Theodors spiral

Den teodoriska spiralen (även kallad kvadratroten av vinkelspiralen , Einsteinspiralen eller Pythagoras spiral ) [1]  är en approximation till den arkimediska spiralen , bestående av intilliggande rätvinkliga trianglar intill varandra. Den är uppkallad efter Theodore av Cyrene , en forntida grekisk vetenskapsman, känd som Platons lärare , som levde på 500-talet f.Kr. i Libyen.

Konstruktion

Spiralen börjar med en likbent rätvinklig triangel där varje ben har enhetslängd. Sedan läggs ytterligare en rätvinklig triangel till, vars ben är hypotenusan av föregående triangel (av längden √2 ) och det andra benet är av längden 1; längden på hypotenusan i den andra triangeln är √ 3 . Processen upprepas sedan; Den n:e triangeln i sekvensen är en rätvinklig triangel med benen √ n och 1 och med hypotenusan √ n + 1 . Till exempel har den 16:e triangeln sidor av storlek 4 (= √ 16 ), 1 och hypotenusa √ 17 .

Historik och användning

Även om alla Theodors verk är förlorade, nämnde Platon Theodore i sin dialog Theaetetus , som berättar om hans verk. I synnerhet står det att Theodore bevisade att alla kvadratrötter av icke-kvadrat-heltal från 3 till 17 är irrationella tal (Platon tillskriver inte Theodore beviset att kvadratroten ur 2 är irrationell , eftersom det var välkänt före honom) . Därefter klassificerade Theaetetus av Aten segmenten som producerar rationella kvadrater i två kategorier: i proportion till enhet och irrationella [2] [3] .

Det finns olika hypoteser om hur Theodore bevisade detta, och varför han slog sig ner på √17 . En av hypoteserna, som ägs av den tyske matematikern Anderhub, är att han gjorde det med hjälp av Theodores spiral [4] . I denna spiral tillhör hypotenusan √ 17 den sista triangeln som inte överlappar figuren som bildas av spiralen, vilket förklarar varför Theodore nådde √ 17 [5] . Detta är dock inte den enda möjliga förklaringen till detta faktum [3] .

Fortsättning av spiralen

År 1958 bevisade Erich Teuffel att inga två hypotenusor av trianglarna som utgör helixen ligger på samma stråle. Dessutom, om sidorna av enhetslängd sträcks ut till en rak linje, kommer de aldrig att passera genom någon av spiralens andra hörn [6] [7] .

Tillväxttakt

Vinkel

Om är vinkeln för den n :te triangeln (eller spiralsegmentet), då:

Således är ökningen av vinkeln efter den n :te triangeln: [1]

Summan av vinklarna för de första "k"-trianglarna, betecknas med den gemensamma vinkeln för den k: te triangeln. Den växer i proportion till kvadratroten av k , som är en begränsad funktion med en korrigeringsterm c 2 : [1]

var

Radie

Tillväxten av spiralradien för någon triangel med nummer n är lika med

Arkimedeisk spiral

Den teodoriska spiralen närmar sig den arkimedeiska spiralen . [1] . Eftersom avståndet mellan två varv i den arkimedeiska spiralen är lika med konstanten pi = 3,14 ..., när antalet varv i Theodors spiral tenderar till oändlighet, närmar sig avståndet mellan två på varandra följande varv snabbt π. [8] Nedan finns en tabell som visar approximationen av spiralens varv till pi:

Som visas, efter endast det femte varvet av helixen, är avståndet, med en noggrannhet på 99,97 %, en exakt approximation till π.

I det komplexa planet

I det komplexa planet kan spiralens hörn ges av följande enkla återfallsrelation :

var  är den imaginära enheten [9] .

Kontinuerlig kurva

Problemet med hur man interpolerar diskreta punkter i Theodore-spiralen för en jämn kurva föreslogs och löstes i ( Davis 2001 , s. 37–38) i analogi med Eulers formel för gammafunktionen som en approximation för faktorialen , Philip Davis hittade funktionen

som senare studerades av hans elev Geoffrey Lieder [10] och Arie Iserles (bilaga till ( Davis 2001 )). En axiomatisk karaktärisering av denna funktion ges i ( Gronau 2004 ) som den enda funktion som uppfyller funktionsekvationen

med initialvillkoret och är monoton både i argument och modulo . Där undersöks också alternativa förhållanden och avkopplingar. Ett alternativt bevis ges i ( Heuvers, Moak & Boursaw 2000 ). En analytisk fortsättning på den kontinuerliga Davis-funktionen för den teodoriska spiralen som sträcker sig i motsatt riktning från origo ges i ( Waldvogel 2009 ).

I figuren är noderna i den ursprungliga (diskreta) Theodores spiral markerade med små gröna cirklar. Blå cirklar är de som lades till under fortsättningen till den negativa (enligt parameterns värde är det också den polära radien) grenen. Endast noder med ett heltalsvärde av den polära radien är numrerade. Den orange prickade cirkeln är krökningscirkeln för spiralen vid origo .

Se även

• Spiral Farm

Anteckningar

1. ↑ 1 2 3 4 Hahn, Harry K., The Ordered Distribution of Natural Numbers on the Square Root Spiral, arΧiv : 0712.2184 .  
2. ↑ Plato & Dyde, Samuel Walters (1899), Theaetetus of Platon , J. Maclehose, sid. 86–87. , < https://books.google.com/books?id=wt29k-Jz8pIC&printsec=titlepage >  
3. ↑ 1 2 Van der Waerden. Uppvaknande vetenskap. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland . - M. : Nauka, 1959. - S. 199. - 456 sid. Arkiverad 27 mars 2009 på Wayback Machine
4. ↑ Theodorus spiral och summor av Zeta-värden vid halvheltalen  //  The American Mathematical Monthly. - 2012. - Vol. 119 , iss. 9 . — S. 779 . doi : 10.4169 / amer.math.monthly.119.09.779 . Arkiverad från originalet den 27 april 2019.
5. ↑ Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of √ −1 , Princeton University Press, sid. 33, ISBN 0-691-02795-1 , < https://books.google.com/books?id=WvcfqBgZDWQC&printsec=frontcover >  
6. ↑ Long, Kate En lektion om rotspiralen . Hämtad 30 april 2008. Arkiverad från originalet 4 april 2013.  (obestämd)
7. ↑ Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Semesterber. 6 (1958), sid. 148-152.
8. ↑ Hahn, Harry K. (2008), Fördelningen av naturliga tal delbara med 2, 3, 5, 7, 11, 13 och 17 på kvadratrotsspiralen, arΧiv : 0801.4422 .  
9. ↑ Gronau, 2004 .
10. ↑ Leader, JJ The Generalized Theodorus Iteration (avhandling), 1990, Brown University

Litteratur

• Davis, PJ (2001), Spirals from Theodorus to Chaos , A.K. Peters/CRC Press 
• Gronau, Detlef (mars 2004), The Spiral of Theodorus , The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). - T. 111 (3): 230–237 , DOI 10.2307/4145130 
• Heuvers, J.; Moak, DS & Boursaw, B (2000), The functional equation of the square rotspiral, i T.M. Rassias, Functional Equations and Inequalities , sid. 111–117 
• Waldvogel, Jörg (2009), Analytic Continuation of the Theodorus Spiral , < http://www.math.ethz.ch/~waldvoge/Papers/theopaper.pdf >