Maclaurin trisektor

Maclaurin trisectrix är en kub , känd för sin tresektionsegenskap , eftersom den kan användas för att tresektionera en vinkel. Det kan definieras som platsen för skärningspunkterna för två linjer, som var och en roterar likformigt runt två olika punkter (poler) med ett förhållande mellan vinkelhastigheter på 1:3, medan linjerna initialt sammanfaller med linjen som går genom dessa poler . En generalisering av denna konstruktion kallas Maclaurin Seantant . Sekanten är uppkallad efter Colin Maclaurin , som undersökte kurvan 1742.

Ekvationer

Låt två raka linjer rotera runt punkterna och , så att linjen som roterar runt har en vinkel med x-axeln , och linjen som roterar runt har en vinkel . Låta vara skärningspunkten, då vinkeln som bildas av de räta linjerna vid punkten är lika med . Enligt sinuslagen $P=(0,0)$ $P_{1}=(a,0)$ $P$ $\theta$ $P_1$ $3\theta$ $F$ $F$ $2\theta$

{r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }

, så i polära koordinater skulle detta ge

r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta ))={a \över 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \över 2}(4\cos \theta -\sec \theta )

Således hör kurvan till Sluz-familjen av konchoider .

I ett rektangulärt koordinatsystem ser ekvationen ut

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})

Om origo skiftas till ( a , 0) visar en slutsats nära ovanstående att ekvationen i polära koordinater blir till

{\displaystyle r={\frac {a}{2\cos {\theta \över 3))))

gör det till ett exempel på en epispiral .

Tresektionsegenskap

För en given vinkel , rita en stråle från så att vinkeln med axeln är . Rita en stråle från ursprunget till skärningspunkten för den första strålen med kurvan. Genom att konstruera kurvan blir vinkeln mellan den andra strålen och axeln . $\phi$ ${\displaystyle(a,0)}$ $x$ $\phi$ $x$ $\phi /3$

Anmärkningsvärda punkter och egenskaper

Kurvan har en skärning med x -axeln i en punkt och en dubbel fixpunkt vid origo. Den vertikala linjen är en asymptot. Kurvan skär linjen i punkter som motsvarar tresektionen av den räta vinkeln. Som huvudkub har den släktet noll. $3a\över 2$ $x={-{a \over 2}}$ $x=a$ $(a,{\pm {1 \over {\sqrt {3))}a})$

Samband med andra kurvor

Maclaurin-trisektorn kan definieras som en konisk sektion på tre sätt. Specifikt:

Det är inversionen av hyperbeln med avseende på enhetscirkeln

2x=a(3x^{2}-y^{2})

Det är en cissoid av en cirkel

{\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2))

och rakt med avseende på ursprunget.

x={a \over 2}

Det är parabelns linje med avseende på ursprunget

y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a)

För övrigt,

Inversionen kring en punkt är cochlea trisectrix . ${\displaystyle(a,0)}$
Maclaurin-trisektorn är relaterad till det kartesiska arket genom en affin transformation .

Litteratur

J. Dennis Lawrence. En katalog med speciella plankurvor . - Dover Publications, 1972. - S. 36 , 95, 104-106 . - ISBN 0-486-60288-5 .
Weisstein, Eric W. Maclaurin Trisectrix (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Länkar

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje omvänt välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta