Partiell differentialekvation

En partiell differentialekvation (speciella fall är också kända som ekvationer av matematisk fysik , UMF ) är en differentialekvation som innehåller okända funktioner av flera variabler och deras partiella derivator .

Introduktion

Tänk på en relativt enkel partiell differentialekvation:

{\frac {\partial }{\partial y}}u(x,y)=0\,.

Av denna relation följer att värdet av funktionen inte beror på . Vi kan sätta det lika med en godtycklig funktion av . Därför är den allmänna lösningen till ekvationen följande: $u(x,y)$ $y$ $x$

u(x,y)=f(x),

där är en godtycklig funktion av variabeln . En liknande vanlig differentialekvation har formen: $f(x)$ $x$

{\frac {dv(x)}{dx}}=0

och hans lösning

v(x)=c,

där c är en godtycklig konstant (oberoende av ). Dessa två exempel visar att den allmänna lösningen till en vanlig differentialekvation innehåller godtyckliga konstanter, men den allmänna lösningen till en partiell differentialekvation innehåller godtyckliga funktioner. Lösningen av en partiell differentialekvation är generellt sett inte unik. I det allmänna fallet anges ytterligare villkor på gränsen för den aktuella regionen. Till exempel är lösningen av ovanstående ekvation (funktion ) unikt definierad om den är definierad på linjen . $x$ $f(x)$ $u$ $y=0$

Historik

Historiker upptäckte den första partiella differentialekvationen i Eulers artiklar om teorin om ytor som går tillbaka till 1734-1735 (publicerad 1740). I modern notation såg det ut så här:

{\frac {\partial z}{\partial x}}=f(x,y)

Med början 1743 anslöt sig d'Alembert till Eulers arbete och upptäckte en allmän lösning på vågekvationen för vibrationerna i en sträng. Under de följande åren publicerade Euler och d'Alembert ett antal metoder och tekniker för att undersöka och lösa vissa partiella differentialekvationer. Dessa verk har ännu inte skapat någon fullständig teori.

Det andra steget i utvecklingen av detta tema kan dateras till 1770-1830. De djupgående studierna av Lagrange , Cauchy och Jacobi hör till denna period . De första systematiska studierna av partiella differentialekvationer började utföras av Fourier . Han tillämpade en ny metod för lösningen av strängekvationen - metoden för separation av variabler , som senare fick hans namn.

Ett nytt allmänt förhållningssätt till ämnet, baserat på teorin om kontinuerliga omvandlingsgrupper , föreslogs på 1870-talet av Sophus Lie .

I slutet av 1800-talet generaliserades konceptet med en partiell differentialekvation till fallet med en oändlig uppsättning okända variabler ( partiell funktionell differentialekvation ).

Problem med att bevisa existensen och hitta lösningar på system av icke-linjära partiella differentialekvationer löses med hjälp av teorin om släta grenrör , differentialgeometri , kommutativ och homologisk algebra [1] . Dessa metoder används inom fysiken i studiet av lagrangisk och hamiltonsk formalism, studiet av högre symmetrier och bevarandelagar [1] .

Klassificering

Dimension

Lika med antalet oberoende variabler . Måste vara minst 2 (vid 1 erhålls en vanlig differentialekvation ).

Linjäritet

Det finns linjära och icke-linjära ekvationer. En linjär ekvation kan representeras som en linjär kombination av derivator av okända funktioner. Koefficienterna i detta fall kan vara antingen konstanta eller kända funktioner.

Linjära ekvationer har undersökts väl och miljontals priser har delats ut för att lösa vissa typer av icke-linjära ekvationer ( millennieproblem ).

Homogenitet

En ekvation är icke-homogen om det finns en term som inte är beroende av okända funktioner.

Beställ

Ordningen på ekvationen bestäms av den maximala ordningen för derivatan. Ordningar i alla variabler har betydelse.

Klassificering av andra ordningens linjära ekvationer

Andra ordningens linjära ekvationer i partiella derivator är indelade i paraboliska , elliptiska och hyperboliska .

Två oberoende variabler

En andra ordningens linjär ekvation som innehåller två oberoende variabler har formen:

A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y))+C{\ frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+...=0,

där är koefficienterna beroende på variablerna och , och ellipsen betyder termerna beroende på och första ordningens partiella derivator: och . Denna ekvation liknar den koniska sektionsekvationen : $A,\;B,\;C$ $x$ $y$ $x,\;y,\;u$ ${\partial u}/{\partial x}$ ${\partial u}/{\partial y}$

Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.

Precis som koniska sektioner är indelade i ellipser , paraboler och hyperboler , beroende på tecknet på diskriminanten , klassificeras andra ordningens ekvationer vid en given punkt: $D=B^{2}-AC$

$D=B^{2}-AC\,>0$ - Hyperbolisk ekvation ,
$D=B^{2}-AC\,<0$ — Elliptisk ekvation ,
$D=B^{2}-AC\,=0$ — Parabolisk ekvation (här antas att koefficienterna vid en given punkt inte försvinner samtidigt). $A,\;B,\;C$

I det fall då alla koefficienter är konstanter har ekvationen samma typ på alla punkter i variabelplanet och . Om koefficienterna kontinuerligt beror på och , bildar uppsättningen punkter där den givna ekvationen är av hyperbolisk (elliptisk) typ ett öppet område på planet, kallat hyperboliskt (elliptisk), och uppsättningen punkter där ekvationen är av parabolisk typ är stängd. En ekvation kallas blandad ( av blandad typ ) om den är hyperbolisk vid vissa punkter i planet och elliptisk vid vissa punkter. I det här fallet tenderar parabolpunkterna att bilda en linje som kallas för typändringslinje eller degenerationslinje . $A,\;B,\;C$ $x$ $y$ $A,\;B,\;C$ $x$ $y$

Fler än två oberoende variabler

I det allmänna fallet, när andra ordningens ekvation beror på många oberoende variabler:

\sum _{{i=1}}^{{n}}\summa _{{j=1}}^{{n}}a_{{ij}}(x_{1},\cdots ,x_{n }){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j))}+F\left(x_{1},\cdots ,x_{n},u,{ \frac {\partial u}{\partial x_{1))},\cdots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n))}\right)=0,

den kan klassificeras [2] vid en given punkt i analogi med motsvarande kvadratiska form : $M_{0}(x_{1}^{0},\cdots,x_{n}^{0})$

\sum _{{i=1}}^{{n}}\summa _{{j=1}}^{{n}}a_{{ij}}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})t_{i}t_{j}.

Icke-degenererad linjär transformation

s_{i}=\summa _{{j=1}}^{{n}}A_{{ij}}t_{j},i=1,2\cdots n,\det \left\|A_{{ ij}}\right\|\neq 0

den kvadratiska formen kan alltid reduceras till den kanoniska formen:

\sum _{{i=1}}^{{n}}\lambda _{i}s_{i}^{2}.

Dessutom, enligt tröghetssatsen, är antalet positiva, negativa och nollkoefficienter i den kanoniska formen av en kvadratisk form en invariant och beror inte på en linjär transformation. Baserat på detta görs klassificeringen (vid punkten ) av ekvationen i fråga: $\lambda_i$ $M_{0}$

Om vid en punkt den kvadratiska formen i kanonisk form har alla koefficienter av samma tecken, då kallas ekvationen vid denna punkt en ekvation av elliptisk typ . $M_{0}$
Om den andragradsformen i den kanoniska formen har koefficienter för olika tecken, men de är alla olika från , då kallas ekvationen vid denna tidpunkt en ekvation av hyperbolisk typ . $M_{0}$ $0$
Om en kvadratisk form i kanonisk form har minst en koefficient som är lika med en punkt, då kallas ekvationen vid denna punkt parabolisk ekvation . $M_{0}$ $0$

När det gäller många oberoende variabler kan en mer detaljerad klassificering utföras (behovet av detta uppstår inte när det gäller två oberoende variabler):

Den hyperboliska typen kan ytterligare klassificeras i:
1. Normal hyperbolisk typ om en koefficient har ett tecken och resten ett annat.
2. Ultrahyperbolisk typ , om koefficienterna för både ett tecken och det andra är fler än en.
Den paraboliska typen kan ytterligare klassificeras i:
1. Elliptisk-parabolisk typ , om bara en koefficient är noll och resten har samma tecken.
2. Hyperbolisk-parabolisk typ , om bara en koefficient är noll och resten har olika tecken. På samma sätt som den hyperboliska typen kan den delas in i:
  1. Normal hyperbolisk-parabolisk typ
  2. Ultrahyperbolisk-parabolisk typ
3. Ultraparabolisk typ om mer än en koefficient är noll. Här är ytterligare klassificering också möjlig beroende på tecknen på koefficienter som inte är noll.

Existens och unikhet hos en lösning

Även om svaret på frågan om existensen och unikheten av en lösning på en vanlig differentialekvation har ett helt uttömmande svar ( Picard-Lindelöf-satsen ), finns det inget entydigt svar på denna fråga för en partiell differentialekvation. Det finns en allmän sats ( Cauchy-Kovalevskaya theorem ), som säger att Cauchy-problemet för varje partiell differentialekvation som är analytisk med avseende på okända funktioner och deras derivator har en unik analytisk lösning [3] . Det finns dock exempel på linjära partiella differentialekvationer vars koefficienter har derivator av alla ordningar och inte har någon lösning ( Levy [ 1957 ). Även om lösningen finns och är unik kan den ha oönskade egenskaper.

Betrakta sekvensen av Cauchy-problem (beroende på ) för Laplace-ekvationen : $n$

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0 ,

med initiala villkor :

u(x,0)=0,

{\frac {\partial u}{\partial y))(x,0)={\frac {\sin nx}{n)),

var är ett heltal. Funktionens derivata med avseende på variabeln tenderar likformigt att med ökande , men lösningen till ekvationen är $n$ $u$ $y$ $0$ $x$ $n$

u(x,y)={\frac {(\mathrm {sh} \,ny)(\sin nx)}{n^{2))}.

Lösningen tenderar att vara oändlig om inte en multipel av ett värde som inte är noll . Cauchy-problemet för Laplace-ekvationen kallas illa ställt eller inkorrekt , eftersom det inte finns något kontinuerligt beroende av lösningen på initialdata. $nx$ $\pi$ $y$

För system av icke-linjära partiella differentialekvationer utförs bevis på existensen av lösningar och sökandet efter grenrör av alla lösningar med hjälp av teorin om släta grenrör , differentialgeometri , kommutativ och homologisk algebra [1] . Dessa metoder används inom fysiken i studiet av lagrangisk och hamiltonsk formalism, studiet av högre symmetrier och bevarandelagar [1] .

Exempel

Endimensionell värmeekvation

Ekvationen som beskriver utbredningen av värme i en homogen stav är av parabolisk typ och har formen

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))=\alpha ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))))

var är temperaturen, och är en positiv konstant som beskriver hastigheten för värmeutbredning. Cauchy-problemet ställs på följande sätt: $u(t,x)$ $\alfa$

$u(0,x)\,=f(x)$ ,

var är en godtycklig funktion. $f(x)$

Strängvibrationsekvation

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

Ekvationen är av hyperbolisk typ. Här är förskjutningen av strängen från jämviktspositionen, eller överskott av lufttryck i röret, eller storleken på det elektromagnetiska fältet i röret, och är hastigheten för vågutbredning. För att formulera Cauchy-problemet i det inledande ögonblicket bör man specificera strängens förskjutning och hastighet vid det inledande ögonblicket: $u(t,x)$ $c$

u(0,x)=f(x),

{\dfrac {\partial u}{\partial t))(0,x)=g(x),

Tvådimensionell Laplace-ekvation

Laplace-ekvationen för en okänd funktion av två variabler har formen:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0$

Elliptisk typekvation. Dess lösningar kallas harmoniska funktioner .

Relation med analytiska funktioner

De reella och imaginära delarna av en holomorf funktion av en komplex variabel är konjugerade harmoniska funktioner: de uppfyller båda Laplace-ekvationen och deras gradienter är ortogonala. Om , så anger Cauchy-Riemann-villkoren följande: $f$ $z=x+iy$ $f=u+iv$

{\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y)),\quad {\frac {\partial v}{\partial x))= -{\frac {\partial u}{\partial y)),

Om vi adderar och subtraherar ekvationerna från varandra får vi:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0 ,\quad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2))}=0 .

Det kan också visas att vilken övertonsfunktion som helst är den verkliga delen av någon analytisk funktion.

Gränsproblem

Gränsproblem ställs in enligt följande: hitta en funktion som uppfyller Laplace-ekvationen vid alla interna punkter i regionen , och på gränsen för regionen - ett visst villkor. Beroende på typen av tillstånd urskiljs följande problem med gränsvärden: $u$ $S$ $\partiell S$

$u|_{{\partial S}}=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S$ - Dirichlet problem
${\frac {\partial u}{\partial n)){\big |}_({\partial S))=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S$ — Neumann-problemet

Lösa ekvationerna för matematisk fysik

Det finns två typer av metoder för att lösa denna typ av ekvationer:

analytisk, där resultatet härleds genom olika matematiska transformationer;
numerisk, där det erhållna resultatet motsvarar det verkliga med en given noggrannhet, men som kräver en hel del rutinmässiga beräkningar och därför endast kan utföras med hjälp av datorteknik (dator).

Analytisk lösning

Analytiska lösningar på matematisk fysiks ekvationer kan erhållas på olika sätt. Till exempel:

Använder Greens funktion ;
Använder Fourier-variabelseparationsmetoden;
Med hjälp av potentiell teori ;
Använder Kirchhoff-formeln .

Dessa metoder har utvecklats för olika typer av ekvationer och tillåter i vissa enkla fall att få en lösning i form av någon formel eller en konvergent serie, till exempel för strängvibrationsekvationen :

\Delta u=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))}

u(x,t){\big |}_{{x=0}}=u(x,t){\big |}_{{x=L}}=0

u(x,t){\big |}_{{t=0}}=f(x),\ {\dfrac {\partial u}{\partial t}}(x,t){\big |} _{{t=0}}=g(x)

den analytiska lösningen med Fouriermetoden har formen:

u(x,t)\,=\summa \limits _{{n=0}}^{{\infty }}\left[A_{n}\cos \left({\dfrac {a\pi n}{ L}}t\right)+B_{n}\sin \left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)\right]\sin \left({\dfrac {\pi nx} {L}}\höger)

A_{n}={\dfrac {2}{L}}\int \limits _{{0}}^{{L}}f(x)\sin \left({\dfrac {\pi nx}{L }}\right)dx,\quad B_{n}={\dfrac {2}{n\pi a}}\int \limits _{{0}}^{{L}}g(x)\sin \ vänster({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)dx

Numerisk lösning

Eftersom det inte alltid är möjligt att hitta en analytisk lösning av även en enkel ekvation i en komplex domän, har många metoder utvecklats för att lösa matematisk fysiks ekvationer. Vissa av dem är baserade på approximationen av differentialoperatorn med vissa uttryck, andra reducerar problemet till en projektion eller variation och löser det, några av de ofta använda numeriska metoderna är:

Var och en av metoderna har sina egna egenskaper och sina egna klasser av uppgifter som ska lösas. Till exempel kan en finit skillnadslösning till oscillationsekvationen erhållas med hjälp av följande skillnadsschema :

u_{i}^{{j+1}}={{\tau ^{2}a^{2} \över h^{2}}}\left(u_{{i+1}}^{j} -2u_{i}^{j}+u_{{i-1}}^{j}\right)+2u_{i}^{j}-u_{i}^{{j-1}}

var är tidssteget och är rymdsteget. $\tau$ $h$

Svaga lösningar

Om en partiell differentialekvation representeras i formen _ _ . _ _ _ $Lu=f$ $L$ $f$ $u(x)$ $\varphi$ $\int uL^{*}\varphi \,dx=\int f\varphi \,dx$ $L^{*}$

Viskositetslösning

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 Pommare, 1983 , sid. 5.
↑ Sveshnikov A. G., Bogolyubov A. N., Kravtsov V. V. Kapitel II. Klassificering av differentialekvationer i partiella derivator av andra ordningen. // Föreläsningar om matematisk fysik. — 2:a uppl., rättad. och ytterligare - M . : Förlag vid Moscow State University; Science, 2004. - S. 49. - 416 sid. — ISBN 5-211-04899-7 .
↑ A.M. Nakhushev. Cauchy–Kovalevskaya-satsen (engelska) (html). Springer Online (2001). — Cauchy-Kovalevskaya-satsen. Tillträdesdatum: 9 januari 2010. Arkiverad från originalet 12 februari 2012.
↑ L. Behrs, F. John, M. Schechter. Partiella differentialekvationer . - M . : Mir, 1966. - S. 146.

Litteratur

Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Ekvationer av matematisk fysik. - 7:e uppl. - M . : Förlag vid Moscow State University; Nauka, 2004. - 798 sid. — ISBN 5-211-04843-1 .
Mizohata S. Teori för partiella differentialekvationer. — M .: Mir, 1977. — 504 sid.
Demidov S. S. Framväxten av teorin om differentialekvationer med partiella derivator // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka , 1975. - Nr 20 . - S. 204-220 .
Pommare J. System av partiella differentialekvationer och Lie-pseudogrupper. — M .: Mir, 1983. — 400 sid.
Trev J. Föreläsningar om linjära partiella differentialekvationer med konstanta koefficienter. - M . : Mir, 1965. - 296 sid.
Ekvationers matematiska fysik / V. S. Vladimirov // Stora ryska encyklopedin : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.

Länkar

Ordböcker och uppslagsverk

I bibliografiska kataloger
BNF : 11931364s GND : 4044779-0 J9U : 987007552909105171 LCCN : sh85037912 LNB : 000087182 NDL : 00563088 NKC : ph123970

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen