Anmärkningsvärda punkter i triangeln

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 2 april 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Anmärkningsvärda punkter i en triangel är punkter vars placering unikt bestäms av triangeln och inte beror på i vilken ordning triangelns sidor och hörn tas.

Vanligtvis ligger de inuti triangeln, men det är inte nödvändigt. I synnerhet kan skärningspunkten för höjderna vara utanför triangeln. För andra anmärkningsvärda triangelpunkter, se Encyclopedia of Triangle Centers .

Exempel

De anmärkningsvärda punkterna i triangeln är

Skärningspunkter:
- median - tyngdpunkt , tyngdpunkt (massa) ;
- bisektris - mitten eller mitten av den inskrivna cirkeln ;
- antibisector - centrum för antibisektorer;
- bisekturen för de yttre vinklarna är cirkelns mittpunkt ;
- höjder - ortocenter ;
- midperpendiculars - mitten av den omskrivna cirkeln ;
- simedian - Lemoine punkt ;
- bisektrisen av den mellersta triangeln (dess incenter) - Spieker Center ;
- triangelfocken är också Spiekers centrum;
- tre (eller till och med två) cirklar, byggda, som på en diameter, på ett segment som förbinder baserna för de inre och yttre bisektorerna, släppta från ett hörn - två punkter av Apollonius ;
- segment som förbinder triangelns hörn:
  - med kontaktpunkter på motsatta sidor och den inskrivna cirkeln - Gergonne-punkten ;
  - med kontaktpunkter på motsatta sidor och cirklar - Nagelpunkt ;
  - med motsvarande fria hörn av liksidiga trianglar byggda på triangelns sidor (utåt) - den första punkten av Torricelli ;
  - med motsvarande fria hörn av regelbundna trianglar byggda inuti triangeln - den andra punkten av Torricelli ;
  - med motsvarande fria hörn av trianglar liknande den ursprungliga triangeln och byggda på dess sidor - Brokars punkter ;

Minimaxpunkter i en triangel

Minimax (extrema) punkter i en triangel är punkter där minimum av en viss funktion nås, till exempel summan av grader av avstånd till triangelns sidor eller hörn [1] .

Minimaxpunkterna i triangeln är:

Skärningspunkten för tre medianer , som har den minsta summan av kvadrerat avstånd till hörnen i en triangel ( Leibniz sats ).
Skärningspunkten för de tre medianerna i triangeln är den enda punkten i triangeln så att de tre cevian som dras genom den delar triangelns sidor i sex segment med sina ändar. I detta fall är produkten av längderna av tre av dessa sex segment som inte har gemensamma ändar maximalt [2]
Torricelli punkt (första) som har den minsta summan av avstånden till hörnen i en triangel med vinklar som inte är större än . $120^{\cirkel }$
Lemoine-punkten , som har den minsta summan av kvadratiska avstånd till triangelns sidor.
Baserna för höjderna av en spetsvinklad triangel bildar en ortotriangel som har den minsta omkretsen av alla trianglar inskrivna i den givna triangeln.

Iso-punkter och iso-linjer av trianglar

Isopunkter är punkter i en triangel som ger alla lika parametrar för tre trianglar, som bildas när en isopunkt är sammankopplad av segment med tre triangelhörna [3] . Som ett resultat bildas en figur av typen " drakeöga " (se fig.)

Isopunkterna i en triangel som bildar drakeöga [

Isopunkterna för denna typ av triangel är:

ortocenter (ger tre trianglar med tre lika stora radier av tre omskrivna cirklar),
skärningspunkt mellan medianerna (ger tre trianglar med tre lika stora ytor)
incenter (ger tre trianglar med tre lika höga höjder)
mitten av den omskrivna cirkeln (ger tre likbenta trianglar med tre lika par sidor),
punkt med lika omkretsar eller isoperimetrisk punkt (ger tre trianglar med tre lika stora omkretsar [4] ), $P$
Torricellis punkt (första) (ger tre trianglar med tre lika trubbiga vinklar vid ). $120^{\cirkel }$
Dela punkten i en triangel i tre trianglar med tre identiska radier av inskrivna cirklar
Spiekercentrum i en triangel är det radikala mitten av dess tre excirklar [5] (den har tre par lika tangenter till tre excirklar samtidigt).

Isopunkterna i en triangel som bildar en " Trefoil (knut) " form

Isopunkterna för en triangel av denna typ är (se fig.):

Spiekers centrum är skärningspunkten för linjerna , och där , och liknande, likbent och identiskt placerad, byggd på utsidan av triangeln , med samma vinkel vid basen [6] . $S$ $AX$ $BY$ $CZ$ $XBC$ $YCA$ $ZAB$ $ABC$ $\operatörsnamn {arctg} [\operatörsnamn {tg} (A/2)\operatörsnamn {tg} (B/2)\operatörsnamn {tg} (C/2)]$
Napoleons första punkt , som Spiekers centrum , är skärningspunkten mellan linjerna , och , där , och liknande, likbent och identiskt placerad, byggd på sidorna av triangeln från utsidan, med samma vinkel vid basen . $N_1$ $AX$ $BY$ $CZ$ $XBC$ $YCA$ $ZAB$ $ABC$ $30^{\cirkel }$
Här skulle det vara nödvändigt att lista alla punkter som ligger på Kiepert-hyperbeln .

Isopunkterna i en triangel som bildar en tradescantia-blomma

Isopunkterna i triangeln som bildar en figur av typen Tradescantia Flower (se fig.) är följande:

skärningspunkten för medianerna bildar tre fyrhörningar med lika stora ytor med tre små segment av cevian.
halveringslinjens skärningspunkt bildar tre fyrkanter med tre vinkelräta mot triangelns tre sidor - en deltoid med två identiska intilliggande sidor för alla. Det andra paret av lika intilliggande sidor är i allmänhet olika för alla. Alla tre deltoider har ett par lika motsatta vinklar vid . De är inskrivna-omskrivna fyrhörningar. $90^{\cirkel }$
Tre cirklar ritade inuti triangeln genom Mikel-punkten skär triangelns sidor i tre punkter. Tre ackord dragna genom Miquel-punkten och tre skärningspunkter mellan tre cirklar med tre olika sidor av triangeln bildar lika vinklar med sidorna.

Isopunkter i en triangel, som bildar ett tecken som " Modell av ytan på en krökt triangel " (se figur)

Dessa punkter inkluderar:

Euler cirkel punkter
Poäng i Thomsens sats
Poäng i Tookers sats . Om i fig. till Thomsens sats till höger nedan, rita en liknande 6-länks streckad linje, successivt alternerande segment parallella, antiparallella, parallella, återigen antiparallella, återigen parallella med den motsatta strömsidan, etc., sedan återgår det sista 6:e segmentet till startpunkten punkt, som i satsen Thomsen, och polylinjen kommer att stängas. Tuckers teorem säger att i detta fall kommer 6 punkter av polylinjen som ligger på sidorna av triangeln att ligga på Tucker-cirkeln [7] [8]

Iso-punkter i en triangel som bildar ett tecken som " Fara. Radioaktiva ämnen eller joniserande strålning » (se fig.)

Isopunkterna för denna typ av triangel är:

Lemoine-punkt (punkt med lika antiparalleller) - en punkt med egenskapen: tre antiparalleller dragna genom den (linjer antiparallella mot tre sidor av en triangel) ger tre lika långa segment inuti triangeln.
punkt med lika paralleller (Equal Parallelians Point) [9] . På sätt och vis liknar den Lemoine-punkten . En punkt har egenskapen att tre paralleller dragna genom den (linjer parallella med tre sidor i en triangel) ger tre lika långa segment inuti triangeln.
Yff Center of Congruence [10]
skärningspunkten för de 3 antibisektorerna i en triangel . Om vi genom denna punkt drar 3 raka linjer parallella med triangelns sidor, kommer de att skära av 3 lika inre (mitten) segment på triangelns sidor.
En annan formulering av det sista påståendet: Segmenten av sidorna i en triangel som är inneslutna mellan linjerna som dras genom mitten av antibisektorerna parallellt med de tre sidorna är lika med varandra.

Andra isopunkter i triangeln som bildar allmänna cevianer

Skutin- punkterna är punkterna för lika stora cevianer i triangeln. Skutins teorem säger att tre linjesegment eller cevianer som dras inuti en triangel genom dess tre hörn och genom alla fokus på den beskrivna Steinerellipsen är lika med varandra. Dessa foci kallas ofta för Skutin-punkter .

Iso-raka linjer

Iso-linjerna ( iso-linjer ) i en triangel är de linjer som skär den givna triangeln i två trianglar med vilka parametrar som helst [3] . Isolinjerna i en triangel är:

Medianen för en triangel delar den motsatta sidan och skär triangeln i två trianglar med lika stora arealer.
En triangels halvledshalva delar vinkeln från vars spets den kommer ut.
En triangels höjd skär den motsatta sidan (eller dess förlängning) i rät vinkel (det vill säga den bildar två lika stora vinklar med sidan på vardera sidan av den) och skär triangeln i två trianglar med lika (räta) vinklar.
Symmedianen är platsen för punkter inuti en triangel som härstammar från en enda vertex och ger två lika stora segment som är antiparallella med två sidor som skär varandra vid den vertexen och som begränsas av tre sidor.
Triangelfocken halverar omkretsen . En triangels fok är ett segment, vars ena ände är i mitten av en av triangelns sidor, den andra änden är på en av de två återstående sidorna. Dessutom är focken parallell med en av vinkelhalveringslinjerna. Var och en av jibbarna passerar genom masscentrum av omkretsen av triangeln ABC, så att alla tre jibbarna skär varandra i Spiekers centrum .
Den delar också omkretsen på mitten av ett segment som förbinder kontaktpunkten för sidan av triangeln och cirkeln med spetsen motsatt den givna sidan. Tre sådana segment av en triangel, ritade från dess tre hörn, skär varandra vid Nagel-punkten . Med andra ord, detta segment är ceviana av Nagel-punkten . ( Chevian of the Nagel point i engelsk litteratur kallas ibland en splitter ( splitter ) eller en divider i halva omkretsen . De hänvisar också till splittern som en jib ).
Equalizer (equalizer) eller equalizer (aligner) - ett rakt linjesegment som skär en triangel i två figurer med samtidigt lika stora ytor och omkretsar [11]
Lite om equalizern (equalizer). Varje rät linje ( equalizer ) som passerar genom en triangel och halverar triangelns area och omkrets passerar genom mitten av den inskrivna cirkeln. Det kan finnas tre, två eller en sådan rad. [12]

En anteckning om iso-linjerna i en triangel

I engelsk litteratur introduceras begreppet bisection , som uppdelningen av något i två lika delar. Till exempel, en likbent triangel till två lika stora, ett rakt linjesegment till två lika stora, en platt vinkel till två lika stora. Motsvarande linjer kommer att vara ett specialfall av iso-räta linjer (iso-linjer) i triangeln.

Direkt $n$

Ett viktigt särskilt fall av iso-linjer är de så kallade linjerna $n$ i en triangel. Den räta linjen i en triangel, som utgår från dess vertex, delar den motsatta sidan i förhållande till de -th graderna av de två sidorna intill den [13] . Viktiga specialfall av linjer är: $n$ $n$ $n$

median ( ), $n=0$
bisektris (halvled) ( ), $n=1$
antibisektor ( ), $n=-1$
simedian ( ), $n=2$
direkta kuber ( ). $n=3$

För raka trianglar är det mycket lätt att hitta vissa egenskaper i allmänna termer. Till exempel, för en linje kommer linjen att vara isogonalt konjugerad, och linjen kommer att vara isotomiskt konjugerad . $n$ $n$ $(2-n)$ $-n$

Notera

De barycentriska koordinaterna för centrum, skrivna i termer av sidorna (eller trigonometriska funktioner hos vinklarna) i en triangel, gör det möjligt att översätta många problem om en triangels mittpunkter till algebraiskt språk. Till exempel för att ta reda på om två definitioner definierar samma centrum eller om tre givna centra ligger på samma linje.

Du kan också använda de trilinjära koordinaterna för mitten, som mycket enkelt är relaterade till de barycentriska koordinaterna . Emellertid uttrycks till exempel isogonalt konjugerade punkter i trilinjära koordinater enklare.

Variationer och generaliseringar

Par av center beaktas. Till exempel,
- Brocard poäng ;
- Apollonius pekar . För varje icke-degenererad triangel kan man konstruera en Apollonius-cirkel till sidan som passerar genom punkten . Cirklar konstruerade på detta sätt till tre sidor kommer att skära varandra vid två punkter - den inre respektive den yttre Apollonius. $ABC$ $AB$ $C$

Nyligen upptäckta punkter (centrum) i triangeln

Yff Center of Congruence [14 ]
Gossard Perspector [ 15 ]
Mittpunkt ( engelska Mittenpunkt ) [16]
1:a och 2:a Ajima -Malfatti-poäng ( eng. 1:A OCH 2:A Ajima-Malfatti-poäng ) [17]
Apollonius-poäng - inte att förväxla med Apollonius-poäng [18]
Bailey Points [ 19 ]
Hofstadter Points [ 20 ]
Isoscelizer-congruent point ( engelska. Congruent Isoscelizers Point ) [21]
1:a och 2:a Morley-poäng associerade med Morleys triangel ( eng. 1ST OCH 2:A Morley Centers ) [22]
Parry Point [ 23 ]
Isoperimetrisk punkt och lika omvägspunkt [ 24 ]
Equal Parallelians Point [ 25 ]
Schiffler Point [ 26 ] _
Exeter punkt [27]
Delningspunkten för en triangel i tre trianglar med tre identiska radier med tre inskrivna cirklar [28]

Anteckningar

↑ Starikov V.N. Geometristudier. // Samling av publikationer av den vetenskapliga tidskriften Globus baserad på materialet från den V:e internationella vetenskapligt-praktiska konferensen "Achievements and problems of modern science", St. Petersburg: en samling artiklar (standardnivå, akademisk nivå). - St Petersburg. , 2016. - S. 97 .
↑ Zetel S. I. Ny geometri för en triangel. En guide för lärare . - 2:a uppl. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 12, uppgift. (ryska)
↑ 1 2 Starikov V. N. Anteckningar om geometri // Vetenskaplig sökning: humanitära och socioekonomiska vetenskaper: samling av vetenskapliga artiklar. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - S. 37, vänster kolumn, sista stycket . (ryska)
↑ Isoperimetrisk peka och lika omvägspunkt . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 10 maj 2012.
↑ Odenhal, 2010 , sid. 35-40.
↑ Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Zetel S.I. Ny triangelgeometri. En guide för lärare. 2:a upplagan. M.: Uchpedgiz, 1962. sid. 92. stycke 74.
↑ Myakishev A. G. Går i cirklar: från Euler till Taylor // Archimedes: vetenskaplig och metodologisk samling. 2011. Nummer. 7. sid. 83// https://www.mathedu.ru/text/arhimed_2011_v7/p83/
↑ Equal Parallelians Point . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 16 maj 2012.
↑ Yff center of congruence// https://en.wikipedia.org/wiki/Yff_center_of_congruence Arkiverad 22 oktober 2021 på Wayback Machine
↑ Kodokostas, Dimitrios (2010), Triangle equalizers , Mathematics Magazine vol 83 (2): 141–146 , DOI 10.4169/002557010X482916 .
↑ Dimitrios Kodokostas. Triangel Equalizers // Matematik Magazine. - 2010. - Utgåva. 83, april . - S. 141-146. .
↑ Zetel S. I. Ny geometri för en triangel. En guide för lärare . - 2:a uppl. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 120-125, uppgift, styckena 109-113. (ryska)
↑ Yff Center Of Congruence . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 16 maj 2012. (obestämd)
↑ Gossard Perspector . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 10 maj 2012. (obestämd)
↑ Mittenpunkt . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 5 augusti 2015. (obestämd)
↑ 1:A OCH 2:A AJIMA-MALFATTI POINTS . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 5 augusti 2015. (obestämd)
↑ Apollonius pekar . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 10 maj 2012. (obestämd)
↑ Bailey pekar . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 6 augusti 2015. (obestämd)
↑ Hofstadter pekar . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 10 maj 2012. (obestämd)
↑ Congruent Isoscelizers Point . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 16 maj 2012. (obestämd)
↑ Morley centrerar . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 13 december 2012. (obestämd)
↑ Parry Point . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 16 maj 2012. (obestämd)
↑ Isoperimetrisk peka och lika omvägspunkt . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 10 maj 2012. (obestämd)
↑ Equal Parallels Point . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 16 maj 2012. (obestämd)
↑ Schiffler pekar . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 5 augusti 2015. (obestämd)
↑ Exeter Point . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 16 maj 2012. (obestämd)
↑ Starikov V.N. 9:e studien om geometri (§ Lösa problemet med en cevian som delar upp 3-k i 2 3-k med samma inskrivna cirklar) / / Vetenskaplig peer-reviewed elektronisk tidskrift från Moscow State Agrarian University "Science and Education". 2020. Nr 1. 7 p.// http://opusmgau.ru/index.php/see/issue/view/1603

Litteratur

Encyklopedi för barn. T. 11. Matematik / Kapitel. ed. M. D. Aksyonova. — M.: Avanta+, 2001. — 688 s.: ill.
A. G. MYAKISJEV Triangelgeometrielement . — M. : MTsNMO, 2002.
Boris Odenhal. Några triangelcentrum associerade med cirklarna som tangerar excirklarna // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .
Ordlista för planimetri// https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B0%D1%80%D0%B8% D0 %B9_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8

Länkar

Anmärkningsvärda punkter i triangeln
Encyclopedia of Triangle Centers Arkiverad 19 april 2012 på Wayback Machine
Encyclopedia of Triangle Centers

Triangel
Typer av trianglar	Rektangulär Likbent Liksidig Likbent rektangulär
Underbara linjer i en triangel	Median Höjd Bisektris Mittvinkelrät mittlinje Omskrivna och inskrivna cirklar Simsons raka linje Euler linje Simediana Cheviana
Anmärkningsvärda punkter i triangeln	Ortocenter Centroid I mitten Brocard punkt Vecten punkt Peka Gergonne Lemoine punkt Miquel pekar Nagel poäng Napoleon pekar Torricellis punkter Niopunkts cirkelcentrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centers
Grundläggande satser	triangelojämlikhet Tecken på likhet av trianglar Lösa trianglar Triangelns yttre vinkelsats Triangelsummans sats Pythagoras sats Cosinussats Sinussats Projektionssatsen Herons formel
Ytterligare satser	Van Obels teorem Menelaos sats Reuschles (Terkema) sats Stewarts teorem Tangentsats Cotangenssats Cevas sats Mollweide formler
Generaliseringar	sfärisk triangel hyperbolisk triangel Simplex