Oval Cassini

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 mars 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Cassini-ovalen är en kurva som är platsen för punkter , produkten av avstånden från vilka till två givna punkter (foci) är konstant och lika med kvadraten på ett visst antal . Det är ett specialfall av den toriska sektionen och Perseus-kurvan . $a$

Ett specialfall av Cassini-ovalen med en brännvidd lika med , är Bernoullis lemniscat . $2a$

I modern tid introducerades kurvan (återupptäcktes) av astronomen Giovanni Cassini . Han trodde felaktigt att det mer exakt bestämmer jordens omloppsbana än en ellips [1] . Även om denna linje kallas Cassini- ovalen , är den inte alltid oval (se nedan - Formegenskaper ).

Variationer (andra fall)

Kurva av konstant summa av avstånd till två givna punkter - ellips , konstant förhållande - cirkel av Apollonius , konstant skillnad - hyperbel .

Ekvationer

Avstånd mellan brännpunkter . $2c$

I rektangulära koordinater :

\textstil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Slutsats
Fokuserar - och . Ta en godtycklig punkt , hitta avståndet från brännpunkterna till den och likställ det med : $F_{1}(-c;0)$ $F_{2}(c;0)$ $M(x;y)$ $a^2$ $\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}=a^{2}$ Vi kvadrerar båda sidor av ekvationen: $\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(xc)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}$ Expandera fästena på vänster sida: $\textstil (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}$ Vi öppnar parenteserna, kollapsar den nya kvadraten på summan och tar ut den gemensamma faktorn: $\textstil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$

Slutsats

Fokuserar - och . Ta en godtycklig punkt , hitta avståndet från brännpunkterna till den och likställ det med :

F_{1}(-c;0)

F_{2}(c;0)

M(x;y)

a^2

\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}=a^{2}

Vi kvadrerar båda sidor av ekvationen:

\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(xc)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}

Expandera fästena på vänster sida:

\textstil (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}

Vi öppnar parenteserna, kollapsar den nya kvadraten på summan och tar ut den gemensamma faktorn:

\textstil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Explicit ekvation i rektangulära koordinater:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4c^{2}x^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

Slutsats
$\textstil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$ Vi kvadrerar och öppnar parenteserna: $\textstyle x^{4}+2x^{{2}}y^{2}+y^{4}-2c^{{2}}x^{2}+2c^{{2}}y^{ 2}=a^{4}-c^{4}$ Vi för tankarna till $\textstyle y^{4}+2y^{{2}}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{{2}}x^{2}-a^ {4}+c^{4}=0$ Detta är en andragradsekvation för . Att lösa det får vi $y^{2}$ $\textstil y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{{2}}c^{2}}}$ Om vi tar roten och kasserar alternativet med en negativ andra term får vi: $\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}$ där den positiva varianten definierar den övre halvan av kurvan, definierar den negativa varianten den nedre.

Slutsats

\textstil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Vi kvadrerar och öppnar parenteserna:

\textstyle x^{4}+2x^{{2}}y^{2}+y^{4}-2c^{{2}}x^{2}+2c^{{2}}y^{ 2}=a^{4}-c^{4}

Vi för tankarna till

\textstyle y^{4}+2y^{{2}}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{{2}}x^{2}-a^ {4}+c^{4}=0

Detta är en andragradsekvation för . Att lösa det får vi $y^{2}$

\textstil y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{{2}}c^{2}}}

Om vi tar roten och kasserar alternativet med en negativ andra term får vi:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

där den positiva varianten definierar den övre halvan av kurvan, definierar den negativa varianten den nedre.

I polärt koordinatsystem:

\rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos {2\varphi }=a^{4}-c^{4}

Slutsats
$\textstil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$ Med hjälp av formlerna för övergången till det polära koordinatsystemet får vi: $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ ${\Big (}\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{{2}}\varphi {\Big )}^{2}-2c^ {2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c ^{4}$ Vi tar ut de gemensamma faktorerna och använder den trigonometriska identiteten : $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ $\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}$ Låt oss använda en annan identitet : $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$ $\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}$

Slutsats

\textstil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Med hjälp av formlerna för övergången till det polära koordinatsystemet får vi: $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$

{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{{2}}\varphi {\Big )}^{2}-2c^ {2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c ^{4}

Vi tar ut de gemensamma faktorerna och använder den trigonometriska identiteten : $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}

Låt oss använda en annan identitet : $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}

Funktioner i formuläret

Kurvekvationen innehåller två oberoende parametrar: - halva avståndet mellan brännpunkterna och - kvadratroten av produkten av avstånden från brännpunkterna till valfri punkt på kurvan. Ur formsynpunkt är det viktigaste förhållandet mellan parametrar och inte deras värden, som med ett konstant förhållande endast bestämmer storleken på figuren. Sex typer av form kan särskiljas beroende på förhållandets storlek : $c$ $a$ $\textstil {\frac {c}{a}}$

$\textstyle {\frac {c}{a}}=\infty$ , det vill säga kl . $\textstil a=0$ $\textstyle c\neq 0$

Kurvan degenererar till två punkter som sammanfaller med brännpunkterna. När formen på kurvan tenderar till två punkter.

c\to\infty

$\textstyle 1<{\frac {c}{a}}<\infty$ , det är $\textstil 0<a<c$

Kurvan delar sig i två separata ovaler , som var och en sträcker sig mot den andra och är formad som ett ägg .

$\textstyle {\frac {c}{a}}=1$ , det är $\textstil a=c$

Den högra sidan av ekvationen i rektangulära koordinater (se ovan) försvinner och kurvan blir en Bernoulli-lemniscat .

$\textstyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}}}<{\frac {c}{a}}<1$ , det är $\textstyle c<a<c{\sqrt {2}}$

Kurvan har fyra symmetriska inflexionspunkter (en i varje koordinatkvadrant). Krökningen vid skärningspunkterna med axeln tenderar till noll när den tenderar till och till oändlighet när den tenderar att .

OY

a

c

a

c{\sqrt {2}}

$\textstyle 0<{\frac {c}{a}}\leqslant {\frac {1}({\sqrt {2}}}}$ , det är $\textstyle a\geqslant c{\sqrt {2}}$

Kurvan blir en oval , det vill säga en konvex sluten kurva .

$\textstyle {\frac {c}{a}}=0$ , alltså när $\textstil c=0$ $\textstil a\neq 0$

När förhållandet ökar (dvs. tenderar mot noll), tenderar kurvan till en cirkel med radie . Om , då förhållandet når noll, i vilket fall kurvan degenererar till en cirkel.

a

\textstil {\frac {c}{a}}

a

c=0

\textstil {\frac {c}{a}}

Egenskaper

Cassini-ovalen är en algebraisk kurva av fjärde ordningen.
Den är symmetrisk omkring mitten av segmentet mellan brännpunkterna.
At har två absoluta maximum och två minimum: $0<a<c{\sqrt {2}}$

{\begin{cases}x=\pm {\frac {{\sqrt {4c^{4}-a^{4)))){2c}}\\y=\pm {\frac {a^{2 }}{2c}}\end{cases}}

Platsen för punkter med absoluta maxima och minima är en cirkel med radie centrerad i mitten av segmentet mellan brännpunkterna.

c

Vid har kurvan fyra inflexionspunkter . Deras polära koordinater är: $c<a\leqslant c{\sqrt {2}}$

{\begin{cases}\rho ={\sqrt[ {4}]{{\frac {a^{4}-c^{4}}{3))))\\\cos 2\varphi =-{ \sqrt {{\frac {1}{3}}\left({\frac {a^{4}}{c^{4}}}-1\right)))\end{cases}}

Böjningspunkternas läge är en lemniscate med hörn .

\left(0;\pm c\right)

Krökningsradie för representation i polära koordinater :

R={\frac {a^{2}\rho }{\rho ^{2}+c^{2}\cos {2\varphi ))}={\frac {2a^{2}\rho ^{ 3}}{c^{4}-a^{4}+3\rho ^{4}}}

Applikation

Med tvåpositionsradar är måldetekteringsområdet en figur som begränsas av Cassini-ovalen, om vi tar strålkällans position som en av dess fokus och mottagarens position som den andra. På liknande sätt, inom astronomi, när man till exempel observerar asteroider som lyser med solens reflekterade ljus, beskrivs villkoren för deras upptäckt vid en given teleskopkänslighet av Cassinis ovala formel. I detta fall kommer detekterbarhetsgränsen att vara den yta som bildas av ovalens rotation runt axeln som förbinder solen och observatören.

Cassini ovaler på en torus (toroid)

Cassini-ovaler visas som plana sektioner av en torus , men bara när skärplanet är parallellt med torusens axel, och dess avstånd från axeln är lika med radien för cirkelns generatris (se figur).

Generaliseringar

Cassini-ovalen är ett specialfall av lemniscaten .

Cassini-ovalen är ett specialfall av Perseus-kurvan .

I synnerhet ekvationen för Perseus-kurvan i det kartesiska koordinatsystemet

(x^2 + y^2)^2 = ax^2 + by^2 + c

när går in i ekvationen för Cassini-ovalen ${\displaystyle a=-b=2c^{2},c=a^{4}-c^{4))$

\textstil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Se även

Litteratur

Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer), Moskva, "Soviet Encyclopedia", 1982, v. 2 D - Koo, sid. 759.
Markushevich A. I. Remarkable curves , Populära föreläsningar i matematik Arkiverad 26 augusti 2017 på Wayback Machine , nummer 4, Gostekhizdat 1952 , 32 sid.

Anteckningar

↑ E. Sklyarevsky . Cassini rymdovaler Arkiverad 5 december 2008 på Wayback Machine .

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta