Polygon
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 juli 2022; kontroller kräver 7 redigeringar .En polygon är en geometrisk figur, vanligtvis definierad som en del av ett plan som begränsas av en sluten polylinje . Om gränspolygonen inte har några självskärningspunkter kallas polygonen enkel [1] . Till exempel är trianglar och kvadrater enkla polygoner, men ett pentagram är det inte.
Polygonens brytpunkter kallas polygonens hörn, och dess länkar kallas polygonens sidor . Antalet sidor av polygonen är detsamma som antalet av dess hörn [2] .
Varianter av definitioner
Det finns tre olika alternativ för att definiera en polygon; den senare definitionen är den vanligaste [1] .
- En platt stängd streckad linje är det mest allmänna fallet;
- En platt sluten polylinje utan självkorsningar , vars två intilliggande länkar inte ligger på samma räta linje;
- Den del av planet som begränsas av en sluten polylinje utan självskärningar är en platt polygon ; i detta fall kallas själva polylinjen polygonens kontur.
Det finns också flera alternativ för att generalisera denna definition, vilket tillåter ett oändligt antal streckade linjer, flera frånkopplade gränspolylinjer, streckade linjer i rymden, godtyckliga segment av kontinuerliga kurvor istället för segment av raka linjer, etc. [1]
Relaterade definitioner
- En polygons hörn kallas grannar om de är ändarna på en av dess sidor.
- Sidorna på en polygon kallas angränsande om de ligger intill samma vertex.
- Den totala längden av alla sidor av en polygon kallas dess omkrets .
- Diagonaler är segment som förbinder icke-angränsande hörn av en polygon.
- Vinkel (eller inre vinkel ) för en platt polygon vid en given vertex är vinkeln mellan två sidor som konvergerar vid den vertex. Vinkeln kan överstiga om polygonen inte är konvex. Antalet hörn av en enkel polygon är detsamma som antalet sidor eller hörn.
- Den yttre vinkeln för en konvex polygon vid en given vertex är vinkeln intill polygonens inre vinkel vid denna vertex. I fallet med en icke-konvex polygon är den yttre vinkeln skillnaden mellan och den inre vinkeln, den kan ta värden från till .
- En vinkelrät tappad från mitten av den inskrivna cirkeln av en regelbunden polygon till en av sidorna kallas apotem .
Typer av polygoner och deras egenskaper
- En polygon med tre hörn kallas en triangel , med fyra - en fyrhörning , med fem - en femhörning , och så vidare. En polygon med hörn kallas en -gon .
- En konvex polygon är en polygon som ligger på ena sidan av en linje som innehåller dess sida (det vill säga att förlängningarna av polygonens sidor inte skär dess andra sidor). Det finns andra ekvivalenta definitioner av en konvex polygon . En konvex polygon är alltid enkel , det vill säga den har inga självskärningspunkter.
- En konvex polygon kallas regelbunden om den har alla sidor och alla vinklar lika, till exempel en liksidig triangel , en kvadrat och en regelbunden femhörning . Schläfli-symbolen för en vanlig -gon är .
- En polygon som har alla sidor och alla vinklar lika, men som har självskärningar, kallas en vanlig stellerad polygon , till exempel pentagram och oktagram .
- En polygon kallas inskriven i en cirkel om alla dess hörn ligger på samma cirkel. Cirkeln i sig kallas omskriven , och dess centrum ligger i skärningspunkten mellan de mediala perpendicularerna till polygonens sidor. Vilken triangel som helst är inskriven i någon cirkel.
- En polygon kallas circumcircle om alla dess sidor rör vid någon cirkel. Cirkeln i sig kallas inskriven , och dess centrum ligger i skärningspunkten mellan bisectors av polygonens vinklar. Vilken triangel som helst är omskriven kring någon cirkel.
- En konvex fyrhörning kallas oomskriven nära en cirkel om förlängningarna av alla dess sidor (men inte själva sidorna) tangerar någon cirkel. [3] Cirkeln kallas excircle . En excirkel finns också för en godtycklig triangel .
Allmänna egenskaper
Triangelolikheten
Triangelolikheten anger att längden på vilken sida som helst i en triangel alltid är mindre än summan av längderna på dess andra två sidor: . Den omvända triangelolikheten säger att längden på vilken sida som helst i en triangel alltid är större än modulen för skillnaden mellan längden på dess andra två sidor.
Den fyrsidiga ojämlikheten
- Fyrkantig olikhet - modulen för skillnaden mellan två sidor av en fyrhörning överstiger inte summan av de andra två sidorna : .
- Motsvarande: i vilken fyrkant som helst (inklusive en degenererad) är summan av längderna av dess tre sidor inte mindre än längden på den fjärde sidan, det vill säga: ; ; ; .
Polygonvinkelsummasats
Summan av de inre vinklarna för en enkel platt gon är [4] . Summan av de yttre vinklarna beror inte på antalet sidor och är alltid lika med
Antal diagonaler
- Antalet diagonaler för någon -gon är .
Område
Låta vara en sekvens av koordinater av hörn av -gon intill varandra utan självkorsningar . Sedan beräknas dess area med Gauss formel :
, var .
Med tanke på längden på sidorna av polygonen och azimutvinklarna på sidorna, kan polygonens area hittas med Sarrons formel [5] .
Arean av en vanlig -gon beräknas med en av formlerna [6] :
- hälften av produkten av omkretsen -gon och apotem :
- .
där är längden på sidan av polygonen, är radien för den omskrivna cirkeln, är radien för den inskrivna cirkeln.
Kvadrering av figurer
Med hjälp av en uppsättning polygoner bestäms kvadraten och arean av en godtycklig figur på planet. En figur kallas kvadrering om det för någon finns ett par polygoner och , sådan att och , där anger området .
Variationer och generaliseringar
- En polyeder är en generalisering av en polygon i dimension tre, en sluten yta som består av polygoner eller en kropp som begränsas av den.
Anteckningar
- ↑ 1 2 3 Polygon // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M .: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 749-752.
- ↑ 1 2 3 Elementär matematik, 1976 , sid. 383-384.
- ↑ Kartaslov.ru
- ↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 499.
- ↑ Khrenov L. S. Beräknar polygonernas area med Sarrons metod Arkivkopia av 19 juli 2020 på Wayback Machine // Mathematical Education. 1936. Nummer 6. S. 12-15
- ↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 503-504.
Litteratur
- Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Länkar
- Weisstein, Eric W. Polygon (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
| Polygoner | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Efter antal sidor |
| ||||
| korrekt |
| ||||
| trianglar | |||||
| Fyrhörningar | |||||
| se även | |||||
| Schläfli symbol | |
|---|---|
| Polygoner | |
| stjärnpolygoner | |
| Plana parketter _ | |
| Vanliga polyedrar och sfäriska parketter | |
| Kepler-Poinsot polyedrar | |
| honungskakor | {4,3,4} |
| Fyrdimensionella polyedrar | |
 Ordböcker och uppslagsverk | |
|---|---|
| I bibliografiska kataloger |
|