Matematisk analys

Matematisk analys ( klassisk matematisk analys ) - en uppsättning sektioner av matematik , motsvarande den historiska sektionen under namnet " analys av infinitesimals ", kombinerar differential och integral kalkyl.

Modern analys är baserad på klassisk matematisk analys , som anses vara ett av matematikens tre huvudområden (tillsammans med algebra och geometri ). Samtidigt används begreppet "matematisk analys" i klassisk mening främst i läroplaner och material [1] . I den angloamerikanska traditionen motsvarar klassisk matematisk analys kursprogrammen med namnet " calculus " ( eng. Calculus ).

Historik

Föregångarna till matematisk analys var den uråldriga metoden för utmattning och metoden för odelbara . Alla tre riktningarna, inklusive analys, har en gemensam initial idé: sönderdelning till oändliga element , vars natur dock verkade ganska vag för idéförfattarna. Det algebraiska tillvägagångssättet ( infinitesimalkalkyl ) börjar dyka upp hos Wallis , James Gregory och Barrow . Ny kalkyl som system skapades i full mått av Newton , som dock inte publicerade sina upptäckter på länge [2] .

Det officiella födelsedatumet för differentialkalkyl kan anses vara maj 1684 , när Leibniz publicerade den första artikeln "En ny metod för maxima och minima ..." [3] . Denna artikel, i en kortfattad och otillgänglig form, beskrev principerna för en ny metod som kallas differentialkalkyl.

Leibniz och hans elever

I slutet av 1600-talet uppstod en krets kring Leibniz , vars främsta företrädare var bröderna Bernoulli ( Jacob och Johann ) och Lopital . År 1696 , med hjälp av I. Bernoullis föreläsningar, skrev Lopital den första läroboken [4] , som beskrev den nya metoden som tillämpas på teorin om plana kurvor . Han kallade det Analys av infinitesimals , vilket gav ett av namnen till den nya grenen av matematik. Framställningen bygger på begreppet variabler, mellan vilka det finns ett visst samband, på grund av vilket en förändring av den ena medför en förändring av den andra. I Lopital ges denna koppling med hjälp av plana kurvor: om är en rörlig punkt i en plan kurva, då är dess kartesiska koordinater och , kallad kurvans abskissa och ordinata, variabler, och en förändring innebär en förändring . Begreppet funktion saknas: Lopital vill säga att beroendet av variablerna är givet, säger Lopital att "kurvans natur är känd." Begreppet differential introduceras enligt följande: $M$ $x$ $y$ $x$ $y$

En infinitesimal del, med vilken en variabel kontinuerligt ökar eller minskar, kallas dess differential ... För att beteckna differentialen för en variabel, som i sig uttrycks med en bokstav, kommer vi att använda tecknet eller symbolen . [5] ... En infinitesimal del, med vilken differentialen för en variabel ökar eller minskar kontinuerligt, kallas ... den andra differentialen. [6] $d$

Dessa definitioner förklaras geometriskt, med Fig. infinitesimala inkrement avbildas som finita. Övervägande bygger på två krav ( axiom ). Först:

Det krävs att två storheter, som skiljer sig från varandra endast med en oändligt liten mängd, kan tas [när man förenklar uttryck?] likgiltigt den ena istället för den andra. [7]

Av detta visar det sig , vidare $x+dx=x$

$dxy = (x+dx)(y+dy)-xy= xdy+ydx + dxdy= (x+dx)dy+ ydx=xdy+ydx$

och så vidare. differentieringsregler .

Det andra kravet är:

Det krävs att man kan betrakta en krökt linje som en samling av en oändlig uppsättning av oändligt små raka linjer. [åtta]

Fortsättningen av varje sådan linje kallas en tangent till kurvan. [9] L'Hopital undersöker tangenten som passerar genom punkten och lägger stor vikt vid kvantiteten $M = (x,y)$

y\frac{dx}{dy}-x

att nå extrema värden vid kurvans brytpunkter , medan relationen till inte ges någon speciell betydelse. $dy$ $dx$

Att hitta extrema punkter är anmärkningsvärt . Om, med en kontinuerlig ökning av abskissan , ordinatan först ökar och sedan minskar, så är skillnaden först positiv jämfört med och sedan negativ. $x$ $y$ $dy$ $dx$

Men varje kontinuerligt ökande eller minskande storhet kan inte vända från positiv till negativ utan att passera genom oändligheten eller noll ... Det följer att differentialen för den största och minsta storleken måste vara lika med noll eller oändlighet. [tio]

Denna formulering är förmodligen inte felfri, om vi minns det första kravet: låt, säg, , sedan i kraft av det första kravet $y=x^2$

2xdx+ dx^2=2xdx

;

vid noll är den högra sidan noll, men den vänstra är det inte. Tydligen borde det ha sagts att det är möjligt att transformera i enlighet med det första kravet så att vid maxpunkten . [11] I exemplen är allt självförklarande, och endast i teorin om böjningspunkter skriver L'Hopital att det är lika med noll vid maxpunkten, dividerat med [10] . $dy$ $dy=0$ $dy$ $dx$

Vidare, med hjälp av enbart differentialer, formuleras villkor för ett extremum och ett stort antal komplexa problem beaktas, främst relaterade till differentialgeometri på planet. I slutet av boken, i 2 kap. 10, anges vad som nu kallas L'Hopitals regel , dock i en inte helt vanlig form. Låt värdet på kurvans ordinata uttryckas som ett bråk, vars täljare och nämnare försvinner vid . Då har kurvans punkt med en ordinata lika med förhållandet mellan täljarens differential och nämnarens differential, taget vid . $y$ $x=a$ $x=a$ $y$ $x=a$

Enligt L'Hopitals idé var det han skrev den första delen av analysen, medan den andra var tänkt att innehålla integralkalkyl, det vill säga en metod för att hitta kopplingen mellan variabler genom den kända kopplingen av deras differentialer. Dess första utläggning gavs av Johann Bernoulli i hans matematiska föreläsningar om den integrerade metoden [12] . Här ges en metod för att ta de flesta elementära integraler och metoder för att lösa många första ordningens differentialekvationer anges.

Leibniz pekade på den praktiska användbarheten och enkelheten med den nya metoden:

Vad en man som är bevandrad i denna kalkyl kan få rätt på tre rader, tvingades andra mest lärda män söka efter komplexa omvägar.

Euler

Förändringarna som ägde rum under det kommande halvseklet återspeglas i Eulers omfattande avhandling . Presentationen av analysen öppnar tvådelarna "Introduktion", som innehåller forskning om olika representationer av elementära funktioner. Termen "funktion" dyker upp först 1692 av Leibniz , [13] men det var Euler som lade fram det till de första rollerna. Den ursprungliga tolkningen av begreppet funktion var att en funktion är ett uttryck för att räkna ( tyska: Rechnungsausdrϋck ) eller ett analytiskt uttryck . [fjorton]

Funktionen av en variabel kvantitet är ett analytiskt uttryck som på något sätt består av denna variabla kvantitet och antal eller konstanta kvantiteter. [femton]

Genom att betona att "den huvudsakliga skillnaden mellan funktioner ligger i hur de är sammansatta av variabler och konstanter", räknar Euler upp de åtgärder "genom vilka kvantiteter kan kombineras och blandas med varandra; dessa åtgärder är: addition och subtraktion, multiplikation och division, exponentiering och extraktion av rötter; lösningen av [algebraiska] ekvationer bör också inkluderas här. Utöver dessa operationer, som kallas algebraiska, finns det många andra, transcendentala, såsom: exponentiella, logaritmiska och otaliga andra, levererade av integralkalkyl. [16] En sådan tolkning gjorde det möjligt att enkelt hantera flervärdiga funktioner och krävde ingen förklaring av vilket fält funktionen anses över: räkneuttrycket definieras för komplexa värden av variabler även när detta inte är nödvändigt för det aktuella problemet.

Operationer i uttrycket var endast tillåtna i ett ändligt antal, och det transcendenta trängde in med hjälp av ett oändligt stort antal [17] . I uttryck används detta tal tillsammans med naturliga tal. Till exempel anses ett sådant uttryck för exponenten vara giltigt $\infty$

e^x=\left(1+\frac{x}{\infty}\right)^\infty

där först senare författare såg övergången till gränsen. Olika transformationer gjordes med analytiska uttryck, vilket gjorde det möjligt för Euler att hitta representationer för elementära funktioner i form av serier, oändliga produkter etc. Euler transformerar uttryck för räkning på samma sätt som de gör i algebra, utan att uppmärksamma möjligheten att beräkna värdet av en funktion vid en punkt för var och en från skrivna formler.

I motsats till L'Hôpital, betraktar Euler transcendentala funktioner i detalj, och i synnerhet de två mest studerade klasserna av dem, exponentiella och trigonometriska. Han upptäcker att alla elementära funktioner kan uttryckas med aritmetiska operationer och två operationer - med logaritmen och exponenten [18] .

Själva bevisförloppet demonstrerar perfekt tekniken att använda det oändligt stora. Efter att ha bestämt sinus och cosinus med hjälp av den trigonometriska cirkeln, härleder Euler följande från additionsformlerna:

(\cos x + \sqrt{-1}\sin x)(\cos y + \sqrt{-1}\sin y)=\cos{(x+y)}+ \sqrt{-1} \sin{ (x+y)},

och härifrån

2\cos nx =(\cos x + \sqrt{-1}\sin x)^n+(\cos x - \sqrt{-1}\sin x)^n

Putting och , han får $n=\infty$ $z=nx$

2\cos z =\left (1 + \frac{\sqrt{-1} z}{\infty}\right)^\infty+\left (1 - \frac{\sqrt{-1}z}{\infty }\right)^\infty=e^{\sqrt{-1}z}+e^{-\sqrt{-1}z}

förkasta oändligt små värden av högre ordning. Genom att använda detta och ett liknande uttryck får Euler också sin berömda formel

e^{\sqrt{-1}x}=\cos{x}+\sqrt{-1}\sin{x}

Efter att ha angett olika uttryck för funktioner som nu kallas elementära, fortsätter Euler att betrakta kurvor i planet, ritade av handens fria rörelse. Enligt hans mening går det inte att hitta ett enda analytiskt uttryck för varje sådan kurva (se även Strängdebatten ). [19] På 1800-talet, på förslag av Casorati [20] , ansågs detta påstående vara felaktigt: med Weierstrass-satsen kan vilken kontinuerlig kurva som helst i modern mening ungefärligen beskrivas med polynom. Faktum är att Euler knappast övertygades av detta, eftersom vi fortfarande behöver skriva om passagen till gränsen med hjälp av symbolen . $\infty$

Eulers presentation av differentialkalkylen inleds med teorin om ändliga skillnader, följt i det tredje kapitlet av en filosofisk förklaring att "en oändlig storhet är exakt noll", vilket mest av allt inte passade Eulers samtida. Sedan, från finita skillnader med ett oändligt litet inkrement, bildas differentialer, och från Newtons interpolationsformel, Taylors formel . Denna metod går i huvudsak tillbaka till Taylors arbete (1715). I det här fallet har Euler ett stabilt förhållande , vilket dock betraktas som förhållandet mellan två infinitesimals. De sista kapitlen ägnas åt ungefärlig beräkning med serier. $\frac{d^ky}{dx^k}$

I integralkalkylen med tre volymer introducerar Euler konceptet med en integral enligt följande:

Denna funktion, vars differential kallas dess integral och betecknas med tecknet som är placerat framför. [21] $=Xdx$ $S$

På det hela taget ägnas denna del av Eulers avhandling åt det mer allmänna problemet med att integrera differentialekvationer från en modern synvinkel. Samtidigt hittar Euler ett antal integraler och differentialekvationer som leder till nya funktioner, till exempel -funktioner, elliptiska funktioner etc. Ett rigoröst bevis på deras icke-elementaritet gavs på 1830-talet av Jacobi för elliptiska funktioner och av Liouville (se elementära funktioner ). $\Gamma$

Lagrange

Nästa stora verk som spelade en betydande roll i utvecklingen av analysbegreppet var Lagranges teori om analytiska funktioner [22] och Lacroix omfattande återberättelse av Lagranges verk [23] på ett något eklektiskt sätt.

Lagrange ville bli av med det oändliga helt och hållet och vände på sambandet mellan derivaten och Taylor-serien. Med en analytisk funktion förstod Lagrange en godtycklig funktion som undersökts med analysmetoder. Han betecknade själva funktionen som , vilket gav ett grafiskt sätt att skriva beroendet - tidigare klarade sig Euler med endast variabler. För att tillämpa analysmetoderna är det enligt Lagrange nödvändigt att funktionen expanderar till en serie $f(x)$

f(x+h)=f(x)+ph+qh^2+\prickar

vars koefficienter kommer att vara nya funktioner för . Det återstår att kalla derivatan (differentialkoefficient) och beteckna den som . Således introduceras begreppet derivat på den andra sidan av avhandlingen och utan hjälp av infinitesimals. Det återstår att notera $x$ $sid$ $f'(x)$

f'(x+h)=p+2qh+\prickar

så koefficienten är två gånger derivatan av derivatan , dvs. $q$ $f(x)$

q=\frac{1}{2!}f''(x)

etc. [24]

Detta förhållningssätt till tolkningen av begreppet derivata används i modern algebra och tjänade som grund för skapandet av Weierstrass teori om analytiska funktioner .

Lagrange opererade på sådana serier som formella och fick ett antal anmärkningsvärda teorem. I synnerhet bevisade han för första gången och ganska rigoröst lösbarheten av det initiala problemet för vanliga differentialekvationer i formella potensserier. [25]

Frågan om att uppskatta noggrannheten av approximationer som tillhandahålls av delsummor av Taylor-serien togs upp först av Lagrange: i slutet av Theory of Analytic Functions härledde han det som nu kallas Taylor-formeln med en restterm i Lagrange-formen. [26] Men i motsats till moderna författare såg Lagrange inte behovet av att använda detta resultat för att motivera konvergensen av Taylor-serien.

Frågan om de funktioner som används i analys verkligen kan byggas ut i en potensserie blev därefter föremål för diskussion. Naturligtvis visste Lagrange att elementära funktioner vid vissa punkter kanske inte expanderar till en potensserie, men vid dessa punkter är de inte på något sätt differentierbara. Cauchy gav i sin Algebraic Analysis funktionen som ett motexempel

f(x)=e^{-1/x^2},

förlängt med noll vid noll. Denna funktion är överallt jämn på den verkliga axeln och har noll Maclaurin-serie vid noll, som därför inte konvergerar till . Mot detta exempel invände Poisson att Lagrange definierade en funktion som ett enda analytiskt uttryck, medan i Cauchys exempel funktionen ges olika vid noll och vid . Det var först i slutet av 1800-talet som Pringsheim [27] bevisade att det finns en oändligt differentierbar funktion som ges av ett enda uttryck för vilket Maclaurin-serien divergerar. Ett exempel på en sådan funktion är uttrycket $f(x)$ $x\inte=0$

\Psi(x)=\summa \limits_{k=0}^\infty \frac{\cos{(3^kx))){k!}

Vidareutveckling

På 1700-talet , på grundval av klassisk analys, utvecklades och tillämpades sådana nya grenar som variationskalkylen , vanliga differentialekvationer och partiella differentialekvationer , Fouriertransformer och genererande funktioner . Matematisk fysik uppstod på grundval av analys, och analytiska metoder trängde djupt in i geometrin och till och med i talteorin .

På 1800-talet var Cauchy den förste att ge analys en solid motivering, införa begreppet gränsen för en sekvens , han öppnade också en ny sida i komplex analys . Poisson , Liouville , Fourier och andra studerade partiella differentialekvationer och övertonsanalys .

Under den sista tredjedelen av 1800-talet gjorde Weierstrass en aritmetisering av analysen, eftersom den geometriska motiveringen var otillräcklig, och föreslog den klassiska definitionen av gränsen genom -språk . Han skapade också den första rigorösa teorin om uppsättningen av reella tal . Samtidigt ledde försök att förbättra Riemanns integrerbarhetsteorem till skapandet av en klassificering av diskontinuitet för verkliga funktioner. "Patologiska" exempel upptäcktes också (ingenstans differentierbara kontinuerliga funktioner , rymdfyllande kurvor ). I detta avseende utvecklade Jordan måttteori och Cantor - mängdteori , och i början av 1900-talet formaliserades matematisk analys med deras hjälp. En annan viktig utveckling av 1900-talet var Robinsons utveckling av icke-standardiserad analys - ett alternativt förhållningssätt till analysens berättigande; dessutom upptäcktes med hjälp av icke-standardiserad analys flera nya resultat som inte var kända i klassisk analys, men som i princip kunde erhållas med klassiska metoder [28] .

Differentialkalkyl

Differentialkalkylen studerar definitionen, egenskaperna och tillämpningarna av derivatfunktioner . Processen att hitta derivatan kallas differentiering . Givet en funktion och en punkt i dess domän, är derivatan vid den punkten ett sätt att koda det finskaliga beteendet för den funktionen nära den punkten. Genom att hitta derivatan av funktionen vid varje punkt i domänen kan en ny funktion definieras, kallad derivatafunktionen , eller helt enkelt derivatan av den ursprungliga funktionen. I matematiskt språk är en derivata en linjär mappning som har en funktion som input och en annan som output. Detta koncept är mer abstrakt än de flesta av de processer som studeras i elementär algebra, där funktioner vanligtvis har ett nummer som input och ett annat som output. Om t.ex. dubbleringsfunktionen ges en ingång på tre, blir utgången sex; om ingången till en kvadratisk funktion är tre, blir utsignalen nio. Derivatan kan också ha en kvadratisk funktion som indata. Det betyder att derivatan tar all information om kvadreringsfunktionen, det vill säga: när två matas in ger den fyra som utdata, den konverterar tre till nio, fyra till sexton och så vidare, och använder denna information för att få en annan funktion . (Derivatan av en kvadratisk funktion är bara dubbleringsfunktionen.)

Den vanligaste symbolen för att beteckna en derivata är ett apostrofliknande tecken som kallas en stroke . Sålunda är derivatan av funktionen f f , uttalad " f primtal". Till exempel, om f ( x ) = x 2 är kvadreringsfunktionen, då är f′ ( x ) = 2 x dess derivata, detta är dubbleringsfunktionen.

Om funktionsinmatningen är tid, är derivatan förändringen med avseende på tid. Till exempel, om f är en funktion som beror på tid och den matar ut bollens position i tid, så bestämmer derivatan av f förändringen i bollens position i tid, det vill säga bollens hastighet.

Om funktionen är linjär (det vill säga om grafen för funktionen är en rät linje), så kan funktionen skrivas som y = mx + b , där x är den oberoende variabeln, y är den beroende variabeln och b är y - cutoff, med:

m= \frac{\text{stiga}}{\text{kör}}= \frac{\text{ändring i } y}{\text{ändring i } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

Detta uttryck ger det exakta värdet på lutningsvinkeln för en rät linje. Om grafen för funktionen inte är en rät linje, så varierar förändringen i y dividerat med förändringen i x från punkt till punkt. Derivatan ger den exakta innebörden av begreppet en förändring av utdatavärdet med avseende på en förändring av inmatningen. För att vara specifik, låt f vara en funktion och vi fixar en punkt a i domänen av f . ( a , f ( a )) är en punkt på funktionens plot. Om h är ett tal nära noll så är a + h ett tal nära a . Därför är punkten ( a + h , f ( a + h )) nära punkten ( a , f ( a )). Lutningsvinkeln mellan dessa två punkter är:

m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Detta uttryck kallas skillnadsrelationen . En linje som går genom två punkter på en kurva kallas en sekantlinje , så m är vinkeln på sekantlinjen mellan ( a , f ( a )) och ( a + h , f ( a + h )). Sekanten är bara en approximation av en funktions beteende vid en punkt, eftersom den inte tar hänsyn till beteendet hos funktionen mellan punkterna a och ( a + h , f ( a + h )). Att bestämma detta beteende genom att sätta h till noll är inte möjligt eftersom det skulle kräva en division med noll, vilket är uteslutet. Derivatan bestäms genom att ta gränsen när h går till noll, vilket betyder att den tar hänsyn till beteendet hos f för alla små värden av h och extraherar ett acceptabelt värde för fallet när h är noll:

\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\över{h}}.

Geometriskt är derivatan lika med lutningsvinkeln för tangenten till grafen för funktionen f i punkten a . Tangenten är gränsen för sekantlinjerna, precis som derivatan är gränsen för skillnadsrelationerna. Av denna anledning kallas derivatan ibland för lutningen av funktionen f .

Här är ett specifikt exempel, derivatan av kvadratfunktionen i punkt 3. Låt f ( x ) = x 2 vara en kvadratisk funktion.

\begin{align}f'(3) &=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0} {9 + 6h + h^2 - 9\över{h}} \\ &=\lim_{h \till 0}{6h + h^2\över{h}} \\ &=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\ &= 6. \end{align}

Lutningen för tangenten till den kvadratiska funktionen i punkten (3;9) är 6, det vill säga den växer uppåt sex gånger snabbare än den högra avviker. Den ovan beskrivna gränsberäkningen kan utföras för vilken punkt som helst i den kvadratiska funktionens domän. Detta definierar derivatans funktion, eller helt enkelt derivatan av kvadreringsfunktionen för kort . De utförda beräkningarna visar att derivatan av en kvadratisk funktion är en dubbleringsfunktion.

Integralkalkyl

Integralkalkyl är studiet av definitionen, egenskaperna och tillämpningarna av två relaterade begrepp: den obestämda integralen och den bestämda integralen . Processen att hitta värdet av en integral kallas integration. I tekniska termer är integralkalkyl studiet av två kopplade linjära operatorer .

Den obestämda integralen är antiderivata , det vill säga operationen invers mot derivatan. F är en obestämd integral av f när f är en derivata av F . (Denna användning av stora och små bokstäver för en funktion och dess obestämda integral är vanlig i kalkyl.)

Den bestämda integralen av ingångsfunktionen och utgående värden är ett tal som är lika med arean av ytan som begränsas av funktionsgrafen, abskissaxeln och två raka linjesegment från funktionsgrafen till abskissaxeln vid punkterna för utdatavärdena. I tekniska termer är den bestämda integralen gränsen för summan av rektanglarnas arealer, kallad Riemann-summan .

Ett exempel från fysiken är beräkningen av tillryggalagd sträcka vid gång vid en given tidpunkt.

\mathrm{Avstånd} = \mathrm{Hastighet} \cdot \mathrm{Tid}

Om hastigheten är konstant är multiplikationsoperationen tillräcklig, men om hastigheten varierar måste vi tillämpa en kraftfullare metod för att beräkna avståndet. En av dessa metoder är en ungefärlig beräkning genom att dela upp tiden i separata korta perioder. Om vi sedan multiplicerar tiden i varje intervall med vilken som helst av hastigheterna i det intervallet och sedan summerar alla de ungefärliga avstånden (Riemanns summa) som tillryggalagts i varje intervall, får vi den totala tillryggalagda sträckan. Grundtanken är att om du använder mycket korta intervaller kommer hastigheten vid var och en av dem att förbli mer eller mindre konstant. Riemann-summan ger dock bara ett ungefärligt avstånd. För att hitta det exakta avståndet måste vi hitta gränsen för alla sådana Riemann-summor.

Om f(x) i diagrammet till vänster representerar förändringen i hastighet över tiden, så är den tillryggalagda sträckan (mellan tiderna a och b ) arean av det skuggade området s .

För en ungefärlig uppskattning av detta område är en intuitiv metod möjlig, som består i att dela avståndet mellan a och b i ett visst antal lika stora segment (segment) med längden Δx . För varje segment kan vi välja ett värde av funktionen f ( x ). Låt oss kalla detta värde h . Då anger arean av rektangeln med basen Δx och höjden h sträckan (tiden Δx gånger hastigheten h ) tillryggalagd i det segmentet. Varje segment är associerat med medelvärdet för funktionen på det f(x) =h. Summan av alla sådana rektanglar ger en approximation av arean under kurvan, vilket är en uppskattning av den totala tillryggalagda sträckan. Att minska Δx ger fler rektanglar och är en bättre approximation i de flesta fall, men för att få ett korrekt svar måste vi beräkna gränsen eftersom Δx går till noll.

Symbolen för integration är , en långsträckt bokstav S (S står för "summa"). Den bestämda integralen skrivs som: $\int$

\int_a^bf(x)\, dx.

och lyder: "integral från a till b av funktionen f från x till x ". Notationen dx som föreslås av Leibniz är avsedd att dela upp området under kurvan i ett oändligt antal rektanglar så att deras bredd Δx är ett oändligt litet värde av dx . I utformningen av kalkylen baserad på gränser, notationen

\int_a^b \ldots\,dx

ska förstås som en operator som tar en funktion som input och matar ut ett tal lika med arean. dx är inte ett tal och multipliceras inte med f(x) .

Den obestämda integralen, eller antiderivatan, skrivs som:

\int f(x)\, dx.

Funktioner som skiljer sig åt med en konstant har samma derivator, och därför är antiderivatan av en given funktion faktiskt en familj av funktioner som bara skiljer sig med en konstant. Eftersom derivatan av funktionen y \ u003d x ² + C , där C är vilken konstant som helst, är lika med y′ \u003d 2 x , bestäms antiderivatan av den senare av formeln:

\int 2x\, dx = x^2 + C.

En obestämd konstant av typ C i ett antiderivat är känd som en integrationskonstant .

Newton-Leibniz teorem

Newton-Leibniz-satsen, även kallad analysens fundamentalsats , säger att differentiering och integration är ömsesidigt omvända operationer. Mer exakt handlar det om värdet av antiderivat för vissa integraler. Eftersom det i allmänhet är lättare att beräkna antiderivatan än att tillämpa den bestämda integralformeln, ger satsen ett praktiskt sätt att beräkna bestämda integraler. Det kan också tolkas som ett exakt påstående att differentiering är motsatsen till integration.

Satsen säger: om en funktion f är kontinuerlig på intervallet [ a , b ] och om F är en funktion vars derivata är lika med f på intervallet ( a , b ), då:

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).

Dessutom, för alla x från intervallet ( a , b )

\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)\, dt = f(x).

Denna insikt, gjord av både Newton och Leibniz, som baserade sina resultat på Isaac Barrows tidigare arbete , var nyckeln till den snabba spridningen av analytiska resultat efter att deras arbete blev känt. Grundsatsen ger en algebraisk metod för att beräkna många bestämda integraler utan att begränsa processer, genom att hitta antiderivatformeln . Dessutom uppstod en prototyp för att lösa differentialekvationer . Differentialekvationer kopplar ihop okända funktioner med deras derivator, de används överallt inom många vetenskaper.

Applikationer

Matematisk analys används i stor utsträckning inom fysik , datavetenskap , statistik , teknik , ekonomi , affärer , finans , medicin , demografi och andra områden där en matematisk modell kan byggas för att lösa ett problem , och det är nödvändigt att hitta dess optimala lösning .

I synnerhet är nästan alla begrepp inom klassisk mekanik och elektromagnetism oupplösligt förbundna med varandra just med hjälp av klassisk matematisk analys. Till exempel, givet den kända densitetsfördelningen av ett objekt, dess massa , tröghetsmoment , såväl som den totala energin i ett potentiellt fält kan hittas med hjälp av differentialkalkyl. Ett annat slående exempel på tillämpningen av matematisk analys inom mekanik är Newtons andra lag : historiskt sett använder den direkt termen "förändringshastighet" i formuleringen "Kraft \u003d massa × acceleration", eftersom acceleration är tidsderivatan av hastighet eller andraderivata av tid från bana eller rumslig position.

Maxwells teori om elektromagnetism och Einsteins allmänna relativitetsteori uttrycks också i differentialkalkylens språk. Inom kemi används kalkyl för att bestämma reaktionshastigheten och hastigheten för radioaktivt sönderfall. Inom biologin, med hjälp av kalkyl, beräknas populationsdynamiken, med hänsyn till data om artens reproduktion och dödlighet.

Calculus kan användas tillsammans med andra matematiska discipliner. Till exempel kan den användas tillsammans med linjär algebra för att hitta den "bästa" linjära approximationen för en uppsättning punkter i en domän. Eller det kan användas i sannolikhetsteorin för att bestämma sannolikheten för en kontinuerlig slumpvariabel beroende på distributionstätheten. I analytisk geometri , när man studerar grafer över funktioner, används kalkyl för att hitta maximala och minimala punkter, lutning, krökning och inflexionspunkter .

Greens teorem , som fastställer sambandet mellan en kurvlinjär integral över en enkel sluten kurva C och en dubbelintegral över ett platt område D som begränsas av denna kurva C, tillämpas i ett instrument som kallas en planimeter , som används för att beräkna arean av en plan yta på en ritning. Till exempel kan den användas för att beräkna arean av en oregelbundet formad figur: en blomsterträdgård eller en pool när du designar din webbplats.

Den diskreta Greens teorem, som fastställer förhållandet mellan den dubbla integralen av en funktion över omkretsen av en rektangel och den linjära kombinationen av värdena på antiderivatan över rektangelns hörnpunkter, låter dig snabbt beräkna summan av områdena i rektangulära regioner. Den kan till exempel användas för att effektivt beräkna summan av rektangulära områden i bilder för att snabbt hitta egenskaper och identifiera objekt.

Inom medicinområdet används matematisk analys för att hitta den optimala förgreningsvinkeln för blodkärlen som maximerar flödet. Genom att känna till sönderfallets lag som tillämpas på avlägsnande av något läkemedel från kroppen, används kalkyl för att uppskatta doseringsnivån för dessa läkemedel. Inom nuklearmedicin används tandsten för att utveckla modeller för strålöverföring i riktad tumörterapi.

Inom ekonomi gör matematiska analysverktyg det möjligt att bestämma den maximala vinsten med hjälp av begreppen marginalkostnad och marginalinkomst .

Matematisk analys används också för att hitta ungefärliga lösningar på ekvationer. I praktiken är detta standardsättet för att lösa differentialekvationer och hitta rötter i de flesta tillämpningar. Exempel är Newtons metod, den enkla iterationsmetoden och den linjära approximationsmetoden. Till exempel, när man beräknar rymdfarkostens bana, används en variant av Euler-metoden för att approximera kurvlinjära rörelsekurser i frånvaro av gravitation.

Bibliografi

Encyclopedia-artiklar

Analys // Encyclopedic Lexicon : I 17 volymer - St. Petersburg. : Sorts. A. Plushara , 1835-1841.
Matematisk analys // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.

Utbildningslitteratur

Standardläroböcker

I många år har följande läroböcker varit populära i Sovjetunionen, OSS och Ryssland:

Courant, R. En kurs i differential- och integralkalkyl (i två volymer). Kursens huvudsakliga metodologiska resultat: först anges de huvudsakliga idéerna helt enkelt, och sedan ges de rigorösa bevis. Skriven av Courant när han var professor vid universitetet i Göttingen på 1920-talet under inflytande av Kleins idéer , sedan överförd till amerikansk mark på 1930-talet. Den ryska översättningen 1934 och dess omtryck ger texten enligt den tyska upplagan, översättningen av 1960-talet (den så kallade 4:e upplagan ) är en sammanställning från de tyska och amerikanska versionerna av läroboken och är därför mycket mångsidig.
Fikhtengol'ts G. M. En kurs i differential- och integralkalkyl (i tre volymer) och en problembok.
Demidovich B.P. Samling av problem och övningar i matematisk analys.
Lyashko I. I. et al. Referensbok om högre matematik, volym 1-5.

Vissa universitet har sina egna riktlinjer för analys:

Moscow State University , MehMat:

Arkhipov G.I., Sadovnichiy V.A., Chubarikov V.N. Föreläsningar om matematik. analys.
Zorich V. A. Matematisk analys. Del I. M.: Nauka, 1981. 544 sid.
Zorich V. A. Matematisk analys. Del II. M.: Nauka, 1984. 640 sid.
Kamynin L. I. Kurs för matematisk analys (i två volymer). Moskva: Moscow University Press, 2001.

Moscow State University , VMK:

V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Matematisk analys / Ed. A.N. Tikhonova . - 3:e uppl. , reviderad och ytterligare - M .: Prospekt, 2006. - ISBN 5-482-00445-7 .

Moscow State University , fakulteten för fysik:

Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Fundamentals of Mathematical Analysis (i två delar). — M. : Fizmatlit, 2005. — 648 sid. - ISBN 5-9221-0536-1 .
Butuzov V. F. et al. Mat. analys i frågor och uppgifter

MSTU im. N.E. Bauman :

Matematik vid Tekniska Högskolan Samling av läroböcker i 21 volymer.

St. Petersburg State University , fakulteten för fysik:

Smirnov V. I. Kurs i högre matematik, i 5 volymer. M.: Nauka, 1981 (6:e upplagan), BHV-Petersburg, 2008 (24:e upplagan).

NSU , mekhmat:

Reshetnyak Yu. G. Kurs i matematisk analys. Del I. Bok 1. Introduktion till matematisk analys. Differentialkalkyl för funktioner för en variabel. Novosibirsk: Publishing House of the Institute of Mathematics, 1999. 454 s . ISBN 5-86134-066-8 .
Reshetnyak Yu. G. Kurs i matematisk analys. Del I. Bok 2. Integralräkning av funktioner för en variabel. Differentialkalkyl av funktioner för flera variabler. Novosibirsk: Publishing House of the Institute of Mathematics, 1999. 512 s . ISBN 5-86134-067-6 .
Reshetnyak Yu. G. Kurs i matematisk analys. Del II. Bok 1. Grunderna för smidig analys i flerdimensionella rum. Radteori. Novosibirsk: Publishing House of the Institute of Mathematics, 2000. 440 s . ISBN 5-86134-086-2 .
Reshetnyak Yu. G. Kurs i matematisk analys. Del II. Bok 2. Integralräkning av funktioner för många variabler. Integralkalkyl på grenrör. Externa differentialformer. Novosibirsk: Publishing House of the Institute of Mathematics, 2001. 444 s . ISBN 5-86134-089-7 .
Shvedov I. A. Kompakt kurs för matematisk analys, 2003 : Del 1. Funktioner av en variabel , Del 2. Differentialkalkyl för funktioner för flera variabler .

MIPT , Moskva

Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys (i tre volymer).
Yakovlev G. N. Föreläsningar om matematisk analys: [kl. 3]. 2:a uppl., reviderad. och ytterligare - M. : Fizmatlit, 2004. - 3000 exemplar. (Del 1. 340 s. ISBN 5-94052-083-9 , Del 2. 332 s. ISBN 5-94052-085-5 . Del 3. 312 s. ISBN 5-94052-086-3 ).

BSU , FPMI:

Bogdanov Yu. S. Föreläsningar om matematisk analys (i två delar). - Minsk: BGU, 1974.

Avancerade läroböcker

Handledningar:

Natanson, I. P. Teori om funktioner för en reell variabel. - M. : Nauka, 1974. - 484 sid.
Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis. M., 1976

Uppgifter med ökad komplexitet:

G. Polia, G. Szege, Problem och satser från analys. Del 1 , del 2 , 1978
Pascal, E. (Napoli). Esercizi, 1895; 2:a uppl., 1909 // Internetarkiv

Humanistiska läroböcker

AM Akhtyamov Matematik för sociologer och ekonomer. — M.: Fizmatlit, 2004.
N. Sh Kremer et al. Högre matematik för ekonomer. Lärobok. 3:e uppl. - M. : Unity, 2010

Uppgiftsböcker

G. N. Berman. Samling av uppgifter för kursen i matematisk analys: Lärobok för universitet. — 20:e uppl. M.: Vetenskap. Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, 1985. - 384 sid.
P.E. Danko, A.G. Popov, T. Ya. Kozhevnikov. Högre matematik i övningar och uppgifter. (I 2 delar) - M .: Vyssh.shk, 1986.
GI Zaporozhets Guide till att lösa problem i matematisk analys. - M .: Högre skola, 1966.
I. A. Kaplan. Praktiska klasser i högre matematik, i 5 delar .. - Kharkov, Izd. staten Kharkov. un-ta, 1967, 1971, 1972.
K. N. Lungu, V. P. Norin, D. T. Pismenny, Yu. A. Shevchenko. Samling av problem i högre matematik. Kurs 1. - 7:e uppl. - M .: Iris-press, 2008.
I. A. Maron. Differential- och integralkalkyl i exempel och uppgifter (En variabels funktioner). - M., Fizmatlit, 1970.
V. D. Chernenko. Högre matematik i exempel och problem: Lärobok för gymnasieskolor. I 3 volymer - St. Petersburg: Polytechnic, 2003.

Klassiker

Lopital. Analys av infinitesimals
Bernoulli, Johann. Die erste Integralrechnung / Leipzig-Berlin, 1914.
Euler. Introduktion till analys, differentialkalkyl, integralkalkyl
Cauchy. Sammanfattning av lektioner i differential- och integralkalkyl
Storm. Analyskurs. T.1,2 - Klassisk kurs av 1830-talets yrkeshögskola i Paris.
Gursa E. Kursmatta . analys. T. 1.1, 1.2

Skrifter om analysens historia

Kestner, Abraham Gottgelf . Geschichte der Mathematik . 4 band, Göttingen, 1796-1800
Kantor, Moritz . Vorlesungen über Geschichte der Mathematik Leipzig: BG Teubner , 1894-1908 . bd. 1 , Bd. 2 , Bd. 3 , Bd. fyra
Matematikens historia, redigerad av A. P. Yushkevich (i tre volymer):

Volym 1 Från antiken till början av modern tid. (1970)
Volym 2 1600-talets matematik. (1970)
Volym 3 1700-talets matematik. (1972)

Markushevich AI Essäer om historien om teorin om analytiska funktioner. 1951
Vileitner G. Matematikens historia från Descartes till mitten av 1800-talet. 1960
E. Hairer, G. Wanner. Analys av dess historia. 2000

Anteckningar

↑ Matematisk analys // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ Newton, I. Matematiska arbeten . M, 1937.
↑ Leibniz // Acta Eroditorum, 1684. LMS, volym V, sid. 220-226. Rus. per.: Framgång Mat. Nauk, vol. 3, c. 1 (23), sid. 166-173.
↑ Lopital. Analys av infinitesimals . M.-L.: GTTI, 1935. (Härefter: Lopital) // Mat. analys på EqWorld Arkiverad 4 juni 2018 på Wayback Machine
↑ Lopital, kap. 1, def. 2.
↑ Lopital, kap. 4, def. ett.
↑ Lopital, kap. 1, krav 1.
↑ Lopital, kap. 1, krav 2.
↑ Lopital, kap. 2, def.
↑ 1 2 Lopital, § 46.
↑ Lopital oroar sig för något annat: för honom, längden på segmentet och du måste förklara vad dess negativitet betyder. Anmärkningen i § 8-10 kan till och med förstås så att man vid avtagande med tillväxt ska skriva , men detta används inte vidare. $dy$ $y$ $x$ $dxy=ydx-xdy$
↑ Bernoulli, Johann. Die erste Integralrechnung. Arkiverad 29 november 2003 på Wayback Machine Leipzig-Berlin, 1914.
↑ Se: Framgång Mat. Nauk, vol. 3, c. 1 (23)
↑ Se Markushevich A. I. Elements of theory of analytic functions , Uchpedgiz, 1944, s. 21 och följande; Koenig F. Kommentarer Anhang zu Funktionentheorie von F. Klein . Leipzig: Teubner, 1987; samt Historisk översikt i artikeln Funktion
↑ Euler. Introduktion till analys . T. 1. Ch. fjorton
↑ Euler. Introduktion till analys . T. 1. Ch. 16
↑ Euler hänvisar till detta nummer som , vilket inte kan annat än förvirra den moderna läsaren. $i$
↑ Introduction to Analysis , vol. 1, kap. åtta
↑ Vissa forskare (se t.ex. History of Mathematics, bd 2) vill i det som sades i andra volymen av Introduktion till analys se grodden till en ny tolkning av funktionsbegreppet, men texten säger bara att kurvor, och inte funktioner alls, inte kan representeras som ett enda uttryck för kontot, det vill säga en funktion.
↑ Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse . Pavia, 1868. S. 191
↑ Euler. Integralkalkyl . T. 1, def. 2
↑ Lagrange. OEvres . Vol. 9 Arkiverad 23 augusti 2017 på Wayback Machine
↑ Lacroix. Traite du calcul differentiel och du calcul integral . Vol. 1-3. 1 upplagan, 1798. (Great Lacroix)// http://gallica.bnf.fr Arkiverad 18 december 2016 på Wayback Machine
↑ Se även: Markushevich A.I. Elements of theory of analytic functions . M., 1944. C. 22-24
↑ Lacroix. Traite , vol. 2, 594 §.
↑ Se även: History of Mathematics , vol. 3., sid. 297-300
↑ Pringssheim A.// Math. Ann. bd. 43 (1893); se även: Markushevich A.I. Element i teorin om analytiska funktioner . M., 1944. C. 16-17.
↑ Matematisk analys - artikel från Mathematical Encyclopedia . Dragalin A. G. Med hjälp av N. a. en rad nya fakta upptäcktes. Många klassiska. bevis gynnas märkbart i tydlighet när de presenteras med metoder för icke-standardiserad analys

Länkar

Analys // Encyclopedic Lexicon : I 17 volymer - St. Petersburg. : Sorts. A. Plushara , 1835-1841.
Matematisk analys // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor ryss Brockhaus och Efron runt världen Encyklopediskt lexikon Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 119891944 J9U : 987007293765505171 LCCN : sh85018802 NKC : ph1034721

Matematikens grenar

Portal "Science"

Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementär algebra	Ekvationslösning
Linjär algebra	Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra
Allmän algebra	Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori

Analys
Klassisk analys	Differentialkalkyl Integralkalkyl
Funktionsteori	Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl
Differentialekvationer och integralekvationer	Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer
Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys

Geometri och topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Tillämpad matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori

Portalen "Matematik"
Kategori "Matematik"