Loxodromen

Loxodrome , eller loxodrome [1] (av andra grekiska "λοξός" - "sned", "lutande" och "δρόμος" - "bana" [2] ) - en kurva på rotationsytan som skär alla meridianer i en konstant vinkel , kallad loxodromic spårvinkel.

Historik

Introducerad av den portugisiske matematikern Nonius 1529 [ 3] .

I verket " Tiphys batavus " (1624) kallade den holländska matematikern Willebrord Snell kurvan som skär alla meridianerna i en konstant vinkel för "loxodrome" och studerade den. Arbetet bestod av två delar - teoretiska och praktiska övningar med rekommendationer [4] .

I geodesi och kartografi

På jordens yta är loxodromer alla paralleller (spårvinkeln kan vara 90°, 270°, etc.) och alla meridianer (spårvinkeln 0°, 180°, etc.). Loxodromer i andra vinklar är spiraler som gör ett obegränsat antal varv och närmar sig polerna . Ändå, om resenären rör sig längs någon loxodrome (utom paralleller) med konstant hastighet utan att stanna, kommer han definitivt att komma till en av polerna inom en begränsad tid. En kartprojektion där alla loxodromer ritas som räta linjer kallas Mercatorprojektion .

I navigering

Om du rör dig med en fast spårvinkel på jorden, som villkorligt tas som en sfär eller geoid , så kommer banan för objektets rörelse att vara en loxodrom [5] . Loxodrome är inte den kortaste vägen mellan två punkter (undantaget är meridianerna och ekvatorn). Ändå, i gamla dagar, flyttade fartyg och resenärer ofta längs loxodromes, eftersom det är lättare och bekvämare att gå i en konstant vinkel till North Star . Med kompassens uppfinning övergick navigatörer till att röra sig längs "magnetiska loxodromer", det vill säga längs linjer med konstant vinkel mot magnetiska norr, vilket gjorde det möjligt att fortsätta röra sig även i molnigt väder. Men så snart magnetiska deklinationer upptäcktes på alla ställen på jorden, bytte människor igen till vanliga loxodromer. Redan på 1900-talet användes loxodromen för att beräkna den kurs som krävs vid utläggning av flygplan och fartyg. Med tiden, när enheter med tillräcklig beräkningskraft verkade beräkna den aktuella erforderliga spårvinkeln, började storcirklar (den kortaste vägen) att användas aktivt, särskilt för långdistansflygplansrutter [6] .

Konstruktion av sfärens loxodrome

För att lägga en loxodrome-bana på flygkartor är det nödvändigt att koppla samman ruttens slutpunkter med en rak linje och mäta spårvinkeln vid mittmeridianen. Närmare bestämt beräknas loxodromens spårvinkel som den genomsnittliga vinkeln från ruttens start- och slutpunkter. Därefter byggs den resulterande spårvinkeln sekventiellt vid alla meridianer på kartan, med början från utgångspunkten. Den streckade linjen som erhölls under bygget är nästan nära loxodromen. Mer exakt kan loxodromens spårvinkel beräknas med formeln: $\alfa$

${\mathrm {tg}}\alpha ={\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{\varphi _{2}-\varphi _{1}}}\cos \varphi _{ m}$ ,

var är den önskade spårvinkeln; $\alfa$
$\varphi_{1}$ och — Latituder för avgångs- och ankomstpunkter. $\varphi _{2}$
$\lambda _{1}$ och är longituderna för dessa punkter; $\lambda _{2}$
${\displaystyle \varphi _{m))$ är den genomsnittliga flyglatituden.

Exempel . Bestäm den verkliga spårvinkeln för loxodromen när du flyger från Reims till Potsdam . $\alfa$

Lösning . Vi bestämmer koordinaterna:

— Reims

\varphi _{1}=49^{\circ }15'=2955';\lambda _{1}=4^{\circ }02'=242';

— Potsdam

\varphi _{2}=52^{\circ }24'=3144';\lambda _{2}=13^{\circ }04'=784';

medelbreddgrad ; . Följaktligen, $\varphi _{m}=50^{\circ }50'$ $\cos 50^{\circ }50'=0{,}6316$

\mathrm {tg} \alpha ={\frac {784-242}{3144-2955}}0{,}6316=1{,}806

{\displaystyle \alpha =61^{\circ ))

Resultatet blir korrekt om ruttens slutpunkt ligger i det första kvartalet (0 - 90°). Om slutpunkten ligger i andra kvartalet (90° - 180°), erhålls den önskade spårvinkeln genom att subtrahera det resulterande antalet grader från 180°. Om slutpunkten är i den tredje fjärdedelen (180° - 270°), läggs 180° till den resulterande vinkeln, och om i den fjärde fjärdedelen (270° - 360°), så subtraheras den resulterande vinkeln från 360°.

Längden på loxodromen i km bestäms av formlerna:

a) För vinklar nära 0° eller 180°, $\alfa$

S\approx {\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\cos \alpha }}\cdot 1{,}852

km,

var och är breddgraderna för avgångs- och ankomstpunkterna, uttryckta i minuter, eller $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

S\approx {\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\cos \alpha }}\cdot 111{,}18

km,

var och uttrycks i grader. $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

b) För vinklar nära 90° eller 270°, $\alfa$

S\approx {\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{\sin \alpha }}\cdot \cos \varphi _{m}\cdot 1{,}852

km.

Skillnaden mellan loxodromen och ortodromlängden DS når sitt maximala värde när man flyger längs parallellen.

Så till exempel kan längden på loxodromen mellan Reims och Potsdam från föregående exempel beräknas ungefär med formeln:

S\approx {\frac {784-242}{\sin 61^{\circ ))}\cdot 0{,}6316\cdot 1{,}852\approx 725

km.

Formler i kartesiska koordinater

De parametriska formlerna som definierar loxodromen med banvinkeln på radiesfären i det kartesiska koordinatsystemet är: $\alfa$ $r$

x=r{\frac {\cos \lambda }{\mathrm {ch} [(\lambda -\lambda _{0})\operatörsnamn {ctg} \alpha ]));

y=r{\frac {\sin \lambda }{\mathrm {ch} [(\lambda -\lambda _{0})\operatörsnamn {ctg} \alpha ])));

z=r\,\mathrm {th} [(\lambda -\lambda _{0})\operatörsnamn {ctg} \alpha ];

där parametern sträcker sig från 0 till och är punktens longitud. Här och är hyperbolisk cosinus och tangent . $\lambda$ $2\pi$ $\mathrm {ch}$ $\mathrm {th}$

Se även

ortodrom

Anteckningar

↑ Loxodrome // Marine encyklopedisk referensbok / Ed. N. N. Isanina. - Leningrad: Shipbuilding, 1987. - T. 1. - S. 398. - 512 sid. — 30 000 exemplar.
↑ Historisk ordbok över det ryska språkets gallicism. - M .: Ordboksförlaget ETS. Nikolay Ivanovich Episjkin. 2010
↑ Sjal, Michel . En historisk genomgång av geometriska metoders ursprung och utveckling . Ch. III, n. 39.
↑ MacTutor .
↑ Detta är inte svårt att bevisa med hjälp av definitionerna av banvinkeln och definitionen av loxodrome.
↑ För att spara bränsle och minska restid.

Länkar

Onlineräknare: Spårningsvinkel och avstånd mellan två punkter längs loxodromen (rumblinjer)
Laxodromia // Military Encyclopedia : [i 18 volymer] / ed. V. F. Novitsky ... [ och andra ]. - St Petersburg. ; [ M. ] : Typ. t-va I. D. Sytin , 1911-1915.
John J. O'Connor och Edmund F. Robertson . Loxodrome (engelska) - biografi på MacTutor- arkivet .

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta