Dubbel kurva

Den dubbla kurvan (eller den dubbla kurvan ) till en given kurva på det projektiva planet är en kurva på det dubbla projektiva planet , som består av tangenter till en given jämn kurva. I det här fallet kallas kurvorna för ömsesidigt dubbla (dubbla) . Begreppet kan generaliseras till icke-släta kurvor och till flerdimensionellt utrymme.

Dubbla kurvor är det geometriska uttrycket av Legendre-transformen i Hamiltonsk mekanik .

Det dubbla projektiva planet

Punkter och linjer på det projektiva planet spelar symmetriska roller med avseende på varandra: för vilket projektivt plan som helst , kan man överväga det dubbla projektiva planet , där punkterna per definition är linjerna i det ursprungliga planet . I det här fallet kommer punkterna att motsvara linjerna i planet , och incidensrelationen kommer att vara densamma upp till en permutation av argumenten. $P$ $P^*$ $P$ $P^*$ $P$

Definition

Låt en jämn kurva på det projektiva planet ges . Betrakta mängden av alla dess tangenter . Denna uppsättning kan betraktas som en uppsättning punkter i det dubbla planet . Det kommer att bilda en kurva (inte nödvändigtvis jämn) vid , som kallas den dubbla av [1] . $C$ $P$ $C^{*}$ $P^*$ $P^*$ $C$

På grund av symmetrin mellan utrymme och dubbla utrymme, kommer kurvan dubbla till kurvan i (det vill säga en-parameterfamiljen av linjer i ) att vara kurvan i . Denna kurva kallas enveloppen för familjen av linjer [2] . $P^*$ $P$ $P$

Exempel

Betrakta en ellips som ges av ekvationen (se figur). Tangenter till det kommer att vara raka linjer som ges av ekvationerna , där . Således är kurvan dual till denna ellips ges av ekvationen i koordinater , . $(x/2)^{2}+(y/3)^{2}=1$ $\alpha x+\beta y=1$ $(2\alpha )^{2}+(3\beta )^{2}=1$ $(2\alpha )^{2}+(3\beta )^{2}=1$ $\alfa$ $\beta$

Egenskaper

Dubbla kurvor har följande egenskaper [1] [3] :

Den dubbla kurvan till den dubbla kurvan kommer att vara den ursprungliga kurvan: . $(C^{*})^{*}=C$
Om den ursprungliga kurvan är en kurva av andra ordningen kommer den dubbla kurvan också att vara av andra ordningen.
Varje dubbeltangens (dvs tangent till två punkter) i den ursprungliga kurvan motsvarar en självskärningspunkt för den dubbla kurvan.
Varje böjningspunkt i den ursprungliga kurvan motsvarar en spets av den dubbla kurvan.

Förhållande med Legendre transformationer

Dubbla kurvor används för att beskriva Legendre-transformationer i Hamiltonsk mekanik . Legendre-transformationen är nämligen övergången från kurvan till den dubbla kurvan, skriven i affina koordinater . Detta beror på följande egenskap: grafen för en strikt konvex funktion är dubbel mot grafen för Legendre-transformen för denna funktion [1] .

Parametrisering

För en parametriskt definierad kurva definieras den dubbla kurvan av ekvationerna [4] :

X={\frac {y'}{yx'-xy'}}

Y={\frac {x'}{xy'-yx'}}

Generaliseringar

Ej jämna kurvor

Begreppet dualitet kan generaliseras för brutna linjer och i allmänhet för icke-släta kurvor, om vi betraktar stödlinjer istället för tangenter . En linje i ett plan kallas en referenslinje till en kurva om den innehåller en punkt i kurvan, men hela kurvan ligger i ett halvplan från denna linje. För jämna kurvor är den enda referenslinjen som går genom en given punkt på kurvan tangenten till den kurvan. Således kan vi generalisera begreppen dualitet för ojämna kurvor: dualen av en kurva till en godtycklig kurva är uppsättningen av dess stödlinjer.

Uppsättningen av stödlinjer för en polylinje bildar också en polylinje: stödlinjerna som passerar genom hörnen på den ursprungliga polylinjen bildar ett segment av det dubbla planet. Denna streckade linje kallas den dubbla streckade linjen . Dess hörn erhålls från segment av den ursprungliga polylinjen [1] . I synnerhet är dualen av en polygon en polygon som kallas den dubbla polygonen .

Dubbla hyperytor

Begreppet dualitet kan också generaliseras till ett projektivt rum av godtycklig dimension. Ett dubbelprojektivt utrymme är ett utrymme som består av hyperplan av det ursprungliga rummet.

För en given konvex hyperyta i ett projektivt utrymme kallas uppsättningen hyperplan som stöder denna hyperyta den dubbla hyperytan [1] .

Exempel

Låt en cirkel ges, given i något koordinatsystem av ekvationen . Tangenten till cirkeln vid den punkt där , är en rät linje . Koordinaterna för denna linje i det dubbla koordinatsystemet kommer att vara ett par . Således kommer den dubbla kurvan till cirkeln att vara uppsättningen av punkter för den dubbla kurvan med koordinater , där , det vill säga cirkeln igen. $x^{2}+y^{2}=1$ $(a,b)$ $a^{2}+b^{2}=1$ $axe+by=1$ $(a,b)$ $(a,b)$ $a^{2}+b^{2}=1$

I ett mer allmänt fall, om en norm ges i ett utrymme , då kan man i det dubbla utrymmet betrakta den dubbla normen . Varje punkt i rymden motsvarar ett hyperplan som ges av ekvationen . Det visar sig att ytkonjugatet till enhetssfären i rymden (i betydelsen av den givna normen) är dual med enhetssfären i dubbelrummet i betydelsen konjugatnormen [1] . $\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathbb {R} ^{n}}^{*}$ $sid$ ${\mathbb {R} ^{n}}^{*}$ $px=1$ $\mathbb {R} ^{n}$

Så till exempel är en kub en "sfär" i betydelsen av den enhetliga normen ( ). Den konjugerade normen är en -norm . Därför skulle ytan dual till kuben vara "sfären" i , det vill säga oktaedern . $L^{\infty }$ $L^{\infty }$ $L^1$ $L^1$

Dessutom kommer den dubbla ytan till en polytop att vara den dubbla polytopen .

Se även

Kuvert

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 6 Vladimir Arnold. Geometriska metoder i teorin om vanliga differentialekvationer . Liter, 2015-02-21. - S. 32-33. — 379 sid. — ISBN 9785457718326 .
↑ Sergey Lvovsky. Familjer av linjer och Gaussiska kartläggningar . — Liter, 2015-06-27. - S. 5. - 39 sid. — ISBN 9785457742048 .
↑ Vladimir Arnold. Vanliga differentialekvationer . Liter, 2015-02-21. - S. 120. - 342 sid. — ISBN 9785457717886 .
↑ Evgueni A. Tevelev. Projektiv dualitet och homogena rum . — Springer Science & Business Media, 2004-11-17. - S. 2. - 272 sid. — ISBN 9783540228981 .

Differentiella transformationer av kurvor i planet
Parallell kurva Evolut Involvera Podera antipodera Dubbel kurva

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta