Kurvjakt

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 juni 2017; kontroller kräver 5 redigeringar .

Chase- kurvan är en kurva som representerar lösningen av "jakt"-problemet, som ställs enligt följande. Låt punkten röra sig jämnt längs någon given kurva. Det är nödvändigt att hitta en bana med enhetlig rörelse för en punkt så att tangenten som dras till banan vid varje rörelseögonblick skulle passera genom positionen för den punkt som motsvarar detta ögonblick . $A$ $P$ $A$

Historik

Kurvjaktsproblemet ställdes av Leonardo da Vinci och löstes av Bouguer 1732.

Allmänt fall för att ställa in problemet

För att härleda linjeekvationen väljer vi ett koordinatsystem där abskissaxeln passerar genom punkternas initiala position och , och punkten är vid utgångspunkten för xAy- koordinatsystemet . Förhållandet mellan punkternas konstanta hastigheter kommer att betecknas med k . $P$ $A$ $A$

Om vi antar att punkten under en oändligt liten tidsperiod passerade avståndet , och punkten - avståndet , så får vi, enligt ovanstående villkor, relationen , eller $P$ $dS$ $A$ $dS_{1}$ $dS=kdS_{1}$

{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=k{\sqrt {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}}}.

(ett)

Vidare bör man uttrycka och i termer av x, y och deras differentialer. Enligt villkor måste punktens koordinater uppfylla ekvationen för tangenten till den önskade kurvan, dvs. $d\xi$ $d/eta$ $P$

\eta -y={\frac {dy}{dx}}(\xi -x).

Genom att till denna ekvation lägga till ekvationen för banan för "undvikarrörelsen" som ges av villkoret, är det möjligt att bestämma från det resulterande ekvationssystemet och . Efter att ha ersatt dessa värden i differentialekvationen (1), kommer det att skrivas i formuläret $F(\xi ,\eta )$ $\xi$ $\eta$

\Phi \left(x,y,{\frac {dy}{dx)),{\frac {d^{2}y}{dx^{2))}\right)=0

Integrationens konstanter kan hittas från initialvillkoren ( vid ). $y=0;y'=0$ $x=0$

I det allmänna fallet, för en godtyckligt given kurva , är det ganska svårt att hitta en lösning på den resulterande ekvationen. Problemet förenklas avsevärt om vi betraktar det enklaste fallet, när "undandragarens" bana är rak. $F(\xi ,\eta )$

En enkel jaktkurva

En enkel jaktkurva erhålls i det enkla fallet där den förföljda punkten rör sig i en rak linje. Det beskrevs första gången av Pierre Bouguer 1732. Senare övervägde Pierre Louis de Maupertuis jaktkurvan för andra fall.

Definition

Låt utgångspunkten för föremålet för jakten, och vara utgångspunkten för förföljaren. Låt punkten röra sig jämnt med en hastighet i någon speciell riktning, och låt punkten röra sig med en hastighet som alltid är riktad mot punkten . Banan för punkten är en enkel jaktkurva. $A_0$ $P_0$ $A$ $V=konst$ $P$ $W=konst$ $A$ $P$

Ekvation i kartesiska koordinater

Låta $k={\tfrac {V}{W}}$

Låt punkt A också röra sig längs x -axeln . Sedan $A_{0}=(0,0),P_{0}=(1,0),$

x(y)={1 \över 2}\left({{1-y^{(1-k)}} \över (1-k)}-{{1-y^{(1+ k)}} \över {(1+k)}}\höger)

för

k\neq 1

x(y)={1 \over 4}\cdot \left({y^{2}}-\ln {y^{2}}-1\right)

för

k=1\;

Slutsats

Betrakta fallet A 0 (0,0), P 0 (0,1) , när "evader" rör sig längs x -axeln och för k > 0. Vid ett godtyckligt ögonblick i tiden är "evader" alltid på en tangent till kurvan för "förföljarens" rörelsebana, det vill säga

{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}}={\frac {-y}{ax}},

på basis av vilken vi skriver differentialekvationen :

y+y'(ax)=0\;

, var

y>0

Det följer av villkoret , efter differentiering med avseende på tid och , på grundval av vilket: $a=V\cdot t$ ${\frac {y}{y'}}+Vt=x$ ${\dot y}=y'\cdot {\dot x}$ ${\dot y}'=y''\cdot {\dot x}$

{\dot x}={\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}t}}={\frac {V\cdot y'^{2}}{y\cdot y ''}}

Låt oss skriva ett uttryck för att bestämma längden på kurvan :

l=Wt=k\int _{0}^{x}{\sqrt {1+(y')^{2}}}{\mathrm {d}}x

Från

{\mathrm {d}}x^{2}+{\mathrm {d}}y^{2}=W^{2}{\mathrm {d}}t^{2}

och

w^{2}={\frac {{\mathrm {d}}x^{2}}{{\mathrm {d}}t^{2}}}+{\frac {{\mathrm {d}} y^{2}}{{\mathrm {d}}t^{2}}}={\dot x}^{2}+(y'\cdot {\dot x})^{2}

skall

{\dot x}={\frac {W}{{\sqrt {1+y'^{2))))}

På samma sätt skiljer vi oss med avseende på : $y$

y''-k\cdot {\frac {y'^{2}}{y}}\cdot {\sqrt {1+y'^{2}}}=0

Ersättningslösning

u=x'={\frac {1}{y'}},y''={\frac {-1}{u^{3}}}{\frac {{\mathrm {d}}u}{ {\mathrm {d}}x}}

när separering av variabler leder till

{\frac {-{\mathrm {d}}u}{{\sqrt {1+u^{2}}}}}=k\cdot {\frac {{\mathrm {d}}y}{y} }

efter integration får vi:

\operatörsnamn {arsinh}u=k\cdot \ln y+C

och vidare efter att ha använt den formella definitionen av sinh från får vi: $C_{1}=e^{C}$

x'={\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}y}}={\frac {1}{2}}\left[(C_{1}\cdot y) ^{k}-(C_{1}\cdot y)^{{-k}}\right]

Återintegrera med definitionen av integrationskonstanten . Från initiala förhållanden $C_{2}$

\left.{\tfrac {dx}{dy}}\right|_{{y=1}}=0

skall

C_{1}=1

såväl som

\left.x\right|_{{y=1}}=0

vi får:

C_{2}={\frac {k}{1-k^{2))}

eller för

C_{2}=-{\frac {1}{4}}

k=1

eller:

x(y)={1 \över 2}\left({\begin{matrix}\quad \\{y^{{(1+k)}} \över (1+k)}\\\quad \end {matris}}-\vänster\lbrace {\begin{matrix}{y^{{(1-k)}} \över (1-k)}\\{\ln {|y|}}\end{matris }}\right\rbrace \right)+\left\lbrace {\begin{matrix}{k \over {1-k^{2}}}\\-{1 \over 4}\end{matris}}\ höger\rbrace \ {\begin{cases}{k\neq 1}\\{k=1}\end{cases))

Baserat på dessa ekvationer kan ekvationerna ovan erhållas.

Egenskaper

För k > 1 kommer jaktlinjen att korsa rörelselinjen för "undvikaren" och punkt P kommer verkligen att köra om punkt A.

För k ≤ 1 närmar sig jaktlinjen asymptotiskt rörelselinjen för "undvikaren" och punkten P kommer inte att passera punkten A .

För ett rationellt värde på k ≠ 1 är ledlinjen en algebraisk kurva. När k = 1 och när k är irrationell blir chase-kurvan en transcendental kurva.

För k = 1 (med samma hastigheter som "förföljaren" och "undandragaren") liknar chase-kurvan en tractrix , men har en annan ekvation.

Flera förföljare problem

Praktisk tillämpning

Uppgiften att konstruera en jaktkurva uppstod först vid val av fartygskurs, med hänsyn tagen till yttre faktorer (laterala vindar, strömmar) för optimal uppnående av resans målpunkt.

Återigen uppstod detta problem med militär användning av ubåtar, torpeder och senare styrda missiler för att nå och förstöra rörliga mål. Dessutom tillämpas chase-kurvan i rymdnavigering.

Missilsöksystem

Huvuduppgiften för missilsöksystemet är att säkerställa att det träffar målet eller fångar upp målet med en minimal miss. Eftersom styrda missiler har förmågan att ändra missilens bana omedelbart efter lanseringen, finns det många banor längs vilka en målsökande missil kommer att träffa målet. Men i praktiken försöker man välja den som under givna skottförhållanden ger högst sannolikhet att träffa målet.

Tillståndet som ligger till grund för driften av missilstyrsystemet kallas styrmetoden. Styrmetoden bestämmer missilens teoretiska bana. Den valda styrmetoden implementeras, som regel, med hjälp av en datorenhet som tar emot information om den relativa positionen för missilen och målet, om hastigheterna och riktningarna för deras rörelse. Baserat på denna information beräknas den önskade banan för missilen och den mest fördelaktiga punkten för dess möte med målet bestäms. Baserat på resultatet av beräkningarna genereras styrkommandon som kommer till styrrodren. Rodren styr raketen enligt en given lag. En av metoderna för missilstyrning är användningen av matematiska samband som beskriver jaktkurvan [1] .

Variationer och generaliseringar

I en vidare mening krävs inte enhetligheten i en punkts rörelse, och det är i denna mening som tractrix chase-kurvan är . $P$

Anteckningar

↑ Kurotkin V.I., Sterligov V.L. Missile homing. M.: Militärt förlag vid USSR:s försvarsministerium. 1963, 88 sid.

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta