Kedjelinje

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 17 juni 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Kedjelinje - en linje, vars form tas av en flexibel homogen outtöjbar tung tråd eller kedja (därav namnet på linjen) med fasta ändar i ett enhetligt gravitationsfält . Är en platt transcendental kurva .

Linjeekvation i kartesiska koordinater :

y={\frac {a}{2}}(e^{x/a}+e^{-x/a})=a\operatörsnamn {ch} {\frac {x}{a}}

(för funktionen, se hyperbolisk cosinus ). $\operatörsnamn {ch}$

Alla kontaktledningar liknar varandra, att ändra parametern motsvarar enhetlig expansion eller sammandragning av funktionsdiagrammet längs axeln . Den grafiska variabeln mäts från den lägsta punkten på kontaktledningens y-axel . $a$ $x$ $x$

De matematiska egenskaperna hos kontaktledningen studerades först av Robert Hooke på 1670-talet, och dess ekvation erhölls oberoende av Leibniz , Huygens och Johann Bernoulli 1691.

Egenskaper

Tvålfilm, sträckt över två parallella ringar, inte nödvändigtvis lika i diameter, har formen av en katenoid - en yta som är ett resultat av kontaktledningens rotation.
Längden på bågen från vertex till en godtycklig punkt : $(x,~y)$ $s=a\operatörsnamn {sh} {\frac {x}{a}}={\sqrt {y^{2}-a^{2}}}.$
Krökningsradie : $R=a\operatörsnamn {ch} ^{2}{\frac {x}{a}}={\frac {y^{2}}{a}}.$
Området som begränsas av kontaktledningen, dess två ordinater och abskissaxeln : $S=a^{2}\left(\operatörsnamn {sh} {\frac {x_{2}}{a}}-\operatörsnamn {sh} {\frac {x_{1}}{a}} \right)=a\left({\sqrt {y_{2}^{2}-a^{2}}}-{\sqrt {y_{1}^{2}-a^{2}}}\ höger).$
Fokusbanan för en parabel som rullar längs en rät linje är en kontaktledning [1] [2] .
Kontaktledningens tyngdpunkt är den lägsta av alla former av trådar av lika längd som förbinder två stöd, det vill säga den har ett minimum av potentiell energi [3] .

Applikationer

Arches

En inverterad kontaktledning är den idealiska formen för bågar när det gäller styrka. Materialet i en homogen båge med samma linjära täthet längs längden i form av en inverterad kontaktledning utsätts endast för mekaniska tryckspänningar och inte böjpåkänningar .

Broar

Puckelbron har en form nära en kontaktledning.

Det är värt att notera att formen på böjningen av hängbrokablarna är närmare en parabel än en kontaktledning [4] . Detta beror på att brons huvudtyngd är fördelad i brodäcket och inte i bärkablarna.

Fyrkantiga hjul

Om motorvägens profil är omvända kontaktledningsbågar, kan den drivas på fyrkantiga hjul , smidigt och utan att skaka - om sidan av hjulets kvadrat är lika med längden på bågen av grovheten hos väg [5] [6] .

Historik

Kledningsekvationen erhölls nästan samtidigt av Leibniz , Huygens och Johann Bernoulli [7] .

Ytterligare fakta

På Gateway of the West arch i St. Louis är skriven den matematiska formeln för dess kontaktledning, uttryckt i fot [8] :

y=-127{,}7'\cdot \operatörsnamn {ch} (x/127{,}7')+757{,}7'.

Uttryckt i meter kommer denna ekvation att vara $y=-38{,}92\cdot \operatörsnamn {ch} (x/38{,}92)+230{,}95.$

Se även

kedjefontän

Anteckningar

↑ Savelov A. A. Plana kurvor. Systematik, egenskaper, tillämpningar (Referensguide) / Ed. A. P. Norden. M.: Fizmatlit, 1960. S. 250.
↑ Anurag Agarwal och James Marengo The Locus of the Focus of a Rolling Parabola
↑ Variationskalkylen (2015). Hämtad: 3 maj 2019. (obestämd)
↑ Paul Kunkel. Hanging With Galileo (engelska) (HTML). Whistler Alley Mathematics - whistleralley.com. Hämtad 24 juli 2012. Arkiverad från originalet 6 augusti 2012.
↑ Kedjelinje . Matematiska studier . Tillträdesdatum: 7 april 2020. (obestämd)
↑ En kontaktledningsväg och kvadrerar hjul . New Trier High School, Winnetka, Illinois. Hämtad 7 april 2020. Arkiverad från originalet 30 september 2006. (obestämd)
↑ Merkin, 1980 , sid. 47.
↑ Barrow, John D. Kosmiskt bildspråk: nyckelbilder i vetenskapens historia . - 1952. - ISBN 9781448113675 . — ISBN 1448113679 .

Litteratur

Lyusternik L.A. De kortaste linjerna. Varierande uppgifter. - M. - L .: Gostekhizdat , 1955. - ( Populära föreläsningar om matematik ).
Merkin D. R. Introduktion till mekaniken hos en flexibel tråd. — M .: Nauka , 1980. — 240 sid.

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta