Deltoid

Deltoid (eller Steinerkurva ) är en plan algebraisk kurva som beskrivs av en fast punkt i en cirkel som rullar längs insidan av en annan cirkel, vars radie är tre gånger radien av den första.

Deltoiden är ett specialfall av hypocykloiden vid .

Historik

Vanliga cykloider studerades av Galileo Galilei och Marin Mersenne så tidigt som 1599, men speciella cykloidkurvor övervägdes först av Ole Rømer 1674 när han studerade den bästa formen av kugghjul. Leonhard Euler nämner först 1745 en riktig deltoid i samband med ett problem inom optiken.

Kurvan har fått sitt namn för sin likhet med den grekiska bokstaven Δ . Dess egenskaper studerades först av L. Euler på 1700-talet och sedan av J. Steiner på 1800-talet .

Ekvationer

• Deltoiden kan representeras (upp till rotation och parallell translation) av följande parametriska ekvation :

där a är radien för den rullande cirkeln, b är radien för den större cirkeln längs vilken den tidigare nämnda cirkeln rullar. (I figuren ovan är b = 3a .)

• I komplexa koordinater tar det formen

• Implicit ekvation i ett rektangulärt system:

• Parametrisk:

• I polära koordinater tar det formen

Egenskaper

• Kurvan har tre singulariteter ( cusp ) som motsvarar den parametriska ekvationen ovan.
• Deltoidens 3 hörn är de 3 hörnen i en liksidig triangel .
• Deltoideus är en rationell kurva av släktet noll .
• Längden på skärningspunkten för området som begränsas av deltoiden med någon av dess tangenter är fast och lika med , där  är radien för den fasta cirkeln.
• Deltoid är en algebraisk kurva av ordning 4.
• Längden på kurvan , där  är radien för den fasta cirkeln.
• Området som begränsas av deltoiden, .
• Deltoider som tangerar två grenar (i figuren är alla tre grenarna svarta), ritade vid två punkter på ändarna av segmentet av tangenten till dess tredje gren (kallas två sammankopplade punkter, de är blå i figuren), skär alltid varandra i rät vinkel (visas inte i figuren) . Spetsen för denna räta vinkel ligger alltid på cirkeln av en liten cirkel (i samma figur är en liten cirkel röd och beskrivs av en röd prick i mitten av det blå segmentet), vidrör de tre angivna grenarna [1] .

Applikationer

Deltoider uppstår inom flera områden av matematiken. Till exempel:

• Uppsättningen av komplexa egenvärden av tredje ordningens unistochastiska matriser bildar en deltoid .
• Tvärsnittet av uppsättningen unistochastiska (unstokastiska) matriser av tredje ordningen bildar en deltoid.
• Uppsättningen av möjliga spår av enhetliga matriser som tillhör gruppen SU(3) bildar en deltoideus.
• Skärningen av två deltoider parametriserar en familj av komplexa Hadamard-matriser (komplex Hadamard-matris) av sjätte ordningen.
• Alla Simsons linjer i den givna triangeln bildar kuvert i form av en deltoid. Det är känt som Steiners deltoid eller Steiners hypocykloid efter Jakob Steiner , som beskrev kurvans form och symmetri 1856 [2] .
• Höljet för familjen av linjer som delar triangelns yta är en deltoidliknande kurva med hörn i mitten av de tre medianerna . Bågarna för denna "deltoid" är bågarna av en hyperbel som har asymptoter som passerar genom triangelns sidor [3] [4] .
• Deltoideus har föreslagits som en lösning på nålproblemet .

Se även

• Astroiden  är en hypocykloid vid .
• Hypocykloid
• Deltoid 
• Nålproblem
• Simsons raka linje
• Cykloid

Anteckningar

1. ↑ Savelov, 1960 , sid. 127.
2. ↑ Lockwood, 1961 .
3. ↑ Dunn, JA och Pretty, JA, "Halving a triangle", Mathematical Gazette 56, maj 1972, 105-108.
4. ↑ Områdeshalveringslinjer för en triangel . Hämtad 29 oktober 2019. Arkiverad från originalet 21 november 2017. (obestämd)

Litteratur

• Savelov  A.A. _ Platta kurvor: Systematik, egenskaper, tillämpningar. Referensguide / Ed. A.P. Norden . - M .: Fizmatlit , 1960. - S. 124-129.
• V. Berezin. Deltoid  // Kvant . - 1977. - Nr 3 . - S. 19 . (ryska)
• EH Lockwood. Kapitel 8: Deltoiden // A Book of Curves  (engelska) . — Cambridge University Press , 1961.