Talteori

Talteori eller högre aritmetik  är en gren av matematiken som ursprungligen studerade egenskaperna hos heltal . I modern talteori betraktas också andra typer av tal - till exempel algebraiska och transcendentala , samt funktioner av olika ursprung som är förknippade med aritmetiken av heltal och deras generaliseringar.

I studier om talteori används tillsammans med aritmetik och algebra geometriska och analytiska metoder, samt metoder för sannolikhetsteorin [1] . Talteorin påverkade i sin tur utvecklingen av matematisk analys , geometri , klassisk och modern algebra , teorin om summerbarhet av serier , sannolikhetsteori, etc. [2] .

Enligt sina metoder är talteorin uppdelad i fyra delar: elementär, analytisk, algebraisk och geometrisk. Talteoretiska metoder används i stor utsträckning inom kryptografi , beräkningsmatematik , datavetenskap [2] .

Klassificering

Elementär talteori

I elementär talteori studeras heltal utan att använda metoderna för andra grenar av matematiken. Bland de huvudsakliga tematiska områdena inom elementär talteori kan följande särskiljas [3] :

• Teorin om delbarhet av heltal.
• Euklids algoritm för att beräkna den största gemensamma divisorn och minsta gemensamma multipeln .
• Nedbrytning av ett tal i primära faktorer och aritmetikens grundläggande sats .
• Teori om kongruenser modulo , att lösa kongruenser.
• Fortsättning bråk , approximationsteori.
• Diofantiska ekvationer , det vill säga lösningen av obestämda ekvationer i heltal.
• Studiet av vissa klasser av heltal - perfekta tal , Fibonacci-tal , lockiga tal , etc.
• Fermats lilla sats och dess generalisering: Eulers sats .
• Att hitta pythagoras trillingar , problemet med fyra kuber .
• Underhållande matematik - till exempel konstruktion av magiska rutor .

Analytisk talteori

Analytisk talteori använder den kraftfulla apparaten för matematisk analys (både reell och komplex), ibland också teorin om differentialekvationer, för att härleda och bevisa påståenden om tal och numeriska funktioner . Detta gjorde det möjligt att avsevärt utöka omfattningen av forskning inom talteori. Den innehåller särskilt följande nya avsnitt [3] :

• Fördelning av primtal i den naturliga serien och i andra sekvenser (till exempel bland värdena för ett givet polynom).
• Representation av naturliga tal som summor av termer av ett visst slag ( primtal , potenser , figurativa tal , etc.), se Additiv talteori .
• Diofantin-approximationer .

Algebraisk talteori

I algebraisk talteori utökas begreppet ett heltal, och rötterna till polynom med rationella koefficienter betraktas som algebraiska tal . En allmän teori om algebraiska och transcendentala tal utvecklades . I det här fallet fungerar heltalsalgebraiska tal , det vill säga rötterna till enhetliga polynom med heltalskoefficienter , som en analog av heltal . Till skillnad från heltal, är den faktoriella egenskapen , det vill säga det unika med faktorisering till primtalsfaktorer, inte nödvändigtvis tillfredsställt i ringen av algebraiska heltal.

Teorin om algebraiska siffror har sitt utseende att tacka för studiet av Diophantine-ekvationer , inklusive försök att bevisa Fermats sista teorem . Kummer äger jämställdheten

var  finns rötterna till enhetens kraft. Således definierade Kummer nya heltal av formen . Senare visade Liouville att om ett algebraiskt tal är en rot av en gradsekvation , då kan det inte närma sig närmare än genom , närmar sig med bråkdelar av formen , där och  är coprime heltal [4] .

Efter definitionen av algebraiska och transcendentala tal i algebraisk talteori pekas ut en riktning som handlar om beviset på överskridandet av specifika tal, och en riktning som handlar om algebraiska tal och studerar graden av deras approximation med rationella och algebraiska. [4] .

Ett av de viktigaste knepen är att bädda in fältet med algebraiska tal i dess komplettering enligt några av måtten - arkimediska (till exempel i fältet reella eller komplexa tal) eller icke-arkimediska (till exempel i fältet p -adic-nummer ).

Geometrisk talteori

Geometrisk talteori studerar främst "spatiala gitter" - system av punkter med heltalskoordinater (i ett rektangulärt eller snett koordinatsystem). Dessa konstruktioner är av stor betydelse för geometri och för kristallografi , deras studie är nära förbunden med aritmetiska teorin om kvadratiska former och med andra viktiga grenar av talteorin. Grundaren av geometrisk talteorin var Herman Minkowski [2] .

Historisk översikt

Talteori i den antika världen

I det forntida Egypten utfördes matematiska operationer på heltal och alikvotbråk [5] . Matematisk papyrus innehåller problem med lösningar och hjälptabeller [6] . En ännu bredare användning av tabeller är karakteristisk för Babylon , som, efter sumererna, använde det sexagesimala talsystemet . Babyloniska matematiska kilskriftstexter inkluderar multiplikationstabeller och reciproka, kvadrater och kuber av naturliga tal [7] . I Babylon var många Pythagoras trippel kända, för sökandet som de förmodligen använde en okänd allmän teknik för [8] . Det äldsta arkeologiska fyndet i aritmetikens historia är ett fragment av lertavlan Plympton, 322 , med anor från 1800-talet f.Kr. e. Den innehåller en lista över Pythagoras trippel , det vill säga naturliga tal som . Det finns femsiffriga tal i trippel, och det finns för många av dem själva för att antyda att de erhölls genom mekanisk uppräkning av alternativ [1] .

Ett betydande bidrag till utvecklingen av talteorin gjordes av pytagoreerna, Euklid och Diophantus . Pytagoreerna ansåg bara positiva heltal och ansåg att ett tal var en samling enheter. Enheterna var odelbara och arrangerade i form av regelbundna geometriska kroppar. Pythagoranerna kännetecknas av definitionen av " lockiga tal " ("triangulära", "fyrkantiga" och andra). Genom att studera egenskaperna hos tal, delade de in dem i jämna och udda, primtal och sammansatta. Förmodligen var det pytagoreerna som, genom att bara använda testet av delbarhet med två, kunde bevisa att om  är ett primtal, så  är det ett perfekt tal . Beviset ges i Euklids element (IX, 36). Först på 1700-talet bevisade Euler att det inte finns några andra jämna perfekta tal, och frågan om oändligheten av antalet perfekta tal har ännu inte lösts. Pytagoreerna hittade också ett oändligt antal heltalslösningar av ekvationen , de så kallade Pythagoras trippel, och härledde en allmän formel för dem [9] .

Teorin om delbarhet dök upp 399 f.Kr. e. och tillhör tydligen Theaetetus . Euklid tillägnade bok VII av början och en del av bok IX till henne. Teorin bygger på Euklids algoritm för att hitta den största gemensamma delaren av två tal. Konsekvensen av algoritmen är möjligheten att sönderdela vilket tal som helst i primtalsfaktorer, såväl som det unika med en sådan sönderdelning. Lagen om unikhet av nedbrytning i primtalsfaktorer är grunden för heltalsaritmetik [10] .

Böckerna VII, VIII och IX, som ingår i Euklids element, ägnas åt primtal och delbarhet . I synnerhet beskriver den en algoritm för att hitta den största gemensamma delaren av två tal (Euklids algoritm) och bevisar oändligheten av uppsättningen av primtal [11] .

Diophantus av Alexandria , till skillnad från tidigare matematiker i antikens Grekland , löste problem i klassisk algebra genom att beskriva dem geometriskt. I sitt arbete "Arithmetic" listar han problemen med att hitta heltalslösningar för system av polynomekvationer (nu kallat Diophantine ) [11] . Diophantus arbete med lösningen av obestämda ekvationer i rationella tal står i skärningspunkten mellan talteori och algebraisk geometri. Han undersöker en andra ordningens ekvation i två variabler , som är ekvationen för ett koniskt snitt . Metoden med vilken Diophantus hittar rationella punkter i en kurva, om åtminstone en sådan är känd, fastställer att en andra ordningens kurva antingen innehåller en oändlig uppsättning punkter vars koordinater uttrycks som rationella funktioner för en parameter, eller inte innehåller dem alls. För att studera ekvationerna av tredje och fjärde ordningen används mer komplexa geometriska metoder (konstruktion av en tangent i en rationell punkt, eller en rät linje genom två rationella punkter för att hitta nästa skärningspunkt) [12] .

Talteori under medeltiden

Den kinesiska restsatsen ingick som en övning i Sun Tzus avhandling Sun Tzu Suan Jing ( kinesisk övning 孙子算经, pinyin sūnzǐ suànjīng ) [11] . Ett av de viktiga stegen utelämnades i hans lösning, det fullständiga beviset erhölls först av Aryabhata på 600-talet e.Kr. e. .

Indiska matematiker Aryabhata, Brahmagupta och Bhaskara löste diofantiska formens ekvationer i heltal. Dessutom löste de ekvationer av formen [11] i heltal , vilket var den högsta prestation av indiska matematiker inom talteorin. Därefter väckte denna ekvation och dess speciella fall uppmärksamhet från Fermat, Euler och Lagrange. Metoden som Lagrange föreslog för att hitta lösningen låg nära den indiska [13] .

Vidareutveckling av talteorin

Talteorin utvecklades vidare i Fermats verk , kopplad till lösningen av diofantiska ekvationer och delbarheten av heltal. I synnerhet formulerade Fermat en sats som för alla primtal och heltal , är delbar med , kallad Fermats lilla sats och formulerade dessutom en sats om olösligheten av den diofantiska ekvationen i heltal, eller Fermats stora sats [14] . I början av 1700-talet var Euler [15] oroad över generaliseringen av den lilla satsen och beviset för den stora satsen för särskilda fall . Han började också använda den kraftfulla matematiska analysapparaten för att lösa problem inom talteorin, genom att formulera metoden för att generera funktioner, Euler-identiteten , samt problem relaterade till tillägg av primtal [4] .

På 1800-talet arbetade många framstående vetenskapsmän med talteori. Gauss skapade teorin om jämförelser, med hjälp av vilken han bevisade ett antal satser om primtal, studerade egenskaperna hos kvadratiska rester och icke-rester, inklusive den kvadratiska reciprocitetslagen [15] , i jakt på ett bevis för vilket Gauss betraktas som ändliga serier av en viss typ, därefter generaliserade till trigonometriska summor. Genom att utveckla Eulers, Gauss och Dirichlets arbete skapade teorin om kvadratiska former. Dessutom formulerade de ett antal problem om antalet heltalspunkter i domäner på ett plan, varav särskilda lösningar gjorde det möjligt att bevisa en allmän sats om oändligheten av antalet enkla punkter i fortgångar av formen , där och är coprime [15] . Ytterligare studier av fördelningen av primtal utfördes av Chebyshev [16] , som visade en mer exakt än Euklides sats, lagen om att tendera till oändligheten av antalet primtal, bevisade Bertrands hypotes om förekomsten av ett primtal i intervallet , och utgjorde också problemet med att uppifrån uppskatta det minsta värdet av skillnaden mellan angränsande primtal (förlängning av frågan om primtvillingar) [4] .

I början av 1900-talet fortsatte A. N. Korkin , E. I. Zolotarev och A. A. Markov att arbeta med teorin om kvadratiska former. Korkin och Zolotarev bevisade satsen om variablerna för en positiv kvaternär kvadratisk form, och Markov studerade minima för binära kvadratiska former för en positiv determinant. Formlerna formulerade av Dirichlet för heltalspunkter i områden på planet utvecklades i verk av G. F. Voronoi, som 1903 bestämde ordningen för den återstående termen. 1906 överfördes metoden framgångsrikt till Gaussproblemet om antalet heltalspunkter i en cirkel av W. Sierpinski [4] .

År 1909 löste D. Hilbert Warings additivproblem [4] .

E. Kummer, som försökte bevisa Fermats teorem, arbetade med ett algebraiskt talfält, för den uppsättning tal som han tillämpade alla fyra algebraiska operationer och byggde därmed aritmetiken av heltal av ett algebraiskt talfält genererat av , introducerade begreppet ideal faktorer och gav impulser till skapandet av algebraisk talteori. År 1844 introducerade J. Liouville begreppen algebraiska och transcendentala tal , och formulerade på så sätt i matematiska termer Eulers anmärkning att kvadratrötter och logaritmer av heltal har grundläggande skillnader. Liouville visade att algebraiska tal är dåligt approximerade av rationella bråk. I slutet av 1800-talet arbetade sådana matematiker som Charles Hermite , som 1873 bevisade transcendens av ett nummer , F. Lindemann , som 1882 bevisade transcendens av ett nummer, på att bevisa transcendens av specifika tal . En annan riktning var studiet av graden av approximation av algebraiska tal med rationella eller algebraiska. Axel Thue arbetade i den , som 1909 bevisade satsen uppkallad efter honom [4] .

En annan arbetsriktning var Riemanns definition av zetafunktionen och beviset på att den analytiskt kan utvidgas till hela planet för en komplex variabel och har en rad andra egenskaper. Riemann antog också nollorna för zetafunktionen. Ch. la Vallée Poussin och Jacques Hadamard arbetade med zetafunktionerna och formulerade 1896 en asymptotisk lag för fördelningen av primtal. Metoden som användes av dem för att erhålla asymptotiska formler, eller metoden för komplex integration, blev allmänt använd senare [4] .

Under första hälften av 1900-talet arbetade Herman Weil med talteorins problem, som formulerade relationen för den enhetliga fördelningen av bråkdelar av heltalsfunktioner, G. Hardy och J. Littlewood, som formulerade den cirkulära metoden för att lösa additiv. problem, A. O. Gelfond och T. Gneider, som löste Hilberts sjunde problem , K. Siegel , som bevisade ett antal satser om funktionsvärdenas transcendens, B. N. Delone och D. K. Faddeev , som studerade den diofantiska ekvationen , A. Selberg , som arbetade i teorin om Riemanns zetafunktion [4] .

Ett stort bidrag till utvecklingen av talteorin gjordes av I. M. Vinogradov, som bevisade ojämlikheten om antalet kvadratiska rester och icke-rester på ett segment, definierade metoden för trigonometriska summor, vilket gjorde det möjligt att förenkla lösningen av Waring problem, såväl som att lösa ett antal problem om fördelningen av bråkdelar av en funktion, bestämma heltalspunkter i området på planet och i rymden, ordningen för tillväxten av zetafunktionen i den kritiska remsan. I problem relaterade till trigonometriska summor är det viktigt att uppskatta deras modul så exakt som möjligt. Vinogradov föreslog två metoder för en sådan bedömning. Dessutom utvecklade han tillsammans med sina elever ett antal metoder som gör det möjligt att lösa problem som härrör från Riemann-hypotesen [4] .

Många arbeten om talteori går tillbaka till andra hälften av 1900-talet. Yu. V. Linnik utvecklade en spridningsmetod, som gjorde det möjligt att härleda asymptotiska formler för Hardy-Littlewood-problemet och Titchmarsh-primtaldivisorproblemet [4] .

Samtidigt finns det ett stort antal öppna problem inom talteorin .

Se även

• Fermats sista sats
• Öppna problem i talteori

Anteckningar

1. ↑ 1 2 Talteori , sida 1  . Encyclopædia Britannica . Hämtad 6 juni 2012. Arkiverad från originalet 22 juni 2012.
2. ↑ 1 2 3 Matematik, dess innehåll, metoder och betydelse (i tre volymer). - Sovjetunionens vetenskapsakademi, 1956. - T. 2. - S. 226-227. — 397 sid.
3. ↑ 1 2 Nesterenko Yu. V., 2008 , sid. 3-6.
4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Talteori // Stora sovjetiska encyklopedin  : [i 30 volymer]  / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M .  : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
5. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 9.
6. ↑ Aritmetik // Stora sovjetiska encyklopedin  : [i 30 volymer]  / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M .  : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
7. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 37-39.
8. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. femtio.
9. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 68-69.
10. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 74-76.
11. ↑ 1 2 3 4 Talteori , sid 2  . Encyclopædia Britannica. Hämtad 6 juni 2012. Arkiverad från originalet 22 juni 2012.
12. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 146-148.
13. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 194-195.
14. ↑ Talteori , sida 3  . Encyclopædia Britannica. Hämtad 6 juni 2012. Arkiverad från originalet 22 juni 2012.
15. ↑ 1 2 3 Talteori , sid 4  . Encyclopædia Britannica. Hämtad 6 juni 2012. Arkiverad från originalet 22 juni 2012.
16. ↑ Talteori , sida 5  . Encyclopædia Britannica. Hämtad 6 juni 2012. Arkiverad från originalet 22 juni 2012.

Litteratur

• Irland K., Rosen M. Klassisk introduktion till modern talteori = A Classical Introduction to Modern Number Theory. — M .: Mir, 1987.
• Borevich Z. I., Shafarevich I. R. Talteori . — M .: Nauka, 1972. — 510 sid. Arkiverad 8 januari 2011 på Wayback Machine
• Vinogradov I.M. Grunderna i talteorin . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 sid.
  • Återutgåva: Vinogradov I.M. Fundamentals of Number Theory . - Moskva: Yurayt Publishing House, 2021. - 123 sid. — (tankens antologi). - ISBN 978-5-534-12085-1 .
• Matematikens historia. Från antiken till början av den nya tiden // Mathematics History / Redigerad av Yushkevich A.P. , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
• Koch H. Algebraisk talteori . - M .: VINITI , 1990. - T. 62. - 301 sid. - (Resultat av vetenskap och teknik. Serien "Modern problem of mathematics. Fundamental directions".).
• Manin Yu.I. , Panchishkin AA Introduktion till talteori . - M .: VINITI , 1990. - T. 49. - 341 sid. - (Resultat av vetenskap och teknik. Serien "Modern problem of mathematics. Fundamental directions".).
• Nesterenko Yu. V. Talteori: en lärobok för studenter. högre lärobok anläggningar. - M . : Publishing Center "Academy", 2008. - 272 sid. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .
• Siziy SV Föreläsningar om talteori . - Jekaterinburg: Ural State University uppkallad efter. A. M. Gorkij, 1999.
• Khinchin A. Ya. Tre pärlor av talteorin . — M .: Nauka, 1979. — 64 sid.

Länkar

• Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Talteori , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor norsk Stor ryss runt världen Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger BNE : XX4703223 BNF : 131627085 GND : 4067277-3 J9U : 987007538746905171 LCCN : sh85093222 NDL : 00570429 NKC : ph126576 SUDOC : 027270475