Superformel (ekvation)

 Superformeln är en generalisering av superellipsen och utvecklades först av Johan Gielis  2003. [1] Gielis föreslog att man skulle använda formeln för att beskriva de komplexa former och kurvor som förekommer i naturen.

I ett polärt koordinatsystem med radie och vinkel ser superformeln ut så här:

Genom att välja olika värden på parametrarna erhålls olika former.

Formeln erhålls genom att generalisera superellipsen, som i sin tur härleddes av den franske matematikern Gabriel Lame , och namngavs och populariserades av den danske matematikern Piet Hein .

Generalisering

Superformeln kan generaliseras genom att ersätta parametern m med två nya parametrar y  och z : [2]

Detta gör att du kan skapa asymmetriska och kapslade strukturer. I följande exempel och är lika med 1:

Byggnader

Ett exempelprogram i  GNU Octave  för att generera dessa former:

funktion sf2d ( n,a ) u =[ 0 : .001 : 2 * pi ]; raux = abs ( 1 / a ( 1 ) .* abs ( cos ( n ( 1 ) * u / 4 ))) .^ n ( 3 ) + abs ( 1 / a ( 2 ) .* abs ( sin ( n ( ) 1 ) * u / 4 ))) .^ n ( 4 ); r = abs ( raux ) .^ ( -1 / n ( 2 ) ); x = r .* cos ( u ); y = r .* sin ( u ); plot ( x , y ); slutet

3-dimensionell superformel: a  = b  = 1; m , n 1 , n 2 och n 3 visas i bilderna.

Ett exempelprogram i GNU Octave för att generera dessa former:

funktion sf3d ( n, a ) u =[ - pi : .05 : pi ]; v =[ - pi / 2 : .05 : pi / 2 ]; nu = längd ( u ); nv = längd ( v ); för i = 1 : nu för j = 1 : nv raux1 = abs ( 1 / a ( 1 ) * abs ( cos ( n ( 1 ) .* u ( i ) / 4 ))) .^ n ( 3 ) + abs ( 1 / a ( 2 ) * abs ( sin ( n ( 1 ) * u ( i ) / 4 ))) .^ n ( 4 ); r1 = abs ( raux1 ) .^ ( -1 / n ( 2 ) ); raux2 = abs ( 1 / a ( 1 ) * abs ( cos ( n ( 1 ) * v ( j ) / 4 ))) .^ n ( 3 ) + abs ( 1 / a ( 2 ) * abs ( sin ( n ) ( 1 ) * v ( j ) / 4 ))) .^ n ( 4 ); r2 = abs ( raux2 ) .^ ( -1 / n ( 2 ) ); x ( i , j )= rl * cos ( u ( i )) * r2 * cos ( v ( j )); y ( i , j ) = r1 * sin ( u ( i )) * r2 * cos ( v ( j )); z ( i , j )= r2 * sin ( v ( j )); endfor ; endfor ; mesh ( x , y , z ); slutfunktion ;

Anteckningar

  1. ↑ Gielis, Johan (2003), A generic geometric transformation that unifies a wide range of natural and abstract shapes , American Journal of Botany vol. 90 (3): 333–338, ISSN 0002-9122 , doi : 10.3732/ajb.90.3 .333 , < http://www.amjbot.org/cgi/content/abstract/90/3/333 > 
  2. ↑ Stöhr, Uwe (2004), SuperformulaU , < http://fkurth.de/uwest/usti/Superformel/SuperformulaU.pdf > Arkiverad 16 juni 2016 på Wayback Machine 

Länkar