Euklidiskt utrymme

Euklidiskt utrymme (även euklidiskt utrymme ) i ursprunglig mening är ett utrymme vars egenskaper beskrivs av den euklidiska geometrins axiom . I det här fallet antas det att utrymmet har en dimension lika med 3, det vill säga det är tredimensionellt .

I modern mening, i en mer allmän mening, kan det beteckna ett av de liknande och närbesläktade objekten: ett ändligt dimensionellt reellt vektorrum med en positiv-definierad skalärprodukt införd på den ; eller ett metriskt utrymme som motsvarar ett sådant vektorrum. Vissa författare sätter likhetstecken mellan det euklidiska och pre-Hilbertska rymden . I den här artikeln kommer den första definitionen att tas som den första. $\mathbb {R} ^{n}$

$n$ -dimensionellt euklidiskt utrymme betecknas vanligtvis ; notationen används också ofta när det av sammanhanget tydligt framgår att rummet är försett med en naturlig euklidisk struktur. $\mathbb {E} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Formell definition

För att definiera ett euklidiskt utrymme är det lättast att använda begreppet prickprodukt som grund . Det euklidiska vektorutrymmet definieras som ett ändligt dimensionellt vektorrum över fältet av reella tal , på paren av vektorer av vilka en reellt värderad funktion ges som har följande tre egenskaper: $(\cdot ,\cdot ),$

Linjäritet: för alla vektorer och för alla reella tal är relationerna giltiga ; $\mathbf {u,v,w}$ $a,b$ $(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)}$
Symmetri: för alla vektorer är likheten sann $u,v$ $\mathbf {(u,v)=(v,u)} ;$
Positiv bestämdhet: för alla och $\mathbf {(u,u)} \geqslant 0$ $u,$ $\mathbf {(u,u)} =0\Högerpil \mathbf {u} =0.$

Det affina rymden som motsvarar ett sådant vektorrum kallas det euklidiska affina rummet eller helt enkelt det euklidiska rummet [1] .

Ett exempel på ett euklidiskt utrymme är ett koordinatutrymme som består av alla möjliga uppsättningar av reella tal där den skalära produkten definieras av formeln $\mathbb {R} ^{n},$ $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}),$ $\mathbf {(x,y)} =\summa _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2 }+\cdots +x_{n}y_{n}.$

Längder och vinklar

Den skalära produkten som ges på det euklidiska rummet är tillräcklig för att introducera de geometriska begreppen längd och vinkel . Längden på en vektor definieras som och betecknas med [2] [3] Skalärproduktens positiva definititet garanterar att längden på en vektor som inte är noll är icke-noll, och av bilinearitet följer att, dvs. längder av proportionella vektorer är proportionella. $u$ ${\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}$ $|\mathbf {u} |.$ $|a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,$

Vinkeln mellan vektorerna och definieras som Det följer av cosinussatsen att för ett tvådimensionellt euklidiskt utrymme ( det euklidiska planet ) sammanfaller denna definition av vinkeln med den vanliga . Ortogonala vektorer som inte är noll , som i tredimensionellt rymd, kan definieras som vektorer i en vinkel , det vill säga som vektorer med en inre produkt noll. ${\mathbf x}$ ${\mathbf y}$ $\arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .$ ${\tfrac {\pi }{2)),$

Notera

Det måste klargöras att för att bågen cosinus ska definieras är det nödvändigt och tillräckligt att ojämlikheten uppfylls. Denna ojämlikhet är verkligen sann i ett godtyckligt euklidiskt rum: det kallas Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten . Från den följer i sin tur triangelolikheten : Triangelolikheten, tillsammans med ovanstående egenskaper för längd, betyder att vektorns längd är en norm på det euklidiska vektorrummet, och funktionen eller sätter strukturen för det metriska rummet på det euklidiska rummet (denna funktion kallas för den euklidiska metriken ). Speciellt avståndet mellan element (punkter) och koordinatutrymme ges av formeln $\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}}$ $\left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.$ $\mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .$ $d\mathbf {(x,y)} ,$ $\mathbf {|xy|} ,$ ${\mathbf x}$ ${\mathbf y}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{ i}-y_{i})^{2}}}.$

Algebraiska egenskaper

Ortonormala baser

En ortonormal bas i euklidiskt (vektor) rymd är en bas som består av parvisa ortogonala enhetsnormvektorer. Ortonormala baser är de mest bekväma för beräkningar. Så, till exempel, den skalära produkten av vektorer med koordinater och i en ortonormal basis kan beräknas med formeln I vilket euklidiskt utrymme som helst finns det en ortonormal bas. Genom att välja ortonormala baser i två euklidiska utrymmen och översätta den ena av dem till den andra genom en linjär mappning kan vi bevisa att två euklidiska utrymmen av samma dimension är isomorfa [4] (särskilt ett -dimensionellt euklidiskt utrymme är isomorft med standard skalär produkt). $(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})$ $(b_{1},b_{2},\ldots,b_{n})$ $(a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Ortografiska projektioner

En vektor sägs vara ortogonal mot ett delrum om den är ortogonal mot alla vektorer i det delrummet. Den ortogonala projektionen av en vektor på ett delrum är en ortogonal vektor så att vi representerar i formen där avståndet mellan ändarna av vektorerna och är det minsta avståndet mellan avstånden från slutet av vektorn till delrummet Ortogonala projektioner i högdimensionella utrymmen används till exempel i metoden för minsta kvadrater . $x$ $U$ $h,$ $u,$ $x$ $u+h,$ $u\i U.$ $u$ $x$ $x$ $U.$

Dubbla utrymmen och operatorer

Vilken vektor som helst av det euklidiska rummet definierar en linjär funktion på detta utrymme, definierad som Denna jämförelse är en isomorfism mellan det euklidiska rummet och dess dubbla utrymme [5] och gör att de kan identifieras utan att kompromissa med beräkningarna. I synnerhet kan adjoint operatorer anses agera på det ursprungliga utrymmet, och inte på dess dubbla, och självadjoint operatorer kan definieras som operatorer som sammanfaller med deras adjoint. På ortonormal basis transponeras matrisen för den adjointoperatorn till matrisen för den ursprungliga operatorn, och matrisen för den självadjointoperatorn är symmetrisk . $x$ $x^{*}$ $x^{*}(y)=(x,y).$

Euklidiska rymdrörelser

Euklidiska rymdrörelser är metriskt bevarande transformationer av rymden på sig själv (även kallad isometrier av rymden på sig själv ). Ett exempel på rörelse är en parallell translation på en vektor som översätter en punkt till en punkt . Det är lätt att se att varje rörelse är en komposition av parallell översättning och transformation som håller en punkt fixerad. Genom att välja en fast punkt som utgångspunkt kan varje sådan rörelse ses som en ortogonal transformation . De ortogonala transformationerna av ett n -dimensionellt euklidiskt utrymme bildar en grupp, betecknad med O( n ) . Genom att välja en ortonormal bas i utrymmet kan denna grupp representeras som en grupp av n × n matriser som uppfyller villkoret , där är den transponerade matrisen och är identitetsmatrisen . ${\mathbf v}$ ${\mathbf p}$ $\mathbf {p+v}$ $Q^{\mathsf {T}}Q=E$ $Q^{\mathsf {T}}$ $E$

Exempel

Bra exempel på euklidiska utrymmen är följande utrymmen:

$\mathbb {E^{1}}$ dimensioner ( verklig linje - till exempel en numerisk axel ); $ett$
$\mathbb {E^{2}}$ dimensioner ( Euklidiskt plan ); $2$
$\mathbb {E^{3}}$ dimensioner ( Euklidiskt tredimensionellt utrymme ). $3$

Mer abstrakt exempel:

utrymmet för reella polynom , vars grader inte överstiger n , med en inre produkt definierad som integralen av deras produkt längs ett ändligt segment (eller längs hela linjen, men med en snabbt minskande viktfunktion, till exempel ). ${\mathcal {P}}^{n}$ $e^{-x^{2}}$

Exempel på geometriska figurer i flerdimensionell euklidisk rymd:

regelbundna flerdimensionella polyedrar (t.ex. N - dimensionell kub , N - dimensionell oktaeder , N - dimensionell tetraeder );
hypersfär ;
hypertorus .

Relaterade definitioner

Den euklidiska metriken kan förstås som den ovan beskrivna metriken, såväl som den motsvarande Riemannska metriken .

Lokal euklidiskhet betyder vanligtvis att varje tangentrymd i ett riemannskt grenrör är ett euklidiskt utrymme med alla följande egenskaper, till exempel möjligheten (på grund av metrikens jämnhet) att införa koordinater i ett litet område av en punkt där avståndet uttrycks (upp till någon ordning ) enligt beskrivningen ovan.

Ett metriskt utrymme kallas också lokalt euklidiskt om det är möjligt att införa koordinater på det där metriken kommer att vara euklidisk (i betydelsen av den andra definitionen) överallt (eller åtminstone på en ändlig region) - vilket t.ex. ett Riemann-grenrör med noll krökning.

Variationer och generaliseringar

Om vi inte använder fältet med reella tal, utan fältet med komplexa tal som huvudfält , kommer detta att ge definitionen av ett enhetligt (eller hermitiskt) utrymme .

Förkastande av kravet på ändlig dimensionalitet ger definitionen av ett pre-Hilbert-rum . Förkastandet av kravet på positiv definititet hos den skalära produkten leder till definitionen av pseudo-euklidiskt utrymme . Kravet att ett pre-Hilbert-utrymme ska vara metriskt -komplett leder till definitionen av ett Hilbert-utrymme ; utrymmet av kvadratsammanställbara sekvenser är ett Hilbert-utrymme, som kan betraktas som utrymmet för vektorer med ett oändligt antal koordinater.

Anteckningar

↑ Gelfand, 1998 , sid. 35.
↑ Gelfand, 1998 , sid. 39.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , sid. 118.
↑ Shilov G. E. Introduktion till teorin om linjära rum. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - sid. 182
↑ Detta resultat är också sant för pseudo-euklidiska och enhetliga rum, för Hilbert-rum är det mer komplicerat och kallas Riesz-satsen .

Litteratur

Gelfand I. M. Föreläsningar om linjär algebra. - 5:a. - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 319 sid. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Linjär algebra och geometri. — M .: Nauka , 1986. — 304 sid.
Vulikh BZ Introduktion till funktionsanalys. - M. : Fizmatlit, 1958. - 352 sid. - 7500 exemplar.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig

Dimension av utrymme
Utrymmen efter dimension	Nolldimensionell en-dimensionell 2D 3D fyrdimensionell femdimensionell Sexdimensionell Sjudimensionell oktal Niodimensionell n-dimensionell Negativ dimension
Polytoper och figurer	Simplex hyperkub tesserakt Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkub Cross-polytope hypersfär
Typer av utrymmen	ändligt dimensionellt utrymme Euklidiskt utrymme affint utrymme projektivt utrymme Gratis modul Grenrör Dimension av en algebraisk variabel rum-tid
Andra dimensionella koncept	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Bråkdimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader av frihet
Matte