Elliptisk integral

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 februari 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Elliptisk integral - någon funktion över fältet av reella eller komplexa tal , som formellt kan representeras i följande form: $f$

f(x)=\int \limits _{c}^{x}\!R(t,\;P(t))\,dt

där är en rationell funktion av två argument, är kvadratroten av ett polynom av 3:e eller 4:e graden som inte har flera rötter , är någon konstant från fältet där funktionen är definierad. $R$ $P$ $c$

I allmänhet kan den elliptiska integralen inte uttryckas formellt i elementära funktioner . Undantagen är fall då den har flera rötter eller när polynomen i inte innehåller udda grader . $P$ $R(x,\;y)$ $y$

Men för varje elliptisk integral finns det formler för att reducera den till summan av elementära funktioner och från en till tre normala elliptiska integraler , kallade elliptiska integraler av 1:a, 2:a och 3:e slaget).

Historik

I integralräkning dök den elliptiska integralen upp i samband med problemet med att beräkna båglängden på en ellips och undersöktes först av Giulio Fagnano och senare av Leonhard Euler .

Notation

Elliptiska integraler representeras ofta som en funktion av ett antal olika argument. Dessa olika argument är helt likvärdiga (de ger samma integraler), men förvirring kan uppstå på grund av deras olika ursprung. I de flesta verk håller författarna sig till det kanoniska namnet. Innan du definierar själva integralerna är det nödvändigt att introducera namn för argumenten:

$\alfa$ - modulär vinkel (ibland indikeras modulvinkeln med en ligatur ); $o\!\varepsilon$
$k=\sin\alfa$ är modulen för den elliptiska integralen ;
$m=k^2=\sin^2 \alfa$ - parameter .

Det bör noteras att de normala elliptiska Legendre-integralerna, både kompletta och ofullständiga, till och med är funktioner av modulen (och den modulära vinkeln ). Deras definitionsdomän $k$ $\alfa$ $-1\leq k\leq +1.$

Ibland, främst i den sovjetiska vetenskapliga litteraturen, betyder parametern för den elliptiska integralen egenskapen hos den normala elliptiska Legendre-integralen av 3:e slaget (till exempel Korn G., Korn T. "Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer").

Observera att kvantiteterna ovan definieras i termer av varandra; definitionen av en av dem bestämmer de andra två.

Den elliptiska integralen beror också på en annan parameter, som, liksom den föregående, kan introduceras på flera sätt:

$x=\sin \varphi =\operatörsnamn {sn} u,$ var är Jacobis elliptiska funktion ; $\operatörsnamn {sn}$
$\varphi =\arcsin x=\operatörsnamn {am} u$ är amplituden ;

Att definiera en av dessa parametrar avgör resten. Således kan de användas omväxlande. Observera att det också beror på . Flera ytterligare ekvationer relaterar till andra parametrar: $u$ $m$ $u$

\cos \varphi =\operatörsnamn {cn} u

och

{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatörsnamn {dn} u.

Den senare kallas ibland deltaamplitud och skrivs som

\Delta (\varphi )=\operatörsnamn {dn} u.

Ibland hänvisas i litteraturen till en extra parameter , en extra modul eller en extra modulär vinkel . De skrivs in på följande sätt:

$m_1\,=\,1 - m$ — ytterligare parameter ;
$k'=\sqrt{1-k^2}$ - ytterligare modul ;
${k'}^{2}=m_{1}$ är en extra modulär vinkel .

Normal elliptisk integral av 1:a slaget (ofullständig)

Den normala elliptiska Legendre-integralen av det första slaget definieras som $F$

F(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^ {2}\theta }}}

eller, i Jacobi-form,

F(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dz}{\sqrt {(1-z^{2})(1-k^ {2}z^{2})}}}

Notationen för elliptiska integraler är inte allmänt accepterad. Det är nödvändigt att skilja mellan sådana separatorer mellan en variabel och en parameter, såsom "\", "|" och ",". Där ett vertikalt streck används som en separator följs det av integralparametern, medan det omvända snedstrecket följs av den modulära vinkeln. Framför allt förhållandet

F(\varphi ,\;\sin \alpha )=F(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha )=F(\varphi \setminus \alpha )

Specialfall

F(\varphi \setminus 0) = \varphi

;

F(i\varphi \setminus 0) = i\varphi

;

F(\varphi \setminus 90^{\circ })=\ln \left(\operatörsnamn {sek} \varphi +\operatörsnamn {tg} \varphi \right)=\ln \operatörsnamn {tg} \left ({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)

;

F(i\varphi \setminus 90^{\circ })=i\,\operatörsnamn {arctg} \left(\operatörsnamn {sh} \varphi \right)

;

Normal elliptisk integral av 2:a slaget (ofullständig)

Den normala elliptiska Legendre-integralen av 2:a slaget E definieras som

E(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ ,d\theta

eller genom att använda substitution $x=\sin \varphi ,$

E(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {\sqrt {1-k^{2}z^{2))}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz.

Specialfall

E(\varphi ,0)=\varphi

;

E(i\varphi ,0)=i\varphi

;

E(\varphi ,1)=\sin \varphi

;

E(i\varphi ,1)=i\,\operatörsnamn {sh} \varphi

Normal elliptisk integral av 3:e slaget (ofullständig)

Den normala elliptiska Legendre-integralen av det tredje slaget definieras som $\Pi$

\Pi (c;\;\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{(1+c\sin ^{ 2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta ))))

eller

\Pi (c;\;x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dx}{(1+cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2})}}}}

Talet kallas en egenskap och kan ta vilket värde som helst, oavsett de andra argumenten. Egenskaperna hos en elliptisk integral av det tredje slaget beror i huvudsak på karaktäristikens storlek. Observera att värdet på integralen tenderar att vara oändligt för alla . $c$ $\Pi (-1;\;\pi /2\mid m)$ $m$

Hyperboliskt skiftläge

(0 < c < m )

Låt oss introducera ytterligare notation:

\varepsilon =\operatörsnamn {arcsin} \,{\sqrt {\frac {n}{\sin ^{2}\alpha }}},\qquad 0\leqslant \varepsilon \leqslant {\frac {\pi }{2}}

;

\beta = \frac{\pi\,F(\varepsilon \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}

;

q=q(\alpha )

;

\nu = \frac{\pi\,F(\varphi \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}

;

{\displaystyle \delta _{1}={\sqrt {\frac {c}{(1-c)(\sin ^{2}\alpha -c)))))

;

K(\alfa)

är den kompletta normala elliptiska Legendre-integralen av det första slaget .

Sedan kan vi skriva integralen i termer av Jacobi theta-funktionerna :

\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=\delta _{1}\left(-{\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {\vartheta _{ 4}(\nu +\beta )}{\vartheta _{4}(\nu -\beta )}}+\nu \,{\frac {\vartheta _{1}'(\beta )}{\vartheta _{1}(\beta )}}\right),

var

\frac{1}{2}\,\ln\frac{\vartheta_4(\nu+\beta)}{\vartheta_4(\nu-\beta)} = 2 \sum_{s=1}^{\infty} \ frac{q^s}{s(1-q^{2s})}\sin{2s\nu}\,\sin\,{2s\beta}

och

{\frac {\vartheta _{1}'(\beta )}{\vartheta _{1}(\beta )))=\operatörsnamn {ctg} \,\beta +4\summa _{s= 1}^{\infty }{\frac {q^{2s}}{1-2q^{2s}\cos {2\beta }+q^{4s}}}\sin {2\beta }.

( c > 1)

Genom substitution reduceras detta fall till det föregående, eftersom $C = \frac{\sin^2\alpha}{c}$ $0<C<\sin ^{2}\alpha .$

Vi introducerar ytterligare en kvantitet

p_{1}={\sqrt {(c-1)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha}{c}}\right)))

Sedan:

\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=-\Pi (C;\;\varphi \setminus \alpha )+F(\varphi \setminus \alpha )+{\frac {1} {2p_{1))}\ln \left({\frac {\Delta (\varphi )+p_{1}\operatörsnamn {tg} \,\varphi }{\Delta (\varphi )-p_{1}\ operatornamn {tg} \,\varphi }}\right).

Cirkulär case

( m < c < 1)

Låt oss introducera ytterligare notation:

\varepsilon =\operatörsnamn {arcsin} \,{\sqrt {\frac {1-n}{\cos ^{2}\alpha }}},\qquad 0\leqslant \varepsilon \leqslant {\frac { \pi {2}};

\beta ={\frac {\pi \,F(\varepsilon \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{2\,K(\alpha )));

q=q(\alpha );

\nu ={\frac {\pi \,F(\varphi \setminus \alpha )}{2\,K(\alpha )));

\delta _{2}={\sqrt {\frac {c}{(1-c)(c-\sin ^{2}\alpha )))}.

Då är den elliptiska integralen lika med:

\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=\delta _{2}(\lambda -4\mu \nu ),

var

\lambda = \operatörsnamn{arctg}\,(\operatörsnamn{th}\,\beta\,\operatörsnamn{tg}\,\nu) + 2 \sum_{s=1}^{\infty} \frac{( -1)^{s-1}}{s}\frac{q^{2s}}{1-q^{2s}}\sin{2s\nu}\,\operatörsnamn{sh}\,{2s\ beta}

och

\mu ={\dfrac {\sum \limits _{s=1}^{\infty }sq^{s^{2}}\,\operatörsnamn {sh} \,{2s\beta }}{ 1+\summa \limits _{s=1}^{\infty }q^{s^{2}}\,\operatörsnamn {ch} \,{2s\beta }}}

( c < 0)

Genom substitution reduceras detta fall till det föregående, eftersom $C = \frac{\sin^2\alpha - c}{1-c}$ $\sin ^{2}\alpha \ <C<1.$

Låt oss introducera ytterligare kvantitet

p_{2}={\sqrt {\frac {-c\,(\sin ^{2}\alpha -c)}{1-c))}.

Sedan:

{\sqrt {(1-c)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{c))\right)))\,\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )={\sqrt {(1-C)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha}{C}}\höger)))\,\Pi (C;\ ;\varphi \setminus \alpha )\,+\,{\frac {\sin ^{2}\alpha \,F(\varphi \setminus \alpha )}{p_{2))}\,+\,\ operatornamn {arctg} \,\left({\frac {p_{2}}{2}}{\frac {\sin {2\varphi }}{\Delta (\varphi )))\right)

Den kompletta normala elliptiska Legendre-integralen av det första slaget

Om amplituden för den normala elliptiska Legendre-integralen av 1:a slaget är lika med , kallas den för den fullständiga normala elliptiska Legendre-integralen av 1:a slaget: $\varphi$ $\pi/2$

K(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2} \varphi }}}=F(\pi /2,\;k)

eller

K(k) = \int \limits_{0}^{1}\!\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2 x^2))).

Den kompletta elliptiska integralen av den första typen kan representeras som en potensserie :

K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n} n!^{2}}}\höger)^{2}k^{2n},

vilket motsvarar uttrycket

K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+ \left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\ldots +\left({\frac {(2n-1)!!} {(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\ldots \right),

där betecknar dubbelfaktorial . $n!!$

Den fullständiga elliptiska integralen av den första typen kan skrivas i termer av den hypergeometriska funktionen enligt följande:

K(k)={\frac {\pi }{2))\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2)),\;{\frac {1 }{2}};\;1;\;k^{2}\höger).

Specialfall

K(0)={\frac {\pi }{2)).

K(1)=\infty .

K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2 }}{4{\sqrt {\pi }}}}.

K\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {2^{-{\frac {7}{ 3))}3^{\frac {1}{4}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}.

K\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {2^{-{\frac {7}{ 3))}3^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}.

\operatörsnamn {sn} \,K=\sin {\frac {\pi }{2))=1.

\operatörsnamn {cn} \,K=\cos {\frac {\pi }{2}}=0.

\operatorname {dn} \,K={\sqrt {1-k^{2))}=k'.

Derivat av den fullständiga elliptiska integralen av det första slaget

{\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k))={\frac {E(k)}{k(1-k^{2))))) - {\frac {K(k)}{k)),

var är den fullständiga normala elliptiska Legendre-integralen av det andra slaget, definierad i nästa avsnitt. $E(k)$

Differentialekvation

Den kompletta elliptiska integralen av 1:a slaget är en lösning på differentialekvationen

{\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=kK(k ).

Den andra lösningen på denna ekvation är $K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right).$

Den kompletta normala elliptiska Legendre-integralen av 2:a slaget

Om amplituden för den normala elliptiska Legendre-integralen av 2:a slaget är lika med , kallas den för den fullständiga normala elliptiska Legendre-integralen av 2:a slaget: $\varphi$ $\pi/2$

E(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d\ varphi =E(\pi /2,\;k)

eller

E(k) = \int \limits_{0}^{1}\,\frac{\sqrt{1-k^2 x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Den kompletta elliptiska integralen av den andra typen kan representeras som en potensserie :

E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n} n!^{2}}}\höger)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}),

vilket motsvarar uttrycket

E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^ {2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}- \ldots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}- \ldots\right).

Den fullständiga elliptiska integralen av den andra typen kan skrivas i termer av den hypergeometriska funktionen enligt följande:

E(k)={\frac {\pi {2))\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2)),\;-{\frac { 1}{2}};\;1;\;k^{2}\höger).

Specialfall

E\left(0\right)={\frac {\pi }{2)).

E\left(1\right)=1.

E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)=\pi ^{\frac {3}{2}}\Gamma \left({\frac {1}{ 4}}\right)^{-2}+{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{8{\sqrt {\pi }}} }.

E\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{ -{\frac {3}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac { 10}{3}}}3^{-{\frac {1}{4}}}{\frac {{\sqrt {3}}+1}{\pi }}\Gamma \left({\frac { 1}{3}}\höger)^{3}.

E\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{ -{\frac {1}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac { 10}{3}}}3^{\frac {1}{4}}{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\pi }}\Gamma \left({\frac {1}{ 3}}\höger)^{3}.

Derivat av den fullständiga elliptiska integralen av 2:a slaget

{\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k))={\frac {E(k)-K(k)}{k)).

Differentialekvation

Den kompletta elliptiska integralen av 2:a slaget är en lösning på differentialekvationen

\left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE (k).

Den andra lösningen på denna ekvation är funktionen $E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right).$

Den kompletta normala elliptiska Legendre-integralen av tredje slaget

På samma sätt som de kompletta elliptiska integralerna av 1:a och 2:a slaget, kan vi introducera den fullständiga elliptiska integralen av 3:e slaget:

\Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;\pi /2,\;k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{(1+c\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi ))))

eller

\Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;1,\;k)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {dx}{(1 +cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2})))))

Hyperboliskt skiftläge

(0 < c < m)

\Pi(c \setminus \alpha) = K(\alpha) + \delta_1K(\alpha)\Zeta(\varepsilon \setminus \alpha)

var är Jacobi zeta-funktionen . $\Zeta(\varepsilon \setminus \alpha)$

(c > 1)

\Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )-\Pi (C\setminus \alpha ).

Cirkulär case

(m < c < 1)

\Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )+{\frac {1}{2}}\pi \delta _{2}\left(1-\Lambda _{0}(\ varepsilon \setminus \alpha )\right),

var är Heyman lambdafunktionen . $\Lambda_0(\varepsilon \setminus \alpha)$

(c < 0)

\Pi (c\setminus \alpha )=-{\frac {c\cos ^{2}\alpha \,\Pi (C\setminus \alpha )}{(1-c)(\sin ^{ 2}\alpha -n)))+{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\sin ^{2}\alpha -c}}K(\alpha ).

Partiella derivator

{\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (c,k)}{\partial c))&={\frac {1}{2\left(k^{2}-c\ höger)(c-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{c}}\left(k^{2}-c\right)K(k)+{\frac {1 }{c}}\left(c^{2}-k^{2}\right)\Pi (c,k)\right).\\[10px]{\frac {\partial \Pi (c,k) )}{\partial k}}&={\frac {k}{ck^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi ( c,k)\right).\end{aligned}}

Ytterligare elliptiska integraler (ofullständiga)

Jacobi zeta-funktion

Z(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi \setminus \alpha )-{\frac {E(\alpha )F(\varphi \setminus \alpha )}{K(\alpha ))) ;

Heymans lambdafunktion

\Lambda _{0}(\varphi \setminus \alpha )={\frac {F(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{K'(\alpha )))+{ \frac {2}{\pi }}K(\alpha )\,Z(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )

eller

\Lambda _{0}(\varphi \setminus \alpha )={\frac {2}{\pi }}\left(K(\alpha )\,E(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )-\left(K(\alpha )-E(\alpha )\right)\,F(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )\right).

Se även

Litteratur

Bobylev D.K. Elliptiska integraler och funktioner // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.

Länkar

Milne-Thomson L. Elliptiska integraler // Handbok för specialfunktioner med formler, grafer och tabeller / Ed. M. Abramowitz och I. Steegan; per. från engelska. ed. V.A. Ditkin och L.N. Karamzina. - M . : Nauka, 1979. - S. 401-441. — 832 sid. — 50 000 exemplar.
Korn G., Korn T. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer. — M.: Nauka, 1977.
Bateman G. Erdeyi A. Högre transcendentala funktioner . - Volym 3 (kap. 13).
Akhiezer NI Element i teorin om elliptiska funktioner. (Kapitel 3, 7).
Elliptiska funktioner (nedlänk) , Procedurer för Matlab .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Stor ryss Brockhaus och Efron Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4152029-4

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta