Apollonius matta

Matta av Apollonius , eller rutnät av Apollonius - en fraktal , byggd på tre parvisa tangentcirklar. Den representerar gränsen för alla möjliga sekvenser av cirklar, som var och en berör tre redan konstruerade. Uppkallad efter den grekiske matematikern Apollonius av Perga .

Byggnad

Låt oss börja med tre cirklar, som var och en är tangent till de andra två. Därefter lägger vi till cirklar till den befintliga figuren rekursivt, som var och en berör några tre redan konstruerade cirklar. I det första steget kommer vi att lägga till två, i det andra sex, och så vidare.

Fortsätter konstruktionen lägger vi till 2 3 n nya cirklar i det n :e steget.

Stängningen av de konstruerade cirklarna kallas Apollonius-rutnätet .

Egenskaper

• Apollonius-rutnätet har en Hausdorff-dimension på cirka 1,3057 [1] .
• Apollonius-rutnätet kan ses som föreningen av två undergrupper som är homeomorfa till Sierpinski-triangeln , som delar hörn.
• Undergruppen av Möbius-transformationsgruppen , som består av de transformationer som tar in Apollonius-nätet, verkar transitivt på nätets cirklar.
• Apollonius-rutnätet kan definieras som gränsuppsättningen för gruppen av transformationer av planet som bildas av inversioner i fyra parvisa tangentcirklar.

Krökning

En cirkels krökning definieras som den reciproka av dess radie.

• Negativ krökning indikerar att alla andra cirklar berör denna cirkel från insidan. Detta är den gränsande cirkeln.
• Nollkrökning ger en linje (cirkel med oändlig radie).
• Positiv krökning indikerar att alla andra cirklar tangerar denna cirkel från utsidan. Denna cirkel är inuti en cirkel med negativ krökning.

I Apollonius-rutnätet har alla cirklar positiv krökning, förutom en, den avgränsande cirkeln.

Hela rutnät av Apollonius

Antag, beteckna krökningarna för fyra parvisa tangentcirklar. Enligt Descartes sats

Det följer att om fyra parvisa tangentcirklar har heltalskrökningar, så har alla andra cirklar i deras Apollonius-rutnät heltalskrökningar. Det finns oändligt många sådana heltalsrutnät . [2] Nedan finns flera hela maskor med periferiska krökningar markerade.

Variationer och generaliseringar

3D-motsvarigheten till det apollonska rutnätet är den apolloniska packningen av sfärer.

Anteckningar

1. ↑ Curtis T. McMullen. Hausdorff Dimension and Conformal Dynamics, III: Computation of Dimension // American Journal of Mathematics. — Vol. 120. - P. 691-721. - doi : 10.1353/ajm.1998.0031 .
2. ↑ Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks och Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packings: Number Theory" , J. Number Theory, 100 (2003), 1–45.

Litteratur

• A. A. Kirillov. Del II. Matta av Apollonius // En berättelse om två fraktaler . - 2:a uppl., rättad. - M . : MTsNMO Publishing House , 2010. - ( Sommarskola "Modern Mathematics" ). - ISBN 978-5-94057-670-9 .