Analys av infinitesimals

Infinitesimal analys  är det historiska namnet för kalkyl , grenen av högre matematik som studerar gränser , derivator , integraler och oändliga serier , och är en viktig del av modern matematisk utbildning. Den består av två huvuddelar: differentialkalkyl och integralkalkyl , som är sammanlänkade av Newton-Leibniz-formeln .

Antiken

Under den antika perioden dök det upp några idéer som senare ledde till integralkalkyl, men under den eran utvecklades inte dessa idéer på ett strikt, systematiskt sätt. Beräkningar av volymer och ytor, som är ett av målen för integralkalkylen, finns i Moscow Mathematical Papyrus från Egypten (ca 1820 f.Kr.), men formlerna är fler instruktioner, utan någon indikation på metoden, och några är helt enkelt felaktiga. [1] Under den grekiska matematikens tidevarv använde Eudoxus (ca 408-355 f.Kr.) utmattningsmetoden för att beräkna ytor och volymer , vilket föregriper begreppet en gräns, och senare utvecklades denna idé vidare av Arkimedes (ca 287 ). -212 f.Kr.), f.Kr.), uppfinner heuristik som liknar metoderna för integralkalkyl. [2] Utmattningsmetoden uppfanns senare i Kina av Liu Hui på 300-talet e.Kr., som han använde för att beräkna arean av en cirkel. [3] Under 5:e e Kr utvecklade Zu Chongzhi en metod för att beräkna volymen av en sfär, som senare skulle kallas Cavalieris princip . [fyra]

Medeltiden

På 1300-talet introducerade den indiska matematikern Madhava Sangamagrama och den astronomiska matematiska skolan i Kerala många komponenter i kalkyler som Taylor -serier, approximation av oändliga serier , integral konvergenstest , tidiga former av differentiering, term-för-term integration, iterativa metoder för lösa icke-linjära ekvationer och bestämma vilken area under kurvan som är dess integral. Vissa anser att Yuktibhaza (Yuktibhāṣā) är det första arbetet med kalkyl. [5]

Modern era

I Europa blev avhandlingen av Bonaventure Cavalieri ett grundläggande verk , där han hävdade att volymer och ytor kan beräknas som summan av volymer och ytor av en oändligt tunn sektion. Idéerna liknade de som Arkimedes lade fram i metod, men denna avhandling av Arkimedes gick förlorad fram till första hälften av 1900-talet. Cavalieris arbete erkändes inte, eftersom hans metoder kunde leda till felaktiga resultat, och han skapade ett tvivelaktigt rykte om oändligt små värden.

Den formella studien av infinitesimalkalkylen, som Cavalieri kombinerade med kalkylen för finita skillnader , genomfördes i Europa ungefär samtidigt. Pierre Fermat , som hävdade att han lånat detta från Diophantus , introducerade begreppet "kvasilikhet" ( engelska  adequality ), som var jämlikhet upp till ett oändligt fel. [7] John Wallis , Isaac Barrow och James Gregory gjorde också stora bidrag . De två sista runt 1675 bevisade den andra grundläggande satsen för kalkyl .

Isaac Newton introducerade produktregeln och kedjeregeln , begreppet högre ordningsderivat , Taylor-serier och analytiska funktioner i egen notation, som han använde för att lösa problem inom matematisk fysik . I sina publikationer omformulerade Newton sina idéer i enlighet med dåtidens matematiska språk, och ersatte infinitesimala beräkningar med andra likvärdiga former av geometriska representationer som ansågs vara felfria. Han använde metoderna för kalkyl för att lösa problemen med planetrörelser, formen på ytorna på en roterande vätska, jordens oblatitet, glidningen av en last på en cykloid och många andra problem, som han beskrev i sitt arbete Matematiska principer för naturfilosofi (1687). I annat arbete utvecklade han serieutvidgningar av funktioner, inklusive de som använde bråk- och irrationella potenser, och det var tydligt att han förstod principerna för Taylor-serien . Han publicerade inte alla sina upptäckter, för på den tiden hade de oändliga metoderna ett tvivelaktigt rykte.

Dessa idéer kodifierades till sann infinitesimalkalkyl av Gottfried Wilhelm Leibniz , som från början anklagades för plagiat av Newton . [8] Han betraktas för närvarande som en oberoende uppfinnare och utvecklare av kalkyl. Hans bidrag ligger i utvecklingen av tydliga regler för att arbeta med infinitesimals, som möjliggör beräkning av derivator av andra och högre ordningen, såväl som i utvecklingen av produktregeln och kedjeregeln i deras differentiella och integrala former. Till skillnad från Newton ägnade Leibniz stor uppmärksamhet åt formalism, och ägnade ofta många dagar åt att välja rätt symboler för specifika koncept.

Uppfinningen av kalkyl är vanligtvis krediteras både Leibniz och Newton . Newton var den första att tillämpa kalkyl på allmän fysik , och Leibniz utvecklade mycket av notationen som används i kalkyl idag. Den huvudsakliga insikten som både Newton och Leibniz visade var upptäckten av lagarna för differentiering och integration, införandet av andra och högre ordningens derivator och införandet av konceptet serieapproximation av polynom. På Newtons tid var kalkylens grundsats redan känd.

När Newton och Leibniz först publicerade sina resultat fanns det ingen allvarlig oenighet vid den tiden om matematikerns (och därmed landets) prioritet på denna innovation. Newton var den första att få sina resultat, men Leibniz var den första att publicera sina. Newton senare hävdade att Leibniz hade stulit hans idéer från opublicerade anteckningar Newton hade delat med flera medlemmar av Royal Society . Denna kontrovers skilde engelsktalande matematiker från sina kontinentala motsvarigheter under många år, till nackdel för engelsk matematik. En noggrann studie av Leibniz och Newtons arbete visade att de fick sina resultat oberoende av varandra, Leibniz började med integration och Newton med differentiering. Idag tillskrivs utvecklingen av kalkyl både Newton och Leibniz. Vi fick namnet på den nya disciplinen av Leibniz. Newton kallade sin kalkyl för "derivatmetoder".

Sedan Leibniz och Newtons tid har många matematiker bidragit till vidareutvecklingen av kalkyl. Ett av de första mest kompletta verken om analys av finita och infinitesimal var en bok skriven 1748 av Maria Gaetana Agnesi . [9]

Foundations

Inom matematik hänvisar stiftelser till en strikt definition av ett ämne, utgående från exakta axiom och definitioner. I det inledande skedet av utvecklingen av kalkyl ansågs användningen av oändliga kvantiteter som icke-strikt, den utsattes för hård kritik av ett antal författare, främst Michel Rolle och biskop Berkeley . Berkeley beskrev infinitesimals som "spöken av döda kvantiteter" i sin bok The Analyst 1734. Utvecklingen av rigorösa grunder för kalkyl ockuperade matematiker i över ett sekel efter Newton och Leibniz, och är fortfarande något av ett aktivt forskningsområde idag.

Flera matematiker, inklusive Maclaurin , försökte bevisa giltigheten av användningen av infinitesimals, men detta gjordes först 150 år senare av verk av Cauchy och Weierstrass , som till slut hittade sätt att undvika enkla "små saker" av infinitesimals, och början lades differential- och integralkalkyl. I Cauchys skrifter finner vi ett universellt spektrum av grundläggande tillvägagångssätt, inklusive definitionen av kontinuitet i termer av infinitesimals och den (något oprecisa) prototypen av (ε, δ)-gränsdefinitionen i definitionen av differentiering. I sitt arbete formaliserar Weierstrass begreppet gräns och eliminerar oändligt små kvantiteter. Efter detta arbete av Weierstrass blev gränser, och inte oändliga kvantiteter, den allmänna grunden för kalkyl. Bernhard Riemann använde dessa idéer för att ge en exakt definition av integralen. Också under denna period generaliserades kalkylidéerna till det euklidiska rymden och till det komplexa planet .

I modern matematik ingår kalkylens grunder i sektionen av verklig analys , som innehåller fullständiga definitioner och bevis för satser i kalkyl. Omfattningen av kalkylforskning har blivit mycket bredare. Henri Lebesgue utvecklade teorin om mängdmått och använde den för att definiera integraler av alla utom de mest exotiska funktionerna. Laurent Schwartz introducerade generaliserade funktioner , som kan användas för att beräkna derivatorna av vilken funktion som helst.

Införandet av gränser avgjorde inte det enda rigorösa tillvägagångssättet till grunden för kalkylen. Ett alternativ skulle till exempel vara Abraham Robinsons icke-standardiserade analys . Robinsons tillvägagångssätt, som utvecklades på 1960-talet, använder tekniska verktyg från matematisk logik för att utvidga systemet med reella tal till infinitesimals och infinites, som var fallet i det ursprungliga Newton-Leibniz-konceptet. Dessa siffror, som kallas hyperreals , kan användas i de vanliga kalkylreglerna, liknande vad Leibniz gjorde.

Betydelse

Även om vissa idéer om kalkyl tidigare hade utvecklats i Egypten , Grekland , Kina , Indien , Irak, Persien och Japan , började den moderna användningen av kalkyl i Europa på 1600-talet, när Isaac Newton och Gottfried Wilhelm Leibniz byggde på arbetet med tidigare matematiker dess grundläggande principer. Utvecklingen av kalkyl baserades på de tidigare koncepten om momentan rörelse och area under en kurva.

Differentialkalkyl används i beräkningar relaterade till hastighet och acceleration , kurvvinkel och optimering . Tillämpningar av integralkalkyl inkluderar beräkningar som involverar ytor , volymer , båglängder , massacentrum , arbete och tryck . Mer komplexa tillämpningar inkluderar beräkningar av effektserier och Fourierserier .

Kalkyl[ förfina ] används också för att få en mer exakt uppfattning om karaktären av rum, tid och rörelse. I århundraden har matematiker och filosofer kämpat med paradoxerna som är förknippade med att dividera med noll eller hitta summan av en oändlig talserie. Dessa frågor uppstår i studiet av rörelse och beräkning av ytor. Den antika grekiske filosofen Zeno av Elea gav flera kända exempel på sådana paradoxer . Calculus tillhandahåller verktyg för att lösa dessa paradoxer, särskilt gränser och oändliga serier.

Gränser och oändliga små

Oändligt små mängder kan betraktas som siffror, men ändå är de "oändligt små". Ett infinitesimalt tal dx är större än 0, men mindre än något av talen i sekvensen 1, 1/2, 1/3, ... och mindre än något positivt reellt tal . Taget flera gånger är en infinitesimal fortfarande infinitesimal, det vill säga infinitesimal uppfyller inte Arkimedes axiom . Ur denna synvinkel är kalkyl en uppsättning metoder för att hantera infinitesimals. Detta tillvägagångssätt stöddes inte på 1800-talet, eftersom det var svårt att representera begreppet en infinitesimal exakt. Men konceptet återupplivades på 1900-talet med tillkomsten av icke-standardiserad analys och smidig infinitesimalanalys , vilket gav en solid grund för manipulation av infinitesimaler.

På 1800-talet ersattes infinitesimals av gränser . Gränser beskriver värdet av en funktion för någon ingång i termer av dess värde för en angränsande ingång. De täcker småskaliga förändringar, som infinitesimal, men används för det vanliga systemet med reella tal. I denna tolkning är kalkyl en uppsättning metoder för att manipulera vissa gränser. Infinitesimaler ersätts av mycket små tal, och infinitesimala förändringar av funktionen hittas genom att anta begränsande beteende vid mindre och mindre tal. Gränser är det enklaste sättet att upprätta en rigorös grund för kalkyl, och av denna anledning accepteras de som standardmetoden.

Leibniz notation

Notationen som introducerades av Leibniz för derivatan ser ut så här:

I det newtonska tillvägagångssättet baserat på gränser ska symbolen dy/dx inte tolkas som en kvot av divisionen av två tal, utan som en förkortning för gränsen beräknad ovan. Leibniz, å andra sidan, försökte representera det som förhållandet mellan två infinitesimala tal: dy  - differential , det vill säga en oändlig förändring i y , och dx  - en oändlig förändring i x som orsakade en förändring i y [10] .

Även när man representerar kalkyl med gränser snarare än infinitesimaler, är notationen generisk för att manipulera symboler som om dx och dy vore reella tal. Även om det, för att undvika sådana manipulationer, ibland är bekvämt att använda sådana notationer i uttrycket av operationen, eftersom detta till exempel används när man betecknar den totala derivatan .

Anteckningar

  1. ↑ Morris Kline, Matematisk tanke från antiken till modern tid , Vol. jag
  2. ↑ Archimedes, Method , in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7
  3. ↑ Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonne. Kinesiska studier i vetenskapens och teknikens historia och filosofi  (engelska)  : tidskrift. - Springer, 1966. - Vol. 130 . — S. 279 . - ISBN 0-792-33463-9 . , kapitel, sid. 279 Arkiverad 26 maj 2016 på Wayback Machine
  4. ↑ Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. Calculus: Early  Transcendentals . — 3. — Jones & Bartlett Learning, 2009. - P. xxvii. — ISBN 0-763-75995-3 . , Utdrag av sida 27 Arkiverad 21 april 2019 på Wayback Machine
  5. ↑ Indisk matematik . Hämtad 16 februari 2012. Arkiverad från originalet 3 juli 2006.
  6. ↑ von Neumann, J., "The Mathematician", i Heywood, RB, red., The Works of the Mind , University of Chicago Press, 1947, s. 180-196. Omtryckt i Bródy, F., Vámos, T., eds., The Neumann Compedium , World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, ISBN 9810222017 , s. 618-626.
  7. ↑ André Weil: Talteori. Ett förhållningssätt genom historien. Från Hammurapi till Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9 , sid. 28.
  8. ↑ Leibniz, Gottfried Wilhelm. De tidiga matematiska manuskripten av Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. Kopia arkiverad 16 juli 2017 på Wayback Machine
  9. ↑ Unlu, Elif Maria Gaetana Agnesi . Agnes Scott College (april 1995). Arkiverad från originalet den 5 september 2012.
  10. ↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 281-282.

Litteratur

Länkar

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk
 Matematikens grenar
Portal "Science"
Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra
Talteori ( aritmetik )
  • Portalen "Matematik"
  • Kategori "Matematik"