matrix Theory. — M .: Nauka , 1973.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig