Siffra

Tal  är ett av matematikens grundläggande begrepp [1] , som används för kvantitativa egenskaper, jämförelse, numrering av objekt och deras delar.

Skriftliga tecken för siffror är siffror , såväl som symboler för matematiska operationer . Efter att ha uppstått tillbaka i det primitiva samhället från behoven av att räkna , har begreppet antal expanderat avsevärt med vetenskapens utveckling.

Grundläggande nummeruppsättningar

För de listade uppsättningarna av siffror är följande uttryck giltigt:

Generaliseringar av siffror

Kvaternioner är en typ av hyperkomplexa tal . Uppsättningen av quaternions betecknas med. Kvaternioner, till skillnad från komplexa tal, är inte kommutativa med avseende på multiplikation.

I sin tur förlorar oktonioner , som är en förlängning av kvaternioner, redan associativitetsegenskapen .

Till skillnad från oktonioner har sedenioner inte egenskapen alternativhet , men behåller egenskapen maktassociativitet .

För dessa uppsättningar av generaliserade tal är följande uttryck sant:

p-adiska tal kan betraktas som element i fältet, vilket är kompletteringen av fältet för rationella talmed hjälp av de sk. p-adic värdering , liknande hur fältet med reella taldefinieras som dess komplettering med det vanliga absoluta värdet .

Adeles definieras som oändliga sekvenser {a ∞ ,a 2 ,a 3 ,…a p …} , där a ∞  är valfritt reellt tal och a p  är p-adisk, och alla a p , utom kanske ett ändligt antal av dem , är heltals p-adiska. Adeles läggs till och multipliceras komponent för komponent och bildar en ring . Fältet för rationella tal är inbäddat i denna ring på vanligt sätt r→{r, r,…r,…} . De inverterbara elementen i denna ring bildar en grupp och kallas ideal .

En praktiskt viktig generalisering av talsystemet är intervallaritmetik .

Hierarki av siffror

Nedan finns en hierarki av siffror, för vars uppsättningar uttrycket är sant , med exempel:

Heltal
Heltal
Rationella nummer
Riktiga nummer
Komplexa tal
Kvaternioner
Oktonioner
sedenioner

Denna hierarki är inte komplett, eftersom den kan utökas så många gånger som önskas (se Cayley-Dixon-proceduren ).

Representation av siffror i datorns minne

se Direktkod , Tvåskomplement (nummerrepresentation) , Flyttalsnummer för detaljer

För att representera ett naturligt tal i datorns minne omvandlas det vanligtvis till det binära talsystemet . För att representera negativa tal används ofta de tvås komplementkod , som erhålls genom att addera ett till den inverterade representationen av modulen för ett givet negativt tal i det binära talsystemet.

Representationen av siffror i datorns minne har begränsningar förknippade med den begränsade mängden minne som tilldelats för nummer. Även naturliga tal är en matematisk idealisering, utbudet av naturliga tal är oändligt. Fysiska begränsningar läggs på mängden datorminne. I detta avseende, i en dator, har vi inte att göra med siffror i matematisk mening, utan med några av deras representationer, eller approximationer. För att representera tal tilldelas ett visst antal minnesceller (vanligtvis binära, bitar - från BINär siffra). Om, som ett resultat av operationen, det resulterande talet skulle ta fler siffror än vad som tilldelas datorn, blir beräkningsresultatet felaktigt - det så kallade aritmetiska överflödet inträffar . Reella tal representeras vanligtvis som flyttal . Samtidigt kan bara några av de reella talen representeras i datorns minne med ett exakt värde, medan resten av talen representeras av ungefärliga värden. I det vanligaste formatet representeras ett flyttalstal som en sekvens av bitar, av vilka några kodar mantissan för talet, den andra delen är exponenten och en annan bit används för att indikera talets tecken.

Historien om utvecklingen av konceptet

Begreppet antal uppstod i gamla tider från människors praktiska behov och blev mer komplicerat i mänsklig utveckling. Området mänsklig aktivitet utökades och följaktligen ökade behovet av kvantitativ beskrivning och forskning. Till en början bestämdes begreppet antal av de behov av räkning och mätning som uppstod i en persons praktiska verksamhet, vilket senare blev mer och mer komplicerat. Senare blir numret det grundläggande begreppet matematik , och denna vetenskaps behov avgör vidareutvecklingen av detta koncept.

Förhistorisk tid

Människor visste hur man räknade föremål även i antiken, då uppstod konceptet med ett naturligt tal. I de första utvecklingsstadierna saknades konceptet med ett abstrakt nummer. På den tiden kunde en person uppskatta antalet homogena föremål som kallas i ett ord, till exempel "tre personer", "tre axlar". Samtidigt användes olika ord "en", "två", "tre" för begreppen "en person", "två personer", "tre personer" och "en yxa", "två yxor", "tre". yxor”. Detta visas av analysen av de primitiva folkens språk. Sådana namngivna numeriska serier var mycket korta och slutade med ett icke-individualiserat begrepp om "många". Olika ord för ett stort antal föremål av olika slag finns redan nu, som "publik", "flock", "hög". Den primitiva räkningen av föremål bestod i att "jämföra föremålen i en given specifik uppsättning med föremålen i en viss specifik uppsättning, så att säga spela rollen som en standard" [2] , som för de flesta folk var fingrar ("räkna på fingrarna”). Detta bekräftas av språklig analys av namnen på de första siffrorna. I detta skede blir begreppet antal oberoende av kvaliteten på de objekt som räknas.

Skrivandets uppkomst

Förmågan att återge siffror har ökat avsevärt med tillkomsten av skrivandet . Först indikerades siffror med linjer på materialet som användes för att spela in, till exempel papyrus , lertavlor, senare började speciella tecken användas för vissa siffror (de " romerska siffrorna " som har överlevt till denna dag ) och tecken för stora tal. De senare bevisas av de babyloniska kilskriftssymbolerna eller tecknen för att skriva siffror i det kyrilliska siffersystemet . När ett positionsnummersystem dök upp i Indien , som låter dig skriva ner alla naturliga tal med tio siffror ( siffror ), var detta en stor mänsklig bedrift.

Medvetenheten om den naturliga seriens oändlighet var nästa viktiga steg i utvecklingen av begreppet ett naturligt tal. Det finns referenser till detta i verk av Euklid och Arkimedes och andra monument från antik matematik från 300-talet f.Kr. e. I Elementen etablerar Euclid den oändliga fortsättningen av en serie primtal . Här definierar Euklid talet som "en uppsättning sammansatt av enheter" [3] . Arkimedes beskriver i boken " Psammit " principerna för notering av godtyckligt stora tal.

Tillkomsten av aritmetik

Med tiden börjar operationer på tal tillämpas, först addition och subtraktion , senare multiplikation och division . Som ett resultat av en lång utveckling har det utvecklats en idé om dessa handlingars abstrakta natur, om det kvantitativa resultatet av åtgärdens oberoende av de föremål som är under övervägande, om det faktum att till exempel två objekt och sju objekt gör upp nio objekt, oavsett arten av dessa objekt. När de började utveckla handlingsregler, studera deras egenskaper och skapa metoder för att lösa problem, då började aritmetiken utvecklas  - vetenskapen om siffror. Behovet av att studera egenskaperna hos tal som sådana manifesteras i själva processen för utveckling av aritmetiska, komplexa mönster och deras relationer på grund av närvaron av handlingar blir tydliga, klasser av jämna och udda tal, primtal och sammansatta tal, och så på urskiljs. Då dyker det upp en gren av matematiken som nu kallas talteori . När det märktes att naturliga tal inte bara kan karakterisera antalet objekt, utan också kan karakterisera ordningen av objekt som är ordnade i en rad, uppstår begreppet ett ordningstal. Frågan om att underbygga begreppet ett naturligt tal, så välbekant och enkelt, har inte tagits upp inom vetenskapen på länge. Först i mitten av 1800-talet , under inflytande av utvecklingen av matematisk analys och den axiomatiska metoden i matematik, fanns det ett behov av att motivera begreppet ett kvantitativt naturligt tal. Införandet av bråktal orsakades av behovet av att göra mätningar och var historiskt sett den första expansionen av talbegreppet.

Införande av negativa tal

Under medeltiden infördes negativa tal , med vilka det blev lättare att redovisa skuld eller förlust. Behovet av att införa negativa tal var förknippat med utvecklingen av algebra som en vetenskap som tillhandahåller allmänna metoder för att lösa aritmetiska problem, oavsett deras specifika innehåll och initiala numeriska data. Behovet av att införa ett negativt tal i algebra uppstår redan när man löser problem som reduceras till linjära ekvationer med en okänd. Negativa tal användes systematiskt för att lösa problem redan på 600-1100 - talen i Indien och tolkades på ungefär samma sätt som det görs nu.

Efter att Descartes utvecklat analytisk geometri , som gjorde det möjligt att betrakta ekvationens rötter som koordinaterna för skärningspunkterna för en viss kurva med abskissaxeln, vilket slutligen raderade den grundläggande skillnaden mellan ekvationens positiva och negativa rötter, negativa tal kom äntligen till användning i europeisk vetenskap.

Introduktion till reella tal

Även i antikens Grekland gjordes en fundamentalt viktig upptäckt inom geometrin: inte alla exakt definierade segment är jämförbara, med andra ord, inte varje segment kan ha ett rationellt tal, till exempel sidan av en kvadrat och dess diagonal . I Euklids "Element" skisserades teorin om segmentens relationer, med hänsyn tagen till möjligheten av deras inkommensurabilitet. I det antika Grekland visste de hur man jämförde sådana förhållanden i magnitud, för att utföra aritmetiska operationer på dem i geometrisk form. Även om grekerna hanterade sådana relationer som med siffror, insåg de inte att förhållandet mellan längderna av inkommensurabla segment kunde betraktas som ett tal. Detta gjordes under den moderna matematikens födelse på 1600-talet då man utvecklade metoder för att studera kontinuerliga processer och metoder för ungefärliga beräkningar. I. Newton i "General Arithmetic" definierar begreppet ett reellt tal: "Med tal menar vi inte så mycket en uppsättning enheter, utan ett abstrakt förhållande mellan någon kvantitet och en annan kvantitet av samma slag, som vi tar som en enhet ." Senare, på 1870-talet, förfinades begreppet ett reellt tal baserat på analysen av begreppet kontinuitet av R. Dedekind , G. Cantor och K. Weierstrass .

Introduktion till komplexa tal

Med utvecklingen av algebra uppstod behovet av att introducera komplexa tal, även om misstro mot mönstren för deras användning kvarstod under lång tid och återspeglades i termen "imaginär" som har överlevt till denna dag. Redan bland de italienska matematikerna på 1500-talet ( G. Cardano , R. Bombelli ), i samband med upptäckten av den algebraiska lösningen av ekvationer av tredje och fjärde graden, uppstod idén om ett komplext tal. Faktum är att även lösningen av en andragradsekvation , i händelse av att ekvationen inte har reella rötter, leder till handlingen att extrahera kvadratroten från ett negativt tal. Det verkade som om problemet som ledde till lösningen av en sådan kvadratisk ekvation inte hade någon lösning. Med upptäckten av den algebraiska lösningen av ekvationer av tredje graden, fann man att i fallet när alla tre rötter i ekvationen är verkliga, visar det sig under beräkningens gång vara nödvändigt att utföra åtgärden att extrahera kvadratroten ur negativa tal.

Efter etableringen i slutet av 1700-talet av den geometriska tolkningen av komplexa tal i form av punkter på planet och etableringen av de otvivelaktiga fördelarna med att introducera komplexa tal i teorin om algebraiska ekvationer, särskilt efter de berömda verken av L. Euler och K. Gauss , komplexa tal kändes igen av matematiker och började spela en viktig roll inte bara i algebra, utan också i matematisk analys. Betydelsen av komplexa tal ökade särskilt under 1800-talet i samband med utvecklingen av funktionsteorin för en komplex variabel [2] .

Tal i filosofi

Den filosofiska förståelsen av tal lades fast av pytagoreerna. Aristoteles vittnar om att pytagoreerna ansåg att siffror var "orsak och början" till saker och ting, och att siffrors relationer var grunden för alla relationer i världen. Siffror ger ordning åt världen och gör den till ett kosmos. Denna inställning till antalet antogs av Platon och senare av neoplatonisterna . Platon, med hjälp av siffror, skiljer mellan sant väsen (det som existerar och är tänkt i sig självt) och icke-äkta väsen (det som bara existerar på grund av en annan och är känt endast i relation). Mellanpositionen mellan dem upptas av ett nummer. Det ger mått och bestämdhet åt saker och gör dem involverade i att vara. På grund av antalet kan saker räknas och därför kan de tänkas, och inte bara kännas. Neoplatonisterna, särskilt Iamblichus och Proclus, vördade siffror så högt att de inte ens ansåg dem existera - världens ordning kommer från ett nummer, om än inte direkt. Siffror är supernödvändiga, de är över sinnet och är otillgängliga för kunskap. Neoplatonister skiljer mellan gudomliga tal (en direkt emanation av den Ena) och matematiska tal (som består av enheter). De senare är ofullkomliga kopior av de förra. Aristoteles, tvärtom, ger en hel rad argument som visar att påståendet om siffrors oberoende existens leder till absurditeter. Aritmetik pekar ut endast en aspekt i dessa verkligt existerande saker och betraktar dem utifrån deras kvantitet. Tal och deras egenskaper är resultatet av ett sådant övervägande. Kant menade att ett fenomen är känt när det är konstruerat i enlighet med a priori-begrepp - erfarenhetens formella villkor. Antal är ett av dessa villkor. Numret anger en specifik princip eller designschema. Varje objekt är räknebart och mätbart eftersom det är konstruerat enligt schemat för antal (eller magnitud). Därför kan vilket fenomen som helst beaktas av matematiken. Sinnet uppfattar naturen som underordnad numeriska lagar just därför att det själv bygger den i enlighet med numeriska lagar. Detta förklarar möjligheten att använda matematik i studiet av naturen. Matematiska definitioner som utvecklades under 1800-talet reviderades allvarligt i början av 1900-talet . Detta orsakades inte så mycket av matematiska som av filosofiska problem. De definitioner som Peano, Dedekind eller Cantor gav, och som fortfarande används inom matematiken idag, måste motiveras av grundläggande principer som är förankrade i själva kunskapens natur. Det finns tre sådana filosofiska och matematiska angreppssätt: logicism, intuitionism och formalism. Den filosofiska grunden för logicism utvecklades av Russell. Han trodde att sanningen i matematiska axiom inte är uppenbar. Sanningen avslöjas genom reducering till de enklaste fakta. Russell ansåg att reflektionen av sådana fakta var logikens axiom, som han baserade på definitionen av tal. Det viktigaste konceptet för honom är konceptet med en klass. Det naturliga talet η är klassen av alla klasser som innehåller η-element. Ett bråk  är inte längre en klass, utan en relation av klasser. Intuitionisten Brouwer hade motsatt synpunkt: han ansåg att logik endast var en abstraktion från matematiken, ansåg den naturliga talserien som den grundläggande intuitionen som ligger till grund för all mental aktivitet. Hilbert, den formella skolans främsta representant, såg matematikens berättigande i konstruktionen av en konsekvent axiomatisk bas inom vilken vilket matematiskt koncept som helst kunde underbyggas formellt. I den axiomatiska teorin om reella tal som utvecklats av honom, berövas idén om ett tal allt djup och reduceras endast till en grafisk symbol, som ersätts enligt vissa regler i teorins formler [3] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Nummer // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 5.
  2. ↑ 1 2 Number (Math.) - artikel från Great Soviet Encyclopedia . 
  3. ↑ 1 2 Nummer - Filosofisk uppslagsverk

Litteratur

Länkar

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk
 Siffror med egennamn
Matematiska konstanter
Algebraisk
Transcendental ,
förmodligen transcendental
Tusen grader
Gamla ryska siffror
Övriga tiopotenser
tolv makter
Annan helhet
Andra nummer