Vågfunktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 12 juli 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Vågfunktionen , eller psi-funktionen , är en komplext värderad funktion som används inom kvantmekaniken för att beskriva det rena tillståndet av ett system . De vanligaste symbolerna för vågfunktionen är de grekiska bokstäverna ψ och Ψ (gemener respektive versaler psi ). Det är expansionskoefficienten för tillståndsvektorn i termer av basen (vanligtvis koordinaten): $\psi$

$\left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx$

där är koordinatbasvektorn och är vågfunktionen i koordinatrepresentationen. $\left|x\right\rangle =\left|x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right\rangle$ $\Psi (x,t)=\langle x\vänster|\psi (t)\höger\rangle$

Enligt Köpenhamnstolkningen av kvantmekaniken anses sannolikheten för att hitta en partikel vid en given punkt i konfigurationsrummet vid en given tidpunkt vara lika med kvadraten på det absoluta värdet av vågfunktionen för detta tillstånd i koordinaten representation.

Vågfunktionen är en funktion av frihetsgrader som motsvarar någon maximal uppsättning observerbara pendlingsobjekt . När en sådan representation väl har valts kan vågfunktionen härledas från kvanttillståndet.

För ett givet system är valet av pendlingsfrihetsgrader inte unikt, och följaktligen är definitionsområdet för vågfunktionen inte heller unikt. Till exempel kan det betraktas som en funktion av alla partikelpositionskoordinater i koordinatutrymmet, eller momentan för alla partiklar i rörelsemängdsutrymmet ; de två beskrivningarna är relaterade till Fouriertransformen . Vissa partiklar, såsom elektroner och fotoner , har icke-noll snurr , och vågfunktionen för sådana partiklar inkluderar spinn som en intern diskret frihetsgrad; även andra diskreta variabler som isospin kan övervägas för olika system . När ett system har interna frihetsgrader tilldelar vågfunktionen vid varje punkt i de kontinuerliga frihetsgraderna (till exempel en punkt i koordinatrymden) ett komplext tal för varje möjligt värde av de diskreta frihetsgraderna (till exempel z-komponent av spinn) - dessa värden visas ofta som en vektorkolumn (till exempel 2 × 1 för en icke-relativistisk elektron med spinn.

Enligt principen om superposition i kvantmekaniken kan vågfunktioner adderas och multipliceras med komplexa tal för att konstruera nya vågfunktioner och definiera ett Hilbertrum . Den inre produkten i Hilberts utrymme mellan två vågfunktioner är ett mått på överlappningen mellan motsvarande fysiska tillstånd, och används i kvantmekanikens grundläggande probabilistiska tolkning, Born-regeln , som relaterar övergångssannolikheter till tillståndens punktprodukt. Schrödinger -ekvationen definierar hur vågfunktioner utvecklas över tiden, och vågfunktionen beter sig kvalitativt som andra vågor , såsom vågor på vatten eller vågor i en sträng, eftersom Schrödinger-ekvationen matematiskt är en variation av vågekvationen . Detta förklarar namnet "vågfunktion" och leder till våg-partikeldualitet . Vågfunktionen inom kvantmekaniken beskriver dock ett slags fysiskt fenomen, fortfarande öppet för olika tolkningar , som är fundamentalt annorlunda än det för klassiska mekaniska vågor [1] [2] [3] [4] [5] [6] [ 7] .

I Borns statistiska tolkning av icke-relativistisk kvantmekanik [8] [9] [10] är vågfunktionens kvadratmodul ett reellt tal, tolkat som sannolikhetstätheten för att mäta en partikel som på en given plats eller ha ett givet momentum vid en given tidpunkt, och eventuellt ha vissa värden för diskreta frihetsgrader. Integralen av detta värde över alla frihetsgrader av systemet måste vara lika med 1 i enlighet med den sannolikhetsmässiga tolkningen. Detta allmänna krav som vågfunktionen måste uppfylla kallas normaliseringsvillkoret . Eftersom vågfunktionen har komplexa värden kan endast dess relativa fas och relativa magnitud mätas – dess värde, taget isolerat, säger ingenting om storleken eller riktningen för de observerbara objekten som mäts; det är nödvändigt att tillämpa kvantoperatorer , vars egenvärden motsvarar uppsättningar av möjliga mätresultat, på vågfunktionen ψ och beräkna statistiska fördelningar för mätbara storheter.

Historik

1905 postulerade Albert Einstein en proportionalitet mellan frekvensen av en foton och dess energi , [11] , och 1916 ett motsvarande förhållande mellan en fotons rörelsemängd och dess våglängd , [12] , där är Plancks konstant . 1923 var De Broglie den första som antydde att relationen , nu kallad De Broglies relation , är giltig för massiva partiklar, huvudnyckeln till förståelse som är Lorentz invarians [13] , och detta kan betraktas som utgångspunkten för den moderna utvecklingen av kvantmekaniken. Ekvationerna beskriver våg-partikeldualiteten för både masslösa och massiva partiklar. $f$ $E$ $E=hf$ $sid$ $\lambda$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ $h$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

På 1920- och 1930-talen utvecklades kvantmekaniken med hjälp av kalkyl och linjär algebra . Analys användes i deras arbete av Louis de Broglie , Erwin Schrödinger och andra som utvecklade " vågmekanik ". Bland dem som tillämpade metoderna för linjär algebra var Werner Heisenberg , Max Born och andra som utvecklade "matrismekanik". Därefter visade Schrödinger att dessa två tillvägagångssätt är likvärdiga [14] .

1926 publicerade Schrödinger den berömda vågekvationen, som nu är uppkallad efter honom, Schrödinger-ekvationen . Denna ekvation baserades på den klassiska lagen om bevarande av energi , men skriven med hjälp av kvantoperatorer och de Broglie-relationer, och dess lösningar representerades av vågfunktioner i ett kvantsystem [15] . Ingen visste dock hur man skulle tolka detta [16] . Till en början trodde Schrödinger och andra att vågfunktioner var partiklar som var fördelade över rymden, med större delen av partikeln belägen där vågfunktionen var stor [17] . Detta har visat sig vara oförenligt med den elastiska spridningen av ett vågpaket (som är en partikel) från en spridare eftersom det utbreder sig i alla riktningar [8] . Även om en spridd partikel kan spridas åt alla håll, går den inte sönder i bitar och flyger inte iväg åt alla håll. 1926 presenterade Born sin tolkning av sannolikhetsamplituden [9] [18] . Den relaterar beräkningarna av kvantmekaniken direkt till sannolikheterna som observerades i experimentet. Denna bild är nu accepterad som en del av Köpenhamnstolkningen av kvantmekanik. Det finns många andra tolkningar av kvantmekaniken . 1927 tog Hartree och Fock det första steget i att försöka beskriva vågfunktionen för N-partiklar och utvecklade den självkonsistenta proceduren : en iterativ algoritm för att approximera lösningen av ett kvantmekaniskt problem med många partiklar. Denna metod är nu känd som Hartree-Fock-metoden [19] . Slaters determinant och permanent ( matriser ) var en del av en metod som föreslagits av John C. Slater .

Schrödinger arbetade med en ekvation för vågfunktionen som uppfyllde den relativistiska lagen om energibevarande innan han publicerade den icke-relativistiska versionen, men förkastade den eftersom den förutspådde negativa sannolikheter och negativa energier . 1927 fann Klein , Gordon och Fock det också, men tog hänsyn till den elektromagnetiska interaktionen och bevisade att det är Lorentz invariant . De Broglie kom också fram till samma ekvation 1928. Denna relativistiska vågekvation är nu mest känd som Klein-Gordon-ekvationen [20] .

År 1927 fann Pauli fenomenologiskt en icke-relativistisk ekvation för att beskriva partiklar med spin 1/2 i elektromagnetiska fält, som nu kallas Pauli-ekvationen [21] . Pauli fann att vågfunktionen inte beskrevs av en komplex funktion av rum och tid, utan det krävdes två komplexa tal, som motsvarar fermiontillstånden med spin +1/2 och −1/2. Kort därefter, 1928, hittade Dirac en ekvation från den första framgångsrika föreningen av speciell relativitetsteori och kvantmekanik som tillämpades på elektronen , nu kallad Dirac-ekvationen . I detta fall är vågfunktionen en spinor som representeras av fyra komplexa komponenter [19] : två för elektronen och två för elektronantipartikeln , positronen . I den icke-relativistiska gränsen liknar Dirac-vågfunktionen Pauli-vågfunktionen för en elektron. Senare hittades andra relativistiska vågekvationer .

Vågfunktioner och vågekvationer i moderna teorier

Alla dessa vågekvationer är av evig betydelse. Schrödinger-ekvationen och Pauli-ekvationen är i många fall utmärkta approximationer för relativistiska problem. De är mycket lättare att lösa i praktiska problem än sina relativistiska motsvarigheter.

Klein-Gordon och Dirac ekvationer , eftersom de är relativistiska, förenar inte kvantmekanik och speciell relativitet till fullo. Kvantmekanikens gren där dessa ekvationer studeras på samma sätt som Schrödinger-ekvationen, ofta kallad relativistisk kvantmekanik , har, även om den är mycket framgångsrik, sina begränsningar (se t.ex. Lamb shift ) och konceptuella problem (se t.ex. Dirac sea ).

Relativitet gör det oundvikligt att antalet partiklar i ett system inte är konstant. Fullständig överenskommelse kräver kvantfältteori [22] . I denna teori används även vågekvationer och vågfunktioner, men i en lite annorlunda form. Huvudobjekten av intresse är inte vågfunktioner, utan snarare operatorer, de så kallade fältoperatorerna (eller helt enkelt fält , med vilka vi menar "operatorer") i Hilbert-tillståndsrummet. Det visar sig att de ursprungliga relativistiska vågekvationerna och deras lösningar fortfarande behövs för att konstruera Hilbert-rummet. Dessutom uppfyller fria fältoperatorer , det vill säga för icke-interagerande partiklar, i många fall formellt samma ekvation som fält (vågfunktioner).

Sålunda förblir Klein-Gordon-ekvationen (spin 0 ) och Dirac-ekvationen (spin 1 ⁄ 2 ) i teorin i denna form. Analoger med högre spinn inkluderar Proca-ekvationen (spin 1 ), Rarita–Schwinger-ekvationen (spin 3 ⁄ 2 ), och mer generellt Bargmann-Wigners ekvationer . För masslösa fria fält är exempel Maxwells fria fältekvationer (spin 1 ) och Einsteins fria fältekvationer (spin 2 ) för fältoperatorer [23] . De är alla i huvudsak en direkt följd av Lorentz invarianskrav . Deras lösningar måste transformeras under Lorentz-transformationen på ett givet sätt, det vill säga i enlighet med en viss representation av Lorentz-gruppen och, tillsammans med några andra rimliga krav, till exempel principen om klusterupplösning [24] , med beaktande av konto kausalitet , är tillräckligt för att modifiera ekvationen.

Detta gäller fria fältekvationer när interaktioner inte ingår. Om densiteten för lagrangian (inklusive interaktioner) är tillgänglig, kommer den lagrangska formalismen att ge rörelseekvationen på klassisk nivå. Denna ekvation kan vara mycket komplex och omöjlig att lösa. Varje lösning kommer att hänvisa till ett fast antal partiklar och kommer inte att ta hänsyn till termen "interaktion" som den förstås i dessa teorier, vilket inkluderar skapandet och förstörelsen av partiklar, snarare än externa potentialer, som i vanlig kvantteori ( primär kvantisering ) .

I strängteorin är situationen fortfarande liknande. Till exempel spelar vågfunktionen i momentumrymden rollen som Fourierexpansionskoefficienten i det allmänna tillståndet för en partikel (sträng) med ett momentum som inte är klart definierat [25] .

Fysisk betydelse

I koordinatrepresentationen beror vågfunktionen på systemets koordinater (eller generaliserade koordinater). Den fysiska innebörden av vågfunktionen är att kvadraten på dess modul är sannolikhetstätheten ( för diskreta spektra, helt enkelt sannolikheten) för att detektera systemet vid en tidpunkt : $\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)$ ${\displaystyle \left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},t)\right|^{2))$ $\omega$ ${\displaystyle x_{1}=x_{01},x_{2}=x_{02},\ldots ,x_{n}=x_{0n))$ $t$

\omega ={\frac {dP}{dv}}=\left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},t)\right|^{2} =\Psi ^{\ast }\Psi

Så, i ett givet kvanttillstånd av systemet, beskrivet av vågfunktionen , är sannolikheten att partikeln kommer att detekteras i området för en ändlig volym av konfigurationsutrymmet lika med $\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)$ $P$ $V$

P={\int {dP}}={\int \limits _{V}{\omega }dv}={\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dv }

(ett)

Det är också möjligt att mäta fasskillnaden för vågfunktionen, till exempel i Aharonov-Bohm-experimentet .

Normalisering av vågfunktionen

Eftersom den totala sannolikheten för att detektera en partikel i hela rymden är lika med en, måste dess vågfunktion uppfylla det så kallade normaliseringsvillkoret, till exempel i koordinatrepresentationen med formen: $\psi$

{\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dv}=1

I det allmänna fallet bör integration utföras över alla variabler som vågfunktionen uttryckligen beror på i denna representation (förutom tid).

Principen för superposition av kvanttillstånd

För vågfunktioner är superpositionsprincipen giltig , vilket innebär att om systemet kan vara i tillstånd som beskrivs av vågfunktioner och , då för alla komplexa och , , kan det också vara i ett tillstånd som beskrivs av vågfunktionen $\Psi _{1}$ $\Psi _{2}$ $c_{1}$ $c_{2}$ $|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$

{\displaystyle \Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2))

Uppenbarligen kan man också prata om överlagringen (tillägget) av valfritt antal kvanttillstånd, det vill säga existensen av ett kvanttillstånd i systemet, vilket beskrivs av vågfunktionen

\Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+\ldots +{c}_{N}{\Psi }_{N }=\summa _{n=1}^{N}{c}_{n}{\Psi }_{n}

I ett sådant tillstånd bestämmer kvadraten på koefficientens modul sannolikheten för att systemet, när det mäts, kommer att hittas i det tillstånd som beskrivs av vågfunktionen . ${c}_{n}$ ${\displaystyle {\Psi }_{n))$

Därför, för normaliserade vågfunktioner . $\sum _{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}=1$

Vågfunktions regularitetsförhållanden

Den probabilistiska betydelsen av vågfunktionen lägger vissa begränsningar, eller villkor, på vågfunktionerna i kvantmekanikens problem. Dessa standardvillkor kallas ofta regularitetsvillkoren för vågfunktionen.

Villkor för ändlighet av vågfunktionen. Vågfunktionen kan inte anta oändliga värden så att integralen blir divergent. Därför kräver detta tillstånd att vågfunktionen är en kvadratintegrerbar funktion, d.v.s. tillhör ett Hilbert-rum . I synnerhet, i problem med en normaliserad vågfunktion, måste den kvadratiska modulen för vågfunktionen tendera till noll i oändligheten. $(ett)$ $L^{2}$
Villkoret för vågfunktionens unika karaktär. Vågfunktionen måste vara en entydig funktion av koordinater och tid, eftersom partikeldetekteringssannolikhetstätheten måste bestämmas unikt i varje problem. I problem med användning av ett cylindriskt eller sfäriskt koordinatsystem leder unikhetsvillkoret till periodiciteten hos vågfunktionerna i vinkelvariablerna.
Kontinuitetsvillkor för vågfunktion. Vid varje given tidpunkt måste vågfunktionen vara en kontinuerlig funktion av rymdkoordinater. Dessutom måste de partiella derivatorna av vågfunktionen , , , också vara kontinuerliga . Dessa partiella derivator av funktioner kan endast i sällsynta fall av problem med idealiserade kraftfält tolerera en diskontinuitet vid de punkter i rymden där den potentiella energin som beskriver kraftfältet där partikeln rör sig upplever en diskontinuitet av det andra slaget . ${\frac {\partial \Psi }{\partial x))$ ${\frac {\partial \Psi }{\partial y))$ ${\frac {\partial \Psi }{\partial z))$

Vågfunktion i olika representationer

Uppsättningen koordinater som fungerar som argument för funktionen är ett komplett system av observerbara pendlingsobjekt . Inom kvantmekaniken är det möjligt att välja flera kompletta uppsättningar av observerbara, så vågfunktionen för samma tillstånd kan skrivas från olika argument. Den kompletta uppsättningen kvantiteter som väljs för registrering av vågfunktionen bestämmer representationen av vågfunktionen . Så, koordinatrepresentation, momentumrepresentation är möjliga, i kvantfältteori används andra kvantisering och utfyllnadsnummerrepresentation , eller Fock-representation , etc.

Om vågfunktionen, till exempel för en elektron i en atom, ges i koordinatrepresentationen , är kvadraten på vågfunktionens modul sannolikheten för att hitta en elektron vid en viss punkt i rymden. Om samma vågfunktion ges i impulsrepresentationen , så är kvadraten på dess modul sannolikhetstätheten för att detektera en eller annan impuls .

Matris- och vektorformuleringar

Vågfunktionen för samma tillstånd i olika representationer kommer att motsvara uttrycket av samma vektor i olika koordinatsystem. Andra operationer med vågfunktioner kommer också att ha analoger i vektorspråket. Inom vågmekanik används en representation där psi-funktionsargumenten är ett komplett system av observerbara observerbara objekt för kontinuerlig pendling, och i matrismekanik används en representation där psi-funktionsargumenten är ett komplett system av diskreta observerbara pendlingsobjekt. Därför är de funktionella (våg) och matrisformuleringarna uppenbarligen matematiskt ekvivalenta.

Beskrivning av blandade kvanttillstånd

Vågfunktionen är en metod för att beskriva det rena tillståndet hos ett kvantmekaniskt system. Blandade kvanttillstånd (i kvantstatistik ) bör beskrivas med hjälp av en densitetsmatris .

Koordinat- och momentumrepresentationer

Vågfunktionen som representeras som en funktion av koordinaterna kallas vågfunktionen i koordinatrepresentationen [26] $\psi =\psi ({\vec {r)))$

Vilken vågfunktion som helst i koordinatrepresentationen kan utökas i termer av egenfunktionerna för dess momentumoperator :

\psi _{\vec {p}}={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}e^{{\frac {i}{\hbar }} {\vec {p}}{\vec {r}}}

Som ett resultat får vi den inversa Fouriertransformen :

\psi ({\vec {r)))=\int a({\vec {p)))\psi _{\vec {p))({\vec {r)))d^{3 }p={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\int a({\vec {p}})e^{{\frac {i}{\hbar } }{\vec {p}}{\vec {r}}}d^{3}p

var ${\displaystyle d^{3}p=dp_{x}dp_{y}dp_{z))$

Expansionskoefficienterna är lika med Fouriertransformen $a({\vec {p)))$

a({\vec {p)))=\int \psi ({\vec {r)))\psi _{\vec {p}}^{*}({\vec {r}}) dV={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2))}\int \psi ({\vec {r)))e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\vec {p}}{\vec {r}}}d^{3}V

Funktionen kallas partikelns vågfunktion i momentumrepresentationen , eftersom det är möjligt för partikelns rörelsemängd att ha värden i intervallet [27] . $a({\vec {p)))$ $|a({\vec {p)))|^{2}d^{3}p$ $d^{3}p$

Vågfunktioner och funktionella utrymmen

Begreppet funktionsrum används naturligtvis i diskussionen om vågfunktioner. Ett funktionsrum är en samling funktioner, vanligtvis med vissa definierande funktionskrav (i detta fall är de kvadratintegrerbara ), ibland med en given algebraisk struktur på mängden (i detta fall en vektorrumsstruktur med en inre produkt ) tillsammans med en topologi på uppsättningen. Det senare kommer sällan att användas här, det behövs bara för att få en exakt definition av vad en sluten delmängd av ett funktionsutrymme betyder. Nedan kommer slutsatsen att det funktionella rummet för vågfunktioner är ett Hilbertrum . Denna observation är grunden för den rådande matematiska formuleringen av kvantmekaniken.

Vektor rymdstruktur

Vågfunktionen, som en del av det funktionella rummet, kännetecknas delvis av följande konkreta och abstrakta beskrivningar.

Schrödinger-ekvationen är linjär. Det betyder att dess lösningar, vågfunktionerna, kan adderas och multipliceras med skalärer för att få en ny lösning. Uppsättningen lösningar av Schrödinger-ekvationen är ett vektorrum.
Superpositionsprincipen för kvantmekaniken. Om Ψ och Φ är två tillstånd i det abstrakta tillståndsrummet i ett kvantmekaniskt system, och a och b är vilka två komplexa tal som helst, så är a Ψ + b Φ ett giltigt tillstånd. Huruvida nollvektorn anses vara ett giltigt tillstånd ("det finns inget system") är en definitionsfråga. Nollvektorn beskriver inte på något sätt vakuumtillståndet i kvantfältteorin. Uppsättningen av tillåtna tillstånd är ett vektorrum.

Denna likhet är inte tillfällig. Var också medveten om skillnaderna mellan utrymmen.

Visningar

Grundtillstånd kännetecknas av en uppsättning kvanttal. Detta är uppsättningen av egenvärden för den maximala uppsättningen observerbara pendlingsobjekt . Fysiska observerbara objekt representeras av linjära operatorer, även kallade observerbara, i vektorernas rymd. Maximalitet innebär att inga andra algebraiskt oberoende observerbara objekt som pendlar med de befintliga kan läggas till en sådan uppsättning. Valet av en sådan uppsättning kan kallas valet av representation .

Inom kvantmekaniken postuleras det att en fysiskt observerbar kvantitet av ett system, såsom position, momentum eller spinn, representeras av en linjär hermitisk operator i tillståndsrummet. Möjliga resultat av att mäta denna kvantitet är operatörens egenvärden [17] . På en djupare nivå uppstår de flesta observerbara, kanske alla, som generatorer av symmetrier [17] [28] [nb 1] .
Den fysiska tolkningen är att en sådan uppsättning representerar något som teoretiskt kan mätas samtidigt med godtycklig noggrannhet. Heisenbergs osäkerhetsrelation förbjuder samtidiga exakta mätningar av två observerbara icke-pendlande objekt.
Uppsättningen är inte unik. För ett enpartikelsystem kan detta vara z - projektionen ( x , Sz ) y - projektionen ( p , Sy ) . I detta fall pendlar inte operatorn som motsvarar position ( multiplikationsoperatorn i koordinatrepresentation) och operatorn som motsvarar momentum ( differentialoperatorn i koordinatrepresentation).
Efter att representationen har valts kvarstår tvetydigheten. Det återstår att välja ett koordinatsystem. Detta kan till exempel motsvara ett val av x- , y- och z -axlarna eller ett val av kurvlinjära koordinater, som illustreras av exemplet med sfäriska koordinater , som används för väteatomers vågfunktioner. Detta slutliga val fixerar också en grund i ett abstrakt Hilbert-rum. Grundtillstånden är märkta med kvanttal som motsvarar den maximala uppsättningen observerbara observerbara pendlingsobjekt och motsvarande koordinatsystem [nb 2] .

Abstrakta tillstånd är "abstrakta" endast i den meningen att det godtyckliga val som krävs för en viss explicit beskrivning inte ges. Eller med andra ord, inget val av maximal uppsättning observerbara pendlingsobjekt gavs. Vilket är analogt med ett vektorrum utan en given grund. Följaktligen är vågfunktionerna som motsvarar ett kvanttillstånd inte unika. Denna tvetydighet återspeglar tvetydigheten i valet av den maximala uppsättningen observerbara pendlingsobjekt. För en partikel med spinn i en dimension motsvarar två vågfunktioner Ψ( x , S z ) och Ψ( p , Sy ) ett specifikt tillstånd , båda beskriver samma tillstånd.

För varje val av den maximala uppsättningen av observerbara pendlingsobjekt för det abstrakta tillståndsutrymmet, finns det en motsvarande representation som är associerad med funktionsutrymmet för vågfunktionerna.
Det finns en-till-en-överensstämmelser mellan alla dessa olika funktionella rum och det abstrakta tillståndsrummet (normalisering och icke observerbara fasfaktorer tas inte med i beräkningen här), och den gemensamma nämnaren här är ett specifikt abstrakt tillstånd. Kopplingen mellan impuls- och koordinatvågsfunktioner, som till exempel beskriver samma tillstånd, ger Fouriertransformen .

Varje val av representation bör betraktas som en definition av ett unikt funktionellt utrymme där de vågfunktioner som motsvarar detta val av representation definieras. Denna distinktion bevaras bäst även om man skulle kunna hävda att två sådana funktionsrum är matematiskt lika, som att de är en uppsättning kvadratintegrerbara funktioner. Man kan då tänka på funktionsutrymmen som två olika kopior av denna uppsättning.

Inre produkt

Det finns ytterligare en algebraisk struktur för vektorrum med vågfunktioner och ett abstrakt tillståndsrum.

Fysiskt olika vågfunktioner tolkas som delvis överlappande. Ett system i tillstånd Ψ som inte överlappar med tillstånd Φ kan inte hittas i tillstånd Φ när det mäts. Men om Φ 1 , Φ 2 , … överlappar Ψ i viss utsträckning, finns det en möjlighet att mätningen av systemet som beskrivs av Ψ kommer att finnas i tillstånden Φ 1 , Φ 2 , … Urvalsreglerna iakttas också . De är vanligtvis formulerade i termer av bevarandet av vissa kvanttal. Detta innebär att vissa processer som är tillåtna ur vissa synpunkter (till exempel bevarande av energi och momentum) inte inträffar eftersom de initiala och slutliga totala vågfunktionerna inte överlappar varandra.
Matematiskt visar det sig att lösningarna av Schrödinger-ekvationen för specifika potentialer på något sätt är ortogonala , detta beskrivs vanligtvis av integralen

\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},

där m , n är (mängder av) index (kvanttal) som anger olika lösningar kallas den strikt positiva funktionen w viktfunktionen och δ mn är Kronecker-symbolen . Integrationen utförs över hela motsvarande utrymme.

Detta motiverar introduktionen av den inre produkten på vektorrummet av abstrakta kvanttillstånd, i överensstämmelse med de matematiska resultaten som ges ovan när de går över till representationen. Det betecknas (Ψ, Φ) , eller i bh och ket notation . Vad ger ett komplext tal. Med den inre produkten är funktionsutrymmet ett pre-Hilbert-rum . Den explicita formen av den inre produkten (vanligtvis en integral eller en summa av integraler) beror på valet av representation, men det komplexa talet (Ψ, Φ) gör det inte. Mycket av den fysiska tolkningen av kvantmekaniken kommer från Born-regeln . Den säger att sannolikheten p för detektion vid mätning av tillstånd Φ , givet att systemet är i tillstånd Ψ , är $\langle \Psi |\Phi \rangle$

p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},

där Φ och Ψ antas vara normaliserade. Överväg ett spridningsexperiment . I kvantfältteorin, om Φ ut beskriver ett tillstånd i en "avlägsen framtid" ("utgående våg") efter avslutandet av interaktioner mellan spridande partiklar, och Ψ in är en infallande våg i "avlägsen förflutna", då är storheterna ( Φ ut , Ψ in ) , där Φ ut och Ψ in varierar över hela uppsättningen av inkommande respektive utgående vågor, kallade S-matrisen eller spridningsmatrisen . Att veta detta innebär i huvudsak att lösa det aktuella problemet, åtminstone vad gäller förutsägelser. Mätbara storheter, såsom avklingningshastigheten och spridningstvärsnitt , beräknas med hjälp av S-matrisen [29] .

Hilbert space

Ovanstående resultat återspeglar essensen av funktionsrum vars element är vågfunktioner. Beskrivningen är dock inte fullständig ännu. Det finns ett annat tekniskt krav för ett funktionsutrymme, nämligen fullständighetskravet , som gör att man kan ta gränserna för sekvenser i ett funktionsutrymme och garantera att, om det finns en gräns, så är det ett element i funktionsutrymmet. Ett komplett pre-Hilbert-utrymme kallas ett Hilbert-utrymme . Fullständighetsegenskapen är avgörande för avancerade metoder och tillämpningar av kvantmekanik. Till exempel, förekomsten av projektionsoperatörer eller beror på utrymmets fullständighet [30] . Dessa projektionsoperatorer är i sin tur nödvändiga för att formulera och bevisa många användbara satser, som spektralsatsen . Detta är inte särskilt viktigt för en inledande del av kvantmekaniken, och tekniska detaljer och referenser kan hittas i fotnoter som följande [nb 3] . Utrymmet L 2 är ett Hilbert-rum, vars skalära produkt kommer att presenteras nedan. Funktionsutrymmet i exemplet i figuren är ett delrum av L 2 . Ett delrum till ett Hilbertrum kallas ett Hilbertrum om det är stängt.

Således utgör mängden av alla möjliga normaliserade vågfunktioner för ett system med ett visst val av bas, tillsammans med nollvektorn, ett Hilbertrum.

Inte alla funktioner av intresse är element i något Hilbert-rum, säg L 2 . Det mest slående exemplet är uppsättningen funktioner e 2 πi p · x ⁄ h . Dessa plana vågor är lösningar av Schrödinger-ekvationen för en fri partikel, men de är inte normaliserade, därför tillhör de inte L 2 . Men inte desto mindre är de grundläggande för beskrivningen av kvantmekaniken. De kan användas för att uttrycka funktioner som kan normaliseras med hjälp av vågpaket . På sätt och vis är de en bas (men inte en Hilbert-rymdbas, inte heller en Hamel- bas ) där vågfunktionerna av intresse kan uttryckas. Det finns också en annan beskrivning: "normalisering till deltafunktionen", som ofta används för att underlätta notation, se nedan. Deltafunktionerna i sig är inte heller kvadratintegrerbara.

Ovanstående beskrivning av funktionsutrymmet som innehåller vågfunktionerna är huvudsakligen matematiskt motiverad. De funktionella utrymmena är i viss mening mycket stora på grund av deras fullständighet . Alla funktioner är inte realistiska beskrivningar av något fysiskt system. Till exempel, i funktionsutrymmet L 2 kan du hitta en funktion som tar värdet 0 för alla rationella tal och -i för irrationella [ 0, 1] . Denna funktion är kvadratintegrerbar [nb 4] , men kan knappast representera ett fysiskt tillstånd.

General Hilbert spaces

Även om beslutsutrymmet i allmänhet är ett Hilbert-utrymme, finns det många andra Hilbert-utrymmen.

Kvadratisk integrerbara komplext värderade funktioner på intervallet [0, 2 π ] . Mängden { e int /2 π , n ∈ ℤ } är basen för Hilbertrummet, d.v.s. den maximala ortonormalmängden.
Fouriertransformen omvandlar funktioner från ovanstående utrymme till element l 2 (ℤ) , utrymmet för kvadratiska summerbara funktioner ℤ → ℂ . Det sista utrymmet är ett Hilbert-rum, och Fourier-transformen definierar en isomorfism av Hilbert-rum [nb 5] . Dess bas är { e i , i ∈ ℤ} där e i ( j ) = δ ij , i , j ∈ ℤ .
Det enklaste exemplet på avgränsade polynom är rymden av kvadratintegrerbara funktioner på intervallet [–1, 1] för vilka Legendre-polynomen är en Hilbert-rymdbas (en komplett ortonormal uppsättning).
Fyrkantiga integrerbara funktioner på enhetssfären S 2 bildar ett Hilbert-utrymme. Basfunktionerna i detta fall är sfäriska övertoner . Legendre-polynomen är en del av de sfäriska övertonerna. De flesta problem med rotationssymmetri kommer att ha samma (kända) lösning med avseende på den symmetrin, så det ursprungliga problemet reduceras till ett lägre dimensionsproblem.
Motsvarande Laguerre-polynom uppträder i problemet med vätevågsfunktioner efter valet av sfäriska övertoner. De täcker Hilbert-rummet av kvadratintegrerbara funktioner på det semi-oändliga intervallet [0, ∞) .

Mer generellt kan man betrakta alla polynomlösningar av andra ordningens Sturm-Liouville- ekvationer i sammanhanget av ett Hilbertrum. Dessa inkluderar Legendre och Laguerre polynom, såväl som Chebyshev polynom, Jacobi polynom och Hermite polynom . De uppstår faktiskt i fysiska problem, det senare i den harmoniska oscillatorn , och det som annars är en trasslig labyrint av egenskaper hos speciella funktioner verkar vara en organisk bild. Se Byron & Fuller (1992 , kapitel 5) för detta.

Det finns också ändligt dimensionella Hilbert-rum. Utrymmet ℂ n är ett Hilbertrum med dimensionen n . Innerprodukten är standardinnerprodukten för dessa utrymmen. Den innehåller "snurrdelen" av en partikels vågfunktion.

Med en icke-relativistisk beskrivning av en elektron är n = 2 och den totala vågfunktionen en lösning på Pauli-ekvationen .
I motsvarande relativistiska tolkning är n = 4 och vågfunktionen är en lösning på Dirac-ekvationen .

Med ett stort antal partiklar är situationen mer komplicerad. Det är nödvändigt att använda tensorprodukter och representationsteorin för de inblandade symmetrigrupperna ( rotationsgrupper respektive Lorentzgrupper) . Ytterligare svårigheter uppstår i det relativistiska fallet om partiklarna inte är fria [31] . Se Bethe–Salpeters ekvation . Relevanta anmärkningar avser begreppet isospin , för vilket symmetrigruppen är SU (2) . Modeller av kärnkrafter från sextiotalet (som fortfarande används idag, se kärnkrafter ) använde symmetrigruppen SU(3) . I detta fall är också den del av vågfunktionerna som motsvarar interna symmetrier i vissa ℂ n eller delrum av tensorprodukter av sådana utrymmen.

I kvantfältteorin är det huvudsakliga Hilbert-utrymmet Fock-utrymmet . Den är byggd av fria enpartikeltillstånd, det vill säga vågfunktioner, av en vald representation, och kan rymma vilket ändligt, inte nödvändigtvis tidskonstant, antal partiklar. En intressant dynamik döljs inte i vågfunktionerna, utan i fältoperatörerna som verkar på Fock-utrymmet. Således visar sig Heisenberg-bilden vara mer bekväm (konstanta tillstånd, tidsvarierande operatörer).

På grund av systemets oändliga dimensionella karaktär är motsvarande matematiska verktyg föremål för studier i funktionsanalys .

Ontologi

Huruvida det verkligen finns en vågfunktion och vad den representerar är huvudfrågorna vid tolkningen av kvantmekaniken . Många kända fysiker från den tidigare generationen förbryllade över detta problem, såsom Schrödinger , Einstein och Bohr . Vissa argumenterar för formuleringar eller varianter av Köpenhamnstolkningen (till exempel Bohr, Wigner och von Neumann ), medan andra, som Wheeler eller Jaynes , tar ett mer klassiskt tillvägagångssätt [32] och betraktar vågfunktionen som en representation av information i betraktarens sinne, är då mått på vår kunskap om verkligheten. Vissa, inklusive Schrödinger, Bohm, Everett och andra, har hävdat att vågfunktionen måste ha en objektiv fysisk existens. Einstein menade att en fullständig beskrivning av den fysiska verkligheten borde referera direkt till fysiskt rum och tid, i motsats till vågfunktionen, som syftar på ett abstrakt matematiskt rum [33] .

Se även

Anteckningar

Kommentarer

↑ För att detta påstående ska vara vettigt måste de observerbara vara delar av en maximal pendlingsmängd. Till exempel är momentumoperatorn för den i:te partikeln i ett system med n partiklar "inte" en generator av någon form av symmetri till sin natur. Å andra sidan är det "totala" momentumet en symmetrigenerator i naturen; translationell symmetri.
↑ Den resulterande basen kan eller kanske inte är, i matematisk mening, en bas för Hilbert-rum. Tillstånd med en viss position och ett visst momentum är till exempel inte kvadratintegrerbara. Detta kan övervinnas med vågpaket eller genom att boxa systemet. Se ytterligare anteckningar nedan.
↑ Tekniskt sett är den formulerad enligt följande. Den inre produkten sätter normen . Denna norm inducerar i sin tur ett mått . Om detta mått är komplett kommer ovanstående gränser att ges i funktionsutrymmet. Då kallas pre-Hilbert-utrymmet komplett. Den fullständiga inre produkten är ett Hilbert-utrymme . Ett abstrakt tillståndsrum behandlas alltid som ett Hilbertrum. Kravet på konsekvens för funktionsutrymmen är naturligt. Hilbert-rymdegenskapen för ett abstrakt tillståndsrum definierades ursprungligen från observationen att funktionsrummen som bildar normaliserade lösningar av Schrödinger-ekvationen är Hilbert-rum.
↑ Som förklaras i nästa fotnot, måste integralen behandlas som en Lebesgue-integral , eftersom Riemann-integralen är otillräcklig.
↑ Conway, 1990 . Detta innebär att de inre produkterna, och därmed normerna, bevaras, och att kartläggningen är avgränsad, och därmed en kontinuerlig linjär bijektion. Fullständighetsegenskapen är också bevarad. Detta motsvarar alltså den korrekta uppfattningen om isomorfism i kategorin Hilbert-rum.

Källor

↑ Född 1927 , s. 354–357.
↑ Heisenberg, 1958 , sid. 143.
↑ Heisenberg, W. (1927/1985/2009). Heisenberg är översatt av Camilleri, 2009 , (från Bohr, 1985 ).
↑ Murdoch, 1987 , sid. 43.
↑ de Broglie, 1960 , sid. 48.
↑ Landau och Lifshitz 1977 , sid. 6.
↑ Newton, 2002 , sid. 19–21.
↑ 1 2 Född, 1926a , översatt i Wheeler & Zurek, 1983 på sidorna 52-55.
↑ 1 2 Född, 1926b , översatt i Ludwig, 1968 . Även här Arkiverad 1 december 2020 på Wayback Machine .
↑ Född, M. (1954).
↑ Einstein, 1905 (på tyska), Arons & Peppard, 1965 (på engelska)
↑ Einstein, 1916 , och en nästan identisk version av Einstein, 1917 översatt i ter Haar, 1967 .
↑ de Broglie, 1923 , s. 507–510,548,630.
↑ Hanle, 1977 , s. 606–609.
↑ Schrödinger, 1926 , s. 1049–1070.
↑ Tipler, Mosca, Freeman, 2008 .
↑ 1 2 3 Weinberg, 2013 .
↑ Young, Freedman, 2008 , sid. 1333.
↑ 12 Atkins , 1974 .
↑ Martin, Shaw, 2008 .
↑ Pauli, 1927 , s. 601–623..
↑ Weinberg (2002 ) tar ståndpunkten att kvantfältteorin ser ut som den gör eftersom det är det enda sättet att förena kvantmekanik med speciell relativitet.
↑ Weinberg (2002 ) Se särskilt kapitel 5, där några av dessa resultat är härledda.
↑ Weinberg, 2002, kapitel 4.
↑ Zwiebach, 2009 .
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Quantum mechanics. - M., Nauka, 1972. - sid. 29
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Quantum mechanics. - M., Nauka, 1972. - sid. 49
↑ Weinberg, 2002 .
↑ Weinberg, 2002 , kapitel 3.
↑ Conway, 1990 .
↑ Greiner, Reinhardt, 2008 .
↑ Jaynes, 2003 .
↑ Einstein, 1998 , sid. 682.

Litteratur

Arons, AB; Peppard, M.B. (1965). "Einsteins förslag till fotonkonceptet: En översättning av Annalen der Physik- papperet från 1905" (PDF) . American Journal of Physics . 33 (5): 367. Bibcode : 1965AmJPh..33..367A . DOI : 10.1119/1.1971542 .
Atkins, P.W. Quanta: A Handbook of Concepts . - 1974. - ISBN 978-0-19-855494-3 .
Bohr, N. Niels Bohr - Samlade verk: Grunderna för kvantfysik I (1926 - 1932). - Amsterdam: North Holland, 1985. - Vol. Volym 6. - ISBN 978-044453289-3 .
Född, M. (1926). "Zur Quantenmechanik der Stoßvorgange". Z Phys . 37 (12): 863-867. Bibcode : 1926ZPhy...37..863B . doi : 10.1007/ bf01397477 .
Född, M. (1926). "Quantenmechanik der Stoßvorgange". Z Phys . 38 (11-12): 803-827. Bibcode : 1926ZPhy...38..803B . doi : 10.1007/ bf01397184 .
Född, M. (1927). "Fysiska aspekter av kvantmekanik". naturen . 119 (2992): 354-357. Bibcode : 1927Natur.119..354B . DOI : 10.1038/119354a0 .
Född, M. (11 december 1954). "Tolkningen av statistisk kvantmekanik" . Nobelföreläsning . Nobelstiftelsen . 122 (3172): 675-9. DOI : 10.1126/science.122.3172.675 . PMID 17798674 .
de Broglie, L. (1923). "Radiations-Ondes et quanta" [Strålningsvågor och kvanta]. Comptes Rendus [ fr. ]. 177 : 507-510, 548, 630. Onlinekopia (franska) Onlinekopia (engelska)
de Broglie, L. Icke-linjär vågmekanik: en kausal tolkning . — Amsterdam: Elsevier, 1960.
Byron, FW Matematik i klassisk och kvantfysik / FW Byron, RW Fuller . — reviderad. - Dover Publications , 1992. - ISBN 978-0-486-67164-2 .
Camilleri, K. Heisenberg och tolkningen av kvantmekaniken: fysikern som filosof. - Cambridge Storbritannien: Cambridge University Press, 2009. - ISBN 978-0-521-88484-6 .
Conway, JB En kurs i funktionsanalys. - Springer Verlag , 1990. - Vol. Volym 96. - ISBN 978-0-387-97245-9 .
Dirac, PAM (1939). "En ny notation för kvantmekanik". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . 35 (3): 416-418. Bibcode : 1939PCPS...35..416D . DOI : 10.1017/S0305004100021162 .
Dirac, PAM Kvantmekanikens principer. — 4:a. - Oxford University Press, 1982. - ISBN 0-19-852011-5 .
Einstein, A. (1905). "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt". Annalen der Physik [ tyska ] ]. 17 (6): 132-148. Bibcode : 1905AnP...322..132E . DOI : 10.1002/andp.19053220607 .
Einstein, A. (1916). Zur Quantentheorie der Strahlung. Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich . 18 :47-62.
Einstein, A. (1917). Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschrift [ tyska ] ]. 18 :121-128. Bibcode : 1917PhyZ...18..121E .
Einstein, A. Albert Einstein: Filosof-vetenskapsman. — 3:a. - La Salle Publishing Company, Illinois: Open Court, 1998. - Vol. VII. — ISBN 978-0-87548-133-3 .
Eisberg, R. Kvantfysik av atomer, molekyler, fasta ämnen, kärnor och partiklar / R. Eisberg, R. Resnick. — 2:a. - John Wiley & Sons, 1985. - ISBN 978-0-471-87373-0 .
Greiner, W. Quantum Electrodynamics / W. Greiner, J. Reinhardt. — 4:a. - springer, 2008. - ISBN 978-354087560-4 .
Griffiths, DJ Introduktion till kvantmekanik. — 2:a. - Essex England: Pearson Education, 2004. - ISBN 978-013111892-8 .
Griffiths, David. Introduktion till elementarpartiklar . - Wiley-VCH, 2008. - S. 162ff. — ISBN 978-3-527-40601-2 .
ter Haar, D. Den gamla kvantteorin . - Pergamon Press , 1967. - P. 167-183 .
Hanle, P. A. (1977), Erwin Schrodingers reaktion på Louis de Broglies avhandling om kvantteorin , Isis vol 68 (4): 606–609 , DOI 10.1086/351880
Heisenberg, W. Fysik och filosofi: revolutionen i modern vetenskap . — New York: Harper & Row, 1958.
Jaynes, E. T. Sannolikhetsteori: Vetenskapens logik. - Cambridge University Press , 2003. - ISBN 978-0-521 59271-0 .
Landau, L.D. Kvantmekanik: icke-relativistisk teori / L.D. Landau, E.M. Lifshitz . — 3:a. - Pergamon Press , 1977. - Vol. Vol. 3. - ISBN 978-0-08-020940-1 . online kopia
Lerner, RG Encyclopaedia of Physics / RG Lerner, GL Trigg. — 2:a. - VHC Publishers, 1991. - ISBN 978-0-89573-752-6 .
Ludwig, G. Wave Mechanics . - Oxford UK: Pergamon Press, 1968. - ISBN 978-0-08-203204-5 .
Martin, BR Partikelfysik / BR Martin, G. Shaw. — 3:a. - John Wiley & Sons, 2008. - ISBN 978-0-470-03294-7 .
Murdoch, D. Niels Bohrs fysikfilosofi . - Cambridge UK: Cambridge University Press, 1987. - ISBN 978-0-521-33320-7 .
Newton, R. G. Quantum Physics: a Text for Graduate Student. - New York: Springer, 2002. - ISBN 978-0-387-95473-8 .
Pauli, Wolfgang (1927). Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. Zeitschrift fur Physik [ tyska ] ]. 43 (9-10): 601-623. Bibcode : 1927ZPhy...43..601P . doi : 10.1007/ bf01397326 .
Peleg, Y. Kvantmekanik / Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur … [ och andra ] . — 2:a. - McGraw Hill, 2010. - ISBN 978-0-07-162358-2 .
Rae, A.I.M. Quantum Mechanics . — 5:a. — Taylor & Francis Group, 2008. — Vol. Volym 2. - ISBN 978-1-5848-89700 .
Schrödinger, E. (1926). "En vågformig teori om atomernas och molekylernas mekanik" (PDF) . Fysisk granskning . 28 (6): 1049-1070. Bibcode : 1926PhRv...28.1049S . DOI : 10.1103/PhysRev.28.1049 . Arkiverad från originalet (PDF) den 17 december 2008.
Shankar, R. Principer för kvantmekanik. — 2:a. - 1994. - ISBN 978-030644790-7 .
Tipler, PA Fysik för forskare och ingenjörer – med modern fysik / PA Tipler, G. Mosca, Freeman. — 6:a. - 2008. - ISBN 978-0-7167-8964-2 .
Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields , vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7 , < https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev >
Weinberg, S. (2013), Lectures in Quantum Mechanics , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-02872-2
Wheeler, JA Kvantteori och mätning / JA Wheeler, W. H. Zurek . — Princeton NJ: Princeton University Press, 1983.
Young, HD Sears och Zemanskys universitetsfysik / HD Young, RA Freedman. — 12:e. - Addison-Wesley, 2008. - ISBN 978-0-321-50130-1 .
Zettili, N. Kvantmekanik: koncept och tillämpningar. — 2:a. - 2009. - ISBN 978-0-470-02679-3 .
Zwiebach, Barton. En första kurs i strängteori. - Cambridge University Press, 2009. - ISBN 978-0-521-88032-9 .
Physical Encyclopedic Dictionary / Kap. ed. A. M. Prokhorov. Ed. räkna D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov och andra - M .: Sov. Encyclopedia, 1984. - 944 sid.
Yong-Ki Kim. Praktisk atomfysik (neopr.) // National Institute of Standards and Technology. - 2000. - 2 september. - S. 1 (55 sidor) . Arkiverad från originalet den 22 juli 2011.
Polkinghorne, John . Kvantteori, enmycket kort introduktion . - Oxford University Press , 2002. - ISBN 978-0-19-280252-1 .

Länkar

Kvantmekanik - artikel från Great Soviet Encyclopedia .
Physical Encyclopedic Dictionary: Quantum Mechanics"

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor norsk Britannica (online) Britannica (online)

Avsnitt av mekanik
klassisk mekanik Särskild relativitetsteori Teoretisk mekanik Allmän relativitetsteori Relativistisk mekanik Kvantmekanik
Kontinuummekanik	Hydrostatik Hydrodynamik Aeromekanik Aerostatik gasdynamik Teori om elasticitet Teori om plasticitet Brottmekanik för fasta ämnen Reologi
teorier	Oscillationsteori Teori om hållbarhet
tillämpad mekanik	Materialets styrka Teori om mekanismer och maskiner Maskindelar Strukturell mekanik Hydraulik Mekatronik Himmelsk mekanik Optomekatronik