Spiral

Enligt Encyclopedia of Mathematics är spiraler plana kurvor som "vanligtvis går runt en (eller flera punkter), närmar sig eller rör sig bort från den." Denna tolkning av termen är inte en strikt formaliserad definition. Om någon välkänd kurva innehåller epitetet "spiral" i sitt namn, så bör detta behandlas som ett historiskt namn.

Ett av alternativen för en rigorös definition, förutsatt att kurvans polära ekvation är monoton, är inte universell: genom att välja en annan pol kan man bryta den existerande monotoniteten, och bara på grund av detta "upphör kurvan att vara en spiral" , trots att det i sig inte har förändrats. Cotes -spiralen icke -monotone polär ekvation, medan spiralen har två poler och därför inte kan beskrivas helt i polära koordinater.

Definitioner baserade på krökningens monotoni

Den formella definitionen av en spiral, baserad på krökningens monotoni , antas i monografin [1] (kapitel 3-3, Spiralbågar ). Detta kräver krökningens kontinuitet som en funktion av kurvans båglängd , och endast konvexa kurvor beaktas [2] . En spiral i denna mening är en fjärdedel av en ellips (mellan två närliggande hörn). Intresset för sådana kurvor berodde till stor del på den ovala fyrapunktssatsen , som säger (i termer av definitionen som diskuteras) att en enkel sluten kurva med kontinuerlig krökning består av minst fyra spiralbågar.

Det är dessa definitioner, med vissa förtydliganden om konvexitet, strikt/icke-strikt monotoni, kontinuitet och krökningskonstans, restriktioner för den fullständiga rotationen av kurvan, som används i applikationer från området datorstödd design . De huvudsakliga tillämpningarna är relaterade till byggandet av höghastighetsvägar, i synnerhet byggandet av övergångskurvor , vilket ger en gradvis förändring av kurvaturen längs vägen.

En mer allmän definition, som inte kräver konstant tecken och kontinuitet i krökningen, utan bara dess monotoni, antas i artikeln [3] . Inom ramen för denna definition är egenskapen för en kurva att vara en spiral oföränderlig under linjär-fraktionella mappningar av kurvan.

Se även

• Vogts teorem
• Biduga

Platta spiraler

Cirkeln kan betraktas som ett degenererat specialfall av spiralen (krökningen är inte strikt monoton, men är en konstant ).

Några av de viktigaste typerna av 2D-spiraler är:

• Arkimedeisk spiral : ;
• Theodorian spiral : en approximation till den arkimedeiska spiralen, bestående av intilliggande räta trianglar
• Spiral Farm : ; har en vertex vid .
• Hyperbolisk spiral : ;
• Stång :
• Logaritmisk spiral , vars ungefärliga form finns i naturen: ;
• Fibonacci-spiralen och den gyllene spiralen , som är ett specialfall av den logaritmiska spiralen
• Cornu spiral eller Euler spiral , eller clothoid :.

• Arkimedeisk spiral

• Spiral Cornu

• Spiral Farm

• hyperbolisk spiral

• Krok trollstav (lituus)

• logaritmisk spiral

• Theodors spiral

• Fibonacci Spiral (Gyllene Spiral)

• Cirkeln evolvent (svart) matchar inte den arkimedeiska spiralen (röd).

3D-spiraler

Liksom i det tvådimensionella fallet är r  en kontinuerlig monoton funktion av θ .

För enkla tredimensionella spiraler är den tredje variabeln h  också en kontinuerlig monoton funktion av θ . Till exempel kan en konisk helix definieras som en spiral på en konisk yta med avståndet från vertexet som en exponentiell funktion av θ .

För komplexa tredimensionella spiraler, såsom en sfärisk spiral , ökar h med θ på ena sidan av punkten och minskar på den andra.

Sfärisk spiral

En sfärisk spiral ( loxodrome ) är en kurva på en sfär som skär alla meridianer i en vinkel (inte rät ). Denna kurva har ett oändligt antal varv. Avståndet mellan dem minskar när du närmar dig stolparna.

Spiralkroppar

• Skalet av en gastropod
• eukaryot cytoskelett
• En spiral i balansen av en mekanisk klocka , en spiralfjäder i den elektriska mätmekanismen på en mätklocka
• Spiralfjäder i mekaniska klockor och urleksaker
• Cyklon , Anticyklon
• spiralgalaxer
• Kollagen  är ett högerhänt fibrillärt protein .
• Rulla
• DNA
• Distribution av frön i solrosor och andra växter av familjen Compositae
• Virvel
• Virvelvind
• Caduceus
• slå samman
• bubbelpool
• Ammoniter (bläckfisk)
• Horn
• Romanesco (kål)

Se även

• Helicoid
• sinusformad spiral

Anteckningar

1. ↑ Guggenheimer HW Differentialgeometri.. - New York: Dover Publications, 1977. - P. 48. - ISBN 0-486-63433-7 .
2. ↑ ... det vill säga så att bågen och dess ackord bildar en konvex figur .
3. ↑ Kurnosenko A.I. Allmänna egenskaper hos plana spiralkurvor // Notes of Scientific Seminars POMI: Volym 353. - 2009. - P. 93-115 . — ISSN 0373-2703 .

Litteratur

• Cook, T., 1903. Spiraler i natur och konst . Nature 68 (1761), 296.
• Cook, T., 1979. Livets kurvor . Dover, New York.
• Habib, Z., Sakai, M., 2005. Spiralövergångskurvor och deras tillämpningar . Scientiae Mathematicae Japonicae 61(2), 195-206.
• Dimulyo, S., Habib, Z., Sakai, M., 2009. Rättvis kubisk övergång mellan två cirklar med en cirkel inuti eller tangent till den andra . Numeriska algoritmer 51, 461-476 [1]  (länk otillgänglig) .
• Harary, G., Tal, A., 2011. Den naturliga 3D-spiralen . Computer Graphics Forum 30(2), 237-246 [2] .
• Xu, L., Mould, D., 2009. Magnetiska kurvor: krökningskontrollerade estetiska kurvor med hjälp av magnetfält . I: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. Eurographics Association [3] .
• Wang, Y., Zhao, B., Zhang, L., Xu, J., Wang, K., Wang, S., 2004. Designa rättvisa kurvor med monotona krökningsbitar . Computer Aided Geometric Design 21(5), 515-527 [4] .
• A. Kurnosenko. Tillämpa inversion för att konstruera plana, rationella spiraler som uppfyller tvåpunkts G2 Hermite-data . Computer Aided Geometric Design, 27(3), 262-280, 2010 [5] .
• A. Kurnosenko. Tvåpunkts G2 Hermite interpolation med spiraler genom inversion av hyperbel . Computer Aided Geometric Design, 27(6), 474-481, 2010.
• Miura, KT, 2006. En allmän ekvation av estetiska kurvor och dess självaffinitet . Computer-Aided Design and Applications 3 (1-4), 457-464 [6] .
• Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Härledning av en allmän formel för estetiska kurvor . I: 8:e internationella konferensen om människor och datorer (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japan, sid. 166-171 [7] .
• Meek, D., Walton, D., 1989. Användningen av Cornu-spiraler för att rita plana kurvor med kontrollerad krökning . Journal of Computational and Applied Mathematics 25(1), 69-78 [8] .
• Farin, G., 2006. Klass A Bézier kurvor . Computer Aided Geometric Design 23(7), 573-581 [9] .
• Farouki, RT, 1997. Pythagorean-hodograph quintic transition curves of monoton curvature . Computer-Aided Design 29(9), 601-606.
• Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interaktiva estetiska kurvsegment . The Visual Computer 22(9), 896-905 [10] .
• Yoshida, N., Saito, T., 2007. Kvasiestetiska kurvor i rationella kubiska Bézier-former . Computer-Aided Design and Applications 4 (9-10), 477-486 [11] .
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Analytiska parametriska ekvationer av log-estetiska kurvor i termer av ofullständiga gammafunktioner . Computer Aided Geometric Design 29(2), 129-140 [12] .
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Passande G2 multispiral övergångskurva som förenar två raka linjer , Computer-Aided Design 44(6), 591-596 [13] .
• Ziatdinov, R., 2012. Familj av superspiraler med helt monoton krökning ges i termer av Gauss hypergeometriska funktion . Computer Aided Geometric Design 29(7): 510-518, 2012 [14] .
• Ziatdinov, R., Miura KT, 2012. Om variationen av plana spiraler och deras tillämpningar i datorstödd design . European Researcher 27(8-2), 1227-1232 [15] .