Ekvipartitionssatsen

Satsen om ekvipartition av kinetisk energi över frihetsgrader , ekvipartitionslagen , ekvipartitionssatsen - kopplar samman temperaturen i ett system med dess medelenergi i klassisk statistisk mekanik . I sin ursprungliga form angav teoremet att vid termisk jämvikt delas energi lika mellan dess olika former, till exempel måste den genomsnittliga kinetiska energin för en molekyls translationsrörelse vara lika med den genomsnittliga kinetiska energin för dess rotationsrörelse .

Med hjälp av ekvipartitionssatsen kan kvantitativa förutsägelser göras. Liksom virialsatsen ger den den totala genomsnittliga kinetiska och potentiella energierna för ett system vid en given temperatur, från vilken systemets värmekapacitet kan beräknas. Emellertid låter ekvipartitionssatsen också bestämma medelvärdena för de individuella energikomponenterna, såsom den kinetiska energin för en enskild partikel, eller den potentiella energin för en individuell fjäder . Satsen säger att varje molekyl av en monoatomisk idealgas , som är i termodynamisk jämvikt (eller i ett tillstånd nära termodynamisk jämvikt), har en genomsnittlig kinetisk energi lika med (3/2)k B T , där k B är Boltzmann konstant , T är temperaturen. I allmänhet kan det appliceras på vilket klassiskt system som helst i termisk jämvikt , oavsett hur komplext det är. Ekvipartitionssatsen kan användas för att härleda den ideala gasekvationen för tillstånd och Dulong-Petit-lagen , för att bestämma den specifika värmen hos fasta ämnen. Det används också för att förutsäga egenskaperna hos stjärnor , till och med som vita dvärgar och neutronstjärnor , eftersom ekvipartitionen gäller även när relativistiska effekter måste tas med i beräkningen.

Även om ekvipartitionssatsen gör mycket exakta förutsägelser under vissa förhållanden, förlorar den sin tillämpbarhet när kvanteffekter kommer in i bilden. Equipartitionen är endast giltig när den termiska energin k B T är mycket större än intervallet mellan angränsande kvantenerginivåer, eftersom annars medelvärdena för energi och värmekapacitet per vissa frihetsgrader är mindre än de värden som erhålls med ekvipartitionssatsen . De säger att frihetsgraden fryses ut om den termiska energin är mycket mindre än detta intervall (detta betyder att i praktiken kan en sådan frihetsgrad under de givna förhållandena ignoreras, under ett sådant tillstånd kan övergången till exciterade tillstånd med respekt till en viss grad av frihet är praktiskt taget omöjligt). Till exempel minskar värmekapaciteten hos ett fast ämne vid låga temperaturer – när de olika typerna av rörelser blir utfrysta – istället för att förbli konstant, som det borde vara enligt den klassiska ekvipartitionssatsen. Denna minskning av värmekapaciteten var det första tecknet för fysiker på 1800-talet att klassisk fysik förlorade sin tillämpbarhet vid låg temperatur, och nya lagar måste formuleras för att förklara värmekapacitetens faktiskt observerade beteende som en funktion av temperaturen. Tillsammans med en annan kontrovers ledde misslyckandet i ekvipartitionslagen att beskriva elektromagnetisk strålning - även känd som den ultravioletta katastrofen - Max Planck till idén att ljus sänds ut och absorberas i kvantiteter . Denna revolutionära hypotes markerade början av kvantteorin, som, när den utvecklades vidare, gav upphov till kvantmekanik och kvantfältteori .

Huvudidé och enkla exempel

Ursprungligen betydde termen "ekvidistribution" att den totala kinetiska energin i ett system delas lika mellan alla dess oberoende delar , i genomsnitt , när systemet har nått termisk jämvikt. Ekvipartitionssatsen ger också kvantitativa förutsägelser för dessa energier. Till exempel förutspår den att varje atom i en ädelgas i termisk jämvikt vid en temperatur T har en genomsnittlig translationell kinetisk energi lika med (3/2)k B T . Som en konsekvens har tyngre xenonatomer en lägre medelhastighet än lättare heliumatomer vid samma temperatur. Figuren visar Maxwell-fördelningen för atomernas hastigheter i fyra gaser.

I detta exempel är det viktigt att notera att kinetisk energi är en kvadratisk funktion av hastighet. Ekvipartitionssatsen säger att vid termisk jämvikt har varje frihetsgrad (komponenter av positionsvektorer eller partikelhastighet) [1] som endast uppträder som en kvadratisk funktion i energi en medelenergi lika med ½ k B T och bidrar därför med ½ k B till systemets värmekapacitet. Detta uttalande har många praktiska tillämpningar.

Energi för translationell rörelse för partiklar av idealgaser

Den kinetiska energin för en gaspartikel med massan m och hastigheten v ges som

H^{\mathrm {kin} }={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\tfrac {1}{2}}m\left( v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\höger),

där v x , v y och v z är de kartesiska komponenterna i hastighetsvektorn v . Här betecknar symbolen H systemets Hamiltonska funktion och används som energisymbol i Hamiltons formalism . Den spelar en central roll i de flesta generaliseringar av jämställdhetslagen.

Eftersom den kinetiska energin är en kvadratisk funktion av hastighetskomponenterna, följer det av ekvipartitionslagen att var och en av dessa komponenter ger samma bidrag ½ k B T till den genomsnittliga kinetiska energin för en gas i termisk jämvikt. Det följer att partikelns genomsnittliga kinetiska energi är (3/2) k B T, som i exemplet med ädelgas ovan.

I allmänhet består den totala energin för en idealgas av de individuella partiklarnas (translationella) kinetiska energi, under antagandet att partiklarna inte har några inre frihetsgrader och rör sig oberoende av varandra. Ekvifördelningen betyder att den genomsnittliga totala energin för en idealgas av N partiklar är (3/2) N k B T .

Härav följer att gasens värmekapacitet är (3/2) N k B och i synnerhet värmekapaciteten för en mol gas av sådana partiklar är (3/2) N A k B =(3/2) R , där N A är Avogadro-talet och R är gaskonstanten . Eftersom R ≈ 2 cal /( mol K ) förutsäger ekvidelningslagen att den molära värmekapaciteten för en idealgas är ungefär 3 cal /( mol K ) . Denna förutsägelse har verifierats experimentellt. [2]

Den genomsnittliga kinetiska energin låter oss uppskatta kvadratroten av medelkvadrathastigheten v rms för partiklar i en gas:

v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}},

där M = N A m är gasens molära massa. Detta resultat är användbart för många praktiska tillämpningar, såsom Grahams lag för effusion , som används i metoden för anrikning av uran [3]

Energi för roterande rörelse

Ett liknande exempel kan hittas när man betraktar en roterande molekyl med huvudsakliga tröghetsmoment I 1 , I 2 och I 3 . Rotationsenergin för en sådan molekyl ges av uttrycket

H^{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^ {2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),

där ω 1 , ω 2 och ω 3 är de huvudsakliga komponenterna i vinkelhastigheten . Med exakt samma resonemang som i fallet med translationell rörelse, innebär ekvipartition att vid termisk jämvikt är den genomsnittliga rotationsenergin för varje partikel: (3/2)k B T . Likaså tillåter ekvipartitionssatsen att man kan beräkna den genomsnittliga (mer exakt, kvadratroten av medelkvadraten) vinkelhastighet för molekyler. [fyra]

Potentiell energi och harmoniska oscillatorer

Equipartitionen gäller inte bara för kinetisk energi, utan också för potentiell energi . Viktiga exempel inkluderar harmoniska oscillatorer som en fjäder , som har en potentiell energi som är kvadratisk i koordinater

H^{\mathrm {pot} }={\tfrac {1}{2}}aq^{2},

där konstanten a beskriver fjäderns styvhet och q är avvikelsen från jämviktsläget. Om ett sådant endimensionellt system har massan m , då är dess kinetiska energi H kin : ½ mv² = p ²/2 m , där v och p = mv anger oscillatorns hastighet och rörelsemängd. Genom att summera dessa bidrag får vi systemets totala energi [5]

H=H^{\mathrm {kin} }+H^{\mathrm {pot} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}} aq^{2}.

Ekvipartitionen innebär att vid termisk jämvikt har oscillatorn en medelenergi som är lika med

\langle H\rangle =\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\tfrac {1}{2}}k_{B }T+{\tfrac {1}{2}}k_{B}T=k_{B}T,

där vinkelparenteserna anger medelvärdet av värdet som finns i dem. [6] $\left\langle \ldots \right\rangle$

Detta resultat gäller för alla typer av harmoniska oscillatorer, såsom en pendel , en oscillerande molekyl eller en passiv elektrisk generator . System av sådana oscillatorer uppstår i många fall. Enligt ekvipartitionslagen har varje sådan oscillator en genomsnittlig totalenergi k B T och bidrar därför k B till systemets värmekapacitet. Denna slutsats kan användas för att härleda en formel för termiskt brus [7] och Dulong-Petit-lagen för den specifika värmen hos fasta ämnen. Den senare spelade en viktig roll i ekvipartitionssatsens historia.

Värmekapacitet för fasta ämnen

Ekvifördelningslagen används för att bestämma den specifika värmekapaciteten hos kristallina kroppar. Eftersom varje atom från en sådan kropp kan svänga i tre oberoende riktningar, kan kristallen betraktas som ett system av 3N oberoende harmoniska oscillatorer , där N betecknar antalet atomer i gittret. Varje harmonisk oscillator har en medelenergi k B T , så kroppens genomsnittliga totala energi är 3Nk B T och dess specifika värme är 3Nk B .

Om vi tar för N Avogadro -talet ( N A ), då, med hjälp av relationen R = N A k B mellan gaskonstanten ( R ) och Boltzmann-konstanten ( k B ), får vi uttrycket för Dulong- Petit law , som beskriver den molära värmekapaciteten hos fasta ämnen. Det står att den specifika värmekapaciteten för en mol atomer i kristallgittret är 3R ≈ 6 cal /( mol K ) .

Det bör noteras att denna lag inte är giltig vid låga temperaturer, där det är viktigt att ta hänsyn till kvanteffekter. Det strider också mot den experimentellt bekräftade termodynamikens tredje lag , enligt vilken den specifika värmekapaciteten hos något ämne tenderar till noll eftersom temperaturen tenderar till absolut noll. [7] Mer exakta teorier som tar hänsyn till kvanteffekter utvecklades av Albert Einstein ( 1907 ) och Peter Debye ( 1911 ). [åtta]

Många fysiska system kan modelleras som ett system av kopplade harmoniska oscillatorer . Rörelserna hos sådana oscillatorer kan dekomponeras i normala lägen , vilket kan ses som vibrationslägen hos en pianosträng eller resonanserna hos en orgelpipa . Å andra sidan blir ekvipartitionssatsen otillämplig för sådana system på grund av bristen på energiutbyte mellan normala lägen. I det begränsande fallet är moderna oberoende och därmed bevaras deras energier oberoende. Detta betyder att blandningen av energier, formellt kallad ergodicitet , är viktig för att ekvidelningslagen ska hålla.

Partikelsedimentering

Potentiell energi är inte alltid en kvadratisk funktion av koordinater, men ekvipartitionssatsen säger att om frihetsgraden x ingår med faktorn x s (för en fast konstant s ) i den totala energin, då vid termisk jämvikt medelenergin av denna del är lika med k B T/s .

Denna generalisering används när man överväger sedimenteringen av partiklar under påverkan av gravitationen . [9] Till exempel kan dimman som ibland ses i öl orsakas av bitar av proteiner som sprider ljus. [10] Med tiden ackumuleras dessa bitar på botten under tyngdkraften, vilket gör att mer ljus sprids nära botten av flaskan än nära toppen. Men på grund av diffusion som arbetar i motsatt riktning, rör sig partiklarna uppåt mot toppen av flaskan. När väl jämvikt har uppnåtts kan jämviktssatsen användas för att bestämma medelpositionen för en viss del av flytande massa m b . För en oändligt hög flaska öl ges gravitationspotentialenergin som

H^{\mathrm {grav} }=m_{b}gz\,,

där z är den vertikala positionen för proteinbiten i flaskan och g är accelerationen på grund av gravitationen. Eftersom s=1 är den genomsnittliga potentiella energin för proteinbiten lika med k B T . Om proteinbitens massa är cirka 10 MDa (ungefär detta är storleken på viruset ) kommer en suspension vid jämvikt att uppstå med en medelhöjd på cirka 2 cm. Sedimenteringsprocessen till jämviktspositionen beskrivs av Mason-Weavers ekvation . [elva]

Historik

Den här artikeln använder icke- SI - enheter av cal /( mol K ) för specifik värmekapacitet på grund av noggrannheten i decimalnotationen.
För att konvertera till SI-enheter J /( mol K ) , måste dessa värden multipliceras med 4,2 J / cal .

Jämn fördelning av kinetisk energi över frihetsgrader föreslogs 1843 (det är mer korrekt att tala om 1845) John James Waterston . [12] [13] [14] [15] [16] År 1859 hävdade James Clerk Maxwell att den kinetiska energin vid hög temperatur hos en gas är lika uppdelad mellan translationsenergi och rotationsenergi. [17] År 1876 visade Ludwig Boltzmann att medelenergin delas lika mellan alla oberoende rörelsekomponenter i ett system. [18] [19] Boltzmann tillämpade ekvipartitionslagen för att teoretiskt förklara den empiriska Dulong-Petit-lagen för värmekapaciteten hos fasta ämnen.

Ekvipartitionssatsens historia är sammanflätad med studier av värmekapacitet som utfördes på 1800-talet. År 1819 upptäckte de franska fysikerna Pierre Dulong och Alexis Petit att den specifika molära värmekapaciteten för fasta ämnen är praktiskt taget lika vid rumstemperatur, ungefär 6 cal /( mol K ) . [21] Deras lag har använts i många år för att mäta atomvikter . [8] Men efterföljande studier av James Dewar och Heinrich Weber visade att Dulong-Petit-lagen endast gäller vid höga temperaturer, [22] [23] [24] och vid låga temperaturer eller för mycket hårda kristaller som diamant , värmen. kapaciteten är lägre. [25] [26] [27]

De experimentella värdena för gasernas värmekapacitet väckte också frågor om riktigheten av ekvipartitionsteoremet. Satsen förutspår att den molära specifika värmekapaciteten för monoatomiska gaser bör vara ungefär 3 cal /( mol K ) och för diatomiska gaser ungefär 7 cal /( mol K ) . Experiment bekräftade den första förutsägelsen, [2] men för diatomiska gaser visade experimentet att den specifika molära värmekapaciteten endast är 5 cal /( mol K ), [28] och sjunker till 3 cal /( mol K ) vid mycket låga temperaturer . [29] Maxwell märkte 1875 att diskrepansen mellan experiment och ekvipartitionslagen är ännu värre om dessa värden tas; [30] eftersom atomer har en inre struktur, måste termisk energi gå till rörelsen av dessa inre delar, vilket leder till förutsägelser för den specifika molära värmekapaciteten hos monoatomiska och diatomiska gaser mycket större än 3 cal /( mol K ) och 7 cal / ( mol K ), respektive.

Den tredje oenigheten är relaterad till metallernas värmekapacitet. [31] Enligt den klassiska Drude-modellen beter sig elektroner i en metall som en idealgas och måste följaktligen bidra med (3/2) N e k B , där N e är antalet elektroner, till värmekapaciteten hos metall enligt ekvipartitionssatsen. Experimentellt är emellertid elektronernas bidrag till värmekapaciteten litet: de molära värmekapaciteterna hos olika ledare och dielektrika sammanfaller praktiskt taget. [31] (Se även avsnittet " Begränsningar som införs av kvantmekaniken ").

Flera förklaringar har föreslagits för felaktigheten i ekvipartitionsteoremet vid bestämning av värmekapacitet. Boltzmann försvarade beviset för hans teorem som korrekt, men föreslog att gaser kanske inte är i termisk jämvikt på grund av deras interaktion med etern . [32] Lord Kelvin föreslog att härledningen av ekvipartitionssatsen måste vara fel eftersom dess slutsatser inte överensstämmer med experimentet, men kunde inte peka på felet. [33] Lord Rayleigh framförde istället den mer radikala hypotesen att både ekvipartitionssatsen och det experimentella antagandet om termisk jämvikt var korrekta, men för att förena dem talade han om behovet av en ny princip som skulle ge en flykt från den destruktiva enkelheten hos ekvipartitionssatsen. [34] Albert Einstein visade vägen för att lösa denna motsägelse när han 1907 visade att dessa anomalier i värmekapacitet beror på kvanteffekter, i synnerhet kvantiseringen av energin från elastiska vibrationer i en stel kropp. [35] [36] [37] [38] [39] Einstein använde felaktigheten i ekvipartitionslagen som ett argument för behovet av en ny kvantteori om materien. [8] Nernsts experiment från 1910 som mätte värmekapacitet vid låga temperaturer [40] bekräftade Einsteins teori och ledde till ett utbrett stöd för kvantteorin bland fysiker. [41]

Allmän formulering av ekvipartitionssatsen

Den mest allmänna formuleringen av ekvipartitionssatsen [4] [6] [9] säger att under vissa förhållanden (se nedan) för ett fysiskt system med Hamiltonska H och frihetsgrader x n gäller följande relation för alla index m och n :

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}k_{B}T.

Här är δ mn Kronecker-symbolen , som är lika med ett om m = n och noll annars. Vinkelparenteserna betecknar medelvärdesberäkning , vilket kan hänvisa till både tidsmedelvärdesberäkning och den mer allmänna ensemblemedelvärdesbildningen i fasrymden. Ergodicitetskravet som används i satsen innebär att de två medelvärdena är ekvivalenta. $\left\langle \ldots \right\rangle$

Den allmänna formuleringen av satsen är sann både i fallet med en mikrokanonisk ensemble , [6] när den totala energin i systemet är konstant, och i fallet med en kanonisk ensemble , [4] [42] när systemet är anslutet till en termisk reservoar , med vilken den kan utbyta energi. Härledningen av den allmänna formeln ges nedan .

Den allmänna formeln motsvarar följande uttryck:

${\Bigl \langle }x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=k_{B}T$ för alla n .
${\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=0$ för alla m ≠ n .

Om frihetsgraden x n endast visas som en kvadratisk term a n x n ² i Hamiltonian H , så anger den första formeln att

k_{B}T={\Bigl \langle }x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=2\langle a_{n} x_{n}^{2}\rangle ,

dubbelt så mycket som denna frihetsgrad till medelenergin . Då följer ekvipartitionen för ett system med energier beroende på koordinaternas kvadrater av den allmänna formeln. Ett liknande argument för graden s är generellt tillämpligt för ett bidrag av formen a n x n s . $\langle H\rangle$

Frihetsgraderna x n är koordinater i systemets fasrum , och därför delas de vanligtvis upp i generaliserade koordinater q k och generaliserade momenta p k , där p k är momentumkonjugatet till q k . I det här fallet betyder formel 1 att för alla k

{\Bigl \langle }p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigl \rangle }={\Bigl \langle }q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle }=k_{B}T.

Med hjälp av Hamiltons mekaniks ekvationer [ 5] kan dessa formler också skrivas om som

{\Bigl \langle }p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigl \rangle }=-{\Bigl \langle }q_{k}{\frac {dp_{ k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=k_{B}T.

Formel 2 anger att medelvärdena

{\Bigl \langle }q_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigl \rangle },\quad {\Bigl \langle }q_{j}{ \frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial p_{k} )){\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }q_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigr \rangle },

och

{\displaystyle {\Bigl \langle }p_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle ))

är noll för j≠k .

Koppling till virialsatsen

Den allmänna ekvipartitionssatsen är en generalisering av virialsatsen (föreslog 1870 [43] ) och lyder

{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\ summa _{k}p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\summa _{k}p_{k}{ \frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=-{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {dp_{k}}{dt}}{ \Bigr \rangle },

där t anger tid . [5] De två viktigaste skillnaderna mellan de två är att virialsatsen relaterar "summade" snarare än "individuella" medelvärden till varandra, och den förra relaterar dem inte till temperatur "T". En annan skillnad är att de traditionella bevisen för virialsatsen använder medelvärdesberäkning över en lång tidsperiod, medan ekvipartitionssatsen också använder fasrymdsmedelvärde .

Applikationer

Tillståndsekvation för en idealgas

Ekvipartitionssatsen används för att härleda tillståndsekvationen för en idealgas från klassisk mekanik. [4] . Formeln för den genomsnittliga kinetiska energin per partikel, med hänsyn till endast tre translationella frihetsgrader, skrivs som

{\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\frac {1}{2m))\langle p_{x}^{2}+p_{y}^ {2}+p_{z}^{2}\rangle \\&={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H ^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} } }{\partial p_{y))}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} )){\partial p_{z} )){\Bigr \rangle }{\biggr )}={\frac {3}{2}}k_{B}T\end{aligned}}

Om q = ( q x , q y , q z ) och p = ( p x , p y , p z ) anger koordinaterna och rörelsemängden för en partikel i en gas, och F är kraften som verkar på den partikeln, då

{\begin{aligned}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &={\Bigl \langle }q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}} {\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}{\Bigl \langle }+{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}{\Bigl \rangle }\\&=-{\Bigl \langle }q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}{\ Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y))}{\Bigl \rangle }-{\Bigl \langle }q_{z}{ \frac {\partial H}{\partial q_{z))}{\Bigr \rangle }=-3k_{B}T,\end{aligned))

där den första likheten är Newtons andra lag , och den andra raden använder Hamiltons ekvationer och ekvipartition. Summering över ett system av N partiklar leder till uttrycket

3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\ biggr \rangle }.

Med hjälp av Newtons tredje lag och antagandet att gasen är ideal får vi den totala kraften i systemet - kraften som verkar från sidan av behållarväggarna på systemet, och denna kraft ges av gasens tryck P. Följaktligen

-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=P \oint _{\mathrm {yta} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} ,

där dS är ett element av infinitesimal area av behållarens väggar. Eftersom divergensen av radievektorn q är

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y} }{\partial q_{y))}+{\frac {\partial q_{z)){\partial q_{z))}=3,

då får vi från divergenssatsen

P\oint _{\mathrm {yta} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} =P\int _{\mathrm {volym} }\left({\boldsymbol {\nabla ))\ cdot \mathbf {q} \right)dV=3PV,

där dV är den oändliga volymen inuti behållaren, V är dess totala volym.

Om vi sätter ihop ekvationerna får vi

3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\ biggr \rangle }=3PV,

vilket leder till tillståndsekvationen för en idealisk gas för N partiklar:

PV=Nk_{B}T=nRT,

där n=N/N A är antalet mol gas och R=N A k B är gaskonstanten . [44]

Diatomiska gaser

En diatomisk gas kan representeras som två massor m 1 och m 2 anslutna till varandra med hjälp av en fjäder med en styvhet a . [20] Den klassiska energin i detta system är skriven som summan av de kinetiska energierna för individuella massors rörelse och den potentiella energin för fjäderns deformation:

H={\frac {\left|\mathbf {p} _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\left|\mathbf {p} _ {2}\right|^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {1}{2}}aq^{2},

där p 1 och p 2 är momenta för två atomer, q är avvikelsen från jämviktspositionen. Varje frihetsgrad är en kvadratisk funktion och måste därför bidra med ½ k B T till den totala medelenergin och ½ k B till den specifika värmen. Den specifika värmekapaciteten för en gas av N diatomiska molekyler måste alltså vara lika med 7N · ½ k B : momenten p 1 och p 2 ger vardera tre frihetsgrader och avvikelsen q adderar en sjundedel. Det följer att den specifika värmekapaciteten för en mol av en gas av diatomiska molekyler utan några andra frihetsgrader än de som nämns ovan bör vara (7/2) N A k B = (7/2) R och därmed den förutsagda molär specifik värmekapacitet kommer att vara 7 cal /( mol K ) . Samtidigt har mätningar visat att den molära specifika värmekapaciteten för en gas av diatomiska molekyler är 5 cal /( mol K ) [28] och minskar till 3 cal /( mol K ) vid mycket låga temperaturer. [29] Denna diskrepans mellan det förutsagda värdet från ekvipartitionslagen och experimentet kan inte förklaras med en mer komplex struktur hos molekylen, eftersom med tillägg av frihetsgrader också det förutsagda värdet för värmekapacitet ökar. [30] Denna oenighet var en av de viktigaste, som krävde mer korrekta, nämligen kvantuppfattningar om materiens struktur.

Ultrarelativistiska idealgaser

Likfördelningslagen användes ovan för att härleda den klassiska idealgasekvationen för tillstånd från Newtons mekanik . Men relativistiska effekter blir dominerande i vissa system, såsom vita dvärgar och neutronstjärnor , [6] och den ideala gasekvationen för tillstånd måste ändras. Ekvipartitionssatsen ger ett bekvämt sätt att härleda motsvarande lagar för en ultrarelativistisk idealgas . [4] I detta fall ges den kinetiska energin för en enskild partikel av

H^{\mathrm {kin} }\approx cp=c{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}.

Att differentiera H med avseende på momentumkomponenten p x får vi

p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}=c{\frac {p_{x}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}

och på liknande sätt för p y - och pz - komponenterna . Lägger vi samman de tre komponenterna kommer vi fram till uttrycket för den genomsnittliga kinetiska energin

{\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\biggl \langle }c{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{ 2}+p_{z}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}{\biggr \rangle }\\&={\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x))}{\Bigl \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{y))}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{ \frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}{\Bigr \rangle }\\&=3k_{B}T\end{aligned}}

där den sista jämlikheten följer av ekvidelningen. Således är den genomsnittliga totala energin för en ultrarelativistisk gas två gånger den totala energin för gasen i det icke-relativistiska fallet: för N partiklar får vi 3 N k B T .

Icke-ideala gaser

I en idealisk gas interagerar partiklar endast genom kollisioner. Likfördelningslagen kan användas för att härleda ett uttryck för trycket och energin hos "icke-ideala gaser" där partiklar interagerar med varandra via konservativa krafter . Interaktionspotentialen U ( r ) för dessa partiklar beror endast på avståndet r mellan partiklarna. [4] Denna situation beskrivs i enpartikelmodellen, där de återstående partiklarna i gasen bildar en sfäriskt symmetrisk fördelning. Det är lämpligt att införa en radiell fördelningsfunktion g(r) , så att sannolikheten för att hitta en partikel på ett avstånd r från den givna är lika med 4π r²ρ g(r) , där ρ=N/V är medelvärdet gasens densitet . [45] Av detta följer att den genomsnittliga potentiella energin för interaktionen mellan en partikel och dess omgivning är lika med

\langle h^{\mathrm {pot} }\rangle =\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}\rho U(r)g(r)\,dr.

Gasens totala genomsnittliga potentiella energi är , där N är antalet partiklar i gasen, och faktorn ½ är nödvändig eftersom summeringen över alla partiklar inkluderar varje interaktion två gånger. $\langle H^{pot}\rangle ={\tfrac {1}{2}}N\langle h^{\mathrm {pot} }\rangle$

Efter att ha summerat den potentiella och kinetiska energin och tillämpat ekvipartitionen får vi energiekvationen

H=\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {3}{2}}Nk_{B}T+2 \pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{2}U(r)g(r)\,dr.

Liknande resonemang [4] leder till ekvationen för tryck

3Nk_{B}T=3PV+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{3}U'(r)g(r)\,dr.

Anharmoniska oscillatorer

För en anharmonisk oscillator (i motsats till en enkel harmonisk oscillator ) är den potentiella energin inte en kvadratisk funktion av förskjutningen q (en generaliserad koordinat som indikerar avvikelsen från jämviktspositionen). Sådana oscillatorer tillåter en bredare syn på ekvipartitionslagen. [46] [47] Som ett enkelt exempel, betrakta formens potentiella energifunktioner

H^{\mathrm {pot} }=Cq^{s},

där C och s är godtyckliga reella konstanter . I detta fall leder ekvidelningslagen till uttrycket

k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q)){\Bigr \rangle }=\langle q\cdot sCq^{s-1}\rangle =\langle sCq^{s}\rangle =s\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle .

Således är medelpotentialenergin lika med kB T /s och inte kB T /2 som för kvadratisk potential för en övertonsoscillator (där s =2).

Mer generellt kan en typisk energifunktion hos ett endimensionellt system representeras som en Taylor-expansion i q :

{\displaystyle H^{\mathrm {pot} }=\sum _{n=2}^{\infty }C_{n}q^{n))

för icke-negativa heltal n . Termen med n =1 saknas, eftersom det inte finns någon resulterande kraft vid jämviktspunkten och den första derivatan av energin försvinner. Termen med n = 0 måste inkluderas, eftersom den potentiella energin vid jämviktspunkten kan väljas godtyckligt (noll för enkelhetens skull). I detta fall följer det av jämställdhetslagen att [46]

k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\summa _{n =2}^{\infty }\langle q\cdot nC_{n}q^{n-1}\rangle =\sum _{n=2}^{\infty }nC_{n}\langle q^{n }\rangle .

I motsats till de andra exemplen som ges här, lagen om ekvidelning

\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {1}{2}}k_{B}T-\summa _{n=3}^{\infty }\left({ \frac {n-2}{2}}\right)C_{n}\langle q^{n}\rangle

för den genomsnittliga potentiella energin kan inte skrivas i termer av kända konstanter.

Brownsk rörelse

Ekvipartitionslagen används för att härleda standardavvikelsen för en Brownsk partikel med hjälp av Langevin-ekvationen . [4] Enligt denna ekvation lyder rörelsen hos en partikel med massan m och hastighet v Newtons andra lag

{\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {1}{m))\mathbf {F} =-{\frac {\mathbf {v} }{\tau } }+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} ^{\mathrm {rnd} },

där F rnd är en slumpmässig kraft som beskriver slumpmässiga kollisioner av en partikel med omgivande molekyler, och där tidskonstanten reflekterar förekomsten av en friktionskraft , som är riktad i motsatt riktning mot rörelsen. Friktionskraften skrivs ofta som proportionell mot partikelns hastighet , i vilket fall tidskonstanten är . $\tau$ $\mathbf {F} ^{\mathrm {drag} }=-\gamma \mathbf {v}$ $\tau$ $m/\gamma$

Den skalära produkten av denna ekvation och partikellokaliseringsvektorn efter medelvärdesbildning (över tid) leder till ekvationen $\mathbf {r}$

{\Bigl \langle }\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt)){\Bigr \rangle }+{\frac {1}{\tau ))\ langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \rangle =0

för Brownsk rörelse (eftersom den slumpmässiga kraften F rnd är okorrelerad med vektorn r ). Använda matematiska relationer

{\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)={\frac {d}{dt}}\left(r^{2} \right)=2\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)

och

{\frac {d}{dt))\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)=v^{2}+\mathbf {r} \cdot {\frac {d \mathbf {v} }{dt}},

den grundläggande ekvationen för Brownsk rörelse kan skrivas som

{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\frac {1}{\tau }}{\frac {d}{dt }}\langle r^{2}\rangle =2\langle v^{2}\rangle ={\frac {6}{m}}k_{B}T,

där den sista likheten följer av ekvipartitionslagen för den kinetiska energin för translationell rörelse:

\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle ={\Bigl \langle }{\frac {p^{2}}{2m}}{\Bigr \rangle }=\langle {\tfrac { 1}{2}}mv^{2}\rangle ={\tfrac {3}{2}}k_{B}T.

Då kan differentialekvationen för (med lämpliga initiala villkor) lösas exakt: $\langle r^{2}\rangle$

\langle r^{2}\rangle ={\frac {6k_{B}T\tau ^{2}}{m}}\left(e^{-t/\tau}-1+{\ frac {t}{\tau }}\right).

Om tiden är liten jämfört med tidskonstanten ( ), så kan partikeln betraktas som fritt rörlig, och med hjälp av Taylor-expansionen för exponentialfunktionen, eftersom kvadraten på förskjutningen växer ungefär kvadratiskt , får vi $t\ll \tau$

\langle r^{2}\rangle \approx {\frac {3k_{B}T}{m}}t^{2}=\langle v^{2}\rangle t^{2}.

Ibland mycket större än tidskonstanten ( ), är exponentialtermen och konstanten försumbart små, och kvadraten på förskjutningen växer linjärt : $t\gg \tau$

\langle r^{2}\rangle \approx {\frac {6k_{B}T\tau }{m}}t=6\gamma k_{B}Tt.

Detta uttryck beskriver diffusionen av en partikel i tid. En liknande ekvation för rotationsdiffusionen av en stel molekyl härleds med en liknande metod.

Stjärnornas fysik

Ekvipartitionssatsen och virialsatsen har länge använts inom astrofysik . [48] Virialsatsen används till exempel för att uppskatta stjärnornas temperaturer eller Chandrasekhar-gränsen för massan av vita dvärgar . [49] [50]

Medeltemperaturen för en stjärna uppskattas från ekvipartitionssatsen. [51] Eftersom de flesta stjärnor är sfäriskt symmetriska, uppskattas den totala gravitationella potentiella energin av integralen

H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}G}{r}}M (r)\,\rho (r)\,dr,

där M(r) är massan inom radien r , ρ(r) är stjärndensiteten vid radie r , G är gravitationskonstanten , R är stjärnans totala radie. I fallet med en konstant stjärndensitet leder integration över radien till uttrycket

H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-{\frac {3GM^{2}}{5R)),

där M är stjärnans totala massa. Det följer att den genomsnittliga potentiella energin för en partikel är lika med

\langle H^{\mathrm {grav} }\rangle ={\frac {H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }}{N}}=-{\frac {3GM^ {2}}{5RN}},

där N är antalet partiklar i stjärnan. De flesta stjärnor består huvudsakligen av joniserat väte , så N är ungefär (M/m p ) , där m p är protonens massa. Att tillämpa ekvipartitionslagen ger en uppskattning av stjärnans temperatur

{\Bigl \langle }r{\frac {\partial H^{\mathrm {grav} }}{\partial r}}{\Bigr \rangle }=\langle -H^{\mathrm {grav} }\rangle =k_{B}T={\frac {3GM^{2}}{5RN}}.

Genom att ersätta solens massa och radie i detta uttryck , är den uppskattade soltemperaturen T 14 miljoner kelvin , mycket nära temperaturen i solens kärna (15 miljoner kelvin). Visserligen bör det noteras här att solen är mycket mer komplex till sin struktur än vad som accepteras i denna förenklade modell och dess temperatur, såväl som densitet, förändras kraftigt som en funktion av radien, och en så bra överensstämmelse (≈7% relativt error ) är delvis vår tur. [52]

Stjärnbildning

Formlerna härledda ovan kan användas för att bestämma villkoren för stjärnbildning från gigantiska molekylära moln . [53]

Lokala fluktuationer i densitet i sådana moln kan leda till ett instabilt tillstånd där molnet kollapsar under sin egen vikt. En sådan kollaps inträffar när ekvipartitionssatsen, eller ekvivalent virialsatsen , inte längre gäller, det vill säga när den gravitationella potentiella energin är två gånger den kinetiska energin

{\frac {3GM^{2}}{5R}}>3Nk_{B}T

Förutsatt att molnets densitet är konstant, enligt formeln $\rho$

M={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho

man kan få en uppskattning av minimimassan för födelsen av en stjärna, som kallas jeansmassan M J

M_{J}^{2}=\left({\frac {5k_{B}T}{Gm_{p))}\right)^{3}\left({\frac {3}{4 \pi \rho }}\right)

Att ersätta värdena för typiska massor i sådana observerbara moln ( T =150 K, ρ = 2⋅10 −16 g/cm³) ger en minimimassauppskattning av 17 solmassor, vilket är förenligt med observerad stjärnbildning. Denna effekt är känd som jeans instabilitet . Den är uppkallad efter den brittiske fysikern James Jeans , som publicerade en beskrivning av denna instabilitet 1902. [54]

Slutsatser

Kinetisk energi och Maxwell-Boltzmann-fördelningen

Den ursprungliga formuleringen av ekvipartitionssatsen säger att i ett fysiskt system vid termodynamisk jämvikt har varje partikel samma genomsnittliga kinetiska energi , (3/2) k B T . [55] Detta kan visas med hjälp av Maxwell-Boltzmann-fördelningen (se ovanstående figur för sannolikhetstäthetsfördelningen av molekylära hastigheter ), som är sannolikhetsfördelningen

{\displaystyle f(v)=4\pi \left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}\!\!v^{2}\ exp {\Bigl (}{\frac {-mv^{2}}{2k_{B}T}}{\Bigr )))

för hastigheten för en partikel med massan m i systemet, där hastigheten v är amplituden för hastighetsvektorn . ${\displaystyle {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))))$ $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$

Maxwell–Boltzmann-fördelningen är tillämplig på ett system av atomer och förutsätter endast att partikelsystemet är en kanonisk ensemble , i synnerhet att de kinetiska energierna är fördelade enligt Boltzmann-faktorn vid temperatur T. [55] Den genomsnittliga kinetiska energin för en partikel med massan m ges av integralformeln

\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle =\langle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}\rangle =\int _{0}^{\infty }{\ tfrac {1}{2}}mv^{2}\ f(v)\ dv={\tfrac {3}{2}}k_{B}T,

precis som ekvipartitionssatsen säger. Samma resultat kan erhållas genom att medelvärde av partikelenergierna och använda sannolikheten för att hitta en partikel i något energikvanttillstånd [44] .

Kvadratiska energier och partitionsfunktion

I en mer allmän formulering säger ekvipartitionssatsen att varje frihetsgrad som uppträder i den totala energin endast som en kvadratisk term av formen , där är en konstant, har en medelenergi på ½ i termodynamisk jämvikt. I det här fallet kan ekvipartitionen härledas från partitionsfunktionen , där är den reciproka temperaturen . [56] Integration över en variabel ger faktorn $x$ $H$ $Ax^{2}$ $A$ $k_{B}T$ $Z(\beta )$ $\beta =1/(k_{B}T)$ $x$

Z_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ e^{-\beta Ax^{2))={\sqrt {\frac {\pi }{\beta A }}},

i formeln för . Den genomsnittliga energin associerad med denna faktor ges av $Z$

\langle H_{x}\rangle =-{\frac {\partial \ln Z_{x}}{\partial \beta }}={\frac {1}{2\beta }}={\frac {1}{2}}k_{B}T

som ekvipartitionssatsen säger.

Allmänna bevis

Allmänna slutsatser av ekvipartitionssatsen kan hittas i många läroböcker om statistisk mekanik både för den mikrokanoniska ensemblen [4] [6] och för den kanoniska ensemblen [4] [42] . Dessa metoder involverar medelvärde av systemet över ett fasutrymme , vilket är ett symplektiskt mångfald .

För att förklara dessa slutsatser måste vi introducera följande notation. Först beskrivs fasrummet i termer av generaliserade koordinater q j tillsammans med deras konjugerade momenta p j . Storheter q j beskriver helt systemets konfiguration , samtidigt beskriver kvantiteterna ( q j , p j ) tillsammans fullständigt dess tillstånd .

För det andra introduceras en oändlig volym

{\displaystyle d\Gamma =\prod _{i}dq_{i}dp_{i))

fasutrymme och använd det som volymen Γ( E , Δ E ) för den del av fasutrymmet där energin i systemet H tar ett värde i energiområdet mellan E och E+ΔE :

\Gamma (E,\Delta E)=\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}d\Gamma .

I detta uttryck är ΔE mycket liten, ΔE<<E . På liknande sätt definieras Σ( E ) som den totala volymen av fasutrymme där energin är mindre än E :

\Sigma (E)=\int _{H<E}d\Gamma .

På grund av AEs litenhet är följande integrationer ekvivalenta

\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}\ldots d\Gamma =\Delta E{\frac {\partial }{\partial E))\int _{H <E}\ldots d\Gamma ,

där prickarna representerar ett integrerbart uttryck. Det följer att Γ är proportionell mot AE

\Gamma =\Delta E\ {\frac {\partial \Sigma }{\partial E))=\Delta E\ \rho (E),

där ρ(E) är densiteten av tillstånd . Enligt de vanliga definitionerna från statistisk mekanik är entropin S lika med k B log Σ(E) , och temperaturen T definieras som

{\frac {1}{T}}={\frac {\partial S}{\partial E}}=k_{b}{\frac {\partial \log \Sigma }{\partial E}} =k_{b}{\frac {1}{\Sigma }}\,{\frac {\partial \Sigma }{\partial E)).

Canonical Ensemble

I den kanoniska ensemblen är systemet i termisk jämvikt med en oändlig termisk reservoar vid temperatur T (i kelvin). [4] [42] Sannolikheten för varje tillstånd i fasrymden ges av dess Boltzmann multiplikator multiplicerad med normaliseringsfaktorn , som väljs så att summan av sannolikheterna är lika med ett $\mathcal{N}$

{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}d\Gamma =1,

där β = 1/k B T . Integration av delar för en fas-rymdvariabel xk (som kan vara antingen qk eller pk ) mellan två gränser a och b resulterar i ekvationen

{\mathcal {N}}\int \left[e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\right]_{x_{k}=a}^{x_{k} =b}d\Gamma _{k}+{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\beta {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}d\Gamma =1,

där dΓk = dΓ/dxk , dvs den första integrationen utförs inte över xk . Den första termen är vanligtvis noll eftersom x k är noll vid gränserna, eller för att energin divergerar vid gränserna. I detta fall följer ekvipartitionssatsen omedelbart av denna ekvation

{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k))}\,d\ Gamma ={\Bigl \langle }x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k))}{\Bigr \rangle }={\frac {1}{\beta ))=k_{ B}T.

Här betyder medelvärde ett medelvärde över den kanoniska ensemblen . $\langle \ldots \rangle$

Microcanonical Ensemble

I den mikrokanoniska ensemblen är systemet isolerat från resten av världen, eller åtminstone löst kopplat. [6] Det följer att dess totala energi är en konstant. Låt, för visshetens skull, den totala energin H vara mellan E och E+ΔE . För en given energi E och osäkerhet ΔE finns det ett område i fasrymden Γ där systemet har den energin, och sannolikheterna för varje tillstånd i den regionen av fasrymden är lika, per definition av den mikrokanoniska ensemblen. Det följer av dessa definitioner att medelvärdesbildning över fasrymdsvariablerna x m (som kan vara antingen q k eller p k ) och x n ges av

{\begin{aligned}{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }&={\frac {1} {\Gamma ))\,\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}\, d\Gamma \\&={\frac {\Delta E}{\Gamma }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}\,d\Gamma \\&={\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\ int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial \left(HE\right)}{\partial x_{n))}\,d\Gamma ,\end{aligned))

där den sista likheten följer av att E inte är beroende av x n . Integrering av delar leder till relationen

{\begin{aligned}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial (HE)}{\partial x_{n))}\,d\Gamma &=\int _ {H<E}{\frac {\partial }{\partial x_{n))}{\bigl (}x_{m}(HE){\bigr )}\,d\Gamma -\int _{H< E}\delta _{mn}(HE)d\Gamma \\&=\delta _{mn}\int _{H<E}(EH)\,d\Gamma ,\end{aligned}}

eftersom den första termen till höger på första raden är lika med noll (den kan skrivas som en integral H - E över hyperrymden , där H = E ).

Genom att ersätta detta resultat i den föregående ekvationen får vi

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\frac {1}{ \rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\left(EH\right)\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac { 1}{\rho }}\,\int _{H<E}\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac {\Sigma }{\rho )).

Sedan säger lagen om ekvipartition: $\rho ={\frac {\partial \Sigma }{\partial E))$

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\Bigl (}{\ frac {1}{\Sigma }}{\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}{\Bigl (}{\frac { \partial \log \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}k_{B}T.

Således har vi fått den allmänna formuleringen av ekvipartitionssatsen

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}k_{B}T,

som har använts i applikationerna ovan.

Tillämplighet

Ergodicitetskrav

Jämviktslagen gäller endast för ergotiska system i termodynamisk jämvikt , vilket innebär att alla tillstånd av lika energi måste fyllas med lika sannolikhet. [6] Därför bör det vara möjligt att utbyta energi mellan dess olika former inom systemet, eller med en extern termisk reservoar i den kanoniska ensemblen . Antalet fysiska system för vilka ett rigoröst bevis på ergodicitet är känt är litet. Det mest kända exemplet är Jacob Sinai- systemet med hårda bollar . [57] De studerade kraven på isolerade system med garanterad ergodicitet, och därmed ekvipartition, gav förutsättningarna för modern kaosteori om dynamiska system . Ett kaotiskt Hamiltonskt system behöver inte vara ergodiskt, även om detta vanligtvis är en bra approximation. [58]

Ett system med kopplade harmoniska oscillatorer är ett vanligt motexempel, eftersom energi inte delas mellan dess olika former och ekvipartition inte håller i den mikrokanoniska ensemblen. [58] Om systemet är isolerat från resten av världen är energin i varje normalläge konstant och ingen energi överförs från ett läge till ett annat. Därför gäller inte ekvipartitionslagen för ett sådant system, eftersom mängden energi i varje normalläge bestäms av dess initiala värde. Om det finns tillräckligt starka olinjära termer i energin, kan den omfördelas mellan de normala moderna, vilket leder till att ekvipartitionslagen är uppfylld. Kolmogorov - Arnold-Mosers sats säger dock att icke-linjära störningar måste vara tillräckligt starka för att omfördela energi; annars, när de är små, kommer energin att förbli koncentrerad i åtminstone några av lägena.

Begränsningar som införs av kvantmekaniken

Likfördelningslagen överträds när den termiska energin k B T blir mycket mindre än avståndet mellan energinivåerna. Equipartitionen fungerar inte eftersom antagandet om ett kontinuerligt spektrum av energinivåer, som användes ovan för att härleda equipartitionslagen, inte längre är en bra approximation. [4] [6] Historiskt sett har omöjligheten att förklara den specifika värmen och strålningen från en svart kropp med det klassiska ekvipartitionssatsen tjänat som huvudskälet till att inse det faktum att nya teorier om materia och strålning behövs, nämligen kvantmekanik och kvantfältteori . [åtta]

För att illustrera överträdelsen av ekvipartitionssatsen, överväg medelenergin för en enkel (kvant) harmonisk oscillator, som diskuterades ovan för det klassiska fallet. Dess kvantnivåer anges som E n = nhν , där h är Plancks konstant , ν är oscillatorns grundfrekvens och n är ett positivt heltal. Sannolikheten att en given energinivå kommer att fyllas i den kanoniska ensemblen ges av dess Boltzmann-multiplikator:

P(E_{n})={\frac {e^{-n\beta h\nu }}{Z)),

där β = 1/ k B T och nämnaren Z är partitionsfunktionen , här den geometriska serien

Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta h\nu }={\frac {1}{1-e^{-\beta h\nu }} }.

Dess medelenergi anges som

\langle H\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}P(E_{n})={\frac {1}{Z))\summa _{n= 0}^{\infty }nh\nu \ e^{-n\beta h\nu }=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial \beta }}= -{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta )).

Genom att ersätta formeln för Z kommer vi fram till det önskade resultatet [6]

\langle H\rangle =h\nu {\frac {e^{-\beta h\nu }}{1-e^{-\beta h\nu }}}.

Vid höga temperaturer, när den termiska energin k B T är mycket större än avståndet hν mellan energinivåerna, visar sig den exponentiella βhν vara mycket mindre än enhet och medelenergin blir lika med k B T , i enlighet med ekvipartitionslagen (se grafen). Men vid låga temperaturer, när hν >> k B T , tenderar medelenergin till noll — de högfrekventa energinivåerna "fryser ut" (se diagram). Som ett annat exempel bidrar de exciterade elektroniska tillstånden för väteatomen inte till den specifika värmekapaciteten hos en gas vid rumstemperatur, eftersom den termiska energin k B T (ungefär 0,025 eV ) är mycket mindre än avståndet mellan grundtillståndet och den första exciterade nivån (ungefär 10 eV ).

Liknande överväganden gäller oavsett om avståndet mellan energinivåerna är större än den termiska energin. Till exempel användes denna premiss av Albert Einstein för att lösa katastrofen med ultraviolett svartkroppsstrålning. [59] Paradoxen uppstår från det faktum att det finns ett oändligt antal oberoende moder av det elektromagnetiska fältet i en sluten behållare, som var och en behandlas som en harmonisk oscillator. Om varje elektromagnetiskt läge har en medelenergi k B T , kommer behållaren att innehålla oändlig energi. [59] [60] Emellertid, av det skäl som diskuterats ovan, tenderar medelenergin i högfrekvenslägena att bli noll när frekvensen går till oändlighet; Dessutom följer Plancks svartkroppsstrålningslag , som följer av den experimentellt hittade fördelningen av energi över lägen, av samma skäl. [59]

Det finns mer subtila kvanteffekter som kan leda till korrigeringar av ekvipartitionssatsen, såsom partikelidentiteter och kontinuerliga symmetrier . Effekter på partiklar som inte kan urskiljas kan dominera vid höga koncentrationer och låga temperaturer. Till exempel kan valenselektroner i en metall ha en genomsnittlig kinetisk energi på flera elektronvolt , vilket motsvarar en temperatur på tiotusentals grader. Dessa elektroner, i ett tillstånd där deras densitet är så hög att Pauli-uteslutningsprincipen gör det klassiska tillvägagångssättet otillämpligt, bildar en degenererad Fermi-gas . Sådana gaser är viktiga i strukturen hos vita dvärgar och neutronstjärnor . Vid låga temperaturer bildas en fermionisk analog av Bose-Einstein-kondensatet (där många identiska partiklar upptar markenergitillståndet); sådana superfluidelektroner är ansvariga för supraledning .

Se även

Anteckningar

↑ Här, som du kan se, används termen frihetsgrad i den "termodynamiska" betydelsen, som skiljer sig något från den vanliga inom fysiken, nämligen (i den version som ges i denna artikel): koordinat (ansvarig för potentiell energi) ) och hastighet (ansvarig för kinetik), medan vanligtvis koordinaten och motsvarande hastighet tillskrivs samma frihetsgrad. Det är lätt att se att i detta sammanhang är en sådan förändring av termens betydelse motiverad av enkelheten i formuleringen av satsen. Observera att koordinaterna, på vilka den potentiella energin inte beror (åtminstone i den första approximationen) kvadratiskt (och dessa är koordinaterna som motsvarar molekylens translations- och rotationsrörelse), ger ett försumbart bidrag till den potentiella energin, även om det vanliga bidraget är ½ k B T till den kinetiska energin. Det utmärkande kännetecknet för vibrationsgrader av frihet, vars potentiella energi är kvadratisk (åtminstone ungefär), är att i oscillerande system nära harmonicitet är den potentiella energin lika med den kinetiska energin för fria vibrationer.
↑ 1 2 Kundt, A. ; Warburg E. Über die specifische Wärme des Quecksilbergases (Om kvicksilvergasernas specifika värme) (engelska) // Annalen der Physik : journal. - 1876. - Vol. 157 . - s. 353-369 . Arkiverad från originalet den 13 april 2013. (Tysk)
↑ Faktablad om urananrikning Arkiverad 25 februari 2021 på Wayback Machine US Nuclear Regulatory Commission. Åtkom den 30 april 2007
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pathria, RK Statistical Mechanics. — Pergamon Press, 1972. - S. 43-48, 73-74. — ISBN 0-08-016747-0 .
↑ 1 2 3 Goldstein, H. Klassisk mekanik. — 2:a. ed. - Addison-Wesley , 1980. - ISBN 0-201-02918-9 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Huang, K. Statistical Mechanics. - 2nd ed .. - John Wiley and Sons , 1987. - S. 136-138.
↑ 12 Mandl , F. Statistisk fysik . - John Wiley and Sons , 1971. - S. 213-219 .
↑ 1 2 3 4 Pais, A. Subtil är Herren . - Oxford University Press , 1982. - ISBN 0-19-853907-X .
↑ 1 2 Tolman, RC En allmän teori om energifördelning med tillämpningar på kvantteori // Fysisk granskning : tidskrift . - 1918. - Vol. 11 . - S. 261-275 .
↑ Miedl M., Garcia M., Bamforth C. Haze formation in model beer systems // J. Agric . livsmedelskem. : journal. - 2005. - Vol. 53 , nr. 26 . - P. 10161-10165 . - doi : 10.1021/jf0506941 . — PMID 16366710 .
↑ Mason, M; Weaver W. Sedimentering av små partiklar i en vätska // Physical Review : journal . - 1924. - Vol. 23 . - s. 412-426 . - doi : 10.1103/PhysRev.23.412 .
↑ Brush, SG The Type of Motion We Call Heat, Volym 1 . - Amsterdam: North Holland, 1976. - S. 134-159. — ISBN 978-0444870094 .
↑ Brush, SG The Type of Motion We Call Heat, Volym 2 . - Amsterdam: North Holland, 1976. - S. 336-339. — ISBN 978-0444870094 .
↑ Waterston, JJ . Om fysiken hos medier som är sammansatta av fria och elastiska molekyler i rörelsetillstånd (engelska) // Roy. soc. Proc. : journal. — 1846/1893. — Vol. 5 . — S. 604 . (abstrakt). Inte fullständigt publicerad förrän {{{title}}} // Philos. Trans. R. Soc. London. - 1893. - T. A183 . - S. 1-79 . Återpublicerad De samlade vetenskapliga artiklarna av John James Waterston / JS Haldane. — Edinburgh: Oliver & Boyd, 1928.
↑ Waterston, JJ Tankar om de mentala funktionerna. - 1843. (Återtryckt i hans Papers , 3 , 167, 183.)
↑ Waterston, JJ {{{title}}} // British Association Reports. - 1851. - T. 21 . - S. 6 . Waterstons huvudsakliga papper skrevs och lämnades in 1845 till Royal Society . Efter att ha vägrat att trycka verket vägrade sällskapet också att lämna tillbaka manuskriptet och förvarade det bland andra artiklar i arkivet. Manuskriptet hittades 1891 av Lord Rayleigh , som kritiserade referenten för att inte inse betydelsen av Waterstons arbete. Waterston lyckades publicera sina idéer 1851, och så var han före Maxwell när han presenterade den första versionen av ekvipartitionssatsen.
↑ Maxwell, JC Illustrationer av den dynamiska teorin om gaser // The Scientific Papers of James Clerk Maxwell / WD Niven. - New York: Dover, 2003. - P. Vol. 1, s. 377-409. — ISBN 978-0486495606 . Läst av prof. Maxwell vid ett möte för British Association i Aberdeen den 21 september 1859 .
↑ Boltzmann, L. Einige allgemeine Sätze über Wärmegleichgewicht (Några allmänna uttalanden om termisk jämvikt) (tyska) // Wiener Berichte : magazin. - 1871. - Bd. 63 . - S. 679-711 . (Tyska) I detta förarbete visade Boltzmann att den genomsnittliga totala kinetiska energin är lika med den genomsnittliga totala potentiella energin när yttre harmoniska krafter verkar på systemet.
↑ Boltzmann, L. Über die Natur der Gasmoleküle (Om gasmolekylernas natur) // Wiener Berichte. - 1876. - T. 74 . - S. 553-560 . (Tysk)
↑ 1 2 McQuarrie, D. A. Statistical Mechanics . - reviderad 2:a uppl. - University Science Books, 2000. - s . 91-128 .
↑ Petit, A. T. ; Dulong PL Recherches sur quelques points importants de la théorie de la chaleur (Studier om nyckelpunkter i värmeteorin) (franska) // Annales de Chimie et de Physique :tidskrift. - 1819. - Vol. 10 . - s. 395-413 . Arkiverad från originalet den 22 januari 2009. (fr.)
↑ Dewar, J. Den specifika värmen av kol vid höga temperaturer // Philosophical Magazine : journal . - 1872. - Vol. 44 . - S. 461 .
↑ Weber, H.F. Die specifische Wärme des Kohlenstoffs (Kolets specifika värme) (engelska) // Annalen der Physik : journal. - 1872. - Vol. 147 . - s. 311-319 . Arkiverad från originalet den 10 december 2006. (Tysk)
↑ Weber, HF Die specifische Wärmen der Elemente Kohlenstoff, Bor und Silicium (The specific heats of elemental carbon, boron and silicon ) // Annalen der Physik : journal. - 1875. - Vol. 154 . - P. 367-423, 553-582 . (inte tillgänglig länk) (tyska)
↑ de la Rive, A.; Marcet F. Quelques recherches sur la chaleur spécifique (Vissa forskning om specifik värme) (franska) // Annales de Chimie et de Physique :tidskrift. - 1840. - Vol. 75 . - S. 113-144 . Arkiverad från originalet den 27 april 2021. (fr.)
↑ Regnault, HV Recherches sur la chaleur spécifique des corps simples et des corps composés (deuxième Mémoire) (Studier av de specifika heaten hos enkla och sammansatta kroppar) (franska) // Annales de Chimie et de Physique :tidskrift. - 1841. - Vol. 1 (3me-serien) . - S. 129-207 . Arkiverad från originalet den 13 april 2013. (franska) Läst på l'Académie des Sciences den 11 januari 1841 .
↑ Wigand, A. Über Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärme fester Elemente (Om temperaturberoendet hos fasta ämnens specifika värme ) // Annalen der Physik : journal. - 1907. - Vol. 22 . - S. 99-106 . (Tysk)
↑ 1 2 Wüller, A. Lehrbuch der Experimentalphysik (Lärobok i experimentell fysik ) . - Leipzig: Teubner, 1896. - P. Vol. 2, 507ff. (Tysk)
↑ 1 2 Eucken, A. Die Molekularwärme des Wasserstoffs bei tiefen Temperaturen (The molecular specific heat of hydrogen at low temperatures ) // Sitzungsberichte der königlichen Preussischen Akademie der Wissenschaften : journal. - 1912. - Vol. 1912 . - S. 141-151 . (Tysk)
↑ 1 2 Maxwell, JC om de dynamiska bevisen för den molekylära konstitutionen av kroppar // The Scientific Papers of James Clerk Maxwell / WD Niven. - Cambridge: At the University Press, 1890. - P. Vol. 2, s. 418-438. Föreläsning hållen av professor Maxwell till Chemical Society den 18 februari 1875 .
↑ 1 2 Kittel, C. Introduktion till fasta tillståndets fysik. - New York: John Wiley and Sons , 1996. - S. 151-156.
↑ Boltzmann, L. Om vissa frågor om teorin om gaser // Nature . - 1895. - Vol. 51 . - S. 413-415 .
↑ Thomson, W. Baltimore föreläsningar. — Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1904. - S. Sec. 27. Omtryckt 1987 av MIT Press som Kelvins Baltimore Lectures and Modern Theoretical Physics: Historical and Philosophical Perspectives (Robert Kargon och Peter Achinstein, redaktörer). ISBN 978-0-262-11117-1
↑ Rayleigh, JWS Lagen om fördelning av kinetisk energi // Filosofisk tidskrift : tidskrift . - 1900. - Vol. 49 . - S. 98-118 .
↑ Einstein, A. Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme (Planckteorin om strålning och teorin om specifik värme) // Annalen der Physik . - 1907. - T. 22 . - S. 180-190 . (Tysk)
↑ Einstein, A. Berichtigung zu meiner Arbeit: 'Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme' (Rättelse till föregående artikel) (tyska) // Annalen der Physik : magazin. - 1907. - Bd. 22 . — S. 800 . (Tysk)
↑ Einstein, A. Eine Beziehung zwischen dem elastischen Verhalten and der spezifischen Wärme bei festen Körpern mit einatomigem Molekül (En koppling mellan det elastiska beteendet och den specifika värmen hos fasta ämnen med enatomsmolekyler) // Annalen der Physik . - 1911. - T. 34 . - S. 170-174 . Arkiverad 20 maj 2020. (Tysk)
↑ Einstein, A. Bemerkung zu meiner Arbeit: 'Eine Beziehung zwischen dem elastischen Verhalten and der spezifischen Wärme bei festen Körpern mit einatomigem Molekül' (Kommentar till föregående artikel) (tyska) // Annalen der Physik : magazin. - 1911. - Bd. 34 . - S. 590 . Arkiverad 20 maj 2020. (Tysk)
↑ Einstein, A. Elementare Betrachtungen über die thermische Molekularbewegung in festen Körpern (Elementära observationer om termiska rörelser av molekyler i fasta ämnen) // Annalen der Physik . - 1911. - T. 35 . - S. 679-694 . Arkiverad från originalet den 27 april 2021. (Tysk)
↑ Nernst, W. Untersuchungen über die spezifische Wärme bei tiefen Temperaturen. II. (Undersökningar av den specifika värmen vid låga temperaturer) // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften: journal. - 1910. - Vol. 1910 . - s. 262-282 . (Tysk)
↑ Hermann, Armin. The Genesis of Quantum Theory (1899–1913) (engelska) . — originaltitel: Frühgeschichte der Quantentheorie (1899–1913) , översatt av Claude W. Nash. - Cambridge, MA: The MIT Press , 1971. - P. 124-145 . - ISBN 0-262-08047-8 , .
↑ 1 2 3 Tolman, R. C. The Principles of Statistical Mechanics. - New York: Dover Publications , 1938. - s. 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .
↑ Clausius, R. Ueber einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz (tyska) // Annalen der Physik : magazin. - 1870. - Bd. 141 . - S. 124-130 . Arkiverad från originalet den 8 mars 2021. (Tyska)
Clausius, RJE On a Mechanical Theorem Applicable to Heat // Philosophical Magazine, Ser. 4. - 1870. - T. 40 . - S. 122-127 .
↑ 1 2 L. Vu-Quoc, Konfigurationsintegral (statistisk mekanik) Arkiverad 11 oktober 2008. , 2008.
↑ McQuarrie, D. A. Statistisk mekanik . - reviderad 2:a uppl. - University Science Books, 2000. - s . 254-264 . — ISBN 978-1891389153 .
↑ 1 2 Tolman, R. C. Statistical Mechanics, with Applications to Physics and Chemistry . - Chemical Catalog Company, 1927. - P. 76-77.
↑ Terletskii, YP Statistisk fysik. — översatt: N. Fröman. - Amsterdam: Nord-Holland, 1971. - S. 83-84. - ISBN 0-7204-0221-2 , .
↑ Collins, GW The Virial Theorem in Stellar Astrophysics . — Pachart Press, 1978. Arkiverad 4 december 2010 på Wayback Machine
↑ Chandrasekhar, S. En introduktion till studiet av stjärnstrukturen . - Chicago: University of Chicago Press , 1939. - S. 49-53.
↑ Kourganoff, V. Introduktion till avancerad astrofysik. — Dordrecht, Holland: D. Reidel, 1980. - S. 59-60, 134-140, 181-184.
↑ Chiu, H.-Y. Stellar Physics, volym I. - Waltham, MA: Blaisdell Publishing, 1968.
↑ Noyes, R.W. The Sun, Our Star . - Cambridge, MA: Harvard University Press , 1982. - ISBN 0-674-85435-7 .
↑ Ostlie, D.A.; Carroll BW En introduktion till modern stjärnastrofysik . - Reading, MA: Addison-Wesley , 1996. - ISBN 0-201-59880-9 .
↑ Jeans, JH Stabiliteten av en sfärisk nebulosa // Phil . Trans. A : journal. - 1902. - Vol. 199 . - S. 1-53 . doi : 10.1098 / rsta.1902.0012 .
↑ 1 2 McQuarrie, D. A. Statistical Mechanics . - reviderad 2:a uppl. - University Science Books, 2000. - s . 121-128 . — ISBN 978-1891389153 .
↑ Callen, HB Termodynamik och en introduktion till termostatistik . - New York: John Wiley and Sons , 1985. - P. 375-377 . — ISBN 0-471-86256-8 .
↑ Arnold, VI ; Avez A. Théorie ergodique des systèms dynamiques. — Gauthier-Villars, Paris. (franska) (engelsk upplaga: Benjamin-Cummings, Reading, Mass. 1968), 1967.
↑ 1 2 Reichl, LE En modern kurs i statistisk fysik. - 2nd ed .. - Wiley Interscience , 1998. - S. 326-333. — ISBN 978-0471595205 .
↑ 1 2 3 Einstein, A. Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (A Heuristic Model of the Creation and Transformation of Light) (tyska) // Annalen der Physik : magazin. - 1905. - Bd. 17 . - S. 132-148 . - doi : 10.1002/andp.19053220607 . (inte tillgänglig länk) (tyska) . En engelsk översättning finns tillgänglig från Wikisource .
↑ Rayleigh, JWS Anmärkningar om lagen om fullständig strålning // Filosofisk tidskrift : tidskrift . - 1900. - Vol. 49 . - S. 539-540 .

Litteratur

K Huang . Statistisk mekanik. — 2:a uppl. - John Wiley and Sons , 1987. - S. 136-138. — ISBN 0-471-81518-7 .
AI Khinchin . Matematiska grunder för statistisk mekanik / Per. G. Gamow . - New York: Dover Publications , 1949. - S. 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .
L.D. Landau , E.M. Lifshitz . Statistisk fysik, del 1. - 3:e uppl. - Pergamon Press , 1980. - S. 129-132. — ISBN 0-08-023039-3 .
F. Mandl. Statistisk fysik . - John Wiley and Sons , 1971. - S. 213-219 . - ISBN 0-471-56658-6 .
F. Mohling. Statistisk mekanik: Metoder och tillämpningar. - John Wiley and Sons , 1982. - P. 137-139, 270-273, 280, 285-292. — ISBN 0-470-27340-2 .
RK Patria. Statistisk mekanik. - Pergamon Press , 1972. - P. 43-48, 73-74. — ISBN 0-08-016747-0 .
W. Pauli . Pauli föreläsningar om fysik: Volym 4. Statistisk mekanik. - MIT Press , 1973. - S. 27-40. — ISBN 0-262-16049-8 .
R.C. Tolman . Statistisk mekanik, med tillämpningar inom fysik och kemi. - Chemical Catalog Company , 1927. - P. 72-81.
R.C. Tolman . Principerna för statistisk mekanik. - New York: Dover Publications , 1938. - S. 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .

Länkar

Applet arkiverad 6 augusti 2020 på Wayback Machine som visar realtidsutjämningslagen för en blandning av monoatomiska och diatomiska gaser
Ekvipartitionssatsen i stjärnfysik , skriven av Nir J. Shaviv, en docent vid Racah Institute of Physics vid Hebrew University of Jerusalem .