Logaritmisk spiral

En logaritmisk spiral eller isogonal spiral  är en speciell sorts spiral som ofta finns i naturen.

Historik

Den logaritmiska spiralen beskrevs först av Descartes och senare utförligt utforskad av Bernoulli , som kallade den Spira mirabilis  , "den underbara spiralen". Descartes letade efter en kurva som har en egenskap som liknar den för en cirkel , så att tangenten vid varje punkt bildar samma vinkel med radievektorn vid varje punkt. Han visade att detta tillstånd är ekvivalent med det faktum att de polära vinklarna för kurvans punkter är proportionella mot radievektorernas logaritmer .

Ekvationer

I polära koordinater kan kurvan skrivas som

eller respektive

där  är punktens avvikelsevinkel från noll, r  är radievektorn för punkten, a  är koefficienten som ansvarar för varvens radie, b  är koefficienten som ansvarar för avståndet mellan varven, e är Eulertalet .

I parametrisk form kan det skrivas som

där a , b  är reella tal , t  är en analog i uttrycket i polära koordinater

Egenskaper

• Vinkeln som bildas av tangenten vid en godtycklig punkt i den logaritmiska spiralen med radievektorn för tangentpunkten , är konstant och beror endast på parametern b . När det gäller differentialgeometri kan detta skrivas som

• Funktionens derivata är proportionell mot parametern b . Det avgör med andra ord hur tätt och åt vilket håll spiralen vrids. I begränsningsfallet, när b = 0 , degenererar spiralen till en cirkel med radien a . Omvänt, när b går till oändligheten tenderar spiralen till en rak linje. Vinkeln som summerar till 90° kallas helixens lutning .
• Storleken på varven i en logaritmisk spiral ökar gradvis, men deras form förblir oförändrad.
• Ökningen i radie per längdenhet av en cirkel är konstant. Kanske som ett resultat av denna egenskap, visas den logaritmiska spiralen i vissa växande former, som musslor , solrosmössor , cyklon och galaxspiraler .
• Om vinkeln ökar eller minskar i en aritmetisk progression , så ökar (minskar) r i en geometrisk progression .
• Genom att vrida polaxeln runt polen kan man helt eliminera parametern a och få ekvationen till formen , där m  är en ny parameter.
• Krökningsradien vid varje punkt av spiralen är proportionell mot längden av spiralens båge från dess början till den punkten.

Intressanta fakta

• Jacob Bernoulli ville ha en logaritmisk spiral graverad på sin grav, men en arkimedeisk spiral placerades på hans gravsten av misstag istället . Men den latinska inskriptionen, graverad enligt testamentet runt spiralen, "EADEM MUTATA RESURGO" ("förändrad, jag reser mig igen") indikerar att det är den logaritmiska spiralen som avses, som har den anmärkningsvärda egenskapen att återställa sin form. efter olika transformationer.
• I Tools repertoar är kompositionen Lateralus tillägnad spiraler.

• a=0,01, b=0,15

• a=1, b=0,15

• a=1000, b=0,15

• Skalet på ett blötdjur är nära till formen en logaritmisk spiral

• Lågtrycksområde över Island

• Spiral Galaxy Whirlpool

Generalisering

En logaritmisk spiral är en sinusformad spiral vid ;

Se även

• gyllene spiral

Länkar

• Wikimedia Commons har media relaterade till logaritmisk spiral