Superellips

Superellips ( Lame curve ) är en geometrisk kurva definierad i kartesiska koordinater av ekvationen

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1

där n , a och b är positiva tal.

Formeln definierar en sluten kurva som begränsas av en rektangel − a ≤ x ≤ + a och − b ≤ y ≤ + b . Parametrarna a och b kallas semi-axlar eller semi-diametrar av kurvan.

När n är mellan 0 och 1 ser superellipsen ut som en fyruddig stjärna med konkava sidor. I synnerhet för n = 1/2 är stjärnans sidor paraboler .

När n = 1 är kurvan en romb med hörn (± a , 0) och (0, ± b ). För n mellan 1 och 2 ser kurvan ut som en romb med konvexa sidor.

För n = 2 förvandlas kurvan till en ellips (i synnerhet för a = b förvandlas den till en cirkel). För n > 2 ser kurvan ut som en rektangel med rundade hörn. Vid punkterna (± a , 0) och (0, ± b ) är kurvans krökning noll.

För n < 2 kallas kurvan ibland för en "hypoellips" och för n > 2 en "hyperellips".

Superellipsens extrempunkter är lika med (± a , 0) och (0, ± b ), och koordinaterna för "hörnen" (det vill säga skärningspunkterna med diagonalerna för den omskrivna rektangeln) är (± sa, ±sb ), där [1] ). ${\displaystyle s=2^{-1/n))$

Algebraiska egenskaper

När n är ett icke-noll rationellt tal p / q , är superellipsen en algebraisk kurva . För positiv n är ordningen pq , för negativ n är den 2 pq . Speciellt när a = b = 1 och n är ett jämnt heltal, är superellipsen en Fermat-kurva av grad n . I det här fallet är det inte singular, även om det i allmänhet är singular ..

Till exempel, om x 4/3 + y 4/3 = 1, så är kurvan en algebraisk kurva av grad 12 av det tredje slaget som ges av den implicita ekvationen

(x^{4}+y^{4})^{3}-3(x^{4}-3x^{2}y^{2}+y^{4})(x^{ 4}+3x^{2}y^{2}+y^{4})+

+3(x^{4}+y^{4})-1=0,

eller parametrisk ekvation

\left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \ höger)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2} }

eller

{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{n))\cdot a\operatörsnamn {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatörsnamn {sgn}(\sin \theta ). \end{aligned}}

Arean av en superellips uttrycks med formeln

S=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n))\right)\right)^{2)){\Gamma \left(1+{ \tfrac {2}{n}}\right)}}.

Generaliseringar

Superellipsen kan generaliseras som:

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m n>0.

eller

{\begin{aligned}x(\theta )&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m))\cdot a\operatörsnamn {sgn}(\cos \theta )\ \y(\theta )&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatörsnamn {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}

(här är en parameter som inte ska tolkas som en vinkel). $\theta$

Historik

Superellipsen i form av en ekvation i kartesiska koordinater som en generalisering av den vanliga ellipsen föreslogs först av Gabriel Lame (1795-1870).

"Uppfinnandet" av superellipsen tillskrivs ibland felaktigt den danske poeten och vetenskapsmannen Piet Hein (1905-1996). År 1959 utlyste Stockholms arkitektkontor en tävling om att rita en rondell runt Sergelstorgs torg . Piet Hein vann tävlingen genom att föreslå en superellipstransportring med n = 2,5 och a / b = 6/5 [2] . Rekonstruktionen av torget slutfördes 1967. Hein använde superellipsen i andra mönster - sängar, tallrikar, bord [3] . Genom att rotera superellipsen runt dess långa axel, producerade han " superägget ", som blev en populär leksak eftersom det, till skillnad från ett vanligt ägg, kunde stå på en plan yta.

1968, när delegationerna vid Vietnamkrigsförhandlingarna i Paris inte kunde enas om bordets form, föreslogs ett superellipsbord [2] . Azteca Stadium i Mexico City , huvudstadion under de olympiska spelen 1968, har en superelliptisk form .

Waldo Tobler utvecklade 1973 en kartprojektion känd som Toblers hyperelliptiska projektion , där meridianerna är superellipser [4] .

Typsnittet Melior , skapat av Hermann Zapf 1952, har superelliptiska "o":n. Man tror att Zapf valde bokstavens form intuitivt, utan att ha någon aning om det matematiska innehållet i denna form, och först senare noterade Piet Hein likheten mellan elementen i vissa bokstäver i teckensnittet med superellipser. 30 år senare byggde Donald Knuth in i sin datormoderna teckensnittsfamilj möjligheten att välja mellan äkta ellipser och superellipser (båda formerna approximeras av kubiska splines ).

Pittsburgh Steelers fotbollslags logotyp har tre fyrkantiga stjärnor, som är superellipser med n = 0,5.

I iOS -mobiloperativsystemet , sedan version 7, används superellipser för att bilda den yttre konturen av ikoner (istället för kvadrater med rundade hörn) och grupperingsikoner (istället för rektangulära rektanglar). [5] iOS använder parametrarna a = b = 60 och n = 5.

Se även

Astroiden är en superellips med n = 2/3 och a = b , en hypocykloid med fyra hörn.
- Deltoiden är en triangulär hypocykloid .
En squircle är en superellips n = 4 och a = b som ser ut som ett "fyrhjul".
- Reuleauxtriangeln är ett triangulärt hjul.
En superformel är en generalisering av en superellips.
Superquadrics är tredimensionella analoger av superellipser.

Anteckningar

↑ Donald Knuth: METAFONTbook , sid. 126
↑ 1 2 Gardner, Martin (1977), Piet Heins superellips, matematisk karneval. En ny sammanfattning av tantalizers och pussel från Scientific American , New York: Vintage Press, sid. 240–254, ISBN 978-0-394-72349-5
↑ The Superellipse Archived 10 mars 2005 at the Wayback Machine , i The Guide to Life, The Universe and Everything av BBC (27 juni 2003)
↑ Tobler, Waldo (1973), The hyperelliptical and other new pseudocylindrical equal area map projections , Journal of Geophysical Research vol 78 (11): 1753–1759 , DOI 10.1029/JB078i011p01753
↑ Uppdaterade appikoner // Kyle Begeman. Applikationsutveckling i iOS 7 . Packt Publishing Ltd, 2014.

Länkar

Barr, Alan H. (1983), Geometric Modeling and Fluid Dynamic Analysis of Swimming Spermatozoa , Rensselaer Polytechnic Institute (Ph.D.-avhandling med superellipsoider)
Barr, Alan H. (1992), Rigid Physically Based Superquadrics, i Kirk, David, Graphics Gems III , Academic Press, sid. 137–159 ( kod : 472–477), ISBN 978-0-12-409672-1
Gielis, Johan (2003), Inventing the Circle: The Geometry of Nature , Antwerpen: Geniaal Press, ISBN 978-90-807756-1-9
Sokolov, D. D. (2001), Lamé curve , Springer Encyclopaedia of Mathematics , < http://eom.springer.de/L/l057390.htm >
Superellips-kalkylator och mallgenerator
Superellips (MathWorld)
Johan Gielis och Bert Beirinckx Arkiverad 6 december 2007 på Wayback Machine " Superformula ".

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta