Binomial serie

Binomialserien är Taylorserien för funktionen som ges av där är ett godtyckligt komplext tal och | x | < 1. Explicit serie, $f$ $f(x)=(1+x)^{\alpha },$ $\alpha \in \mathbb {C}$

{\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\summa _{k=0}^{\infty }\;{\binom {\alpha}{k))\;x ^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)( \alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{aligned}}}

( 1 )

och binomserien till höger i formel ( 1 ) är en potensserie uttryckt i termer av (generaliserade) binomialkoefficienter

{\binom {\alpha }{k}}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!)} .

Särskilda tillfällen

Om är ett icke-negativt heltal n , då är den th termen och alla efterföljande termer i sekvensen 0, eftersom var och en av dem innehåller en faktor , så i det här fallet är serien ändlig och bildar den algebraiska Newton-binomialformeln . $\alfa$ $(n+2)$ $(nn)$

Följande uttryck är sanna för alla komplex , men de är särskilt användbara för att arbeta med negativa heltalspotenser i formeln ( 1 ): $\beta$

{\frac {1}{(1-z)^{\beta +1))}=\summa _{k=0}^{\infty }{k+\beta \choose k}z^{k }.

För att bevisa detta, ersätter vi uttrycket ( 1 ) och tillämpar identiteten för binomialkoefficienter $x=-z$

{\binom {-\beta -1}{k}}=(-1)^{k}{\binom {k+\beta }{k}}.

Konvergens

Konvergensvillkor

Huruvida serien i formel ( 1 ) konvergerar beror på värdena för de komplexa talen och x . Mer exakt: $\alfa$

Om , serien konvergerar absolut för alla komplexa . $|x|<1$ $\alfa$
Om serien konvergerar absolut om och endast om antingen , eller , där betyder den verkliga delen av . $\left|x\right|=1$ $Re(\alpha )>0$ $\alfa = 0$ $Re(\alpha )$ $\alfa$
Om och serien konvergerar om och endast om . $\left|x\right|=1$ $x\neq -1$ $Re(\alpha )>-1$
Om serien konvergerar om och endast om antingen , eller . $x=-1$ $Re(\alpha )>0$ $\alfa = 0$
Om serien divergerar , förutom när är ett icke-negativt heltal (i vilket fall serien blir en ändlig summa). $\left|x\right|>1$ $\alfa$

I synnerhet, om det inte är ett negativt heltal, ges situationen vid gränsen för konvergenscirkeln nedan: $\alfa$ $|x|=1$

Om serien konvergerar absolut. $Re(\alpha )>0$
Om serien konvergerar villkorligt om och divergerar om . $-1<Re(\alpha )\leqslant 0$ $x\neq -1$ $x=-1$
Om serien skiljer sig åt. $Re(\alpha )\leqslant -1$

Identiteter som används i korrekturet

Följande gäller för alla komplexa tal : $\alfa$

{\alpha \choose 0}=1,

{\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1)),

( 2 )

{\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.

( 3 )

Om inte är ett icke-negativt heltal (i vilket fall de binomialkoefficienterna inverteras när de är större än ), gäller följande asymptotiska samband för de binomialkoefficienter i termer av "o" liten : $\alfa$ $k$ $\alfa$

{\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k)){\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha ))}\,(1+o(1) ))\quad {\text{som }}k\to \infty .

( 4 )

Detta är i själva verket ekvivalent med Eulers definition för gammafunktionen :

\Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)} },

varifrån de grova gränserna omedelbart följer

{\frac {m}{k^{1+\operatörsnamn {Re} \,\alpha }}}\leqslant \left|{\alpha \choose k}\right|\leqslant {\frac {M} {k^{1+\operatörsnamn {Re} \alpha }}},

( 5 )

för vissa positiva konstanter m och M .

Formel ( 2 ) för generaliserade binomialkoefficienter kan skrivas om som

{\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).

( 6 )

Bevis

För att bevisa (i) och (v), tillämpa d'Alembert-testet och använd formel ( 2 ) ovan för att visa att när inte är ett icke-negativt heltal, är konvergensradien exakt 1. Påstående (ii) följer av formeln ( 5 ) genom jämförelser med den generaliserade övertonsserien $\alfa$

\sum _{k=1}^{\infty }\;{\frac {1}{k^{p))},

med . För att bevisa (iii) använder vi först formel ( 3 ) för att få $p=1+\operatörsnamn {Re} \alpha$

(1+x)\summa _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\summa _{k=0}^{n}\ ;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},

( 7 )

och använd sedan (ii) och formel ( 5 ) igen för att bevisa konvergensen på höger sida när . Å andra sidan konvergerar serien inte om och , återigen genom formel ( 5 ). Annars kan vi se att för alla , . Sedan, enligt formel ( 6 ), för alla . Detta kompletterar beviset på påståendet (iii). Gå till (iv) och använd identitet ( 7 ) ovan med och istället för , och använd formel ( 4 ) för att få $\operatorname {Re} \alpha >-1$ $|x|=1$ $\operatorname {Re} \alpha \leqslant -1$ $j$ ${\textstyle \left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geqslant 1-{\frac {\operatörsnamn {Re} \alpha +1}{j}}\geqslant 1}$ ${\textstil k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geqslant 1}$ $x=-1$ $\alpha -1$ $\alfa$

\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1) ^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))

kl . Påstående (iv) följer nu av sekvensens asymptotiska beteende . (Det konvergerar nämligen definitivt till if och divergerar till if . If , then och konvergerar om och endast om sekvensen , som definitivt håller if , men inte om ). $n\till\infty$ ${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)))$ ${\displaystyle \left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\operatörsnamn {Re} \alpha \,\log n))$ $0$ $\operatorname {Re} \alpha >0$ $+\infty$ $\operatorname {Re} \alpha <0$ $\operatorname {Re} \alpha =0$ ${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-i\operatörsnamn {Im} \alpha \log n))$ $\operatorname {Im} \alpha \log n$ $\alfa=0$ $\operatorname {Im} \alpha \neq 0$

Summering av binomialserier

Den vanliga metoden för att beräkna summan av en binomial serie är som följer. Om vi term för term differentierar binomserien i konvergenscirkeln och använder formeln ( 1 ), kan vi få att summan av serien är en analytisk funktion som löser den ordinära differentialekvationen med initialvärdet . Den enda lösningen på detta problem är funktionen , som därför är summan av binomialserien, åtminstone för . Jämlikheten expanderar till om serien konvergerar, enligt konsekvensen av Abels sats och kontinuitet . $\left|x\right|<1$ $(1+x)u'(x)=\alpha u(x)$ $u(0)=1$ ${\displaystyle u(x)=(1+x)^{\alpha ))$ $\left|x\right|<1$ $\left|x\right|=1$ $(1+x)^{\alpha }$

Historik

De första resultaten på binomialserien för icke-positiva heltalspotenser erhölls av Isaac Newton när han studerade områden som avgränsas av vissa kurvor. John Wallis fann från detta arbete, med tanke på uttryck av formen där m är en bråkdel, att (i moderna termer) efterföljande koefficienter för at erhålls genom att multiplicera den föregående koefficienten med (som i fallet med heltalspotenser), varvid han gav en formeln för dessa koefficienter. Han skrev uttryckligen följande uttryck [a] ${\displaystyle y=(1-x^{2})^{m))$ $c_{k}$ ${\displaystyle (-x^{2})^{k))$ ${\tfrac {m-(k-1)}{k))$

(1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}} -{\frac {x^{6}}{16}}\cdots

(1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}} +{\frac {x^{6}}{16}}\cdots

(1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}} -{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots

Binomialserien kallas därför ibland Newtons binomialsats . Newton gav inga bevis och ingen indikation på arten av denna serie. Senare, 1826, diskuterade Niels Henrik Abel serien i en artikel publicerad i tidskriften Crelle och ansåg viktiga konvergensfrågor [2] .

Se även

Binomial approximation
Binomialsatsen

Anteckningar

↑ [1] Faktum är att denna källa ger alla icke-konstanta negativa termer, vilket inte är sant för den andra ekvationen; bör betraktas som ett citeringsfel.

↑ Coolidge, 1949 .
↑ Abel, 1826 .

Litteratur

Niels Abel . Recherches sur la serie 1 + (m/1)x + (m(m-1)/1.2)x 2 + (m(m-1)(m-2)/1.2.3)x 3 + ... / / Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1826. - T. 1 . — S. 311–339 .
Coolidge JL The Story of the Binomial Theorem // The American Mathematical Monthly. - 1949. - T. 56 , nr. 3 . - S. 147-157 . - doi : 10.2307/2305028 . — .

Länkar

Weisstein, Eric W. Binomial Series (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Binomial Theorem (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
binomial formel (engelska) på PlanetMath-webbplatsen .
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Binomial series , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Delar av verklig analys
Grunderna i analys	Euler funktion $\phi(n)$ Jordan funktion Binomialsatsen konvex funktion kontinuerlig visning Faktoriell Ändliga skillnader Fria och bundna variabler Funktionsdiagram Linjär funktion Radian Rolles sats Sekant Backe Tangent
gränser	Avslöjande av osäkerheter Funktionsgräns Ensidig gräns Sekvensgräns Approximationsordning (ε, δ)-definition av en gräns
Differentialkalkyl _	Funktionsderivata Differentialekvation Differentialoperatör Medelsats Notation Leibniz notation Newton notation Differentieringsregler Linjäritet Gradsdifferentiering Komplex funktionsdifferentiering L'Hopitals regel produktregel Leibniz formel Derivata av en bråkdel Andra tekniker Implicit differentiering Invers funktionsdifferentiering logaritmisk derivata Relaterade odds Stationära punkter Första derivattestet Andra derivattest Extremasatsen Extremum Andra applikationer Newtons metod Taylors teorem
Väsentlig	antiderivat Kurvlängd Integrationskonstant Huvudsats för analys Differentiering under integraltecknet Integrering av delar Substitutionsmetod Trigonometrisk substitution Euler-byten Weierstrass byte Nedbrytning till enklaste Kvadratisk integral Trapetsformad metod Volymer Bricka metod Subplot Integration
Vektoranalys _	Derivat Rotor Riktningsderivat Divergens Lutning Laplacian Grundläggande satser gradientsats Greens teorem Stokes teorem Gauss-Ostrogradsky formel
Analys av funktioner för många variabler	Gauss-Ostrogradsky formel Geometrisk analys Hessiska funktioner Jacobian matris Lagrange multiplikatorer Krökt integral Matrisanalys Multipel integral Partiell derivata Ytintegrer Volymintegral Ytterligare kapitel Differentiella former Extern derivata Generaliserade Stokes teorem tensoranalys )
Sekvenser och rader	Aritmetisk-geometrisk progression Typer av rader tecken omväxlande Binom Fourier-serier geometriska serier Harmonisk Rad Kraft Maclaurin Taylor Teleskopisk Tecken på konvergens abel Leibniz Cauchy Jämförelse tecken Dirichlet Väsentlig Begränsa jämförelse D'Alembert Radikal Nödvändigt skick
Specialfunktioner och siffror	Bernoullis siffror e (nummer) Exponentiell funktion naturlig logaritm Stirling formel
Analys av infinitesimals	Lämplighet Brooke Taylor Colin Maclaurin Algebras universalitet Gottfried Wilhelm Leibniz Oändligt liten och oändligt stor Isaac Newton Fluxioner Fluxmetod Kontinuitetsprincipen Leonard Euler Metod för mekaniska satser