Generaliserad egenvektor

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 oktober 2021; verifiering kräver 1 redigering .

En generaliserad egenvektor till en matris är en vektor som uppfyller vissa kriterier som är svagare än kriterierna för (vanliga) egenvektorer [1] . $n\ gånger n$ $A$

Låt vara -dimensionell vektor utrymme . Låta vara en linjär mappning till , uppsättningen av alla linjära mappningar från till sig själv. Låt vara matrisrepresentationen av mappningen för någon ordnad grund . $V$ $n$ $\phi$ $L(V)$ $V$ $A$ $\phi$

Det kanske inte finns en komplett uppsättning linjärt oberoende egenvektorer för matrisen som utgör en komplett grund för . Det vill säga att matrisen inte kan diagonaliseras [2] [3] . Detta inträffar när den algebraiska multipliciteten för minst ett egenvärde är större än dess geometriska multiplicitet ( graden av degeneration av matrisen eller dimensionen av dess kärna). I detta fall kallas det ett defekt egenvärde , och själva matrisen kallas en defekt matris [4] . $n$ $A$ $V$ $A$ $\lambda _{i}$ $(A-\lambda _{i}E)$ $\lambda _{i}$ $A$

Den generaliserade egenvektorn som motsvarar , bildar tillsammans med matrisen en Jordan-kedja av linjärt oberoende generaliserade egenvektorer, som utgör grunden för rummets invarianta delrum [5] [6] [7] . $x_{i}$ $\lambda _{i}$ $(A-\lambda _{i}E)$ $V$

Med hjälp av generaliserade egenvektorer kan uppsättningen linjärt oberoende matrisegenvektorer vid behov utökas till en komplett bas för [8] . Denna grund kan användas för att definiera en "nära-diagonal matris" i Jordaniens normala form som matris , som används för att beräkna vissa matrisfunktioner från [1] . Matrisen används också för att lösa ett system av linjära differentialekvationer , där den inte nödvändigtvis är diagonaliserbar [9] [3] . $A$ $V$ $J$ $A$ $A$ $J$ $\mathbf {x} '=A\mathbf {x}$ $A$

Dimensionen av det generaliserade egenutrymmet som motsvarar det givna egenvärdet är lika med den algebraiska multipliciteten [8] . $\lambda$ $\lambda$

Översikt och definition

Det finns flera ekvivalenta sätt att definiera en vanlig egenvektor [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] . För våra syften är egenvektorn , associerad med matrisens egenvärde , en vektor som inte är noll för vilken , där är identitetsmatrisen , och är en vektor med noll längd [12] . Det vill säga är kärnan i transformationen . Om den har linjärt oberoende egenvektorer, så liknar den en diagonal matris . Det vill säga, det finns en icke- singular matris så att den är diagonaliserbar genom en likhetstransformation [18] [19] . Matrisen kallas matrisens spektrala matris [ . Matrisen kallas den modala matrisen matrisen [20] . Diagonaliserbara matriser är av särskilt intresse, eftersom matrisfunktioner från den lätt kan beräknas [21] . $\mathbf u$ $\lambda$ $n\ gånger n$ $A$ $(A-\lambda E)\mathbf {u} =\mathbf {0}$ $E$ $n\ gånger n$ ${\mathbf 0}$ $n$ $\mathbf u$ $(A-\lambda E)$ $A$ $n$ $A$ $D$ $M$ $A$ $D=M^{-1}AM$ $D$ $A$ $M$ $A$

Å andra sidan, om matrisen inte har några linjärt oberoende egenvektorer associerade med sig, så är den inte diagonaliserbar [18] [19] . $A$ $n$ $A$

Definition: En vektor är en generaliserad egenvektor av matrisrang som motsvarar ett egenvärde om: ${\displaystyle \mathbf {x} _{m))$ $m$ $A$ $\lambda$

(A-\lambda E)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0} ~,

men

(A-\lambda E)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} ~.

[1] .

En generaliserad egenvektor av rang 1 är en vanlig egenvektor [22] . Vilken matris som helst har linjärt oberoende generaliserade egenvektorer associerade med sig, och den kan visas likna en "nära-diagonal" matris i Jordaniens normala form [23] . Det vill säga, det finns en inverterbar matris sådan att [24] . Matrisen i detta fall kallas den generaliserade modala matrisen matrisen [25] . Om är ett egenvärde med algebraisk multiplicitet , då kommer det att ha linjärt oberoende generaliserade egenvektorer motsvarande [8] . Dessa resultat ger i sin tur en metod för att beräkna vissa matrisfunktioner från [26] . $n\ gånger n$ $A$ $n$ $J$ $M$ $J=M^{-1}AM$ $M$ $A$ $\lambda$ $\mu$ $A$ $\mu$ $\lambda$ $A$

Obs : För att en matris över ett fält ska uttryckas i Jordaniens normala form, måste alla matrisegenvärden vara i . Det vill säga att det karakteristiska polynomet måste dekomponeras helt i linjära faktorer. Ett alternativt exempel: om matrisen består av reella element kan det visa sig att egenvärdena och egenvektorkomponenterna kommer att innehålla imaginära värden [4] [27] [3] . $n\ gånger n$ $A$ $F$ $A$ $F$ $f(x)$ $A$

Det linjära spannet för alla generaliserade egenvektorer för en given bildar ett generaliserat egenutrymme för [3] . $\lambda$ $\lambda$

Exempel

Några exempel för att illustrera konceptet med generaliserade egenvektorer. Några detaljer kommer att beskrivas nedan.

Exempel 1

Den typ av matris som presenteras nedan används ofta i läroböcker [3] [28] [2] . Låt oss ta en matris

A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}~.

Sedan finns det bara ett egenvärde, , och dess algebraiska multiplicitet . $\lambda =1$ $m=2$

Observera att denna matris har en Jordanisk normalform, men inte diagonal . Därför är denna matris inte diagonaliserbar. Eftersom superdiagonalen innehåller ett element, finns det en generaliserad egenvektor med rang större än 1 (observera att vektorrymden har dimension 2, så det kan vara högst en generaliserad egenvektor med rang större än 1). Du kan också beräkna dimensionen på matriskärnan , som är lika med , då finns det generaliserade egenvektorer med rang större än 1. $V$ $A-\lambda E$ $p=1$ $mp=1$

Den ordinarie egenvektorn beräknas med standardmetoden (se artikeln Eigenvektor ). Med denna egenvektor bestäms den generaliserade egenvektorn genom att lösa ekvationen: $\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2))$

(A-\lambda E)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}~.

Att skriva ut värdena:

\left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_ {21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end {pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}~.

Detta uttryck förenklar till:

v_{22}=1~.

Elementet har inga begränsningar. Den generaliserade egenvektorn av rang 2 är då , där kan ha vilket skalärt värde som helst. Valet är oftast det enklaste. $v_{21}$ $\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}$ $a$ $a=0$

Vart i:

(A-\lambda E)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix ))={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1}~,

så är en generaliserad egenvektor, ${\displaystyle \mathbf {v} _{2))$

(A-\lambda E)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix ))={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ~,

så är en vanlig egenvektor, och och är linjärt oberoende, och utgör därför en bas för vektorrummet . ${\displaystyle \mathbf {v} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2))$ $V$

Exempel 2

Följande exempel är något mer komplicerat än exempel 1 , men också litet [29] . Matris

A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix))

har egenvärden och med algebraisk multiplicitet och , men den geometriska multipliciteten kommer att vara lika med och . $\lambda _{1}=1$ $\lambda _{2}=2$ $\mu _{1}=2$ $\mu _{2}=3$ $\gamma _{1}=1$ $\gamma _{2}=1$

Det generaliserade egenunderrummet för matrisen beräknas nedan. är den vanliga egenvektorn associerad med . är den generaliserade egenvektorn associerad med . är den generaliserade egenvektorn associerad med . och är generaliserade egenvektorer associerade med . $A$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1))$ $\lambda_1$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{2))$ $\lambda_1$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{1))$ $\lambda_2$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{3))$ $\lambda_2$

(A-1E)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix{) \\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf { 0}~,

(A-1E)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix{) \\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}= \mathbf {x} _{1}~,

(A-2E)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0}~,

(A-2E)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix pmatrix}0\\0\\0\\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y}_{1}~,

(A-2E)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\ mathbf {y} _{2}~.

Vi får en grund för vart och ett av de generaliserade egenrymden i matrisen . Tillsammans fyller linjära kombinationer av två kedjor av generaliserade egenvektorer utrymmet för alla 5-dimensionella kolumnvektorer: $A$

\left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\ \9\\-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\}~,\left\{ \mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\ 0\\0\\9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\ 1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}~.

En "nästan diagonal" matris i Jordaniens normala form , som , erhålls enligt följande: $J$ $A$

M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2} &\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix }}~,

J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}}~,

där är den generaliserade modala matrisen matrisen , kolumnerna i matrisen är den kanoniska grunden matrisen , och [30] . $M$ $A$ $M$ $A$ $AM=MJ$

Jordankedjor

Definition: Låta vara en generaliserad rangegenvektor som motsvarar matrisen och egenvärdet . En kedja som bildas av en vektor är en uppsättning vektorer som definieras av uttrycket: ${\displaystyle \mathbf {x} _{m))$ $m$ $A$ $\lambda$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m))$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\))$

$\mathbf {x} _{m-1}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{m}~,$
$\mathbf {x} _{m-2}=(A-\lambda E)^{2}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{ m-1}~,$
$\mathbf {x} _{m-3}=(A-\lambda E)^{3}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{ m-2}~,$

\vdots

$\mathbf {x} _{1}=(A-\lambda E)^{m-1}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{ 2}~.$

(ett)

Sedan:

\mathbf {x} _{j}=(A-\lambda E)^{mj}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{j+ 1 }\qquad (j=1,2,\dots ,m-1)~.

(2)

Vektorn som ges av formel ( 2 ) är en generaliserad egenvektor av rang som motsvarar egenvärdet . Kedjan är en uppsättning linjärt oberoende vektorer [6] . ${\displaystyle \mathbf {x} _{j))$ $j$ $\lambda$

Kanonisk grund

Definition: En uppsättning linjärt oberoende generaliserade egenvektorer är en kanonisk grund om uppsättningen helt består av Jordan-kedjor. $n$

Således, om den generaliserade egenvektorn av rang är i den kanoniska basen, så är vektorerna i Jordankedjan som bildas av också i den kanoniska basen [31] . $m$ $m-1$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m))$

Låta vara ett egenvärde av en matris med algebraisk multiplicitet . Hitta (matris) rangen av matriserna . Ett heltal definieras som det första talet för vilket det har rang (här lika med antalet rader eller kolumner i matrisen , det vill säga matrisen har storlek ). $\lambda_i$ $A$ ${\displaystyle \mu _{i))$ $(A-\lambda _{i}E),(A-\lambda _{i}E)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}E)^{m_{i }}$ $mi$ $(A-\lambda _{i}R)^{m_{i))$ ${\displaystyle n-\mu _{i))$ $n$ $A$ $A$ $n\ gånger n$

Därefter definierar vi:

\rho _{k}=\operatörsnamn {rank} (A-\lambda _{i}E)^{k-1}-\operatörsnamn {rank} (A-\lambda _{i}E)^ {k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i})~.

Variabeln anger antalet linjärt oberoende generaliserade egenvektorer av rang som motsvarar det egenvärde som kommer att visas i matrisens kanoniska grund . Vart i: ${\displaystyle \rho _{k))$ $k$ $\lambda_i$ $A$

\operatörsnamn {rank} (A-\lambda _{i}E)^{0}=\operatörsnamn {rank} (E)=n

[32] .

Beräkning av generaliserade egenvektorer

De föregående avsnitten presenterade tekniker för att erhålla linjärt oberoende generaliserade kanoniska grundegenvektorer för vektorrummet som är associerat med matrisen . Dessa tekniker kan samlas in i ett förfarande: $n$ $V$ $n\ gånger n$ $A$

Vi löser det karakteristiska polynomet i matrisen för att erhålla egenvärdena och deras algebraiska multipliciteter ;

A

\lambda_i

{\displaystyle \mu _{i))

För varje :

\lambda_i

Vi definierar ;

{\displaystyle n-\mu _{i))

Vi definierar ;

mi

Vi definierar för ;

{\displaystyle \rho _{k))

(k=1,\ldots ,m_{i})

Vi definierar varje Jordan-kedja för .

\lambda _{i}

Exempel 3

Matris

A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}

har ett egenvärde med algebraisk multiplicitet och ett egenvärde med algebraisk multiplicitet , medan . För varje utförs: . $\lambda _{1}=5$ $\mu _{1}=3$ $\lambda _{2}=4$ $\mu _{2}=1$ $n=4$ $\lambda _{1}$ $n-\mu _{1}=4-3=1$

(A-5E)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatörsnamn {rank} (A-5E)= 3~.

(A-5E)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatörsnamn {rank} (A -5E)^{2}=2~.

(A-5E)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&0&-1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatörsnamn {rank} (A -5E)^{3}=1~.

Det första heltal som har rang är . $m_1$ $(A-5E)^{m_{1))$ $n-\mu _{1}=1$ $m_{1}=3$

Därefter definierar vi:

\rho _{3}=\operatörsnamn {rank} (A-5E)^{2}-\operatörsnamn {rank} (A-5E)^{3}=2-1=1~,

\rho _{2}=\operatörsnamn {rank} (A-5E)^{1}-\operatörsnamn {rank} (A-5E)^{2}=3-2=1~,

\rho _{1}=\operatörsnamn {rank} (A-5E)^{0}-\operatörsnamn {rank} (A-5E)^{1}=4-3=1~.

Därför kommer det att finnas tre linjärt oberoende generaliserade egenvektorer, en vardera av rang 3, 2 och 1. Eftersom motsvarar en kedja av tre linjärt oberoende generaliserade egenvektorer, finns det en generaliserad egenvektor av rang 3 som motsvarar , så att: $\lambda _{1}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{3))$ $\lambda _{1}$

(A-5E)^{3}\mathbf {x} _{3}=\mathbf {0} ~,

(3)

men:

(A-5E)^{2}\mathbf {x} _{3}\neq \mathbf {0} ~.

(fyra)

Uttryck ( 3 ) och ( 4 ) representerar ett linjärt system som kan lösas relativt . Låta ${\displaystyle \mathbf {x} _{3))$

\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}~.

Sedan:

(A-5E)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\ start{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34} \\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}

och

(A-5E)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\ start{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\ 4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}~.

Sedan, för att uppfylla villkoren ( 3 ) och ( 4 ), är det nödvändigt att ha och . Inga begränsningar läggs på och . Genom att välja får vi: $x_{34}=0$ $x_{33}\neq 0$ $x_{31}$ $x_{32}$ $x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1$

\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\\1\\0\end{pmatrix}}~,

som en generaliserad egenvektor av rang 3 motsvarande . Det är möjligt att få oändligt många andra generaliserade egenvektorer av rang 3 genom att välja andra värden på , och för . Valet som görs är dock det enklaste [33] . $\lambda _{1}=5$ $x_{31}$ $x_{32}$ ${\displaystyle x_{33))$ $x_{33}\neq 0$

Nu, med hjälp av likheterna ( 1 ), får vi och som generaliserade egenvektorer av rang 2 respektive 1, där: ${\displaystyle \mathbf {x} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1))$

\mathbf {x} _{2}=(A-5E)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix} }

och

\mathbf {x} _{1}=(A-5E)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix)) ~.

Det icke-multipela egenvärdet kan beräknas med hjälp av standardtekniker och motsvarar den vanliga egenvektorn: $\lambda _{2}=4$

\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}~.

Den kanoniska grunden för matrisen kommer att vara: $A$

\left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\} =\vänster\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\\0\\0\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\} ~.

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2))$ och kommer att vara de generaliserade egenvektorerna associerade med , medan är den vanliga egenvektorn associerad med . ${\displaystyle \mathbf {x} _{3))$ $\lambda_1$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{1))$ $\lambda_2$

Detta är ett ganska enkelt exempel. I allmänhet kommer antalet linjärt oberoende generaliserade rangegenvektorer inte alltid att vara detsamma. Det vill säga att det kan finnas kedjor med olika längder av motsvarande egenvärden [34] . ${\displaystyle \rho _{k))$ $k$

Generaliserad modal matris

Låt vara en matris. En generaliserad modal matris för är en matris vars kolumner, behandlade som vektorer, utgör den kanoniska grunden för matrisen och visas i enligt följande regler: $A$ $n\ gånger n$ $M$ $A$ $n\ gånger n$ $A$ $M$

Alla Jordan-kedjor som består av en enda vektor (det vill säga en vektor lång) visas i den första kolumnen i matrisen . $M$
Alla vektorer i en kedja visas tillsammans i angränsande kolumner i matrisen . $M$
Varje sträng visas i ordning med ökande rangordning (dvs. en generaliserad egenvektor av rang 1 förekommer före en generaliserad rang 2-egenvektor för samma sträng, denna vektor förekommer före en generaliserad rang 3-egenvektor för samma sträng, etc.) [25] . $M$

Jordan normal form

Låt vara -dimensionellt vektorutrymme. Låta vara en linjär mappning från ) , mängden av alla linjära mappningar från till sig själv. Låt vara en matrisrepresentation för någon ordnad grund. Det kan visas att om det karakteristiska polynomet i matrisen är uppdelat i linjära faktorer, så att det har formen: $V$ $n$ $\phi$ $L(V$ $V$ $A$ $\phi$ $f(\lambda)$ $A$ $f(\lambda)$

f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1))(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2} }\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}}~,

där är distinkta egenvärden , då är var och en en algebraisk multiplicitet av motsvarande egenvärde , och liknar en matris i Jordaniens normala form , där varje visas gånger i följd på diagonalen. Dessutom är elementet omedelbart ovanför varje (det vill säga på superdiagonalen ) antingen 0 eller 1 - elementen ovanför den första förekomsten av varje är alltid 0; alla andra element på superdiagonalen är lika med 1. Dessutom är alla andra element utanför diagonalen och superdiagonalen lika med 0. Matrisen är närmast matrisens diagonalisering . Om matrisen är diagonaliserbar är alla poster ovanför diagonalen noll [35] . Observera att i vissa böcker är enheterna placerade på subdiagonalen, det vill säga direkt under huvuddiagonalen, och inte på superdiagonalen. Egenvärdena ligger kvar på huvuddiagonalen [36] [37] . ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r))$ $A$ $\mu _{i}$ $\lambda _{i}$ $A$ $J$ $\lambda _{i}$ $\mu _{i}$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ $J$ $A$ $A$

Vilken matris som helst liknar en matris i Jordaniens normala form, som erhålls genom likhetstransformationer , där är den generaliserade modala matrisen för matrisen [38] (se anmärkning ovan). $n\ gånger n$ $A$ $J$ $J=M^{-1}AM$ $M$ $A$

Exempel 4

Låt oss hitta en matris i Jordaniens normala form, som liknar:

A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}~.

Lösning: Den karakteristiska ekvationen för matrisen - är därför ett egenvärde med algebraisk multiplicitet tre. Genom att följa proceduren från föregående avsnitt finner vi att: $A$ $(\lambda -2)^{3}=0$ $\lambda =2$

\operatörsnamn {rank} (A-2E)=1

och

\operatörsnamn {rank} (A-2E)^{2}=0=n-\mu ~.

Sedan och , därav följer att den kanoniska grunden för matrisen kommer att innehålla en linjärt oberoende generaliserad egenvektor av rang 2 och två linjärt oberoende generaliserade egenvektorer av rang 1, eller, ekvivalent: en kedja av två vektorer och en kedja av vektorer . Som betecknar får vi: $\rho _{2}=1$ $\rho _{1}=2$ $A$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\))$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{1}\right\))$ $M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix))$

M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}}

och

J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}~,

där är den generaliserade modala matrisen för matrisen , kolumnerna i matrisen är den kanoniska grunden för matrisen , och [39] . Eftersom de generaliserade egenvektorerna i sig inte är unika, och eftersom vissa av kolumnerna i matriserna och kan bytas ut, följer det att både matrisen och inte är unika [40] . $M$ $A$ $M$ $A$ $AM=MJ$ $M$ $J$ $M$ $J$

Exempel 5

I exempel 3 hittades en kanonisk bas av linjärt oberoende generaliserade egenvektorer för matrisen . Den generaliserade modala matrismatrisen är: $A$ $A$

M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}~.

En matris i Jordaniens normala form, som matris , är: $A$

J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}}~,

så . $AM=MJ$

Applikationer

Matrisfunktioner

De tre huvudsakliga operationerna som kan utföras på kvadratmatriser är matrisaddition, skalär multiplikation och matrismultiplikation [41] . Det är exakt de operationer som behövs för att bestämma polynomfunktionen för en matris [42] . Många funktioner kan representeras som en Maclaurin- serie.Därför kan mer allmänna funktioner av matriser definieras [43] . Om matrisen är diagonaliserbar, det vill säga: $n\ gånger n$ $A$ $A$

D=M^{-1}AM~,

Med

D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0& \cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}~,

sedan:

D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}~,

och summeringen av Maclaurin-serien av funktionen är mycket förenklad [44] . Till exempel, för att erhålla någon grad k av matrisen behöver man bara beräkna genom att multiplicera matrisen till vänster med och sedan till höger med [45] . $A$ $A$ $D^{k}$ $D^{k}$ $M$ $M^{-1}$

Med hjälp av generaliserade egenvektorer kan man få Jordans normala form av en matris , och dessa resultat kan generaliseras för att erhålla en direkt metod för att beräkna funktioner från icke-diagonaliserbara matriser [46] (Se Jordan-sönderdelning .) $A$

Differentialekvationer

Tänk på problemet med att lösa ett system av linjära vanliga differentialekvationer:

\mathbf {x} '=A\mathbf {x} ~,

(5)

var:

\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix)) ~,\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\ slut{pmatrix}}~,

och

A=(a_{ij})~.

Om matrisen är diagonaliserbar, så att för , reduceras systemet ( 5 ) till ett ekvationssystem som tar formen: $A$ $a_{ij}=0$ $i \ne j$ $n$

$x_{1}'=a_{11}x_{1}$
$x_{2}'=a_{22}x_{2}$

\vdots

$x_{n}'=a_{nn}x_{n}~.$

(6)

I det här fallet ges den allmänna lösningen av uttrycken:

{\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t))

{\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t))

\vdots

x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}~.

I det allmänna fallet bör man diagonalisera matrisen och reducera systemet ( 5 ) till ett system av formen ( 6 ) som anges nedan. Om matrisen är diagonaliserbar har vi , var är matrisens modala matris . Efter substitution blir likhet ( 5 ) , eller: $A$ $A$ $D=M^{-1}AM$ $M$ $A$ $A=MDM^{-1}$ $M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )$

\mathbf {y} '=D\mathbf {y} ~,

(7)

var:

\mathbf {x} =M\mathbf {y} ~.

(åtta)

Lösningen till ekvation ( 7 ) blir:

{\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t))

{\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t))

\vdots

y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}~.

Lösningen av systemet ( 5 ) erhålls sedan med hjälp av relationen ( 8 ) [47] . $\mathbf {x}$

Å andra sidan, om matrisen inte är diagonaliserbar, väljer vi som matris en generaliserad modal matris för matrisen , så det är Jordans normala form av matrisen . Systemet ser ut som: $A$ $M$ $A$ $J=M^{-1}AM$ $A$ $\mathbf {y} '=J\mathbf {y}$

${\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1} '&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n}~ ,\end{aligned}}$

(9)

där värdena är egenvärdena från matrisens huvuddiagonal , och värdena är ettor och nollor från matrisens superdiagonal . System ( 9 ) är ofta lättare att lösa än ( 5 ), till exempel enligt följande schema: $\lambda_i$ $J$ $\epsilon _{i}$ $J$

Löser vi den sista likheten i ( 9 ) med avseende på . Genom att ersätta det erhållna värdet i den näst sista jämlikheten i ( 9 ), löser vi det med avseende på . För att fortsätta denna process, låt oss gå igenom alla likheter ( 9 ) från den sista till den första, och därigenom lösa hela ekvationssystemet. Lösningen erhålls sedan från relationerna ( 8 ) [48] . $y_{n}$ ${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t))$ $y_{n}$ ${\displaystyle y_{n-1))$ $\mathbf {x}$

Anteckningar

↑ 1 2 3 Bronson, 1970 , sid. 189.
↑ 1 2 Beauregard, Fraleigh, 1973 , sid. 310.
↑ 1 2 3 4 5 Nering, 1970 , sid. 118.
↑ 1 2 Golub, Van Loan, 1996 , sid. 316.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , sid. 319.
↑ 12 Bronson , 1970 , sid. 194–195.
↑ Golub, Van Loan, 1996 , sid. 311.
↑ 1 2 3 Bronson, 1970 , sid. 196.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , sid. 316–318.
↑ Anton, 1987 , sid. 301–302.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , sid. 266.
↑ 1 2 Burden, Faires, 1993 , sid. 401.
↑ Golub, Van Loan, 1996 , sid. 310–311.
↑ Harper, 1976 , sid. 58.
↑ Herstein, 1964 , sid. 225.
↑ Kreyszig, 1972 , sid. 273,684.
↑ Nering, 1970 , sid. 104.
↑ 1 2 Beauregard, Fraleigh, 1973 , sid. 270–274.
↑ 12 Bronson , 1970 , sid. 179–183.
↑ Bronson, 1970 , sid. 181.
↑ Bronson, 1970 , sid. 179.
↑ Bronson, 1970 , sid. 190,202.
↑ Bronson, 1970 , sid. 189,203.
↑ Bronson, 1970 , sid. 206–207.
↑ 12 Bronson , 1970 , sid. 205.
↑ Bronson, 1970 , sid. 189,209-215.
↑ Herstein, 1964 , sid. 259.
↑ Herstein, 1964 , sid. 261.
↑ Nering, 1970 , sid. 122.123.
↑ Bronson, 1970 , sid. 189–209.
↑ Bronson, 1970 , sid. 196,197.
↑ Bronson, 1970 , sid. 197,198.
↑ Bronson, 1970 , sid. 190–191.
↑ Bronson, 1970 , sid. 197–198.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , sid. 311.
↑ Cullen, 1966 , sid. 114.
↑ Franklin, 1968 , sid. 122.
↑ Bronson, 1970 , sid. 207.
↑ Bronson, 1970 , sid. 208.
↑ Bronson, 1970 , sid. 206.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , sid. 57–61.
↑ Bronson, 1970 , sid. 104.
↑ Bronson, 1970 , sid. 105.
↑ Bronson, 1970 , sid. 184.
↑ Bronson, 1970 , sid. 185.
↑ Bronson, 1970 , sid. 209–218.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , sid. 274–275.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , sid. 317.

Litteratur

Anton Howard. Elementär linjär algebra. — 5:a. - New York: Wiley , 1987. - ISBN 0-471-84819-0 .
Sheldon Axler. Linjär algebra gjort rätt. — 2:a. - Springer, 1997. - ISBN 978-0-387-98258-8 .
Raymond A. Beauregard, John B. Fraleigh. En första kurs i linjär algebra: med valfri introduktion till grupper, ringar och fält . — Boston: Houghton Mifflin Co. , 1973. - ISBN 0-395-14017-X .
Richard Bronson. Matrismetoder: en introduktion . — New York: Academic Press , 1970.
Richard L. Burden, J. Douglas Faires. Numerisk analys . — 5:a. — Boston: Prindle, Weber och Schmidt , 1993. — ISBN 0-534-93219-3 .
Charles G. Cullen. Matriser och linjära transformationer . — Läsning: Addison-Wesley , 1966.
Joel N. Franklin. Matristeori. — Englewood Cliffs: Prentice-Hall , 1968.
Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Matrisberäkningar. — 3:a. - Baltimore: Johns Hopkins University Press , 1996. - ISBN 0-8018-5414-8 .
- Översatt av J. Golub, C. Van Lone. Matrisberäkningar. - M . : "Mir", 1999. - ISBN 5-03-002406-9 .
Charlie Harper. Introduktion till matematisk fysik . - New Jersey: Prentice-Hall , 1976. - ISBN 0-13-487538-9 .
Herstein IN Ämnen i Algebra. - Waltham: Blaisdell Publishing Company , 1964. - ISBN 978-1114541016 .
Erwin Kreyszig. Avancerad teknisk matematik . — 3:a. - New York: Wiley , 1972. - ISBN 0-471-50728-8 .
Evar D. Nering. Linjär algebra och matristeori. — 2:a. — New York: Wiley , 1970.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig

Matte

Portal "Science"

Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementär algebra	Ekvationslösning
Linjär algebra	Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra
Allmän algebra	Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori

Analys
Klassisk analys	Differentialkalkyl Integralkalkyl
Funktionsteori	Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl
Differentialekvationer och integralekvationer	Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer
Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys

Geometri och topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Tillämpad matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori

Portalen "Matematik"
Kategori "Matematik"