Kubisk spline

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 november 2018; kontroller kräver 14 redigeringar .

En kubisk spline är en jämn funktion vars definitionsdomän är uppdelad i ett ändligt antal segment, på vilka det sammanfaller med något kubiskt polynom (polynom).

Beskrivning

Funktionen ges på ett segment uppdelat i delar , . Den kubiska spline av defekt 1 (skillnaden mellan graden och jämnheten av spline) är en funktion som: $f(x)$ $[a,b]$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N}=b$ $S(x)$

på varje segment finns ett polynom med högst tre grader; $[x_{i-1},x_{i}]$
har kontinuerliga första och andra derivator på hela segmentet ; $[a,b]$
vid punkterna är likheten uppfylld , dvs spline interpolerar funktionen vid punkterna . $x_{i}$ $S(x_{i})=f(x_{i})$ $S(x)$ $f$ $x_{i}$

För att unikt specificera en spline räcker inte de listade villkoren; för att konstruera en spline måste ytterligare krav ställas - randvillkor:

"Naturlig spline" — gränsvillkor för formen: ; $S''(a)=S''(b)=0$
Kontinuitet för den andra derivatan - gränsvillkor för formen: ; $S'''(a)=S'''(b)=0$
Periodiska spline - randvillkor för formen: och . $S'(a)=S'(b)$ $S''(a)=S''(b)$

Teorem: För vilken funktion som helst och varje uppdelning av ett segment i delar finns det exakt en naturlig spline som uppfyller villkoren som anges ovan. $f$ $[a,b]$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $S_{i}(x)$

Denna sats är en följd av den mer allmänna Schoenberg -Whitney-satsen om villkoren för existensen av en interpolationsspline.

Byggnad

På varje segment är funktionen ett polynom av tredje graden , vars koefficienter måste bestämmas. Vi skriver för bekvämlighets skull i formuläret: $[x_{i-1},x_{i}],\ i={\överlinje {1,N))$ $S(x)$ $Sex)$ $Sex)$

S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i}}(x-x_{i})^{2}+{d_ {i}}(x-x_{i})^{3}

sedan

S_{i}\left(x_{i}\right)=a_{i},\quad S'_{i}(x_{i})=b_{i},\quad S''_{ i}(x_{i})=2c_{i},\quad S'''_{i}\left(x_{i}\right)=6d_{i}\quad i={\overline {1,N }}.

Kontinuitetsvillkoren för alla derivat upp till och med andra ordningen skrivs som

S_{i}\left(x_{i-1}\right)=S_{i-1}(x_{i-1}),

S'_{i}\left(x_{i-1}\right)=S'_{i-1}(x_{i-1}),

S''_{i}\left(x_{i-1}\right)=S''_{i-1}(x_{i-1}),

där varierar från till och interpolationsvillkoren i formuläret $i$ $ett$ $N,$

S_{i}\left(x_{i}\right)=f(x_{i}).

Beteckna $:\quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1}\quad (i={\överlinje {1,N))),\quad f_{i}=f(x_{i })\quad (i={\överlinje {0,N)))$

Härifrån får vi formler för att beräkna koefficienterna för den "naturliga spline":

a_{i}=f(x_{i})

;

d_{i}={\frac {c_{i}-c_{i-1}}{3\cdot h_{i}}}

;

b_{i}={\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}+{\frac {2\cdot c_{i}+c_{i-1} }{3}}\cdot h_{i}

;

c_{i-1}\cdot h_{i}+2\cdot c_{i}\cdot (h_{i}+h_{i+1})+c_{i+1}\cdot h_{i +1}=3\cdot \left({\frac {a_{i+1}-a_{i}}{h_{i+1}}}-{\frac {a_{i}-a_{i-1 }}{h_{i}}}}\right)

, och . _

c_{N}=S''(x_{N})=0

c_{1}-3\cdot d_{1}\cdot h_{1}=S''(x_{0})=0

Om vi tar hänsyn till det , så kan beräkningen utföras med svepmetoden för en tridiagonal matris . $c_{0}=c_{N}=0$ $c$

Litteratur

deBoor, Carl. En praktisk guide till splines. — New York: Springer-Verlag, 1978.
Rogers D., Adams J. Matematiska grunder för datorgrafik. - M .: Mir, 2001. - ISBN 5-03-002143-4 .
Kostomarov D.P. , Favorsky A.P. Introduktionsföreläsningar om numeriska metoder.
Volkov EA Kapitel 1. Approximation av funktioner med polynom. § 11. Splines // Numeriska metoder. - Lärobok. ersättning för universitet. - 2nd ed., Rev. - M . : Nauka, 1987. - S. 63-68. — 248 sid.

Länkar

Anteckningar

↑ Boor, 1978 .

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta