Cirkulär fraktal

En cirkulär fraktal  är en klass av geometriska (konstruktiva) fraktaler (se till exempel [1] [2] ) konstruerade genom att upprepade gånger skriva in andra cirklar med mindre radie i en cirkel. (se fig. la, Ib, le).

Applikation

Konstruktiva cirkulära fraktaler kan användas som modeller av olika naturliga strukturer inom kemi, biologi, materialteknik, etc. Fraktaler av denna typ föreslogs i [3] [4] som modeller av magnetiska flödesrörskluster i solkonvektionens övre skikt zon. Mer komplexa strukturer av detta slag har också övervägts, till exempel cirkulära fraktaler med överlappande element som simulerar vridna magnetiska flödesrör [5] , se även [6] [7] [8] . Det är också möjligt att bygga multifraktala strukturer av denna typ för att modellera mer komplexa strukturer. Till skillnad från Sierpinski-mattor är sådana fraktaler byggda inte från rektangulära eller triangulära, utan från cirkulära element.

De tre första i en potentiellt oändlig sekvens av sådana cirkulära fraktaler visas i fig. la, Ib och le.

För att beräkna Hausdorff-dimensionerna ( d ) för dessa objekt kan du använda den välkända formeln för konstruktiva fraktaler: . I fallet med fig. la, värde n =3. Parametern a är förhållandet mellan de karakteristiska längderna för angränsande skalor. I det här fallet är det ; där  är radien för den större cirkeln,  är radien för cirkeln i den angränsande mindre skalan. Från enkla geometriska överväganden finner vi: a = 0,4641. Genom att ersätta dessa värden i formeln får vi d≈1,43. För varianten i fig. Ib, respektive, n=4, a=0,4142…, d≈1,57… 1c har vi: n=7, a=1/3 och, dimension d≈1,77... Genom att öka antalet inskrivna cirklar får vi en oändlig sekvens av fraktala objekt, med Hausdorff-dimensionerna d → 2.

Exempel

Sju cirklar med radie R/3 är inskrivna i en cirkel med radie R på ett sådant sätt att de alla berör, men inte skär varandra. Sju R/9-cirklar är inskrivna i var och en av dessa sju cirklar, och så vidare.

Anteckningar

  1. ↑ Morozov A. D. Introduktion till teorin om fraktaler. - Moskva-Izhevsk. Institutet för datorforskning, 2002, 160 sid.
  2. ↑ Bozhokin S. V., Parshin D. A. Fractals and multifractals. — Izhevsk. Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics", 2001, 128 s.
  3. ↑ Chumak O. V. Fractal dimensions of MFT associations. - Astronomiskt cirkulär, nr 1546, 1990
  4. ↑ Chumak O. V. Entropi och fraktaler i dataanalys. - M.-Izhevsk: Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics", 2011, 164s.
  5. ↑ Chumak O. V. Självliknande fraktaler med överlappande element som en modell av fotosfäriska magnetiska strukturer. - Astronomiskt cirkulär, nr 1546, 1990
  6. ↑ Chumak OV, Zhang H. - Förhållande mellan storlek och flöde i aktiva regioner. — Kinesisk tidskrift Astron. och Astroph., vol. 3, nr. 2, 2003, sid. 175-182
  7. ↑ Chumak O. V. Fraktaldimensioner och "area-flöde"-relationer för lokala magnetfält på solen. - Astronomiskt cirkulär nr 1545, 1990.
  8. ↑ Chumak O. - Självliknande och självaffin strukturer i observationsdata om solaktivitet - Asrton&Astroph. Trans. V. 24, nr 2, 2005, sid. 93-99

Litteratur