Serier (matematik)

En serie , även kallad en oändlig summa , är ett av de centrala begreppen inom matematisk analys . I det enklaste fallet skrivs serien som en oändlig summa av tal [1] :

a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad

Kort notering: (ibland börjar numreringen av termerna inte från 1, utan från 0)

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}

Här är en sekvens av reella eller komplexa tal ; dessa tal kallas termer i serien . $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$

För att tilldela värdet av en summa till en nummerserie, överväg sekvensen av " delsummor " som blir resultatet av att en oändlig summa avslutas vid någon term:

S_{1}=a_{1}

S_{2}=a_{1}+a_{2}

{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3))

\cdots

{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n))

\cdots

Om sekvensen av delsummor har en gräns (ändlig eller oändlig), så säger de att summan av serien är lika med Samtidigt, om gränsen är ändlig, säger de att serien konvergerar . Om gränsen inte finns eller är oändlig, sägs serien divergera [1] . $S$ $S.$

För att klargöra nyckelfrågan i analysen, om en given serie konvergerar eller inte, har många konvergenskriterier föreslagits .

Numeriska serier och deras generaliseringar (se nedan om icke-numeriska serier ) används överallt i matematisk analys för beräkningar, för att analysera olika funktioners beteende, för att lösa algebraiska eller differentialekvationer . Expansionen av en funktion i en serie kan betraktas som en generalisering av att specificera en vektor med koordinater , denna operation tillåter oss att reducera studiet av en komplex funktion till analys av elementära funktioner och underlättar numeriska beräkningar [2] . Serier är ett oumbärligt forskningsverktyg inte bara inom matematik, utan också inom fysik, astronomi, datavetenskap, statistik, ekonomi och andra vetenskaper.

Nummerserier

Exempel

Det enklaste exemplet på en konvergent serie är summan av termerna för en oändlig geometrisk progression [3] med nämnaren : $|q|<1$

a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\dots

Delsumma Gränsen för detta uttryck är summan av en oändlig geometrisk progression [1] . Till exempel, när du får en serie vars summa är 2: $S_{n}=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-q)),$ $a=1,q={\frac {1}{2}}$

2=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dots

En decimal med en oändlig bråkdel kan ses som summan av en serie [3] ; till exempel är talet summan av följande serier: $\pi =3{,}1415926\dots$

3+{\frac {1}{10^{1}}}+{\frac {4}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+ {\frac {5}{10^{4}}}+{\frac {9}{10^{5}}}+\dots

Ett mer komplicerat exempel är serien av inversa kvadrater , summan av vilka de bästa matematikerna i Europa inte kunde hitta på mer än 100 år [4] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Serien divergerar, dess summa är oändlig. Övertonsserien divergerar också : " Grundys serie " divergerar, dess delsummor sträcker sig från 1 till 0, så det finns ingen gräns för delsummor, denna serie har ingen summa [5] . $1+1+1+\dots$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n))={\infty }.$ $1-1+1-1+1-1\dots$

Klassificering

En positiv serie [6] är en riktig serie vars alla termer är icke-negativa. För positiva serier finns summan alltid, men kan vara oändlig [7] .

En alternerande serie är en riktig serie där tecknen på termerna alternerar: plus, minus, plus, minus etc. För sådana serier finns det ett enkelt Leibniz-konvergenstest . Den alternerande versionen av ovanstående övertonsserie , till skillnad från den senare, konvergerar [8] :

1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)

Absolut och villkorlig konvergens

Det sägs att en reell eller komplex serie konvergerar absolut om en serie moduler ( absoluta värden ) av dess medlemmar konvergerar [8] :

\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|

En absolut konvergent serie konvergerar också i den vanliga bemärkelsen för detta koncept. Samtidigt har varje sådan serie en viktig förskjutningsegenskap: för varje permutation av termerna för en absolut konvergent serie erhålls en konvergent serie med samma summa [9] . I synnerhet för positiva konvergerande serier kan du ordna om termerna för serien på vilket sätt som helst, detta påverkar inte konvergensen och summan [10] .

Om en talserie konvergerar men inte absolut, sägs den vara villkorligt konvergent . Exempel:

1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\dots

Serien i sig konvergerar, men serien av dess absoluta värden ( den harmoniska serien ) divergerar [8] .

Egenskaper för villkorligt konvergerande serier [8] .

Om en serie konvergerar villkorligt , då divergerar både serien av dess positiva termer och serien med negativa termer.
- Konsekvens (kriterium för absolut konvergens): en serie reella tal konvergerar absolut om och endast om både serien av dess positiva termer och serien av negativa termer konvergerar.
( Riemanns sats ): Genom att omordna termerna i en villkorligt konvergent serie kan man få en serie med vilken given reell summa som helst.

Operationer på rader

Låt konvergerande serier och ges . Sedan: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Deras summa kallas skillnadsserien - serien $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n}),$ $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-b_{n}).$

Om båda serierna konvergerar till respektive , så konvergerar deras summa och skillnad också. Summan av konvergerande och divergerande serier divergerar alltid [11] :

S_{1}

S_{2}

\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=S_{1}+S_{2};\quad \sum _{n=1}^{ \infty }(a_{n}-b_{n})=S_{1}-S_{2}

, Om båda serierna konvergerar absolut, då konvergerar summan och skillnaden av dessa serier också absolut [12] .

Deras Cauchy-produkt är en serie där: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n))$

c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1}=a_{1}b_{1}+(a_{1}b_{2 }+a_{2}b_{1})+(a_{1}b_{3}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{1})+\dots +(a_{1}b_ {n}+a_{2}b_{n-1}+\dots +a_{n}b_{1})

Om åtminstone en av de ursprungliga serierna konvergerar absolut, då konvergerar produkten av serien [13] .

Ett nödvändigt kriterium för konvergensen av en nummerserie

Serien kan konvergera endast om termen (vanlig term för serien) tenderar till noll när dess antal ökar [14] : ${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+\ldots +{a}_{n}+\ldots$ ${\displaystyle {a}_{n))$

\lim _{n\rightarrow \infty }{a}_{n}=0.

Detta är ett nödvändigt tecken på seriens konvergens , men det räcker inte - för en övertonsserie , till exempel, minskar den vanliga termen oändligt med ökande antal, ändå divergerar serien. Om den gemensamma termen för serien inte tenderar till noll, så avviker serien säkert [14] .

Konvergent serie

Fastighet 1. Om serien

\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}={a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a }_{4}+\ldots

(1.1)

konvergerar och dess summa är , då serien $S$

\sum _{n=1}^{\infty }c{a}_{n}=c{a}_{1}+c{a}_{2}+c{a}_{3 }+c{a}_{4}+\ldots

(1.2)

där är ett godtyckligt tal, konvergerar också och dess summa är . Om serie (1.1) divergerar och , då divergerar serie (1.2). $c$ $cS$ $c\neq 0$

Fastighet 2 ( föreningsrätt ). I en konvergent serie kan du godtyckligt kombinera angränsande medlemmar till grupper utan att bryta mot deras ordning [15] .

Den här egenskapen kan användas för att bevisa divergensen för en serie: om efter den angivna grupperingen en divergerande serie erhålls, så divergerar den ursprungliga serien också.

Olösta problem

Det är fortfarande okänt om Flint Hills Series konvergerar [16 ] :

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatörsnamn {cosec} ^{2}(n)}{n^{3))))

Om det är möjligt att bevisa att denna serie konvergerar, kommer som en konsekvens ett viktigt faktum att visa sig: måttet på ett tals irrationalitet är $\pi$ mindre än 2,5.

Det är känt att summan av en serie inversa kvadrater och summan av andra serier med reciproka jämna potenser uttrycks i termer av potenser av ett tal, $\pi ,$ men lite är känt om summan av inversa kuber (" Aperis konstant "):

{\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\ frac {1}{4^{3}}}+\dots \approx 1{,}2020569

Ingen har ännu kunnat koppla detta värde med klassiska konstanter eller elementära funktioner [17] .

Serier med icke-numeriska medlemmar

Begreppet en oändlig serie och dess summa kan introduceras inte bara för tal, utan också för andra matematiska objekt , för vilka addition och begreppet närhet definieras, vilket gör det möjligt att bestämma gränsen. Till exempel används serier av funktioner i stor utsträckning i analys : effektserier , Fourierserier , Laurentserier . Medlemmarna i serien kan också vara vektorer , matriser osv.

Allmän definition

En serie (eller en oändlig summa ) i matematik är en sekvens av element ( medlemmar i en given serie ) av något topologiskt vektorrum , betraktat tillsammans med en uppsättning delsummor av seriens medlemmar (delsummor definieras i samma sätt som i numeriska serier). Om en gräns definieras för en sekvens av delsummor : då kallas värdet summan av den givna serien, och själva serien kallas konvergent (annars divergent ) [18] . $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$ $S=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n},$ $S$

Serier kan alltid adderas eller subtraheras term för term, och summan och skillnaden av konvergenta serier konvergerar också. Om termerna för serien är hämtade från en ring eller ett fält , bildar serien själva en ring med avseende på addition och Cauchy-produkten .

Funktionsserie

Definition och egenskaper

En serie kallas funktionell om alla dess medlemmar är funktioner definierade på någon uppsättning:

a_{1}(x)+a_{2}(x)+a_{3}(x)+\ldots +a_{n}(x)+\ldots ;\quad

kort anteckning:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x)

Delsummor i detta fall är också funktioner definierade på samma uppsättning. En serie kallas konvergent på mängden om en serie med fasta nummer konvergerar [2] : $X$ $x_{0}\i X$

a_{1}(x_{0})+a_{2}(x_{0})+a_{3}(x_{0})+\ldots +a_{n}(x_{0})+ \ldots

Uppsättningen kallas för seriens konvergensregion . Summan av serien är uppenbarligen också en funktion på $X$ $x.$

Ett exempel är serieexpansionen av en rationell bråkdel:

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Denna serie konvergerar i intervallet . $(-1;\;1)$

Bland huvudtyperna av funktionella serier:

power-serier (särskilt Taylor-serier );
trigonometrisk serie ; i synnerhet Fourierserier ;
rader av Laurent .

Förutom den "punktvisa" konvergensen som definieras ovan kan andra närhetsnormer användas i olika utrymmen , på vilka förekomsten av gränsen för delsummor beror på. Till exempel kan man definiera "Chebyshev-normen" [19] .

Enhetlig konvergens

Generellt sett kan egenskaperna hos en summa skilja sig från egenskaperna hos termerna i en serie—till exempel kan summan av en serie kontinuerliga funktioner inte vara kontinuerlig [20] .

En funktionell serie som konvergerar på en mängd sägs konvergera enhetligt (på denna uppsättning) [21] om sekvensen av delsummor av serien konvergerar enhetligt på . $X$ $X$

Det finns flera tecken som gör det möjligt att verifiera seriens enhetliga konvergens [21] :

Vikten av begreppet enhetlig konvergens av en serie visas av följande satser (alla funktioner antas vara reella).

Summan av en serie funktioner som är kontinuerliga vid någon punkt kommer själv att vara kontinuerliga vid den punkten, förutsatt att den funktionella serien konvergerar enhetligt vid punkten. I synnerhet kommer summan av en enhetligt konvergent serie av reella funktioner som är kontinuerliga på ett segment också att vara kontinuerliga på detta segment [22] . $x_{0}$ $x_{0}$ $[a,b],$
Om funktionerna är kontinuerligt differentierbara på intervallet och båda serierna: $f_{n}(x)$ $[a,b]$

f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\dots

{\frac {df_{1}(x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{ dx}}+\dots

konvergera på , och serien av derivator konvergerar enhetligt, då har summan av serien en derivata, och serien kan differentieras term för term [23] :

[a,b]

{\frac {d}{dx}}(f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\dots )={\frac {df_{1} (x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{dx}}+\dots

Om funktionerna är kontinuerliga på intervallet och serien konvergerar enhetligt till funktionen, kan serien integreras term för term [24] : $f_{n}(x)$ $[a,b]$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\dots$ $[a,b]$ $F(x),$

\int \limits _{a}^{b}F(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{f_{n }}(x)dx

Det enhetliga konvergensvillkoret garanterar att serien till höger konvergerar.

Om funktionerna är Riemann-integrerbara på ett segment och serien konvergerar enhetligt till funktionen, så kommer summan av serien också att vara Riemann-integrerbar [24] . $f_{n}(x)$ $[a,b]$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\dots$ $[a,b]$ $F(x),$

Ett exempel på en olikformigt konvergent potensserie är en geometrisk progression .I intervallet konvergerar den till en funktion men inte enhetligt (vilket framgår av summans oändliga hopp när man närmar sig 1) [25] . $1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$ $[0,1)$ ${\frac {1}{1-x)),$

Serier av matriser

I ringen av numeriska kvadratiska matriser av en fast ordning menar vi en -grannskap av en matris en uppsättning matriser , vars alla mindre änfrån motsvarande komponenter medskiljer sigkomponenter är gränsen för motsvarande sekvens $n$ $\varepsilon$ $A$ $A$ $\varepsilon.$ $L$ $A_{1},A_{2},A_{3}\dots$ ${\displaystyle L_{ik))$ $A_{ik}.$

Nu är det möjligt att definiera, genom allmänna regler, serier av numeriska matriser, begreppet seriekonvergens (inklusive absolut konvergens) och summan av en konvergent serie. Med andra ord, en serie ordningsmatriser konvergerar om serien av dess komponenter konvergerar, och summan är en matris som innehåller motsvarande gränser för dessa serier [26] . $n$ $n^{2}$

Potensserien för matriser har formen [26] :

a_{0}I+a_{1}X+a_{2}X^{2}+a_{3}X^{3}+\dots ,

var är de givna numeriska koefficienterna, är identitetsmatrisen , är matrisen av okända. Denna serie motsvarar ett system av numeriska serier. För att uppskatta dess konvergens, komponerar vi den vanliga potensserien av komplexa tal: $a_{0},a_{1},\dots$ $jag$ $X$ $n^{2}$

a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\dots

Låt konvergensradien för denna serie vara . Då är följande satser sanna [26] : $R.$

Matriseffektserien konvergerar absolut för alla matriser belägna i närheten av nollmatrisen , där $\varepsilon$ $\varepsilon =R/n.$
Om en matrispotensserie konvergerar i regionen där är en matris med positiva komponenter och är en matris av moduli av okända, då konvergerar den absolut i denna region. $|X|<P,$ $P$ $|X|$

För ett exempel på en potensserie från matriser , se Matrisexponent . Med hjälp av serier kan man definiera standardfunktioner för kvadratiska matriser (till exempel sinus ).

Variationer och generaliseringar

En generalisering av begreppet en serie är begreppet en dubbel serie , vars medlemmar numreras inte med ett, utan med två index [27] .

En generalisering av begreppet summan av en serie är begreppet summeringsfunktionen av en serie , vars val gör begreppet summan av en divergerande (i klassisk mening) serie acceptabelt. Många varianter av en sådan generalisering har föreslagits: Poisson-Abel-konvergens , Borel , Cesaro , Euler , Lambert och andra [28] .

Historik

Forntida period

Forntida matematiker , i enlighet med Pythagoras ideologi , förkastade alla faktiskt oändliga begrepp, inklusive oändliga serier. Det har dock funnits några begränsade tillämpningar av seriekonceptet. Till exempel, Arkimedes , för att beräkna arean av ett segment av en parabel , fann faktiskt summan av en oändlig geometrisk progression [29] :

1+{\frac {1}{4^{1}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+ \cdots ={4 \över 3}

Van der Waerden skriver om detta: "Archimedes talar inte om summan av en oändligt avtagande geometrisk progression, han känner ännu inte till uttrycket" summan av en oändlig serie ", men han äger perfekt essensen av detta koncept." I flera problem löst av Arkimedes för beräkning av area eller volym använder han, i modern terminologi, övre och undre integralsummor med ett obegränsat antal termer. På grund av frånvaron av begreppet gräns användes en besvärlig konsumtionsmetod [29] för att motivera resultatet .

Kerala School

Matematiker i Indien , som inte var bundna av Pythagoras restriktioner, avancerade avsevärt serieteorin och tillämpade den framgångsrikt. Kerala skolan för astronomi och matematik (södra Indien) nådde den största framgången under 1400- och 1500-talen . För astronomiska beräkningar kunde Kerala-folket för första gången i historien hitta expansionen av trigonometriska och andra funktioner till oändliga serier:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

Men de hade ingen allmän teori om sådana expansioner, för att få dessa formler rätades cirkelbågen [30] [31] . I Europa publicerades en liknande serie för arctangent först av James Gregory 1671, och serie för sinus och cosinus av Isaac Newton 1666.

Från serien för bågtangensen fick Keralas en bra approximation för antalet $\pi$ : $3{,}141592653.$

I Europa förblev prestationerna från Kerala-skolan okända under lång tid och återupptäcktes oberoende.

1600-talet

Fram till omkring 1600-talet förekom oändliga serier sällan i europeiska matematikers skrifter. Värt att nämna är arbetet av den engelske matematikern Richard Swainshead från 1300-talet , som sammanfattade serien [32] :

{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {2}{2^{2}}}+{\frac {3}{2^{3}}}+{\ frac {4}{2^{4}}}+{\frac {5}{2^{5}}}+...=2.

På 1600-talet är oändliga serier redan av allmänt intresse och börjar användas för att lösa många praktiska problem - ungefärliga beräkningar , interpolation , teorin om logaritmer , etc.

År 1647 upptäckte Grégoire de Saint-Vincent sambandet mellan logaritmen och området under hyperbeln (se figur). År 1650, baserat på geometriska överväganden, publicerade den italienske matematikern Pietro Mengoli i avhandlingen " Nya aritmetiska kvadraturer " expansion till en oändlig serie [33] : $\ln 2$

\ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}\dots

Mengoli undersökte också andra serier och bevisade att den harmoniska serien divergerar; Mengoli visade också att den omvända kvadratserien konvergerar, även om han inte kunde hitta dess summa [33] .

År 1668 övervägde den tyske matematikern Nicholas Mercator (Kaufmann), då bosatt i London, i avhandlingen " Logarithmotechnia " för första gången expansionen till en serie av inte siffror utan funktioner, och lade därigenom grunden för teorin om potensserier. [33] :

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{ 4}}{4}}+\cdots

Som ett universellt verktyg för studier av funktioner och numeriska beräkningar användes oändliga serier av Isaac Newton och Gottfried Wilhelm Leibniz , skaparna av matematisk analys . Tillbaka i mitten av 1600-talet upptäckte Newton och Gregory den binomiska expansionen för vilken som helst, inte bara en heltalsexponent (först publicerad i Algebra av Wallis , 1685): $\alfa$

(1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+...

Serien konvergerar vid Med hjälp av denna formel kunde Newton för första gången beräkna en ellipsbåge som en serie (i modern terminologi beräknade han den elliptiska integralen ) [34] . Newton visade också hur man använder serier för att lösa ekvationer, inklusive differentialekvationer av första ordningen , och utforska integraler som inte uttrycks i termer av elementära funktioner [35] . $|z|\leqslant 1.$

I slutet av 1600-talet blev expansioner till serier av alla elementära funktioner kända . Leibniz och Gregory upptäckte (1674) Europas första expansion av ett nummer $\pi$ ( Leibniz-serien ):

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+ {\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots

Vid sekelskiftet (1689-1704) publicerade Leibniz student Jacob Bernoulli den första monografin i fem volymer under titeln Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ( Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ). Han visade användningen av serier för att lösa en mängd olika problem.

XVIII-XIX århundraden

1715 publicerade Brooke Taylor den grundläggande Taylor-serien (dock länge känd för Gregory och Newton).

Ett stort bidrag till teorin om serier gjordes av Leonhard Euler . Han var den förste som hittade summan av en serie inversa kvadrater , utvecklade metoder för att förbättra konvergensen av serier, började studien av trigonometriska serier , föreslog konceptet med en generaliserad summa av en serie lämplig för divergerande serier. Själva begreppet " analytisk funktion " förknippades med möjligheten att dess representation i form av en potensserie.

På 1800-talet byggde Cauchy och Weierstrass rigorösa grunder för analys och i synnerhet en rigorös serieteori. Det viktiga begreppet enhetlig konvergens introducerades och olika kriterier för konvergens formulerades.

Teorin om trigonometriska serier fick snabb utveckling . Daniil Bernoulli uttryckte också tron att vilken (kontinuerlig) funktion som helst på ett givet intervall kan representeras av en trigonometrisk serie [36] . Diskussioner om detta ämne fortsatte till 1807, då Fourier publicerade teorin om representationen av godtyckliga bitvis analytiska funktioner genom trigonometriska serier (den slutliga versionen finns i hans Analytical Theory of Heat, 1822) [37] . För att utöka funktionen i en Fourier-serie gav han integralformler för att beräkna koefficienterna [37] . Fouriers utläggning var inte rigorös i modern mening, men innehöll redan en undersökning av konvergensen av de flesta av serierna han erhöll. $f(x)$ $f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos {nx}+b_{n}\sin {nx})$

Samtidigt utvecklades och användes serier i komplex analys , inklusive Laurent-serier , i stor utsträckning på 1800-talet . Användningen av serier inom naturvetenskapen började - i den himmelska mekaniken (för att lösa trekroppsproblemet ), i optiken , teorin om värmeledning , mot slutet av århundradet - i teorin om elektromagnetism .

På 1900-talet utvidgades begreppet en serie till en bred klass av matematiska objekt , inte nödvändigtvis numeriska.

Anteckningar

↑ 1 2 3 Fikhtengolts, 1966 , sid. 257-258.
↑ 1 2 Mathematical Encyclopedia, 1984 , sid. 1068-1070.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , sid. 258-259.
↑ Vorobyov, 1979 , sid. 52, 178.
↑ Vorobyov, 1979 , sid. 32-33, 52-53.
↑ Vygodsky, 1977 , sid. 540.
↑ Vorobyov, 1979 , sid. 50-71.
↑ 1 2 3 4 Vorobyov, 1979 , sid. 72-85.
↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 315.
↑ Vilenkin et al., 1982 , sid. 55.
↑ Vilenkin et al., 1982 , sid. femton.
↑ Vilenkin et al., 1982 , sid. 67, ex. 56.
↑ Rudin, Walter. Principer för matematisk analys . - McGraw-Hill, 1976. - S. 74 .
↑ 1 2 Vorobyov, 1979 , sid. 38-39.
↑ Vorobyov, 1979 , sid. 40-41.
↑ Flint Hills-serien . Hämtad 11 maj 2019. Arkiverad från originalet 11 maj 2019. (obestämd)
↑ Weisstein, Eric W. Apérys konstant på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , sid. 1063.
↑ Vilenkin et al., 1982 , sid. 80-82.
↑ Vilenkin et al., 1982 , sid. 86, ex. 70.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , sid. 428-432.
↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 430-432.
↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 438-439.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , sid. 436-438.
↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 424.
↑ 1 2 3 4 Smirnov V. I. Kurs i högre matematik. - 10:e upplagan - St Petersburg. : BHV-Petersburg, 2010. - T. 3 del 2. - S. 369-374. — 816 sid. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
↑ Vorobyov, 1979 , sid. 233-258.
↑ Vorobyov, 1979 , sid. 281-306.
↑ 1 2 Van der Waerden . Uppvaknande vetenskap. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland. - M. : Nauka, 1959. - S. 302-303, 309-310. — 456 sid.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 202-203.
↑ Paplauskas A. B. Pre-Newtons period av utveckling av oändliga serier. Del I // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka, 1973. - Utgåva. XVIII . - S. 104-131 .
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 275.
↑ 1 2 3 History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 158-166.
↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 231.
↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 246-247.
↑ Paplauskas A. B. Trigonometrisk serie. Från Euler till Lebesgue. - M . : Nauka, 1966. - S. 26-27. — 277 sid.
↑ 1 2 Trigonometrisk serie // Matematisk uppslagsverk (i 5 volymer). - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 5.

Litteratur

Vilenkin N. Ya. , Tsukerman V.V., Dobrokhotova M.A., Safonov A.N. Rows. - M . : Utbildning, 1982. - 160 sid.
Vorobyov N. N. Serieteori. - 4:e uppl. — M .: Nauka, 1979. — 408 sid.
Vygodsky M. Ya. Handbok för högre matematik. - 12:e upplagan - M . : Nauka, 1977. - 872 sid.
Zorich V.A. Kapitel III. Begränsa. § 1. Sekvensgräns// Matematisk analys, del I. -M.: Nauka, 1981. - S. 104-114. — 544 sid.
Matematikens historia. Från antiken till början av den nya tiden // Mathematics historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
1600-talets matematik // Matematikens historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
Pismenny D.T. Del 2 // Föreläsningsanteckningar om högre matematik. - 6:e uppl. - M . : Iris-press, 2008.
Serie // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 1063-1070.
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl, i tre volymer. - 6:e uppl. - M . : Nauka, 1966. - T. 2. - 680 sid.

Länkar

Savelyeva R. Yu Högre matematik. Radteori .

Ordböcker och uppslagsverk

Stor ryss
Brockhaus och Efron
runt världen
Litet Brockhaus och Efron

I bibliografiska kataloger
BNE : XX526931 BNF : 11933261z GND : 4049197-3 J9U : 987007531747905171 LCCN : sh85120237 NDL : 00567344 NKC : ph128240

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad

Tecken på konvergens av serier
För alla rader	Nödvändigt skick Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
För tecken-positiva serier	Huvudkriteriet Jämförelse tecken Kummer tecken Gauss tecken Cauchys radikala tecken Integrerad funktion D'Alemberts tecken makt tecken logaritmiskt tecken Tecken på Raabe Bertrand skylt Tecken på Jamet Tecken på Schlömilch Tecken på Ermakov Lobatsjovskijs tecken teleskopskylt Tecken på Sapogov
För alternerande serier	Leibniz tecken
För rader i formuläret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tecken Dedekinds tecken Dubois-Reymond skylt Dirichlet skylt
För funktionella serier	Weierstrass tecken
För Fourier-serien	Dini tecken Tecken på de la Vallée Poussin Jordan tecken Jung tecken Salem tecken Lebesgue tecken Lebesgue-Gergen tecken Martsinkevichs tecken