Gyllene spiral

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 april 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Den gyllene spiralen eller Fibonacci-spiralen är en logaritmisk spiral vars tillväxtfaktor är φ 4 , där φ  är det gyllene snittet . Tillväxtkoefficienten för en logaritmisk spiral visar hur många gånger spiralens polära radie har förändrats när den roteras genom en vinkel på 360° [1] . Denna spiral fick sitt namn på grund av dess koppling till en sekvens av kapslade rektanglar med ett bildförhållande lika med φ , som vanligtvis kallas gyllene . En gyllene spiral kan både inskrivas i ett system av sådana rektanglar och beskrivas runt den. Den gyllene spiralen blev populär på grund av att spiralen, känd från början av 1500-talet och använd i konsten [2] , byggd enligt Dürermetoden [3] [4] , visade sig vara en bra uppskattning för den gyllene spiralen (se figur).

Formel

Ekvationen för den gyllene spiralen i det polära koordinatsystemet är densamma som för andra logaritmiska spiraler , men med ett speciellt värde för tillväxtfaktorn - φ 4 :

,

där a  är en godtycklig positiv reell konstant och a  är det gyllene snittet .

Huvudegenskapen för en logaritmisk spiral: vinkeln mellan radievektorn som utgår från polen och tangenten till spiralen - μ - är konstant, och för den gyllene spiralen bestäms av formeln:

, var .

Var .

Approximationer av den gyllene spiralen

Det finns flera liknande spiraler som är nära, men inte exakt samma som den gyllene spiralen [5] , som de ofta förväxlas med.

Som redan nämnts ovan, när en gyllene spiral är inskriven i en sekvens av kapslade gyllene rektanglar, approximeras den av en spiral byggd enligt Dürer-metoden. Den gyllene rektangeln kan delas upp i en kvadrat och en liknande rektangel, som i sin tur kan delas upp på samma sätt, och denna process kan fortsätta ett godtyckligt antal gånger. Om de fjärdedelar av cirklar som är anslutna till varandra förs in i dessa rutor, erhålls en spiral, som visas i den första figuren.

En annan approximation är Fibonacci-spiralen , som är byggd som spiralen ovan, förutom att man börjar med en rektangel på två rutor och sedan lägger till en kvadrat med samma längd på den större sidan av rektangeln. När förhållandet mellan intilliggande Fibonacci-tal närmar sig det gyllene snittet, närmar sig spiralen den gyllene spiralen mer och mer när rutor läggs till (se andra figuren).

Spiraler i naturen

I naturen finns det approximationer till logaritmiska spiraler med en tillväxtfaktor lika med φ k . Så skal av blötdjur Nautilus pompilius och fossiliserade ammoniter är väl beskrivna vid k = 2, och skal av vissa sniglar vid k = 1. [ 6 ] spiralgalaxer , trots befintliga uttalanden [8] , om de beskrivs med en logaritmisk, då inte av en gyllene spiral. I det här fallet är beskrivningen av henne en manifestation av slumpmässig närhet. En nyligen genomförd analys av spiraler som hittats i mushornhinneepitel har visat att både gyllene och andra logaritmiska spiraler förekommer där. [9]

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Vygodsky M. Ya. Handbok för högre matematik. M.: Nauka, 1977, sid. 884.
  2. ↑ Prokhorov A. Golden Spiral, Kvant, 1984, nr 9.
  3. ↑ Arakelyan. G. Mathematics and history of the golden section, Moscow: Logos, 2014, sid. femtio.
  4. ↑ Albrecht Durer (1525): Unterweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, in Linien Ebnen und gantzen Corporen. Verlag Dr. Alfons Uhl (Reprint 2000), Nordlingen, ISBN 3 921503 65 5 (Engl. Transl.: The Painter's Manual, Abaris Books, New York 1977).
  5. ↑ Madden, 1999 , sid. 14–16.
  6. ↑ A.N. Kovalev, Än en gång om gyllene spiraler // Academy of Trinitarianism, M., El No. 77-6567, publ . pdf Arkiverad 13 oktober 2017 på Wayback Machine
  7. ↑ Petukhov S. V. Matrisgenetik, genetiska kodalgebror, brusimmunitet. - Moskva: Regular and Chaotic Dynamics, 2008. - S. 107.
  8. ↑ Gazale, 1999 , sid. 3.
  9. ↑ Rhee, 2015 , sid. 22–38.

Litteratur

 gyllene snittet
"Gyllene" figurer
Andra avsnitt
Övrig