Kombinatorik

Kombinatorik  (ibland kallad kombinatorisk analys ) är en gren av matematiken tillägnad att lösa problem relaterade till urval och arrangemang av element i någon (oftast ändlig) uppsättning i enlighet med givna regler. Varje sådan regel definierar ett visst urval från elementen i den ursprungliga uppsättningen, vilket kallas en kombinatorisk konfiguration . De enklaste exemplen på kombinatoriska konfigurationer [1] [2] är permutationer , kombinationer och placeringar .

Typiska problem [1] för kombinatorik :

1. Bestäm antalet kombinatoriska konfigurationer som motsvarar de givna reglerna (särskilt bevisa eller motbevisa deras existens).
2. Hitta en praktiskt passande algoritm för deras kompletta konstruktion.
3. Bestäm egenskaperna för den givna klassen av kombinatoriska konfigurationer.

Kombinatorik är nära besläktad med många andra områden inom matematiken - algebra , geometri , sannolikhetsteori , talteori och andra . Det används inom en mängd olika kunskapsområden (till exempel inom genetik , datavetenskap , statistik , statistisk fysik , lingvistik ).

Termen "kombinatorik" introducerades i matematisk användning av Leibniz , som 1666 publicerade sitt verk "Diskurser om kombinatorisk konst".

Exempel på kombinatoriska konfigurationer och problem

För att formulera och lösa kombinatoriska problem används olika modeller av kombinatoriska konfigurationer . Exempel på kombinatoriska konfigurationer är:

• Ett arrangemang av n element med k är en ordnad uppsättning av k olika element av någon n -elementuppsättning.
• En permutation av n element (till exempel siffrorna 1, 2, ... n ) är vilken som helst ordnad uppsättning av dessa element. En permutation är också ett arrangemang av n element med n .
• En kombination av n för k är en uppsättning av k element valda från givna n element. Uppsättningar som bara skiljer sig i elementens ordning (men inte i sammansättning) anses vara lika, det är så kombinationer skiljer sig från placeringar.
• En sammansättning av ett tal n är vilken representation som helst av n som en ordnad summa av positiva heltal.
• En partition av ett tal n är varje representation av n som en oordnad summa av positiva heltal.

Exempel på kombinatoriska problem:

1. Hur många sätt finns det att placera n objekt i m rutor så att de givna begränsningarna uppfylls?
2. Hur många funktioner finns det från en m -elementmängd till en n - elementmängd som uppfyller de givna begränsningarna?
3. Hur många olika permutationer av 52 spelkort finns det? Svar: 52! (52 factorial ), dvs. 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 0,00

eller ungefär

4. I ett tärningsspel rullas två tärningar och poängen som kastas läggs ihop; hur många kombinationer finns det där summan av punkter på de övre ytorna är lika med tolv? Lösning: Varje möjligt utfall motsvarar en funktion (argumentet för funktionen är benets nummer, värdet är punkterna på ovansidan). Uppenbarligen ger bara 6 + 6 oss det önskade resultatet av 12. Det finns alltså bara en kombination där summan av punkterna på de övre ytorna är tolv.

Historik

Antiken och medeltiden

Grundläggande kombinatoriska begrepp och beräkningsresultat dök upp i den antika världen . Kombinatorikens klassiska uppgift: "hur många sätt finns det att extrahera m element från N möjliga" nämns i det forntida Indiens sutras (med början runt 400-talet f.Kr.) [3] . Indiska matematiker var tydligen de första som upptäckte binomialkoefficienter och deras samband med Newtons binomial [3] . Under II-talet f.Kr. e. indianerna visste att summan av alla binomialkoefficienter av grad n är .

Kombinatoriska motiv kan ses i symboliken i den kinesiska " förändringarnas bok " (5:e århundradet f.Kr.). Enligt dess författare är allt i världen kombinerat av olika kombinationer av manliga och kvinnliga principer , såväl som åtta element: jord, berg, vatten, vind, åskväder, eld, moln och himmel [4] . Historiker har också noterat kombinatoriska problem i manualer för att spela Go och andra spel. Stort intresse hos matematiker i många länder sedan urminnes tider har alltid väckt magiska rutor .

De gamla grekerna övervägde också separata kombinatoriska problem, även om deras systematiska presentation av dessa frågor, om det fanns, inte har nått oss. Chrysippus ( III århundrade f.Kr. ) och Hipparchos ( II århundrade f.Kr. ) beräknade hur många konsekvenser som kan erhållas från 10 axiom ; vi känner inte till metoden att räkna, men Chrysippus fick mer än en miljon, och Hipparchos - mer än 100 000 [5] . När Aristoteles presenterade sin logik, listade han omisskännligt alla möjliga typer av tretermssyllogismer . Aristoxenus ansåg olika växlingar av långa och korta stavelser i meter . [5] Pytagoreerna använde förmodligen några kombinatoriska regler i konstruktionen av sin teori om siffror och numerologi ( perfekta tal , figurativa tal , pytagoreiska trippel , etc.).

Under medeltiden fortsatte kombinatoriken också att utvecklas, främst utanför den europeiska civilisationen . På 1100-talet studerade den indiske matematikern Bhaskara i sitt huvudverk Lilavati i detalj problem relaterade till permutationer och kombinationer, inklusive permutationer med upprepningar. En annan indisk matematiker, Mahavira (mitten av 800-talet), publicerade formler för antalet permutationer och kombinationer , och dessa formler kan ha varit bekanta för indiska matematiker så tidigt som på 600-talet e.Kr. e. Filosofen och astronomen Rabbi Abraham ibn Ezra (cirka 1140) räknade antalet placeringar med permutationer i vokalerna i Guds namn [6] . Han etablerade också symmetri av binomialkoefficienter . Den exakta formeln för dem publicerades senare av talmudisten och matematikern Levi ben Gershom (mer känd som Gersonides) 1321.

Flera kombinatoriska problem finns i Abacusboken ( Fibonacci , 1200-talet). Till exempel satte han uppgiften att hitta det minsta antalet vikter som är tillräckligt för att väga en produkt som väger från 1 till 40 pund.

Ny tid

Blaise Pascal arbetade mycket med binomialkoefficienter och upptäckte ett enkelt sätt att beräkna dem: " Pascals triangel ". Senare visade det sig att denna metod redan var känd i öst (från omkring 1000-talet) och den kallades den aritmetiska triangeln . Pascal, till skillnad från sina föregångare, uttalade och bevisade strikt egenskaperna hos denna triangel. Den aritmetiska triangeln är ett grafiskt diagram som visar sambanden mellan binomialkoefficienter. Senare, i medeltida England, gav Campanology exempel på vad som nu är känt som Hamiltonska cykler i permuterade Cayley-grafer .

Under renässansen , tillsammans med andra vetenskaper, började kombinatorik utvecklas snabbt. Gerolamo Cardano skrev en insiktsfull matematisk studie av tärningsspelet , publicerad postumt. Teorin för detta spel studerades också av Niccolo Tartaglia och Galileo Galilei . Sannolikhetsteorins historia började med korrespondensen mellan den ivrige spelaren Chevalier de Meret och Pierre Fermat och Blaise Pascal , där flera subtila kombinatoriska frågor togs upp. Förutom spel har kombinatoriska metoder använts (och fortsätter att användas) i kryptografi  , både för att utveckla chiffer och för att bryta dem.

Termen "kombinatorik" myntades av Leibniz , han anses vara grundaren av modern kombinatorik. År 1666 (han var då 20 år gammal) gav han ut boken Discourses on Combinatorial Art. Det är sant att Leibniz förstod termen "kombinatorik" för brett, inklusive all finit matematik och till och med logik [7] . Leibniz student Jacob Bernoulli , en av grundarna av sannolikhetsteorin, presenterade i sin bok The Art of Conjectures (1713) en mängd information om kombinatorik.

Under samma period bildades den nya vetenskapens terminologi. Termen " kombination " ( kombination ) förekommer först i Pascal (1653, publicerad 1665). Termen " permutation " ( permutation ) användes i den specificerade boken av Jacob Bernoulli (även om han ibland träffats tidigare). Bernoulli använde också termen " arrangemang " .

Efter tillkomsten av matematisk analys fann man ett nära samband mellan kombinatoriska och ett antal analytiska problem. Abraham de Moivre och James Stirling hittade formler för att approximera faktorialet [8] .

Slutligen, kombinatorik som en självständig gren av matematik tog form i verk av Euler . Han övervägde i detalj, till exempel, följande problem:

• problemet med riddarens drag ;
• problemet med sju broar , som startade grafteorin ;
• konstruktion av grekisk-latinska torg ;
• generaliserade permutationer .

Förutom permutationer och kombinationer studerade Euler partitioner , såväl som kombinationer och placeringar med villkor.

Nuvarande tillstånd

Arbetet av Pascal , Newton , Jacob Bernoulli och Euler blev grundläggande i utvecklingen av detta område. I modern tid har arbetet av J. J. Sylvester (slutet av 1800-talet) och Percy McMahon (tidigt 1900-tal) hjälpt till att lägga grunden för enumerativ och algebraisk kombinatorik . Det har också funnits ett växande intresse för grafteori , särskilt i samband med fyrfärgssatsen och problem inom ekonomi.

Under andra hälften av 1900-talet upplevde kombinatoriken en ny explosiv tillväxt, som var förknippad med den snabba utvecklingen av diskret matematik, datavetenskap, cybernetik och experimentdesign . Delvis stimulerades denna tillväxt av de upptäckta sambanden och tillämpningarna inom andra områden av matematiken - i algebra, sannolikhetsteori, funktionell analys , talteori , etc. Dessa samband suddar ut gränserna mellan kombinatorik och andra områden av matematiken, men samtidigt tid leder till en viss fragmenteringskombinatorik.

I början av 1900-talet började utvecklingen av kombinatorisk geometri : satserna för Radon , Helly , Young , Blaschke bevisades, och den isoperimetriska satsen bevisades också rigoröst . Borsuk-Ulam och Lyusternik-Shnirelman satser bevisades i skärningspunkten mellan topologi, analys och kombinatorik . Under andra kvartalet av 1900-talet uppstod Borsuk -problemet och Nelson-Erdős-Hadwiger- problemet . På 1940-talet tog Ramsey-teorin form . Den moderna kombinatorikens fader anses vara Pal Erdős , som introducerade probabilistisk analys i kombinatoriken. Uppmärksamheten på ändlig matematik och i synnerhet kombinatorik har ökat avsevärt sedan andra hälften av 1900-talet, då datorer dök upp . Nu är det ett extremt rikt och snabbt växande område av matematik.

Metoder och avsnitt av kombinatorik

Enumerativ kombinatorik

Enumerativ kombinatorik (eller enumerativ kombinatorik ) överväger problemet med att räkna upp eller räkna antalet olika konfigurationer (till exempel permutationer ) som bildas av element av ändliga mängder, på vilka vissa begränsningar kan åläggas, såsom: särskiljbarhet eller omöjlig att urskilja element, möjlighet att upprepa samma element osv.

Antalet konfigurationer som bildas av flera manipulationer på en uppsättning räknas enligt reglerna för addition och multiplikation .

Fibonacci-tal är ett typiskt exempel på ett problem i enumerativ kombinatorik, liksom det välkända bokstavsproblemet . Den duodecimala vägen ger en enhetlig struktur för att räkna permutationer , kombinationer och splittringar .

Analytisk kombinatorik

Analytisk kombinatorik hänvisar till uppräkningen av kombinatoriska strukturer med hjälp av verktyg från komplex analys och sannolikhetsteori . Till skillnad från enumerativ kombinatorik, som använder explicita kombinatoriska formler och genererar sekvensfunktioner för att beskriva resultat, syftar analytisk kombinatorik till att härleda asymptotiska formler .

Partitioneringsteori

Partitionsteori studerar olika uppräknings- och asymptotiska problem relaterade till uppdelning av naturliga tal , och är nära släkt med q-serier , specialfunktioner och ortogonala polynom . Det var ursprungligen en del av talteori och analys , och betraktas nu som en del av kombinatorik eller ett självständigt område. Det inkluderar ett bijektivt tillvägagångssätt , olika verktyg för analys och analytisk talteori , och har också kopplingar till statistisk mekanik .

Grafteori

Grafer är grundläggande objekt inom kombinatorik. Grafteori tar hänsyn till uppräkningar (till exempel antalet n av hörn med k kanter på en graf), befintliga strukturer (till exempel Hamiltons cykler), algebraiska representationer (ta till exempel en graf G och två siffror x och y , gör Tatta polynom T G (x, y ) kombinatorisk representation?). Även om det finns mycket starka kopplingar mellan grafteori och kombinatorik, behandlas de ibland som separata ämnen. Medan kombinatoriska metoder är tillämpliga på många problem inom grafteori, används dessa två discipliner ofta för att hitta lösningar på olika typer av problem.

Schemateori

Schemateori är studiet av kombinatoriska scheman , som är uppsättningar av delmängder med vissa skärningsegenskaper . Blockdiagram  är kombinatoriska diagram av en speciell typ. Detta område är en av de äldsta delarna av kombinatorik, som Kirkmans skolflickproblem som föreslogs 1850 . Lösningen på problemet är ett specialfall av Steiner- systemet, vars system spelar en viktig roll i klassificeringen av enkla ändliga grupper . Detta område har ytterligare kopplingar till kodningsteori och geometrisk kombinatorik.

Finit geometri

Finit geometri är studiet av geometriska system som bara har ett ändligt antal punkter. Strukturer liknar de som finns i kontinuerlig geometri ( Euklidiskt plan , verklig projektiv rymd , etc.), men kombinatoriskt definierade är huvudelementen som studeras. Detta område ger en rik källa till exempel för kretsteori . Det ska inte förväxlas med diskret geometri ( kombinatorisk geometri ).

Ordningsteori

Ordningsteori är studiet av delvis ordnade mängder , både ändliga och oändliga. Olika exempel på partiella ordningar finns i algebra , geometri, talteori och genomgående kombinatorik och grafteori. Anmärkningsvärda klasser och exempel på partiella beställningar inkluderar gitter och booleska algebror .

Matroid teori

Matroidteori abstraherar en del av geometrin . Den studerar egenskaperna hos mängder (vanligtvis ändliga mängder) av vektorer i ett vektorrum som inte är beroende av särskilda koefficienter på ett linjärt beroende sätt. Inte bara strukturen utan också de uppräknade egenskaperna hör till teorin om matroider. Matroidteori introducerades av Hassler Whitney och studerades som en del av ordningsteorin. För närvarande är detta ett oberoende forskningsområde, som har ett antal kopplingar till andra sektioner av kombinatorik.

Extrem kombinatorik

Extremal kombinatorik studerar extrema frågor om mängdsystem . De typer av frågor som tas upp i detta fall avser den största möjliga grafen som uppfyller vissa egenskaper. Till exempel är den största grafen utan trianglar på 2n hörn en komplett tvådelad graf K n, n . Det är ofta för svårt att hitta det extrema svaret f(n) ens exakt, och man kan bara ge en asymptotisk uppskattning av .

Ramsey teori

Ramsey-teorin  är en annan del av extrem kombinatorik. Hon hävdar att varje tillräckligt stor konfiguration kommer att innehålla en viss ordning och studerar förekomsten av vanliga strukturer i slumpmässiga konfigurationer av element. Detta är en utökad generalisering av Dirichlets princip ("duva och box-principen"). Ett exempel på ett uttalande från Ramseys teori är följande:

i en grupp på 6 personer kan du alltid hitta tre personer som antingen känner varandra i par eller inte känner varandra i par.

När det gäller strukturell kombinatorik är samma uttalande formulerat enligt följande:

i varje graf med 6 hörn finns det antingen en klick eller en oberoende uppsättning av storlek 3.

Probabilistisk kombinatorik

Det här avsnittet svarar på frågor som: Vad är sannolikheten att en viss egenskap finns för ett slumpmässigt diskret objekt, till exempel en slumpmässig graf ? Till exempel, vad är det genomsnittliga antalet trianglar i en slumpmässig graf? Probabilistiska metoder används också för att bestämma förekomsten av kombinatoriska objekt med vissa givna egenskaper (för vilka explicita exempel kan vara svåra att hitta) helt enkelt genom att observera att sannolikheten att slumpmässigt välja ett objekt med dessa egenskaper är större än 0 . Denna metod (ofta kallad den probabilistiska metoden ) har visat sig vara mycket effektiv i tillämpningar av extrem kombinatorik och grafteori. Ett närbesläktat område är studiet av finita Markov-kedjor , särskilt på kombinatoriska objekt. Även här används probabilistiska verktyg för att uppskatta blandningstiden .

Ofta förknippad med Pal Erdős , som gjorde banbrytande arbete i ämnet, har probabilistisk kombinatorik traditionellt sett setts som en uppsättning verktyg för att studera problem i andra delar av kombinatoriken. Men med tillväxten av tillämpningar för analys av algoritmer inom datavetenskap , såväl som klassisk sannolikhetsteori, additiv talteori och probabilistisk talteori , har området nyligen vuxit till att bli ett kombinatoriskt område i sin egen rätt.

Algebraisk kombinatorik

Algebraisk kombinatorik är en gren av matematiken som använder metoderna för abstrakt algebra , i synnerhet gruppteori och representationsteori , i olika kombinatoriska sammanhang och, omvänt, tillämpar kombinatoriska metoder på problem i algebra . Algebraisk kombinatorik utvidgar ständigt sin räckvidd, både i tematiska riktningar och i metoder, och kan betraktas som ett område inom matematiken där samspelet mellan kombinatoriska och algebraiska metoder är särskilt starkt och betydelsefullt.

Kombinatorik av ord

Ordkombinatorik handlar om formella språk . Det uppstod självständigt inom flera områden av matematiken, inklusive talteori , gruppteori och sannolikhetsteori . Den har tillämpningar inom uppräkningskombinatorik, fraktalanalys , teoretisk datavetenskap , automatteori och lingvistik. Även om många applikationer är nya, är den klassiska Chomsky -klasshierarkin av formella grammatiker kanske det mest kända resultatet på området.

Kombinatorisk geometri

Geometrisk kombinatorik är relaterad till konvex och diskret geometri , i synnerhet polyedrernas kombinatorik . Till exempel frågar hon hur många ytor av varje dimension en konvex polyeder kan ha . En viktig roll spelas också av de metriska egenskaperna hos polyedrar, till exempel Cauchys sats om konvexa polyedrars styvhet. Särskilda polyedrar anses också, såsom permutationspolyedrar , associahedra och Birkhoff-polyedrar . Kombinatorisk geometri  är ett gammaldags namn för diskret geometri.

Topologisk kombinatorik

Topologisk kombinatorik tillämpar kombinatorikens idéer och metoder i topologi , i studiet av graffärger , rättvis division , partitionering , beslutsträd , delvis ordnade uppsättningar , halsbandsproblem och diskret morseteori . Det ska inte förväxlas med kombinatorisk topologi , som är ett äldre namn för algebraisk topologi .

Aritmetisk kombinatorik

Aritmetisk kombinatorik uppstod ur samspelet mellan talteori , kombinatorik, ergodisk teori och harmonisk analys . Det handlar om kombinatoriska utvärderingar förknippade med aritmetiska operationer (addition, subtraktion, multiplikation och division). Additiv talteori (ibland även kallad additiv kombinatorik) hänvisar till ett specialfall där endast addition och subtraktion är inblandade. En av de viktiga metoderna för aritmetisk kombinatorik är den ergodiska teorin om dynamiska system .

Oändlig kombinatorik

Oändlig kombinatorik  - tillämpningen av kombinatorikens idéer och metoder på oändliga (inklusive oräkneliga ) uppsättningar. Det är en del av mängdlära , ett område av matematisk logik , men använder verktygen och idéerna från både mängdlära och extrem kombinatorik.

Gian-Carlo Rota använde namnet kontinuerlig kombinatorik för att beskriva geometrisk sannolikhet , eftersom det finns många analogier mellan räkning och mått.

Relaterade områden

Kombinatorisk optimering

Kombinatorisk optimering  är studiet av att optimera diskreta och kombinatoriska objekt. Det började som en del av kombinatorik och grafteori men ses nu som en gren av tillämpad matematik och datavetenskap relaterad till operationsforskning , algoritmteori och beräkningskomplexitetsteori .

Kodningsteori

Kodningsteorin började som en del av kretsteorin, med tidiga kombinatoriska konstruktioner av felkorrigerande koder . Huvudidén med ämnet är att utveckla effektiva och pålitliga metoder för dataöverföring. Det är nu ett stort forskningsområde, en del av informationsteorin .

Diskret och beräkningsgeometri

Diskret geometri (även kallad kombinatorisk geometri) började också som en del av kombinatoriken, med tidiga resultat på konvexa polyedrar och kontaktnummer . Med tillkomsten av tillämpningar av diskret geometri i beräkningsgeometri har de två fälten delvis gått samman och blivit ett separat studieområde. Det finns fortfarande många samband med geometrisk och topologisk kombinatorik, som i sig kan betraktas som skapelser av tidig diskret geometri.

Kombinatorik och dynamiska system

Kombinatoriska aspekter av dynamiska system  är ett annat framväxande område. Här kan dynamiska system definieras av kombinatoriska objekt. Se till exempel dynamiskt grafsystem .

Kombinatorik och fysik

Det finns ett ökande samband mellan kombinatorik och fysik , i synnerhet statistisk fysik . Exempel inkluderar den exakta lösningen av Ising-modellen och kopplingen mellan Potts-modellen å ena sidan och kromatiska polynom och Tattet-polynom å andra sidan.

Öppna nummer

Kombinatorik (i synnerhet Ramsey-teorin) innehåller många välkända öppna problem , ibland med en mycket enkel formulering. Till exempel är det inte känt vid vilket minimum i någon grupp av människor det kommer att finnas 5 personer, antingen parvis bekanta med varandra, eller parvis obekanta (även om det är känt att 49 personer räcker) [9] .

Det finns också andra olösta problem och obevisade hypoteser:

• Hadamards gissning (1893): För varje naturligt som är delbart med 4, finns det en Hadamard-matris i verklig ordning . Förklaring: det är känt att delbarhet med 4 bara är ett nödvändigt villkor för existensen av Hadamard-matrisen. Det finns olika metoder för att konstruera Hadamard-matriser i verklig ordning för vissa oändliga serier av naturliga tal som är delbara med 4, men de tillåter inte att bevisa Hadamard-förmodan. Den minsta ordningen som är delbar med 4 för vilken Hadamard-matrisen är känd är [10] .
• Förekomsten av ett ändligt projektivt plan av naturlig ordning som inte är en potens av ett primtal.
• Erdős-Renyi-hypotesen. Om  är ett fast heltal , då  för  från . Här  är matrisens permanenta  - uppsättningen av alla  - matriser av ordning  c  ettor i varje rad och varje kolumn [11] .
• Ramsey-siffrorna  för fallet  studeras nästan inte [12] .
• Problemet med att hitta minimum av permanent i en dubbelstokastisk matris har inte lösts i det allmänna fallet [13] .
• Nödvändiga och tillräckliga förhållanden är inte kända under vilka det finns en gemensam transversal för tre familjer av delmängder [14] .

Kombinatorik i lingvistik

Kombinatorik (lingvistik) är egenskapen hos språkenheter och deras motsvarande talenheter att ingå syntagmatiska relationer, det vill säga kompatibilitetsrelationer.

Anteckningar

1. ↑ 1 2 Sachkov V. N. Kombinatorisk analys // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1979. - T. 2. - S. 974-979. — 1104 sid.
2. ↑ BRE .
3. ↑ 1 2 Amulya Kumar Bag . Binomialsatsen i det antika Indien. Arkiverad 3 augusti 2021 på Wayback Machine Indian J. History Sci., 1:68-74, 1966.
4. ↑ Vilenkin N. Ya., 1975 , sid. 7.
5. ↑ 1 2 Vilenkin N. Ya., 1975 , sid. 9.
6. ↑ Kort kommentar till 2 Mosebok 3:13.
7. ↑ Vilenkin N. Ya., 1975 , sid. 19.
8. ↑ O'Connor, John; Edmund Robertson. Abraham de Moivre . MacTutor History of Mathematics-arkivet . Datum för åtkomst: 31 maj 2010. Arkiverad från originalet den 27 april 2012. (obestämd)
9. ↑ Weisstein, Eric W. Ramsey-nummer  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
10. ↑ ADAMAR MATRISER . Arkiverad från originalet den 21 januari 2022.
11. ↑ Mink X. Permanenter .. - World. - 1982. - 211 sid.
12. ↑ Rybnikov, 1972 , sid. 96.
13. ↑ Rybnikov, 1972 , sid. 110.
14. ↑ Kapitonova Yu. V., Krivoy S. L., Letichevsky A. A. Föreläsningar om diskret matematik. - St Petersburg. : BHV-Petersburg, 2004. - S. 530. - 624 sid. — ISBN 5-94157-546-7 .

Litteratur

• Andersson, James. Diskret matematik och kombinatorik = Diskret matematik med kombinatorik. - M . : "Williams" , 2006. - 960 sid. — ISBN 0-13-086998-8 .
• Vilenkin N. Ya. Populär kombinatorik . — M .: Nauka, 1975.
• Vyalyi MN Linjära ojämlikheter och kombinatorik . M.: MTsNMO, 2003. 32 sid.
• Erosh I. L. Diskret matematik. Combinatorics - St Petersburg: SPbGUAP, 2001. - 37 sid.
• Leontiev VK Utvalda problem med kombinatorisk analys. - M .: Förlag av MSTU im. N. E. Bauman, 2001. - 179, [3] s.; 20 cm; ISBN 5-7038-1862-1
• Leontiev V.K. Kombinatorik och information: lärobok. lösning ... i riktning ... "Tillämpad matematik och fysik". - Moskva: MIPT, 2015. - 21 cm; ISBN 978-5-7417-0518-6
• Leontiev VK, Gordeev EN Kombinatoriska aspekter av informationsteori . M.: MIPT, 2019.
• Lipsky V. Combinatorics för programmeraren. — M .: Mir, 1988. — 213 sid.
• Raigorodsky A. M. Linjär-algebraiska och probabilistiska metoder i kombinatorik . — Sommarskola "Modern Mathematics" . — Dubna, 2006.
• Reiser G.J. Combinatorial Mathematics. - per. från engelska. - M. , 1966.
• Reingold E., Nivergelt Yu., Deo N. Kombinatoriska algoritmer. Teori och praktik. - M . : Mir, 1980. - 476 sid.
• Riordan J. Introduktion till kombinatorisk analys. - per. från engelska. - M. , 1963.
• Rybnikov K. A. Introduktion till kombinatorisk analys. - M. : MGU, 1972. - S. 96. - 308 sid.
• Stanley R. Enumerative Combinatorics = Enumerative Combinatorics. - M . : "Mir" , 1990. - 440 sid. — ISBN 5-03-001348-2 .
• Stanley R. Enumerativ kombinatorik. Träd som producerar funktioner och symmetriska funktioner = Enumerativ kombinatorik. Volym 2. - M . : "Mir" , 2009. - 767 sid. — ISBN 978-5-03-003476-8 .

Länkar

• Beleshko D . Kombinatorik . 2004.
• Kombinatorisk analys  / Sachkov V. N. // Great Russian Encyclopedia  : [i 35 volymer]  / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M .  : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
• Sannolikhetsteori. 3. Element av kombinatorik

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor norsk Stor ryss Kroatisk Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger BNE : XX525029 BNF : 119470231 GND : 4164746-4 J9U : 987007284727105171 LCCN : sh85028802 NKC : ph121739

Matematikens grenar
Portal "Science"
Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra
Talteori ( aritmetik )
Algebra Elementär algebra Ekvationslösning Linjär algebra Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra Allmän algebra Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori
Analys Klassisk analys Differentialkalkyl Integralkalkyl Funktionsteori Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl Differentialekvationer och integralekvationer Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys
Geometri och topologi Geometri Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri Topologi Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi
Diskret matematik Kombinatorik grafteori
Tillämpad matematik Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori
Portalen "Matematik" Kategori "Matematik"