Indelning slutregel

Inom matematiken är den finita indelningsregeln ett rekursivt sätt att dela upp en polygon och andra tvådimensionella former i mindre och mindre delar. Indelningsregler i denna mening är en generalisering av fraktaler . Istället för att upprepa samma mönster om och om igen, finns det små förändringar vid varje steg, vilket möjliggör rikare texturer samtidigt som stödet för den eleganta fraktalstilen bibehålls [1] . Indelningsregler används inom arkitektur, biologi och datavetenskap, såväl som i studiet av hyperboliska grenrör . Kakelersättningar är en väl studerad indelningsregel.

Definition

Indelningsregeln tar en plattsättning i planet med polygoner och förvandlar den till en ny plattsättning genom att dela upp varje polygon i mindre polygoner. Regeln är ändlig om det bara finns ändligt många sätt att dela varje polygon. Varje sätt att dela en bricka kallas en bricka typ . Varje typ av bricka representeras av en etikett (vanligtvis en bokstav). Varje kakeltyp är uppdelad i mindre kakeltyper. Varje kant är också uppdelad i ett ändligt antal kanttyper . Underindelning ultimata regler kan bara dela upp brickor som är sammansatta av polygoner märkta med bricktyper. Sådana plattsättningar kallas för indelningskomplex för indelningsregeln. Med tanke på vilket indelningskomplex som helst för indelningsregeln kan vi dela upp det om och om igen för att få en sekvens av plattsättningar.

Till exempel har en binär division en bricktyp och en kanttyp:

Eftersom brickorna endast är quads, kan en binär underavdelning ge en brickan bestående av endast quads. Detta innebär att indelningskomplexen är plattsättningar av fyrhörningar. Mosaiken kan vara korrekt , men behöver inte vara:

Här börjar vi med fyra fyrhjulingar och delar upp dem två gånger. Alla rutor är typ A-brickor.

Exempel på regler för underavdelningsslut

Barycentrisk underavdelning är ett exempel på en indelningsregel med en typ av kant (som delas upp i två kanter) och en typ av bricka (en triangel som delas upp i 6 mindre trianglar). Varje triangulerad yta är ett barycentriskt indelningskomplex [1] .

En Penrose-platta kan erhållas med hjälp av indelningsregeln på en uppsättning av fyra typer av plattor (kurvorna i tabellen nedan hjälper bara till att visa hur plattorna passar ihop):

namn Inledande plattor Generation 1 Generation 2 Generation 3
Semi-deltoid
halv pil
Sol
Stjärna

Vissa rationella avbildningar ger upphov till finita indelningsregler [2] . De inkluderar de flesta Latte-skärmar [3] .

Varje enkelt oskiljaktigt alternativt komplement till en knut eller länk har en indelningsregel med några brickor som inte är uppdelade enligt gränserna för komplementet till länken [4] . Indelningsreglerna visar hur natthimlen skulle se ut om någon levde i nodens komplement I det här fallet lindar universum in sig självt (dvs. är inte bara anslutet ), och observatören skulle se den synliga delen av universum upprepas sig i en oändlig mosaik. Indelningsregeln beskriver denna plattsättning.

Indelningsregeln ser olika ut för olika geometrier. Här är indelningsregeln för en trefoil som inte är en hyperbolisk länk :

Och här är delningsregeln för borromeiska ringar som är hyperboliska:

I varje fall fungerar indelningsregeln på en tessellation av sfären (d.v.s. natthimlen), men det är lättare att rita en liten del av stjärnhimlen som motsvarar en enda bricka som delas upp många gånger. Här är vad som händer för shamrocken:

Och för borromeiska ringar:

Indelningsregler i andra dimensioner

Indelningsregler kan generaliseras till andra dimensioner [5] . Till exempel är barycentrisk indelning tillämplig i alla dimensioner. Den binära underavdelningen kan också generaliseras till andra dimensioner (där hyperkuber delas med medianhyperplan), som i beviset för Heine–Borel-lemmat .

Strikt definition

Den slutliga indelningsregeln består av följande [1] .

1. Ett ändligt 2-dimensionellt CW-komplex , kallat underavdelningskomplexet , med en fixerad cellstruktur så att det är föreningen av slutna 2-celler. Vi antar att det för varje stängd 2-cell i komplexet finns en CW-struktur på sluten 2-skiva så att den har minst två hörn, hörn och kanter finns i , och den karakteristiska kartan som kartläggs till är begränsad till en homeomorfism till varje öppen cell.

2. Ett ändligt tvådimensionellt CW-komplex , som är en underavdelning av .

3. Kontinuerlig cellmapping , kallad subdivision mapping , vars begränsning till varje öppen cell är en homeomorfism.

Varje CW-komplex i ovanstående definition (med karakteristisk mappning ) kallas en kakeltyp .

-komplex för indelningsregeln är ett tvådimensionellt CW-komplex , vilket är föreningen av slutna 2-celler, tillsammans med en kontinuerlig cellmapping , vars begränsning till varje öppen cell är en homeomorfism. Vi kan dela in oss i ett komplex genom att kräva att den genererade kartläggningen begränsas till en homeomorfism till varje avgränsad cell. igen -komplex med kartläggning . Genom att upprepa processen får vi en sekvens av uppdelade -komplex med mappningar .

Binär underavdelning är ett exempel: [6]

Ett indelningskomplex kan skapas genom att limma ihop motsatta kanter av en kvadrat, vilket förvandlar indelningskomplexet till en torus . Indelningsdisplayen är en dubbel torusdisplay, som lindar meridianen om sig själv två gånger, och samma för latitud. Det vill säga, det är ett fyrdubbelt skydd . Planet med rutor är indelningskomplexet för denna indelningsregel med den strukturella kartläggningen som ges av standardtäckande kartläggning. Vid underindelning är varje ruta på planet uppdelad i kvadrater i kvartsstorlek.

Kvasiisometriegenskaper

Indelningsregler kan användas för att studera kvasi-isometriska egenskaper hos vissa ytor [7] . Med tanke på en indelningsregel och ett indelningskomplex kan vi konstruera en graf som kallas en historikgraf som registrerar indelningsregelns handlingar. Grafen består av de dubbla graferna för varje steg , tillsammans med kanter som förbinder varje bricka med dess underavdelningar i .

Kvasiisometriegenskaper hos historiegrafer kan studeras med hjälp av indelningsregler. Till exempel är historiegrafen en kvasi-isometri av ett hyperboliskt utrymme exakt när indelningsreglerna är konforma , som beskrivs i Riemanns kombinatoriska kartläggningssats [7] .

Applikationer

Girih- mosaiken i islamisk arkitektur är en självliknande plattsättning som kan modelleras av finita indelningsregler [8] . År 2007 publicerade Peter Lu Harvard University och professor Paul Steinhardt från Princeton University en artikel i tidskriften Science som gissade att dessa plattsättningar har egenskaper som överensstämmer med självliknande fraktala kvasikristallina plattsättningar som Penrose-plattor plattsättningen föreslogs 1974) , men girih mosaiker användes fem århundraden tidigare [9] [10] .

Uppdelade ytor i datorgrafik använder indelningsregler för att förfina en yta till en given nivå av noggrannhet. På dessa ytunderavdelningar (som den uppdelade Catmull-Clark-ytan ) tas ett polygonnät (används för 3D-animering i filmer) och förfinas till ett nät med ett stort antal polygoner genom att lägga till och förskjuta punkter enligt olika rekursiva formler [11] . Även om många punkter förskjuts i den här processen, är varje nytt nät kombinatoriskt en underavdelning av det gamla nätet (vilket innebär att du kan ange en kant och vertex på det nya nätet för alla kanter och vertex på det nya nätet, plus några fler kanter och hörn).

Indelningsregler har använts av Cannon, Floyd och Parry (2000) för att studera strukturerna hos växande biologiska organismer [6] . Cannon, Floyd och Parry utvecklade en matematisk tillväxtmodell som visar att vissa system, definierade av enkla finita indelningsregler, resulterar i objekt (i deras fall en trädstam) vars stora volymformer fluktuerar kraftigt över tiden, även om de lokala reglerna underavdelningarna förblir desamma [6] . Cannon, Floyd och Parry tillämpade också sin modell för analys av vävnadstillväxt hos råttor [6] . De föreslog att den "negativt krökta" (eller icke-euklidiska) naturen hos biologiska organismers mikroskopiska tillväxtstrukturer är en av huvudorsakerna till att organismer i stor skala inte ser ut som kristaller eller polyedrar, utan faktiskt i många fall liknar självliknande fraktaler [6] . Speciellt föreslog de att en sådan "negativt krökt" lokal struktur manifesterar sig i den mycket vikta och starkt sammankopplade naturen hos vävnaderna i hjärnan och lungorna [6] .

Cannons hypotes

Cannon , Floyd och Parry var de första som studerade de finita indelningsreglerna i ett försök att bevisa följande gissningar:

Cannons gissning : Vilken Gromov hyperbolisk grupp som helst med en 2-sfär i oändligheten verkar geometriskt på ett hyperboliskt 3-rum [7] .

Här är den geometriska verkan en kompakt, helt diskontinuerlig verkan av isometrier. Gissningen löstes delvis av Grigory Perelman i hans bevis [12] [13] [14] av Thurstons gissning , som säger (i synnerhet) att varje Gromov hyperbolisk grupp som är en grupp av ett 3-grenrör måste agera geometriskt i en hyperbolisk grupp. 3-utrymme. Det återstår dock att visa att Gromov-hyperbolgruppen med en 2-sfär i oändligheten är en grupp av en 3-gren.

Cannon och Swenson visade [15] att en hyperbolisk grupp med en 2-sfär i oändligheten har en tillhörande indelningsregel. Om denna indelningsregel är konform i en viss mening, kommer gruppen att vara en 3-manifold grupp med geometrin av ett hyperboliskt 3-rum [7] .

Riemanns kombinatoriska kartläggningssats

Indelningsreglerna ger sekvensen av plattsättningar av en yta, och plattsättningarna ger idén om avstånd, längd och area (förutsatt att varje bricka har längd och area 1). I gränsen kan avståndet som blir resultatet av dessa plattsättningar på sätt och vis konvergera till en analytisk struktur på ytan. Riemanns kombinatoriska kartläggningssats ger en nödvändig och tillräcklig förutsättning för att detta ska ske [7] .

Vissa förberedelser krävs för att formulera satsen. Kakelsättningen av ringen ger två invarianter, och , kallade approximerande moduler . De liknar den klassiska modulen i en ring [16] . De bestäms med hjälp av viktfunktioner . Viktfunktionen tilldelar varje kakelplatta ett icke-negativt nummer som kallas vikten . För vilken bana som helst kan du ange längden som summan av vikterna av alla brickor i banan. Vi definierar höjden på en väg in som infimum av längden på alla möjliga vägar som förbinder den inre gränsen med den yttre gränsen. Omkretsen av en cirkel i är infimum av längden av alla möjliga banor som bildar en cykel i ringen (dvs inte homotopisk till noll i R). Ringarean i definieras som summan av kvadraterna av alla vikter i . Låt oss nu definiera

.

Observera att dessa kvantiteter är oföränderliga under metrisk skalning.

En sekvens av brickor är konform ( ) om cellvärdet tenderar till 0 och:

  1. För alla ringar ligger de approximativa modulerna och för alla tillräckligt stora i samma intervall av formuläret
  2. Med tanke på en punkt på ytan, en grannskap av punkten och ett heltal , då finns det en ring i att separera x från komplementet , så att de approximerande modulerna av ringen är större än numret från vissa [7] .

Uttalande av satsen

Om en sekvens av plattor på en yta är konform ( ) i den mening som beskrivs ovan, så finns det en konform struktur på ytan och en konstant som endast beror på vilka de klassiska modulerna och approximativa modulerna (för tillräckligt stora ) av vilken ring som helst är -jämförbara, vilket betyder att de ligger i samma intervall [7] .

Konsekvenser

Det följer av Riemanns kombinatoriska kartläggningssats att en grupp agerar geometriskt på om och endast om gruppen är Gromov hyperbolisk, har en sfär i oändligheten, och de naturliga indelningsreglerna på sfären ger en sekvens av plattsättningar som är konforma i den mening som beskrivits ovan. . Således kommer Cannons gissningar att vara sanna om alla sådana indelningsregler är konforma [15] .

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 Cannon, Floyd, Parry, 2001 , sid. 153-196.
  2. ↑ Cannon, Floyd, Parry, 2007 , sid. 128-136.
  3. ↑ Cannon, Floyd, Parry, 2010 , sid. 113-140.
  4. ↑ Rushton, 2010 , sid. 1-13.
  5. ↑ Rushton, 2012 , sid. 23–34.
  6. ↑ 1 2 3 4 5 6 Cannon, Floyd, Parry, 2000 , sid. 65-82.
  7. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Cannon, 1994 , sid. 155-234.
  8. ↑ Lu, 2007 , sid. 1106–1110.
  9. ↑ Lu, Steinhardt, 2007 , sid. 1106–1110.
  10. ↑ Kompletterande siffror Arkiverad 26 mars 2009.
  11. ↑ Zorin, 2006 .
  12. ↑ Perelman, Grisha (11 november 2002), Entropiformeln för Ricci-flödet och dess geometriska tillämpningar, arΧiv : math.DG/0211159 [math.DG]. 
  13. ↑ Perelman, Grisha (10 mars 2003), Ricci flow with surgery on three-manifolds, arΧiv : math.DG/0303109 [math.DG]. 
  14. ↑ Perelman, Grisha (17 juli 2003), Finite extinktion time for the solutions to the Ricci flow on certain-manifolds, arΧiv : math.DG/0307245 [math.DG]. 
  15. ↑ 1 2 Cannon, Swenson, 1998 , sid. 809-849.
  16. ↑ Modulus av en ring är den reciproka av den extrema längden av en familj av slutna kurvor i en ring

Litteratur

Länkar