Irrationella tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π och π | |
Notation | Antal poäng |
Decimal | 3.1415926535897932384626433832795... |
Binär | 11,00100100001111110110… |
Hexadecimal | 3.243F6A8885A308D31319... |
Sexagesimal | 3; 08 29 44 00 47 25 53 07 … |
Rationella approximationer | 22 ⁄ 7 , 179 ⁄ 57 , 223 ⁄ 71 , 333 ⁄ 106 , 355 ⁄ 113 , 103 993 ⁄ 33 102 (listade i ordning efter ökande noggrannhet) |
Fortsatt bråkdel | [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, …]
(Detta fortsatta bråk är inte periodiskt . Skrivet i linjär notation) |
Trigonometri | radian = 180° |
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4 999999 837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 598253 4904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195920 1984
…
(uttalas " pi ") är en matematisk konstant som är lika med förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter [K 1] . Betecknas med bokstaven i det grekiska alfabetet " π ". Från och med juni 2022 är de första 100 biljonerna decimalerna av pi kända [2] .
Talet är irrationellt , det vill säga dess värde kan inte exakt uttryckas som ett bråk , där är ett heltal och är ett naturligt tal. Därför tar dess decimalrepresentation aldrig slut och är inte periodisk . Det irrationella i ett tal bevisades först av Johann Lambert 1761 [3] genom att expandera tangenten till en fortsatt bråkdel . År 1794 gav Legendre ett mer rigoröst bevis på irrationaliteten i siffrorna och . Flera bevis finns detaljerade i artikeln Bevis på att π är irrationell .
- transcendentalt tal , det vill säga det kan inte vara roten till något polynom med heltalskoefficienter. Överskridandet av ett nummer bevisades 1882 av Lindemann , professor vid Königsberg och senare vid universitetet i München . Beviset förenklades av Felix Klein 1894 [4] . Eftersom området för en cirkel och omkretsen i euklidisk geometri är funktioner av ett tal , satte beviset på transcendens stopp för försöken att kvadrera cirkeln , som varade i mer än 2,5 tusen år.
1934 Gelfond bevisade [5] att antalet är transcendent . År 1996, Yuri Nesterenko bevisade att för alla naturliga tal och är algebraiskt oberoende , varav, i synnerhet, följer det [6] [7] att siffrorna och är transcendenta .
är ett element i periodringen (och därmed ett beräkningsbart och aritmetiskt tal ). Men det är inte känt om det tillhör ringen av perioder.
Det finns många formler för att beräkna antalet :
Detta är den första kända explicita representationen med ett oändligt antal operationer. Det kan bevisas enligt följande. Att tillämpa identiteten rekursivt och passera till gränsen får vi Det återstår att ersätta och använda dubbelvinkelkosinusformeln :
För första gången använde den brittiske matematikern William Jones 1706 [10] beteckningen på detta nummer med en grekisk bokstav , och den blev allmänt accepterad efter Leonard Eulers arbete 1737. Denna beteckning kommer från den första bokstaven i de grekiska orden περιφέρεια - cirkel, periferi och περίμετρος - omkrets [11] .
Studiet av talet och förfining av dess betydelse gick parallellt med utvecklingen av all matematik och tog flera årtusenden. Studerades först ur geometrins synvinkel , sedan visade utvecklingen av matematisk analys på 1600-talet universaliteten av detta nummer.
Det faktum att förhållandet mellan omkretsen och diametern är detsamma för vilken cirkel som helst, och att detta förhållande är lite mer än 3, var känt för de fornegyptiska , babyloniska , forntida indiska och antika grekiska geometrarna, de äldsta uppskattningarna går tillbaka till det tredje årtusendet f.Kr. e.
I det forntida Babylon togs det lika med tre, vilket motsvarade ersättningen av omkretsen med omkretsen av hexagonen inskriven i den . Arean av en cirkel definierades [12] som kvadraten på omkretsen dividerat med 12, vilket också överensstämmer med antagandet . De tidigaste kända mer exakta approximationerna går tillbaka till omkring 1900 f.Kr. e.: detta är 25/8 = 3.125 (lertavla från Susa från perioden av det gamla babyloniska riket ) [13] och 256/81 ≈ 3.16 (egyptisk papyrus Ahmes från perioden för Mellanriket ); båda värdena skiljer sig från det verkliga värdet med inte mer än 1%. Den vediska texten " Shatapatha Brahmana " ger som en approximation bråkdelen 339/108 ≈ 3,139 .
Den kinesiske filosofen och vetenskapsmannen Zhang Heng föreslog på 200-talet två ekvivalenter för antalet: 92/29 ≈ 3,1724 och ≈ 3,1622. I jainismens heliga böcker , skrivna på 500-600-talen f.Kr. t.ex. fann man att det då i Indien antogs lika [14]
Arkimedes kan ha varit den första att föreslå ett matematiskt sätt att beräkna . För att göra detta skrev han in i en cirkel och beskrev vanliga polygoner runt den . Med en cirkels diameter som enhet betraktade Arkimedes omkretsen av den inskrivna polygonen som den nedre gränsen för cirkelns omkrets, och omkretsen av den omskrivna polygonen som den övre gränsen. Med tanke på en vanlig 96-gon fick Arkimedes en uppskattning och föreslog för en ungefärlig beräkning den övre av gränserna han hittade: - 22/7 ≈ 3,142857142857143.
Nästa approximation i europeisk kultur är förknippad med astronomen Claudius Ptolemaios (ca 100 - ca 170), som skapade en tabell med ackord i steg om en halv grad, vilket gjorde att han kunde få en approximation av 377 / 120 , vilket är ungefär lika med hälften av omkretsen av 720-gonen inskriven i enhetscirkeln [15] . Leonardo av Pisa ( Fibonacci ) i boken " Practica Geometriae " (cirka 1220), som tydligen tar Ptolemaios approximation som den nedre gränsen för , ger hans approximation [16 ] - 864/275 . Men det visade sig vara värre än Ptolemaios, eftersom den senare gjorde ett misstag när han bestämde ackordets längd en halv grad uppåt, vilket resulterade i att approximationen 377/120 visade sig vara den övre gränsen för .
I Indien, Aryabhata och Bhaskara använde jag uppskattningen 3,1416. Varahamihira på 600-talet använder approximationen i Pancha Siddhantika .
Omkring 265 e.Kr. e. Wei- matematikern Liu Hui tillhandahöll en enkel och exakt iterativ algoritm för beräkning med vilken precision som helst. Han utförde självständigt beräkningen för 3072-gon och fick ett ungefärligt värde för enligt följande princip:
Senare kom Liu Hui på en snabb beräkningsmetod och kom fram till ett ungefärligt värde på 3,1416 med bara en 96-gon, och utnyttjade det faktum att skillnaden i area för på varandra följande polygoner bildar en geometrisk progression med en nämnare på 4.
På 480-talet visade den kinesiske matematikern Zu Chongzhi att ≈ 355/113 och visade att 3,1415926 < < 3,1415927 med hjälp av Liu Huis algoritm applicerad på en 12288-gon. Detta värde förblev den mest exakta approximationen av antalet under de kommande 900 åren.
Fram till 2:a millenniet var inte mer än 10 siffror kända . Ytterligare stora framsteg i studien är förknippade med utvecklingen av matematisk analys , i synnerhet med upptäckten av serier , som gör det möjligt att beräkna med vilken noggrannhet som helst och summera ett lämpligt antal termer i serien.
Madhava-raden - LeibnizPå 1400 -talet hittade Madhava från Sangamagrama den första av dessa rader:
Detta resultat är känt som Madhava-Leibniz- serien eller Gregory-Leibniz-serien (efter att den återupptäcktes av James Gregory och Gottfried Leibniz på 1600-talet). Men denna serie konvergerar till mycket långsamt, vilket leder till svårigheten att beräkna många siffror i ett tal i praktiken - det är nödvändigt att lägga till cirka 4000 termer av serien för att förbättra Archimedes uppskattning. Men genom att konvertera denna serie till
Madhava kunde beräkna som 3,14159265359 genom att korrekt identifiera 11 siffror i nummerinmatningen. Detta rekord slogs 1424 av den persiske matematikern Jamshid al-Kashi , som i sitt arbete med titeln "Treatise on the Circle" gav 17 siffror av numret , varav 16 är korrekta.
Ludolf nummerDet första stora europeiska bidraget sedan Arkimedes var det från den holländska matematikern Ludolf van Zeulen , som ägnade tio år åt att beräkna ett tal med 20 decimalsiffror (detta resultat publicerades 1596). Genom att tillämpa Arkimedes metod förde han fördubbling till n -gon, där n = 60 2 29 . Efter att ha beskrivit sina resultat i uppsatsen "Om omkretsen" ("Van den Circkel"), avslutade Ludolf den med orden: "Den som har en önskan, låt honom gå längre." Efter hans död hittades 15 mer exakta siffror av numret i hans manuskript . Ludolph testamenterade att tecknen han hittade var ristade på hans gravsten. För att hedra honom kallades numret ibland för "Ludolf-numret" eller "Ludolf-konstanten".
Ludolftalet är ett ungefärligt värde för ett tal med 35 giltiga decimaler [17] .
Vietas formel för att approximera πUngefär vid denna tid började metoder för att analysera och definiera oändliga serier att utvecklas i Europa. Den första sådana representationen var Vietas formel för att approximera talet π :
,hittades av François Viet 1593.
Wallis formelEtt annat känt resultat var Wallis-formeln :
,uppfödd av John Wallis 1655.
Liknande verk:
En produkt som bevisar ett samband med siffran e
Metoder baserade på identiteter
I modern tid används analytiska metoder baserade på identiteter för beräkningar . Formlerna som anges ovan är till liten användning för beräkningsändamål, eftersom de antingen använder långsamt konvergerande serier eller kräver en komplex operation för att extrahera en kvadratrot.
MaskinformlerDet första effektiva och moderna sättet att hitta ett tal (liksom naturliga logaritmer och andra funktioner), baserat på teorin om serier och matematisk analys som utvecklats av honom, gavs 1676 av Isaac Newton i hans andra brev till Oldenburg [18] , expanderar i en serie . Baserat på denna metod hittades den mest effektiva formeln 1706 av John Machin
Expandera bågtangensen till en Taylor-serie
,du kan få en snabbt konvergent serie, lämplig för att beräkna ett tal med stor noggrannhet.
Formler av denna typ, nu kända som Machins formler , har använts för att sätta flera på varandra följande rekord och har förblivit de mest kända metoderna för snabb beräkning av datorer. Ett enastående rekord sattes av den fenomenale räknaren Johann Daze , som 1844, på order av Gauss, tillämpade Machins formel för att beräkna 200 siffror . Det bästa resultatet i slutet av 1800-talet erhölls av engelsmannen William Shanks , som tog 15 år att beräkna 707 siffror. Han gjorde dock ett misstag i den 528:e siffran, som ett resultat av vilket alla efterföljande siffror visade sig vara felaktiga [19] . För att undvika sådana fel utförs moderna beräkningar av detta slag två gånger. Om resultaten stämmer överens är de sannolikt korrekta. Shanks bugg upptäcktes av en av de första datorerna 1948; han räknade också 808 tecken på några timmar .
Pi är ett transcendentalt talTeoretiska framsteg under 1700-talet ledde till insikter om antalets natur som inte kunde uppnås enbart genom numeriska beräkningar. Johann Lambert bevisade irrationalitet 1761 och Adrien Legendre bevisade irrationalitet 1774 . År 1735 etablerades ett samband mellan primtal och när Leonhard Euler löste det berömda Basel-problemet – problemet med att hitta det exakta värdet
,vilket visade sig vara lika . Både Legendre och Euler föreslog att det kunde vara transcendentalt , vilket så småningom bevisades 1882 av Ferdinand von Lindemann .
1945 förenklade Cartwright Charles Hermites elementära bevis på att ett nummer är irrationellt .
Symbol " "William Jones synopsis Palmoriorum Mathesios , 1706, tros vara den första som introducerade användningen av en grekisk bokstav för denna konstant, men denna notation blev allmänt accepterad efter att Leonhard Euler antog den (eller kom fram till den självständigt) 1737 [11 ] . Euler skrev: " Det finns många andra sätt att hitta längderna eller ytorna på motsvarande kurva eller plan figur, vilket avsevärt kan underlätta övningen; till exempel, i en cirkel är diametern relaterad till omkretsen som 1 till ".
Den digitala teknikens era på 1900-talet ledde till en ökning av hastigheten för uppkomsten av dataposter. John von Neumann och andra använde ENIAC 1949 för att beräkna 2037 siffror , vilket tog 70 timmar. 1961 beräknade Daniel Shanks 100 000 tecken på en IBM 7090 , och miljonstrecket passerades 1973 [K 2] . Dessa framsteg berodde inte bara på snabbare hårdvara, utan också på nya algoritmer.
Den holländska matematikern Leutzen Brouwer nämnde under första hälften av 1900-talet som ett exempel på en meningslös uppgift sökandet i decimalexpansionen av en sekvens - enligt hans åsikt kommer den noggrannhet som behövs för detta aldrig att uppnås. I slutet av 1900-talet upptäcktes denna sekvens, den börjar på 17 387 594 880 decimaler [20] .
I början av 1900-talet upptäckte den indiske matematikern Srinivasa Ramanujan många nya formler för , av vilka några blev kända för sin elegans och matematiska djup. En av dessa formler är en serie:
.Bröderna Chudnovsky fann 1987 liknande det:
,vilket ger cirka 14 siffror för varje medlem i serien. Paret Chudnovskys använde denna formel för att sätta flera datorrekord i slutet av 1980-talet, inklusive ett som resulterade i 1 011 196 691 decimalsiffror 1989.
Denna formel används i program som beräknar på persondatorer, till skillnad från superdatorer , som sätter moderna rekord.
Medan sekvensen vanligtvis förbättrar noggrannheten med ett fast belopp för varje efterföljande term, finns det iterativa algoritmer som "multiplicerar" antalet korrekta siffror vid varje steg, men kräver höga beräkningskostnader vid vart och ett av dessa steg.
Ett genombrott i detta avseende gjordes 1975, när Richard Brent och Eugene Salamis oberoende upptäckte Brent-Salamin-algoritmen , som, med enbart aritmetik, fördubblar antalet kända tecken i varje steg [21] . Algoritmen består av att ställa in initiala värden
och iterationer:
,tills a n och b n är tillräckligt nära. Då ges uppskattningen av formeln
Med detta schema räcker 25 iterationer för att få 45 miljoner decimaler. En liknande algoritm som fyrdubblar precisionen vid varje steg hittades av Jonathan Borwain Peter Borwain [22] . Med dessa metoder satte Yasumasa Canada och hans grupp, med början 1980, flest datorrekord upp till 206 158 430 000 tecken 1999. 2002 satte Kanada och hans grupp ett nytt rekord på 1 241 100 000 000 decimaler. Medan de flesta av Kanadas tidigare rekord sattes med Brent-Salamin-algoritmen, använde 2002 års beräkning två formler av Machin-typ som var långsammare men drastiskt minskad minnesanvändning. Beräkningen utfördes på en Hitachi - superdator med 64 noder med 1 terabyte RAM-minne som klarar av att utföra 2 biljoner operationer per sekund.
En viktig ny utveckling är Bailey-Borwain-Pluff-formeln , upptäckt 1997 av Simon Pluff och uppkallad efter författarna till artikeln där den först publicerades [23] . Denna formel
anmärkningsvärt genom att det låter dig extrahera vilken specifik hexadecimal eller binär siffra som helst i ett tal utan att beräkna de föregående [23] . Från 1998 till 2000 använde det distribuerade beräkningsprojektet PiHex en modifierad Bellard-formel för att beräkna den kvadriljonte biten av talet , som visade sig vara noll [24] .
2006 hittade Simon Pluff, med hjälp av PSLQ-algoritmen, ett antal vackra formler [25] . Låt då q = e π
och andra typer
,där q \ u003d e π , k är ett udda tal och a , b , c är rationella tal . Om k har formen 4 m + 3, har denna formel en särskilt enkel form:
för ett rationellt p vars nämnare är ett väl faktoriserbart tal, även om ett noggrant bevis ännu inte har tillhandahållits.
I augusti 2009 beräknade forskare från det japanska universitetet i Tsukuba en sekvens på 2 576 980 377 524 decimaler [26] .
Den 19 oktober 2011 beräknade Alexander Yi och Shigeru Kondo sekvensen till inom 10 biljoner decimaler [27] [28] . Den 28 december 2013 beräknade de också sekvensen med en noggrannhet på 12,1 biljoner siffror efter decimalkomma [29] .
Den 14 mars 2019, när den inofficiella högtiden för talet pi firades, introducerade Google detta nummer med 31,4 biljoner decimaler. Emma Haruka-Iwao, en Google-anställd i Japan, lyckades beräkna det med sådan noggrannhet [30] .
I augusti 2021 kunde schweiziska forskare vid Graubünden University of Applied Sciences beräkna ett tal med en noggrannhet på 62,8 biljoner decimaler, och uppdaterade tidigare rekord. Beräkningarna gjordes på en superdator under 108 dagar och nio timmar. Beräkningshastigheten var dubbelt så hög som rekordet av Google 2019 och 3,5 gånger rekordet 2020, då mer än 50 biljoner decimaler beräknades i ett tal [31] [32] .
Den 9 juni 2022 beräknade ett Google-team ledd av Emma Haruka-Iwao de första 100 biljonerna decimalerna av pi på nästan 158 dagar [2] [33] .
Programmet " Super Pi ", som fixar tiden det tar att beräkna ett givet antal siffror (upp till 32 miljoner) av Pi, kan användas för att testa datorers prestanda .
siffra | Avrundat värde | Noggrannhet (sammanfall av siffror ) |
3,14159265… | ||
3,14 285714… | 2 decimaler | |
3,141 66667… | 3 decimaler | |
3,141592 92… | 6 decimaler |
siffra | Hur många gånger dyker det upp |
---|---|
0 | 20 000 030 841 |
ett | 19 999 914 711 |
2 | 20 000 013 697 |
3 | 20 000 069 393 |
fyra | 19 999 921 691 |
5 | 19 999 917 053 |
6 | 19 999 881 515 |
7 | 19 999 967 594 |
åtta | 20 000 291 044 |
9 | 19 999 869 180 |
Det finns dock inga rigorösa bevis.
På ett plan fodrat med likvida linjer kastas slumpmässigt en nål, vars längd är lika med avståndet mellan intilliggande linjer, så att nålen i varje kast antingen inte korsar linjerna, eller korsar exakt en. Det kan bevisas att förhållandet mellan antalet skärningar av nålen med någon linje och det totala antalet kast tenderar att när antalet kast ökar till oändligt [41] . Denna nålmetod är baserad på sannolikhetsteori och ligger till grund för Monte Carlo-metoden [42] .
Dikter för att memorera 8-11 siffror av numret π:
För att inte göra misstag |
Tre, fjorton, femton, |
Memorering kan underlättas genom att observera den poetiska storleken:
Tre, fjorton, femton, nio två, sex fem, tre fem
Åtta nio, sju och nio, tre två, tre åtta, fyrtiosex
Två sex fyra, tre tre åtta, tre två sju nio, fem noll två
åtta åtta och fyra, nitton sju en
Det finns verser där de första siffrorna i talet π är krypterade som antalet bokstäver i ord:
Detta vet jag och minns perfekt: Och
Lär dig och vet i det kända numret |
Sedan Kolya och Arina |
Liknande verser fanns också i ortografi före reformen . Till exempel, följande dikt, komponerad av läraren vid Nizhny Novgorod gymnasium Shenrok [43] :
Den som skämtsamt och snart vill
lära känna Pi, vet redan numret.
Världsrekordet för att memorera decimaler tillhör den 21-åriga indiske studenten Rajveer Meena, som i mars 2015 återgav 70 000 decimaler på 9 timmar och 27 minuter [44] . Dessförinnan, i nästan 10 år, hölls rekordet av kinesen Liu Chao, som 2006 återgav 67 890 decimaler utan fel inom 24 timmar och 4 minuter [45] [46] . Samma 2006 uppgav japanen Akira Haraguchi att han kom ihåg numret upp till 100 000:e decimalen [47] , men det var inte officiellt verifierat [48] .
I Ryssland sattes memoreringsrekordet 2019 av Denis Babushkin (13 202 tecken) [49] .
Låt oss se med vilken noggrannhet det är möjligt, med hjälp av siffrorna Pi (Pi-tal), för att beräkna omkretsen, vars radie är lika med jordens genomsnittliga avstånd från solen (150 000 000 km). Om vi tar 18 siffror för Pi, kommer ett fel på en enhet i den sista siffran att innebära ett fel på 0,0003 millimeter i längden av den beräknade cirkeln; det är mycket mindre än hårets tjocklek.
Vi tog 18 siffror av Pi. Det är lätt att föreställa sig vilket ofattbart litet fel som skulle ha gjorts, med tanke på hur stor den beräknade cirkeln är, om alla kända siffror använts för Pi. Av det som har sagts är det tydligt hur fel de har som tror att vetenskaperna skulle ändra sin form, och deras tillämpningar skulle ha stor nytta av att hitta en exakt Pi, om den fanns.
Så, även för astronomi‚ - vetenskapen som tar till de mest exakta beräkningarna‚ - krävs inte en helt korrekt lösning ...
![]() | ||||
---|---|---|---|---|
|
Irrationella siffror | ||
---|---|---|
| ||