Slutgrupp

En finit grupp i allmän algebra är en grupp som innehåller ett ändligt antal element (detta tal kallas dess " ordning ") [1] . Vidare antas gruppen vara multiplikativ , det vill säga operationen i den betecknas som multiplikation; tillsatsgrupper med tillsatsfunktion specificeras separat. Enheten för en multiplikativ grupp kommer att betecknas med symbolen 1. Gruppens ordning betecknas vanligtvis $G$ $|G|.$

Finita grupper används i stor utsträckning både i matematik och i andra vetenskaper: kryptografi , kristallografi , atomfysik , ornamentteori , etc. Finita omvandlingsgrupper är nära besläktade med symmetrin hos de föremål som studeras.

Exempel

Additiv grupp av restklasser modulo . $\mathbb{Z}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$
En multiplikativ grupp av enhetens rötter som är $n$ isomorfisk mot den föregående gruppen.
Det reducerade systemet av rester modulo : vars ordning är ( Euler-funktion ). $m$ $\mathbb {Z} _{m}^{\times }=U(\mathbb {Z} _{m}),$ $\varphi(m)$
Icke-kommutativ grupp om 8 kvartjonenheter : se Kvaterniongrupp . $Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\right\};$
Symmetrisk grupp (grupp av substitutioner eller permutationer av element) . Dess ordning är lika med och för den är icke-kommutativ. $n$ $S_{n}$ $n!$ $n>2$
Kleins Quadruple Group . $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2=D_{2}$
Galois-gruppen av en finit förlängning av fältet , och gruppens ordning är lika med graden av förlängningen . Till exempel, för att utöka fältet med reella tal till fältet för alla komplexa tal , innehåller Galois-gruppen 2 element: enheten ( identitetskarta ) och komplex konjugation .

Egenskaper och relaterade definitioner

Cayleys teorem: multiplikationstabellen av element i en finit grupp bildar en latinsk kvadrat [2] .

Ordningen av ett element g i en finit grupp G definieras som det minsta naturliga antalet m så att . Ordningen definieras för varje element i en ändlig grupp. $g^{m}=1$

Lagranges sats : Ordningen för varje undergrupp av en ändlig grupp är en divisor av gruppens ordning.

Resultat 1: ordningen för ett element i en ändlig grupp är en divisor av gruppens ordning.
Resultat 2: varje element g av en ändlig grupp av ordning n uppfyller förhållandet: I talteorin, för ett reducerat system av rester , ger denna formel den viktiga Eulersatsen . $g^{n}=1.$
Resultat 3: ett element g i en finit grupp uppfyller relationen: om och endast om talet är en multipel av ordningen $g^{m}=1$ $m$ $g.$
Resultat 4: Låt ordningen för ett element g i en finit grupp vara två potenser av detta element är lika: om och endast om exponenterna är kongruenta modulo $m.$ ${\displaystyle g^{i}=g^{k))$ $m:$

i\equiv k{\pmod {m}}

Kvoten för att dividera ordningen för en grupp med ordningen för dess undergrupp kallas index för denna undergrupp och betecknas med . Till exempel, i ovanstående grupp av quaternion-enheter (av ordning 8), finns det en undergrupp av ordning 2 och index 4, såväl som en undergrupp av ordning 4 och index 2. $G$ $H$ $G:H$ $\{1;-1\}$ $\{1;-1;i;-i\}$

Cauchys sats (1815): Varje grupp vars ordning är delbar med ett primtal har ett ordningselement . $sid$ $sid$

Om det till varje divisor av en grupps ordning motsvarar en undergrupp av ordningen , då kallas gruppen Lagrangian . Inte varje grupp är lagrangisk - till exempel är ordningen för dodekaederrotationsgruppen 60, men den har inga undergrupper av ordning 15 [3] . Tillräckliga villkor för existensen av en undergrupp av en given ordning (under några ytterligare antaganden) etablerar Sylows satser . Ett exempel på en lagrangisk grupp är den symmetriska gruppen . $k$ $k$ $S_4$

Cosets och kvotgruppen

Låt H vara en undergrupp av ordningen m i en finit grupp G av ordningen n . Vi betraktar element som ekvivalenta med avseende på undergruppen H om det finns sådana att det är lätt att kontrollera att detta är en ekvivalensrelation i gruppen G . Den delar upp gruppen i icke-överlappande ekvivalensklasser, kallade (vänster) cosets , som alla innehåller m element, varvid antalet klasser är lika med undergruppsindex. Varje element tillhör den coset som bildas av alla möjliga produkter av g och element i undergruppen H . $g,g'\in G$ $h\in H$ $g=g'h.$ $g\in G$ ${\bar {g}}=gH$

Om undergruppen H är en normaldelare , kan man överföra gruppoperationen till uppsättningen coset genom att definiera:

(g_{1}H)(g_{2}H)=(g_{1}g_{2})H

Resultatet av en sådan operation beror inte på valet av representanter och förvandlar uppsättningen av cosets till en grupp som kallas en faktorgrupp . Det är markerat . Ordningen för en faktorgrupp är lika med indexet för motsvarande undergrupp. $g_{1}g_{2}$ $G/H$

Klassificering

Antal distinkta grupper av en given ordning

ordning	antal grupper [4]	kommutativ	icke-kommutativ
0	0	0	0
ett	ett	ett	0
2	ett	ett	0
3	ett	ett	0
fyra	2	2	0
5	ett	ett	0
6	2	ett	ett
7	ett	ett	0
åtta	5	3	2
9	2	2	0
tio	2	ett	ett
elva	ett	ett	0
12	5	2	3
13	ett	ett	0
fjorton	2	ett	ett
femton	ett	ett	0
16	fjorton	5	9
17	ett	ett	0
arton	5	2	3
19	ett	ett	0
tjugo	5	2	3
21	2	ett	ett
22	2	ett	ett
23	ett	ett	0
24	femton	3	12
25	2	2	0
26	2	ett	ett
27	5	3	2
28	fyra	2	2
29	ett	ett	0
trettio	fyra	ett	3

Finita cykliska grupper

Finita cykliska grupper har den enklaste strukturen , vars alla element kan representeras som successiva potenser av något fast element $a:$

1,a,a^{2},a^{3}\dots a^{{n-1}}\

( n är ordningen på gruppen).

Elementet a kallas generator (eller antiderivat ) för en given grupp, och själva gruppen som genereras betecknas $a,$ $\langle a\rangle .$

Som ett genererande element för en grupp kan inte bara ett element agera, utan också de av dess grader , vars exponent är coprime med gruppens ordning. Antalet sådana generatorer för en grupp av ordning n är ( Euler-funktionen ). Exempel: grupp av rötter från enhet . $\langle a\rangle$ $a,$ $a^{k},$ $k$ $\varphi (n)$

Varje grupp med ändlig cyklisk ordning är isomorf till gruppen av tillsatsgrupper . Denna klass av isomorfa grupper betecknas vanligtvis med . Av detta följer att, $n$ $\mathbb {Z} _{n}$ $C_{n}$

upp till isomorfism finns det bara en ändlig cyklisk grupp av en given ordning.
cykliska grupper är alltid kommutativa ( Abelian ) och Lagrangian.
en cyklisk grupp har icke-triviala undergrupper om och endast om dess ordning är ett sammansatt nummer .
vilken undergrupp som helst av en cyklisk grupp är också cyklisk. Varje kvotgrupp i den cykliska gruppen G/H kommer också att vara cyklisk . Antalet distinkta undergrupper i en cyklisk ordningsgrupp är lika med antalet (positiva) delare av antalet $n$ $n.$

Potenserna för varje element i en godtycklig ändlig grupp bildar en genererad cyklisk undergrupp (för en enhet kommer detta att vara en trivial undergrupp som endast består av själva enheten). Denna undergrupp ingår i vilken annan undergrupp som helst som innehåller ett element . Ordningen är lika med ordningen för det genererande elementet Följd: en ordningsgrupp är cyklisk om och endast om den innehåller ett element av samma ordning $a$ $G$ $H$ $a$ $g,$ $a.$ $H$ $a.$ $n$ $n.$

Alla grupper vars ordning är mindre än 4 är cykliska, så det finns inga två icke-isomorfa grupper av samma ordning för dem. Gruppen av ordning 1 ( trivialgruppen ) innehåller endast identiteten. Gruppen av ordning 2 består av element (och ); i planimetri är detta till exempel gruppen av transformationer från enhet (identisk transformation) och spegelreflektion med avseende på en fixerad rät linje. Grupp av ordning 3 innehåller element ${\displaystyle \{1,a\))$ $a^{2}=1$ $\{1,a,a^{2}\}.$

Inte varje kommutativ finit grupp är cyklisk. Det enklaste motexemplet: Klein quadruple group .

Grupper med primär ordning (p-grupper)

Låt gruppordningen vara ett primtal p , då gäller följande egenskaper.

Gruppen är cyklisk .
Gruppen är kommutativ ( abelisk ) och nilpotent .
Alla grupper av samma ordning p är isomorfa till varandra.

Mer allmänt och mer komplicerat är fallet när gruppens ordning är en potens av ett primtal; sådana grupper kallas vanligtvis p-grupper .

Enkla grupper

En finit grupp kallas enkel om alla dess normala undergrupper är triviala (det vill säga de sammanfaller antingen med identitetsundergruppen eller med hela gruppen) [5] . Se deras allmänna klassificering .

Kommutativa (abelska) grupper

Huvudsats ( Frobenius ): Varje kommutativ finit grupp kan representeras som en direkt summa av p-grupper . Detta är en konsekvens av den allmänna satsen om strukturen av ändligt genererade abeliangrupper för det fall då gruppen inte har element av oändlig ordning.

Historik

De första studierna av ändliga grupper dök upp långt före uppkomsten av denna term, och de gällde specifika representanter för denna struktur. För första gången uppstod ett sådant behov i studiet av algebraiska ekvationer för lösbarhet i radikaler , för vilka Larrange , Ruffini och Abel djupt studerade permutationsgrupper av polynomrötter . År 1771 upptäckte Lagrange ett teorem för cykliska permutationsgrupper , som är uppkallat efter honom och har en helt allmän karaktär. Abel kompletterade avsevärt Lagranges prestationer, och sedan han klargjorde rollen för kommutativa permutationsgrupper i detta problem, har sådana grupper sedan kallats Abelian. Cauchy bevisade 1815 att varje grupp vars ordning är delbar med ett primtal p har ett element av ordningen p. Beviset var av allmän karaktär, även om Cauchy också begränsade sig till permutationsgruppen.

Det andra objektet för framtidsteorin var additiv restgrupper . Den enklaste icke-triviala gruppen av två element ansågs av Leibniz , och en meningsfull teori om denna struktur för en godtycklig modul gavs av Euler och Gauss .

Termen "grupp" dök först upp i verk av Galois , som också studerade permutationsgrupper, men definitionen gavs i en ganska allmän form. Galois introducerade också de grundläggande begreppen för en normal undergrupp , en kvotgrupp och en lösbar grupp .

År 1854 gav Cayley den första abstrakta definitionen av en grupp. I en artikel från 1878 bevisade han en nyckelsats om representationen av en godtycklig ändlig grupp genom permutationer. År 1872 fick den norske matematikern Sylow sina berömda resultat på maximala p-undergrupper, som förblir grunden för finita gruppteorin till denna dag.

Ett betydande bidrag till teorin om abstrakta ändliga grupper gjordes också av Frobenius , tack vare vilken ändliga Abeliska grupper beskrevs fullständigt och teorin om deras matrisrepresentationer skapades. I slutet av 1800-talet användes ändliga grupper med framgång både i matematik och naturvetenskap (till exempel i kristallografi ). I början av 1900-talet lade Emmy Noethers och Artins arbete grunden för modern gruppteori.

Se även

Litteratur

Vechtomov E. M. Om lagrangiska grupper. §ett. Ur gruppteoriens historia // Problem med historisk och vetenskaplig forskning inom matematik och matematisk utbildning: Proceedings of the International scientific conference. - Perm: Perm State. Pedagogiska högskolan, 2007. - S. 23-32 . .
Vinberg E. B. Algebrakurs. - 3:e upplagan - M . : Factorial Press, 2002. - 544 sid. — ISBN 5-88688-060-7 . .
Gorenstein D. Finita enkla grupper. Introduktion till deras klassificering. — M .: Mir, 1985.
Matematisk uppslagsverk (i 5 volymer) . — M .: Soviet Encyclopedia , 1982.
Navarro, Joaquin. Genom spegelglaset. Symmetri i matematik. — M .: De Agostini, 2014. — 160 sid. — (Matematikens värld: i 45 band, band 17). - ISBN 978-5-9774-0712-0 .
Hall M. Teori om grupper. M .: Förlag för utländsk litteratur, 1962.

Länkar

Finite Group på Wolfram Math World. (Engelsk)

Anteckningar

↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , Volym 2. Finit group.
↑ Malykh A. E. Om Kirkman-problemet och dess utveckling under andra hälften av 1800-talet - början av 1900-talet // Problem med historisk och vetenskaplig forskning inom matematik och matematisk utbildning: Proceedings of the International Scientific Conference, Perm, September 2007 .. - Perm : Perm State. Ped. Universitetet, 2007. - S. 84. .
↑ Stuart, Jan. Begrepp av modern matematik. - Minsk: Högre skola, 1980. - S. 133-134. — 384 sid.
↑ Humphreys, John F. En kurs i gruppteori . - Oxford University Press , 1996. - P. 238-242 . — ISBN 0198534590 .
↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , Volym 4. En enkel grupp.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger	BNF : 11969510z J9U : 987007531228305171 LCCN : sh85048354 NDL : 00574433

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Sympletisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform