Arkimedeisk spiral

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 april 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

En arkimedisk spiral  är en spiral , en plan kurva , en bana för punkten M (se fig. 1), som rör sig likformigt längs strålen OV med början vid O , medan själva strålen OV roterar jämnt runt O. Med andra ord är avståndet ρ = OM proportionellt mot rotationsvinkeln φ för strålen OV . Rotationen av strålen OV med samma vinkel motsvarar samma inkrement ρ.

Egenskaperna hos denna spiral beskrivs av den antika grekiske vetenskapsmannen Archimedes i hans essä " On Spirals ".

Beskrivning

Ekvationen för den arkimedeiska spiralen i det polära koordinatsystemet är skriven som följer:

(ett)  

där k  är förskjutningen av punkten M längs strålen r när den roteras genom en vinkel lika med en radian.

Rotationen av den räta linjen på motsvarar förskjutningen a = | bm | = | MA | = . Siffran a  kallas " helixens stigning ". Ekvationen för den arkimedeiska spiralen kan skrivas om enligt följande:

När strålen roterar moturs erhålls en högervänd helix (blå linje) (se fig. 2), vid rotation medurs erhålls en vänsterhänt spiral (grön linje).

Båda grenarna av spiralen (höger och vänster) beskrivs av en ekvation (1). Positiva värden motsvarar den högra helixen, negativa värden mot den vänstra helixen. Om punkten M rör sig längs linjen UV från negativa värden genom rotationscentrum O och vidare till positiva värden, längs linjen UV, kommer punkten M att beskriva båda grenarna av spiralen.

Strålen OV, ritad från startpunkten O, korsar spiralen ett oändligt antal gånger - punkterna B, M, A och så vidare. Avstånden mellan punkterna B och M, M och A är lika med helixens stigning . När spiralen lindas av tenderar avståndet från punkt O till punkt M till oändligheten, medan spiralens stigning förblir konstant (ändlig), det vill säga ju längre från centrum, desto närmare varven på spiralen i form närmar sig en cirkel .

Sektorområde

OCM-sektorområde :

,

var , , .

För , , , ger formel (2) arean av figuren avgränsad av det första varvet av spiralen och segmentet CO:

,

var  är arean av en cirkel vars radie är lika med spiralens stigning - .

Alla dessa egenskaper och ekvationer upptäcktes av Arkimedes .

Beräkna båglängden för en arkimedeisk spiral

Ett oändligt litet segment av bågen är (se fig. 3):

,

var  är ökningen av radien , när vinkeln ökas med . För en oändligt liten ökning av vinkeln är det sant:

.

Det är därför:

samt _

eller

.

Längden på bågen är lika med integralen från till inom intervallet från till :

. [ett]

Tredimensionell generalisering

En tredimensionell generalisering av den arkimedeiska spiralen kan betraktas som projektionen av en konisk spiral på ett plan vinkelrätt mot konens axel.

Anteckningar

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Archimedes ' spiral  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Länkar