Rationell normalkurva
En rationell normalkurva är en jämn rationell kurva av grad n i ett n - dimensionellt projektivt utrymme. Det är en av de relativt enkla projektiva varianterna , mer formellt är det bilden av den Veronese-inbäddning som appliceras på den projektiva linjen.
Definition
Den rationella normalkurvan kan ges parametriskt som bilden av kartläggningen
som tar en punkt med homogena koordinater till en punkt
![[s:t]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc6e62f2a809771917a3b4a9a2af1a6510fff1a)
![[s^{n}:s^{{n-1}}t:s^{{n-2}}t^{2}:\ldots :t^{n}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1a44a9e5a709bba34ea8c52ef8d059d2cbdb61)
I en affin karta skrivs denna mappning på ett enklare sätt:
Det är lätt att se att en rationell normalkurva erhålls genom att stänga en affin kurva med en enda punkt i oändligheten .
På motsvarande sätt kan en rationell normalkurva definieras som uppsättningen av vanliga nollor av homogena polynom
var är homogena koordinater på . Det är inte nödvändigt att ta hänsyn till alla dessa polynom; för att definiera en kurva räcker det att välja till exempel och
![[x_{0}:\ldots :x_{n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a907a6ac3c27e2ede75684e319f497d659c32b69)
Alternativ parametrisering
Låta vara olika punkter på Då polynomet
![[a_{i}:b_{i}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a96c034412a69863b126fd175271648df041ed)
är ett homogent gradpolynom med olika rötter. Polynom
utgöra en grund för rymden av homogena polynom av grad n . Visa
![[s:t]\mapsto [H_{0}(s,t):H_{1}(s,t):\ldots :H_{n}(s,t)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755e88dcc88cbc745183317573b28a34f667502a)
definierar också en rationell normalkurva. Faktum är att monomialer bara är en av de möjliga baserna i utrymmet för homogena polynom, och det kan översättas genom en linjär transformation till vilken annan bas som helst.
Denna mappning skickar nollorna för polynomet till "koordinatpunkter", det vill säga punkter vars homogena koordinater alla utom en är noll. Omvänt kan en rationell normalkurva som går genom dessa punkter ges parametriskt med hjälp av något polynom
Egenskaper
- Alla punkter på en rationell normalkurva är linjärt oberoende . Omvänt är varje kurva med denna egenskap rationell normal.
- För alla punkter på sådana att någon av dem är linjärt oberoende, finns det en unik rationell normalkurva som passerar genom dessa punkter. För att konstruera en sådan kurva räcker det att översätta från punkter till "koordinat", och sedan, om de återstående punkterna har passerat till , som ett polynom , välj ett polynom som försvinner vid punkter
- En rationell normalkurva i fallet är inte en fullständig skärning, det vill säga den kan inte specificeras av antalet ekvationer lika med dess kodimension . [ett]
![[c_{0}:c_{1}:\ldots :c_{n}],[d_{0}:d_{1}:\ldots :d_{n}],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06fbe69cd6652c441d86067364841541f63d0408)
![[a_{i}:b_{1}]=[c_{i}^{{-1}}:d_{i}^{{-1}}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1c9fc90f6a3dcb6c2195a971da3eebffecd99b)
Anteckningar
- ↑ Ravi Vakil . MATH 216: FUNDATIONS OF ALGEBRAIC GEOMETRY Arkiverad 5 oktober 2013 på Wayback Machine , sidan 482.
Litteratur
- Harris, J. Algebraic Geometry. Inledande kurs. - M. : MTSNMO, 2005. - 400 sid. - ISBN 5-94057-084-4 .
| Kurvor | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Definitioner | |||||||||||||||||||
| Förvandlad | |||||||||||||||||||
| Icke plan | |||||||||||||||||||
| Platt algebraisk |
| ||||||||||||||||||
| Platt transcendental |
| ||||||||||||||||||
| fraktal |
| ||||||||||||||||||